Pirâmides e Troncos de Pirâmides

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Pirâmides e Troncos de Pirâmides
Definição de Pirâmide
A partir de uma região poligonal contida em um plano e um ponto V exterior ao plano inicial, ao traçar os segmentos que unem os vértices do polígono com o ponto V temos que, a cada dois vértices consecutivos da região poligonal determinam, com V, uma região triangular, assim, essas regiões triangulares, juntamente com a região poligonal e vértice V, formam uma pirâmide.
Definição de pirâmide
Classificação de Pirâmides
As pirâmides são classificadas de duas formas:
Formato da Base
Tamanho das Arestas Laterais
Formato da Base
Tamanho das Arestas Laterais
Caso as arestas laterais sejam congruentes denominamos a pirâmide de reta, caso as arestas laterais não sejam congruentes, a pirâmide será oblíqua.
Pirâmide Regular
Pirâmide reta cuja base é uma região poligonal limitada por um polígono regular.
Elementos da Pirâmide Regular
Aresta da Base (L): lado do polígono da base;
Aresta Lateral (La): arestas da pirâmide que não pertencem a base;
Raio da Base (r): raio da circunferência circunscrita à base;
Apótema da Pirâmide (A): altura da face lateral;
Apótema da Base (Ab): segmento que liga o ponto médio da aresta da base ao circuncentro (centro da circunferência circunscrita);
Altura da Pirâmide (h): distância do vértice ao plano da base.
Relações entre os Elementos
Relações entre os Elementos
Relações entre os Elementos
Relações entre os Elementos
Caso Particular: Tetraedro Regular
Tetraedro regular é uma pirâmide particular formada por quatro regiões triangulares congruentes e equiláteras em que qualquer uma das faces pode ser considerada base.
Área da Superfície de uma Pirâmide
Do mesmo modo que foi visto nos prismas, nas pirâmides também temos:
Superfície lateral: formada pelas faces laterais (triangulares);
Superfície total: formada pelas faces laterais e pela base;
Área lateral: área da superfície lateral;
Área total: área da superfície total.
Cálculo do Volume da Pirâmide Triangular
Inicialmente, decompomos um prisma triangular em três pirâmides, de acordo com as figuras a seguir:
Cálculo do Volume da Pirâmide Triangular
As pirâmides I e II têm bases congruentes e alturas iguais;
Cálculo do Volume da Pirâmide Triangular
As pirâmides II e III também têm bases congruentes e alturas iguais. 
Cálculo do Volume da Pirâmide Triangular
Assim, VI = VII e VII = VIII e, portanto, os três volumes são iguais.
Lembrando que Vprisma = VI + VII + VIII e fazendo VI = VII = VIII = V, além do fato que Vprisma = área da base ∙ altura, temos:
Cálculo do Volume de uma Pirâmide Qualquer
Consideramos uma pirâmide triangular que tenha a mesma área da base e a mesma altura que uma pirâmide qualquer.
Cálculo do Volume de uma Pirâmide Qualquer
O princípio de Cavalieri garante que duas pirâmides com áreas das bases iguais e com a mesma altura têm volumes iguais. Então:
Tronco de Pirâmide
Considere uma pirâmide de vértice V e altura h, ao traçar um plano paralelo à base, que secciona a pirâmide a uma distância d do vértice, obtemos dois poliedros: uma pirâmide de vértice V e altura d, e um poliedro que é chamado tronco da pirâmide inicial.
Tronco de Pirâmide
Tronco de Pirâmide
Características do Tronco de Pirâmide
No tronco da pirâmide, destaca-se:
Duas bases: a base da pirâmide inicial (base maior do tronco) e a secção determinada pelo plano traçado (base menor do tronco);
As faces laterais: regiões limitadas por trapézios;
Altura do tronco: distância entre as bases do tronco em que sua medida é expressa por h1 = h – d.
Tronco de Pirâmide Regular
Quando a pirâmide original é regular, o tronco de pirâmide é chamado de regular e, nesse caso:
as bases são regiões poligonais regulares e semelhantes;
as faces laterais são regiões limitadas por trapézios isósceles;
a altura de um desses trapézios é chamada de apótema do tronco.
Tronco de Pirâmide Regular
Volume do Tronco de Pirâmide
Volume do Tronco de Pirâmide
Pela figura anterior, podemos observar que:
Exercícios: Pirâmides e Troncos de Pirâmides
Exercício
Calcule a área de uma pirâmide regular quadrangular que possui aresta da base igual à 18 cm e a altura de 12 cm.
Resolução
Na imagem, g é a apótema da pirâmide e m é a apótema da base. Com a altura, essas medidas formam um triângulo retângulo. Assim, por pitágoras, temos:
g2 = 92 + 122
g2 = 81 + 144
g2 = 225
g = √225
g = 15
Resolução
A apótema da pirâmide regular é a altura de suas faces laterais. A área de uma face lateral é a área do triângulo cuja altura (apótema) mede 15 cm e cuja base mede 18 cm:
Resolução
Falta ainda calcular a área da base dessa pirâmide. Como ela é quadrada e sua aresta mede 18 cm teremos:
AB = 182
AB = 324 cm2
A área da pirâmide é dada por:
A = AB + AL
A = 324 + 540
A = 864 cm2
Exercício
Calcule o volume de uma pirâmide quadrada, cuja aresta da base mede 4 cm e a altura, 7cm.
Resolução
Exercício
Calcule o volume de uma pirâmide regular de base hexagonal sabendo que sua altura é de 12 cm e que cada aresta da base mede 8 cm.
Resolução
Sabemos que a base da pirâmide é um hexágono regular de 8 cm de aresta. A área do hexágono regular é dada por:
Resolução
Conhecida a medida da área da base da pirâmide, podemos utilizar a fórmula do volume:
Exercício
Um tronco de pirâmide tem como bases duas regiões quadradas de lados 5 cm e 12 cm. A altura do tronco é 8 cm. Calcule o volume desse tronco.
Resolução
Inicialmente, calcula-se as áreas das bases deste tronco de pirâmide, como são áreas quadradas temos:
Área da Base Maior = 12² = 144 cm²
Área da Base Menor = 5² = 25 cm²
Resolução
Com as áreas das bases calculadas, temos que o volume será: