Integração por frações parciais e substituições trigonométricas

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Ca´lculo I -
Integrac¸a˜o por
Frac¸o˜es Parciais e
Substituic¸o˜es
Trigonome´tricas
Prof. Josinaldo
Menezes e Profa.
Simone Batista
Integrac¸a˜o de
Func¸o˜es Racionais
por Frac¸o˜es Parciais
Substituic¸o˜es
Trigonome´tricas
Ca´lculo I - Integrac¸a˜o por Frac¸o˜es Parciais e
Substituic¸o˜es Trigonome´tricas
Prof. Josinaldo Menezes e Profa. Simone Batista
Escola de Cieˆncias e Tecnologia - UFRN
7 de dezembro de 2009
Ca´lculo I -
Integrac¸a˜o por
Frac¸o˜es Parciais e
Substituic¸o˜es
Trigonome´tricas
Prof. Josinaldo
Menezes e Profa.
Simone Batista
Integrac¸a˜o de
Func¸o˜es Racionais
por Frac¸o˜es Parciais
O me´todo de
Heaviside
Encontrando os
Coeficientes por
Derivac¸a˜o
Substituic¸o˜es
Trigonome´tricas
Integrac¸a˜o de Func¸o˜es Racionais por Frac¸o˜es
Parciais
Seja uma func¸a˜o racional f (x)g(x) , se
1. a frac¸a˜o for pro´pria, ou seja, se o grau de f (x) for menor que
g(x)
2. conhecemos os fatores de g(x)
fazemos o procedimento ilustrado nos exemplos a seguir:
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Frac¸o˜es Parciais e
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Func¸o˜es Racionais
por Frac¸o˜es Parciais
O me´todo de
Heaviside
Encontrando os
Coeficientes por
Derivac¸a˜o
Substituic¸o˜es
Trigonome´tricas
Exemplo 1: Calcular
∫
x2+4 x+1
(x−1)(x+1)(x+3) dx
I Decompomos a frac¸a˜o em frac¸o˜es parciais:
x2 + 4 x + 1
(x − 1)(x + 1)(x + 3) =
A
x − 1 +
B
x + 1
+
C
x + 3
(1)
onde A, B e C sa˜o determinados fazendo-se
x2 + 4x + 1 = A(x + 1)(x + 3) + B(x − 1)(x + 3) (2)
+ C (x − 1)(x + 1) (3)
= (A + B + C ) x2 + (4A + 2B) x (4)
+ (3A− 3B − C ) (5)
ou seja,
 A + B + C = 14A + 2B = 4
3A− 3B − C = 1
que nos da´ A = 34 , B =
1
2 e C = − 14 .
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O me´todo de
Heaviside
Encontrando os
Coeficientes por
Derivac¸a˜o
Substituic¸o˜es
Trigonome´tricas
I A integral e´ enta˜o∫
x2 + 4 x + 1
(x − 1)(x + 1)(x + 3) dx (6)
=
∫ (3
4
1
x − 1 +
1
2
1
x + 1
− 1
4
1
x + 3
)
dx (7)
=
3
4
ln |x − 1|+ 1
2
ln |x + 1| − 1
4
ln |x + 3|+ K . (8)
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Encontrando os
Coeficientes por
Derivac¸a˜o
Substituic¸o˜es
Trigonome´tricas
Exemplo 2: Calcular
∫
6x+7
(x+2)2 dx
I
6x + 7
(x + 2)2
=
A
x + 2
+
B
(x + 2)2
(9)
onde
6x + 7 = A(x + 2) + B (10)
= Ax + (2A + B). (11)
ou seja,
{
A = 6
2A + B = 7
resultando A = 6 e B = −5.
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Encontrando os
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Derivac¸a˜o
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Trigonome´tricas
I A integral e´∫
6x + 7
(x + 2)2
=
∫
6
x + 2
dx −
∫
5
(x + 2)2
dx (12)
= 6 ln |x + 2| − 5
x + 2
+ C . (13)
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Exemplo 3: Calcular
∫
2x3−4 x2−x−3
x2−2 x−3 dx
I A frac¸a˜o impro´pria, por isso a escrevemos com a soma de um
polinoˆmio com uma frac¸a˜o pro´pria∫
2x3 − 4 x2 − x − 3
x2 − 2 x − 3 dx =
∫
2xdx +
∫
5x − 3
x2 − 2x − 3 dx (14)
I Resolvemos separadamente:
1. Z
2xdx = x2 + C1 (15)
2. Z
5x − 3
x2 − 2x − 3 dx =
Z
A
x + 1
+
B
x − 3
=
Z
2
x + 1
+
3
x − 3
= 2 ln |x + 1|+ 3 ln |x − 3|+ C2
resultando A = 6 e B = −5.
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I Assim,∫
2x3 − 4 x2 − x − 3
x2 − 2 x − 3 dx = x
2 + 2 ln |x + 1|+ 3 ln |x − 3|+ C
onde C = C1 + C2.
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Exemplo 4:
∫ −2x+4
(x2+1)(x−1)2 dx
I O denominador possui um fator quadra´tico irredut´ıvel. Assim,
−2x + 4
(x2 + 1)(x − 1)2 =
Ax + B
x2 + 1
+
C
x − 1 +
D
(x − 1)2
ou seja,
I
−2x + 4 = (Ax + B)(x − 1)2 + C (x − 1)(x2 + 1) + D(x2 + 1)
= (A + C ) (x − 1)2 + (−2A + B − C + D) x2
+ (A− 2B + C ) x + (B − C + D).
ou seja,

A = 2
B = 1
C = −2
D = 1
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Derivac¸a˜o
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I A integral e´ enta˜o,∫ −2x + 4
(x2 + 1)(x − 1)2 dx
=
∫ (
2 x + 1
x2 + 1
− 2
x − 1 +
1
(x − 1)2
)
dx
=
∫ (
2x
x2 + 1
+
1
x2 + 1
− 2
x − 1 +
1
(x − 1)2
)
dx
= 2 ln(x2 + 1) + tg−1 x − 2 ln |x − 1| − 1
x − 1 + C .
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O me´todo de Heaviside
Exemplo 5: Encontrando A, B e C na decomposic¸a˜o de frac¸o˜es
parciais usando o me´todo de Heaviside
x2 + 1
(x − 1)(x − 2)(x − 3) =
A
x − 1 +
B
x − 2 +
C
x − 3 . (16)
I Para encontrar A, ocultamos o primeiro termo e substituimos
na expressa˜o a raiz escondida x = 1
A =
12 + 1
(1− 2)(1− 3) =
2
(−1)(−2) = 1 (17)
I Da mesma forma, para encontrar B, ocultamos o segundo
termo e substituimos x = 2
B =
22 + 2
(2− 1)(2− 3) =
5
1(−1) = −5 (18)
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I Por fim, encontramos C ocultando o terceiro termo e
substituindo x = 3
C =
32 + 1
(3− 1)(3− 2) =
10
2
= 5 (19)
I Conclusa˜o:
x2 + 1
(x − 1)(x − 2)(x − 3) =
1
x − 1 −
5
x − 2 +
5
x − 3 . (20)
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Encontrando os Coeficientes por Derivac¸a˜o
Exemplo 6: Encontrando A, B e C na equac¸a˜o
x − 1
(x + 1)3
=
A
x + 1
+
B
(x + 1)2
+
C
(x + 1)3
. (21)
I Eliminando as frac¸o˜es
x − 1= A(x + 1)2 + B(x + 1) + C . (22)
I Substituimos pela primeira vez a raiz x = −1
−x − 1 = C → C = −2 (23)
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I Derivamos a equac¸a˜o com relac¸a˜o a x e substituimos a raiz
x = −1 pela segunda vez
1 = 2A(x + 1) + B (24)
1 = B → B = 1 (25)
I Repetimos o procedimento, derivando e substituindo a raiz
0 = 2A→ A = 0 (26)
I Conclusa˜o:
x − 1
(x + 1)3
=
2
(x + 1)2
− 2
(x + 1)3
. (27)
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As treˆs substituic¸o˜es ba´sicas sa˜o retiradas dos triaˆngulos retaˆngulos:
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Exemplo 7: Calcular
∫
dx√
4+x2
.
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I Utilizamos a substituic¸a˜o x = 2 tg θ e dx = 2 sec2 θdθ, com
−pi2 ≤ θ ≤ pi2 .
I Assim,
4 + x2 = 4 + 4 tg2 θ = 4(1 + tg2 θ) = 4 sec2 θ. (28)
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I A integral e´∫
dx√
4 + x2
=
∫
2 sec2 θ dθ√
4 sec2 θ
(29)
=
∫
sec2 θ
| sec θ| dθ =
∫
sec θdθ (30)
= ln | sec θ + tg θ|+ C1 (31)
= ln |
√
4 + x2 + x |+ C2. (32)
onde C2 = C1 − ln 2.
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Exemplo 8: Calcular
∫
x2 dx√
9−x2 .
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I Utilizamos a substituic¸a˜o x = 3 sen θ e dx = 3 cos θdθ, com
−pi2 ≤ θ ≤ pi2 .
I Assim,
9− x2 = 9− 9 sen2 θ = 9(1− sen2 θ) = 9 cos2 θ. (33)
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I Temos enta˜o a integral e´∫
x2 dx√
9− x2 =
∫
(9 sen2 θ) (3 cos θ) dθ√
9 cos2 θ
(34)
=
∫
(9 sen2 θ) (3 cos θ) dθ
|3 cos θ| dθ (35)
= 9
∫
sen2 θdθ (36)
= 9
∫
1− cos(2θ)
2
dθ (37)
=
9
2
(
θ − sen(2θ)
2
)
+ C (38)
=
9
2
(θ − sen θ cos θ) + C (39)
=
9
2
(
sen−1
(x
3
)
− x
√
9− x2
9
)
+ C .(40)
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Exemplo 9: Calcular
∫
x2 dx√
25 x2−4 .
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I Primeiro, reescrevemos o denominador como
√
25 x2 − 4 =
√
25
(
x2 − 4
25
)
= 5
√
x2 − 4
25
. (41)
I Nesse caso, a substituic¸a˜o e´ x = 25 sec θ e dx =
2
5 sec θ tg θdθ,
com −pi2 ≤ θ ≤ pi2 .
I Assim,
x2 − 4
25
=
4
25
sec2 θ− 4
25
=
4
25
(sec2 θ− 1) = 4
25
tg2 θ. (42)
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I A integral e´∫
dx√
25x2 − 4 =
∫
dx
5
√
x2 − 425
(43)
=
∫ 2
5 sec θ tg θ dθ
5
√
4
25 tg
2 θ
(44)
=
∫ 2
5 sec θ tg θ dθ
5 25 tg θ
(45)
=
1
5
∫
sec θdθ (46)
=
1
5
ln | sec θ + tg θ|+ C (47)
=
1
5
ln
∣∣5x
2
+
√
25 x2 − 4
2
∣∣+ C . (48)
	Integração de Funções Racionais por Frações Parciais
	O método de Heaviside
	Encontrando os Coeficientes por Derivação
	Substituições Trigonométricas