Relação Fundamental da Trigonometria

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A partir das relações trigonométricas no triângulo retângulo, definem-se as funções 
trigonométricas do seno e cosseno. Em decorrência destas, surge a primeira 
relação fundamental da Trigonometria: 
tg (x) = sen (x) 
 cos (x) 
Essa relação é conhecida como a função trigonométrica da tangente. A segunda e 
talvez a mais importante das relações fundamentais da trigonometria é: 
sen² (x) + cos² (x) = 1 
A prova dessas relações pode ser feita a partir de análises de aplicações do teorema 
de Pitágoras no triângulo retângulo. Entretanto, a demonstração dessas relações 
fundamentais não é interessante nesse momento. 
Ainda dentro das relações fundamentais, temos as funções inversas do seno, do 
cosseno e da tangente. Cada uma delas recebe um nome especial, que são: 
Secante → função inversa do cosseno 
sec (x) = 1 
 cos (x) 
Cossecante → função inversa do seno 
cossec (x) = 1 
 sen (x) 
Cotangente → função inversa da tangente 
cotg (x) = 1 ou cotg (x) = cos (x) 
 tg (x) sen (x) 
Desenvolvendo as relações fundamentais, podemos estabelecer relações 
decorrentes que também são de grande importância dentro da Trigonometria. 
Vejamos a demonstração para determiná-las: 
1ª relação decorrente: 
Considere a relação sen² (x) + cos² (x) = 1. Vejamos o que teremos se dividirmos 
toda a igualdade por cos² (x). 
sen² (x) + cos² (x) = 1 
 cos² (x) cos² (x) cos² (x) 
tg² (x) + 1 = sec² (x) 
ou 
tg² (x) = sec² (x) – 1 
2ª relação decorrente: 
Partindo novamente da relação sen² (x) + cos² (x) = 1, vamos agora dividir a 
igualdade por sen² (x). 
sen² (x) + cos² (x) = 1 
sen² (x) sen² (x) sen² (x) 
1 + cotg² (x) = cossec² (x) 
ou 
cotg² (x) = cossec² (x) – 1 
As funções trigonométricas, as relações fundamentais da trigonometria e as relações 
decorrentes são de extrema importância nas resoluções de equações e identidades 
trigonométricas. Junto a elas, são também muito utilizadas as funções do arco duplo: 
sen (2x) = 2 . sen (x) . cos (x) 
cos (2x) = cos² (x) – sen² (x) 
tg (2x) = 2. tg (x) 
 1 – tg² x