Exame de Doutorado em Física Quântica

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VIRTUSIMPAVIDA
Universidade Federal de Pernambuco
Departamento de F´ısica
Programa de Po´s-Graduac¸a˜o
Exame Geral de Doutorado
MECAˆNICA QUAˆNTICA
Quarta-feira 26/02/2014 - 09h00 a`s 12h00
(Escolha treˆs dentre as quatro questo˜es)
1a Questa˜o: Sistemas de Dois Nı´veis
Considere um sistema f´ısico cujo espac¸o de estados e´ representado por uma base
ortonormal formada pelos dois kets: |u1〉 e |u2〉. Nesta base, o operador Hamiltoniano
H do sistema e o operador associado a um observa´vel A sa˜o escritos como:
H = h¯ω0
(
1 0
0 2
)
e
A =
(
0 a
a 0
)
onde ω0 e´ uma constante.
a) (30%) Pode-se medir simultaneamente os observa´veis H e A ? Explique sua
resposta.
O sistema no instante t = 0 encontra-se no estado:
|ψ(0)〉 = 1√
2
|u1〉+ 1√
2
|u2〉 .
b) (40%) No instante t = 0, a energia do sistema e´ medida. Que valores podem
ser encontrados, e com que probabilidades ? Calcule o valor me´dio 〈H〉 e o desvio
quadra´tico me´dio ∆H em t = 0.
c) (30%) Determine a expressa˜o para |ψ(t)〉 e o valor me´dio 〈A(t)〉 no tempo t.
2a Questa˜o: A´tomo de Hidrogeˆnio
No instante t = 0, o estado de um a´tomo de hidrogeˆnio e´ dado por
|ψ(0)〉 = 1√
10
(
√
5 |1, 0, 0〉+ |2, 1, 0〉+
√
2 |2, 1, 1〉+
√
2 |2, 1,−1〉),
onde os estados |k, l,m〉 sa˜o soluc¸o˜es da equac¸a˜o de Schro¨dinger; k corresponde ao
nu´mero quaˆntico principal, l e´ o nu´mero quaˆntico azimutal, e m denota o nu´mero
quaˆntico magne´tico.
(a) (30%) Determine a energia me´dia 〈H〉 do a´tomo em t = 0, sabendo que as
energias dos n´ıveis (k, l,m) tem a forma Ek = −E1/k2, onde −E1 e´ a energia do estado
fundamental.
(b) (30%) Qual e´ a probabilidade de encontrarmos o sistema com momento angular
L2 = 2h¯2 em func¸a˜o do tempo?
(c) (40%) Qual e´ a probabilidade de encontrarmos o ele´tron a uma distaˆncia do
pro´ton menor ou igual a R, no tempo t = 0 ? Suponha que R e´ muito menor que o
raio de Bohr, a0, de forma que a aproximac¸a˜o e
−x ≈ 1− x possa ser utilizada.
A dependeˆncia radial das func¸o˜es de onda para os primeiros n´ıveis de energia do
a´tomo de hidrogeˆnio e´ dada abaixo:
n´ıvel 1s Rk=1,l=0(r) = 2(a0)
−3/2e−r/a0
n´ıvel 2s Rk=2,l=0 = 2(2a0)
−3/2(1− r
2a0
)
e−r/2a0
n´ıvel 2p Rk=2,l=1 = (2a0)
−3/2 1√
3
r
a0
e−r/2a0
3a Questa˜o: Estados Quaˆnticos Puros e Mistos
Um sistema quaˆntico consiste em uma part´ıcula de spin-1/2. Dois tipos de pre-
parac¸o˜es sa˜o feitas neste sistema. No primeiro caso o estado preparado e´ puro e descrito
por:
|ψ〉 = √a|+〉+
√
b|−〉 ,
enquanto que no segundo caso o sistema e´ estatisticamente misto e descrito pelo
seguinte operador densidade
ρˆ = a|+〉〈+|+ b|−〉〈−|+ c|+〉〈−|+ c∗|−〉〈+| ,
onde {|+〉, |−〉} e´ a base de autoestados do operador de Pauli σˆz. Considere que
ambos os estados esta˜o normalizados.
a) (20%) Suponha que c = 0 e calcule para ambas as preparac¸o˜es as probabilidades
de, numa medic¸a˜o da componente z do spin, obtermos o estado |+〉.
b) (40%) Suponha que c = 0 e calcule para ambas as preparac¸o˜es as probabilidades
de, numa medic¸a˜o da componente x do spin, obtermos o estado |+〉x. Discuta sua
resposta.
c) (40%) Determine as relac¸o˜es que a, b e c devem satisfazer para que ρˆ represente
um estado puro.
Dado:
|±〉x = 1√2 [|+〉 ± |−〉], onde |±〉x sa˜o autovetores de σˆx
4a Questa˜o: Oscilador Harmoˆnico e Teoria de Perturbac¸a˜o
Para um oscilador harmoˆnico linear, H0 = p
2/(2m) + (k/2)x2, onde x e p sa˜o os
operadores quaˆnticos de posic¸a˜o e momento linear. A part´ıcula do oscilador tem carga
e . Um campo ele´trico externo uniforme ~E = E0xˆ e´ aplicado sobre o sistema.
a) (45%) Encontre o Hamiltoneano associado a interac¸a˜o part´ıcula-campo e use te-
oria de perturbac¸a˜o para determinar a primeira correc¸a˜o na˜o nula para as autoenergias
do oscilador, devida ao campo ele´trico.
b) (45%) Resolva o problema de encontrar as autoenergias exatamente para mos-
trar que o espectro de autoenergias em presenc¸a do campo ele´trico mante´m mesmo
espac¸amento do espectro de H0 e as energias apenas sofrem um deslocamento fixo que
depende do valor do campo.
c) (10%) Comente a relac¸a˜o do resultado quaˆntico com o caso cla´ssico de uma massa
m pendurada numa mola de constante k e no campo gravitacional g.