02_raciocinio_logico

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M
AT
ÉR
IA
sumário
Resolução de situações-problema ................................................................................. 1
Números inteiros: operações, propriedades. Números racionais: operações e proprie-
dades .............................................................................................................................. 6
Múltiplos e divisores ....................................................................................................... 16
Números e grandezas diretamente e inversamente proporcionais: razões e propor-
ções, divisão proporcional .............................................................................................. 20
Regra de três simples e composta ................................................................................. 26
Porcentagem. Juros simples e compostos ..................................................................... 27
Sistema de medidas legais............................................................................................. 32
Conceitos básicos de geometria: cálculo de área e cálculo de volume ......................... 37
Raciocínio lógico. Compreensão do processo lógico que, a partir de um conjunto de 
hipóteses, conduz, de forma válida, a conclusões determinadas. Formação de concei-
tos. Discriminação de elementos.................................................................................... 44
Raciocínio sequencial. Orientações espacial e temporal ............................................... 58
Questões ........................................................................................................................ 63
Gabarito .......................................................................................................................... 72
Ra
ci
oc
ín
io
 Ló
gi
co
-M
at
em
át
ic
o
IPMO
Raciocínio Lógico-Matemático
1
Resolução de situações-problema
A resolução de problemas é um aspecto fundamental da matemática que envolve a aplicação de conceitos, 
fórmulas e raciocínio lógico para encontrar soluções para uma variedade de questões. Este processo não só 
aprimora a compreensão matemática, mas também desenvolve habilidades críticas de pensamento. A seguir, 
apresentamos um guia detalhado para a resolução de problemas matemáticos:
Compreensão do problema:
– Leia cuidadosamente o enunciado do problema e certifique-se de entendê-lo completamente. 
– Identifique os dados fornecidos, as incógnitas a serem encontradas e as restrições dadas.
Planejamento:
– Decida quais métodos matemáticos ou fórmulas são relevantes para o problema.
– Use diagramas, gráficos ou tabelas para visualizar o problema.
– Se o problema for complexo, divida-o em partes menores e mais gerenciáveis.
Execução:
– Siga o plano desenvolvido e execute os cálculos necessários.
– Mantenha os dados e cálculos organizados para evitar confusões.
– Aplique o raciocínio lógico para seguir passo a passo até a solução.
Verificação:
– Verifique se todos os cálculos foram feitos corretamente.
– Certifique-se de que a solução atende a todas as condições do problema.
– Veja se a resposta faz sentido no contexto do problema.
Comunicação:
– Apresente a solução de forma clara e estruturada.
– Detalhe o processo e o raciocínio utilizados para chegar à solução.
– Utilize a terminologia matemática correta para evitar ambiguidades.
Técnicas para resolver problemas
Ao resolver problemas, é frequentemente necessário traduzir a linguagem comum para a linguagem 
matemática. Aqui estão algumas correspondências comuns:
Linguagem da questão Linguagem Matemática
Preposições “da”, “de”, “do” Multiplicação (* ou .)
Preposição “por” Divisão (÷)
Verbos “equivale a”, “será”, “é” Igualdade (=)
Pronomes interrogativos “qual”, “quanto” Incógnita (x)
Um número x
2
O dobro de um número 2x
O triplo de um número 3x
A metade de um número x/2
A terça parte de um número x/3
Dois números consecutivos x, x+1
Três números consecutivos x, x+1, x+2
Um número Par 2x
Um número Ímpar 2x - 1 ou 2x+1
Dois números pares consecutivos 2x, 2x+2
Dois números ímpares consecutivos 2x−1, 2x+1
O oposto de X ( na adição ) − x
O inverso de X ( na multiplicação) 1/x
Soma Mais, aumentar, ganhar, adicionar
Subtração Menos, diminuir, perder, tirar, diferença
Divisão Razão
Exemplos de aplicação na resolução de problemas
1. O dobro de um número somado ao triplo do mesmo número é igual a 7. Qual é esse número?
Solução:
2x + 3x = 7
5x = 7
x = 7/5 = 1,4
Resposta: x = 1,4
2. Um relatório contém as seguintes informações sobre as turmas A, B e C: 
- As três turmas possuem, juntas, 96 alunos; 
- A turma A e a turma B possuem a mesma quantidade de alunos; 
- A turma C possui o dobro de alunos da turma A. 
Estas informações permitem concluir que a turma C possui a seguinte quantidade de alunos: 
A) 48 
B) 42 
C) 28 
D) 24
Solução:
A + B + C = 96
A = x
B = x
3
C = 2x
Então A + B + C = 96 é equivalente à x + x + 2x = 96
4x = 96
x = 96/4
x = 24
Substituindo, temos
C = 2x
C = 2 . 24
C = 48
Resposta: Alternativa A
3. Uma urna contém bolas azuis, vermelhas e brancas. Ao todo são 108 bolas. O número de bolas azuis 
é o dobro do de vermelhas, e o número de bolas brancas é o triplo do de azuis. Então, o número de bolas 
vermelhas é: 
(A)10 
(B) 12 
(C) 20 
(D) 24 
(E) 36
Solução:
A + V + B = 108
A = 2x
V = x
B = 3 . 2x = 6x
Então A + V + B = 108 é equivalente à 2x + x + 6x = 108
9x = 108
x = 108/9
x = 12
Logo, temos que
V = x = 12
Resposta: Alternativa B
4. Um fazendeiro dividirá seu terreno de modo a plantar soja, trigo e hortaliças. A parte correspondente à 
soja terá o dobro da área da parte em que será plantado trigo que, por sua vez, terá o dobro da área da parte 
correspondente às hortaliças. Sabe-se que a área total desse terreno é de 42 ha, assim a área em que se irá 
plantar trigo é de: 
(A) 6 ha
(B) 12 ha 
(C) 14 ha
4
(D) 18 ha
(E) 24 ha
Solução:
S + T + H = 4 2
S = 2 . 2x = 4x
T = 2x
H = x
Então S + T + H = 42 é equivalente à 4x + 2x + x = 42
7x = 42
x = 42/7
x = 6
Substituindo, temos
T = 2x
T = 2.6
T = 12
Resposta: Alternativa B
5. Maria e Ana se encontram de três em três dias, Maria e Joana se encontram de cinco em cinco dias e 
Maria e Carla se encontram de dez em dez dias. Hoje as quatro amigas se encontraram. A próxima vez que 
todas irão se encontrar novamente será daqui a: 
(A) 15 dias 
(B) 18 dias 
(C) 28 dias 
(D) 30 dias 
(E) 50 dias 
Solução:
Calculando o MMC de 3 – 5 - 10 :
3, 5, 10 | 2
3, 5, 5 | 3
1, 5, 5 | 5 
1, 1, 1 | 1
MMC = 2 × 3 × 5 x 1 = 30 dias
Resposta: Alternativa D
6. Uma doceria vendeu 153 doces dos tipos casadinho e brigadeiro. Se a razão entre brigadeiros e casadinhos 
foi de 2/7, determine o número de casadinhos vendidos.
(A) 139 
(B) 119 
(C) 94 
5
(D) 34 
Solução:
O termo razão se refere à divisão.
Total = 153
B/C = 2/7
Adicionando o K (constante de proporcionalidade) para descobrir o valor, temos
B/C = 2K/7K
2K + 7K = 153
9K = 153
K = 153/9
K = 17
Substituindo, temos
C = 7K
C = 7 . 17 = 119
Resposta: Alternativa B
7. Na venda de um automóvel, a comissão referente a essa venda foi dividida entre dois corretores, A e B, 
em partes diretamente proporcionais a 3 e 5, respectivamente. Se B recebeu R$ 500,00 a mais que A, então 
o valor total recebido por A foi: 
(A) R$ 550,00. 
(B) R$ 650,00. 
(C) R$ 750,00. 
(D) R$ 850,00.
Solução:
B – A = 500
A= 3K
B = 5K
Então B - A = 500 é equivalente à 5K – 3K = 500
2K = 500
K = 500/2
K = 250
Substituindo, temos
A = 3K
A = 3 . 250
A = 750
Resposta: Alternativa C
6
8. Uma pessoa possui o triplo da idade de uma outra. Daqui a 11 anos terá o dobro. Qual é a soma das 
idades atuais dessas pessoas? 
(A) 22 
(B) 33 
(C) 44 
(D) 55 
(E) 66
Solução:
A = x
B = 3x
No futuro, B = 2A
Somando o tempo, que é 11 anos, temos
3x + 11 = 2 (x + 11)
3 x + 11 = 2x + 22
3x – 2x = 22 -11
x = 11
Substituindo na soma das idades, temos
A + B = 11 + (3a compõem. Diferentemente das tautologias e contra-
dições, que são invariavelmente verdadeiras ou falsas, as contingências refletem casos em que o valor lógico 
não é absoluto e depende das circunstâncias. Identificar contradições em um argumento é essencial para deter-
minar inconsistências lógicas. Quando uma proposição leva a uma contradição, isso significa que o argumento 
em questão não pode ser verdadeiro.
Exemplo: A proposição “se p então q” (ou p → q) é uma contingência, pois pode ser verdadeira ou falsa 
dependendo dos valores de p e q. Caso p seja verdadeiro e q seja falso, a proposição composta será falsa. Em 
qualquer outra combinação, a proposição será verdadeira.
Exemplo: 
4. (CESPE) Um estudante de direito, com o objetivo de sistematizar o seu estudo, criou sua própria legenda, 
na qual identificava, por letras, algumas afirmações relevantes quanto à disciplina estudada e as vinculava por 
meio de sentenças (proposições). No seu vocabulário particular constava, por exemplo:
P: Cometeu o crime A.
Q: Cometeu o crime B.
R: Será punido, obrigatoriamente, com a pena de reclusão no regime fechado.
S: Poderá optar pelo pagamento de fiança.
Ao revisar seus escritos, o estudante, apesar de não recordar qual era o crime B, lembrou que ele era ina-
fiançável.Tendo como referência essa situação hipotética, julgue o item que se segue.
A sentença (P→Q)↔((~Q)→(~P)) será sempre verdadeira, independentemente das valorações de P e Q 
como verdadeiras ou falsas.
( ) CERTO
( ) ERRADO
Resolução:
Considerando P e Q como V.
(V→V) ↔ ((F)→(F))
(V) ↔ (V) = V
Considerando P e Q como F
(F→F) ↔ ((V)→(V))
(V) ↔ (V) = V
Então concluímos que a afirmação é verdadeira.
Resposta: Certo.
Equivalência
Duas ou mais proposições compostas são equivalentes, quando mesmo possuindo estruturas lógicas dife-
rentes, apresentam a mesma solução em suas respectivas tabelas verdade.
Se as proposições P(p,q,r,...) e Q(p,q,r,...) são ambas TAUTOLOGIAS, ou então, são CONTRADIÇÕES, 
então são EQUIVALENTES.
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Exemplo: 
5. (VUNESP/TJSP) Uma negação lógica para a afirmação “João é rico, ou Maria é pobre” é:
(A) Se João é rico, então Maria é pobre.
(B) João não é rico, e Maria não é pobre.
(C) João é rico, e Maria não é pobre.
(D) Se João não é rico, então Maria não é pobre.
(E) João não é rico, ou Maria não é pobre.
Resolução:
Nesta questão, a proposição a ser negada trata-se da disjunção de duas proposições lógicas simples. Para 
tal, trocamos o conectivo por “e” e negamos as proposições “João é rico” e “Maria é pobre”. Vejam como fica:
Resposta: B.
Leis de Morgan 
Com elas:
– Negamos que duas dadas proposições são ao mesmo tempo verdadeiras equivalendo a afirmar que pelo 
menos uma é falsa
– Negamos que uma pelo menos de duas proposições é verdadeira equivalendo a afirmar que ambas são 
falsas.
ATENÇÃO
As Leis de Morgan exprimem que NEGAÇÃO transforma:
CONJUNÇÃO em DISJUNÇÃO
DISJUNÇÃO em CONJUNÇÃO
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LÓGICA DE ARGUMENTAÇÃO
Um argumento refere-se à declaração de que um conjunto de proposições iniciais leva a outra proposição 
final, que é uma consequência das primeiras. Em outras palavras, um argumento é a relação que conecta um 
conjunto de proposições, denotadas como P1, P2,... Pn, conhecidas como premissas do argumento, a uma 
proposição Q, que é chamada de conclusão do argumento.
Exemplo:
P1: Todos os cientistas são loucos.
P2: Martiniano é louco.
Q: Martiniano é um cientista.
O exemplo fornecido pode ser denominado de Silogismo, que é um argumento formado por duas premissas 
e uma conclusão.
Quando se trata de argumentos lógicos, nosso interesse reside em determinar se eles são válidos ou 
inválidos. Portanto, vamos entender o que significa um argumento válido e um argumento inválido.
Argumentos Válidos
Um argumento é considerado válido, ou legítimo, quando a conclusão decorre necessariamente das 
propostas apresentadas. 
Exemplo de silogismo: 
P1: Todos os homens são pássaros. 
P2: Nenhum pássaro é animal. 
C: Logo, nenhum homem é animal.
Este exemplo demonstra um argumento logicamente estruturado e, por isso, válido. Entretanto, isso não 
implica na verdade das premissas ou da conclusão.
Importante enfatizar que a classificação de avaliação de um argumento é a sua estrutura lógica, e não o 
teor de suas propostas ou conclusões. Se a estrutura for formulada corretamente, o argumento é considerado 
válido, independentemente da veracidade das propostas ou das conclusões.
Como determinar se um argumento é válido?
A validade de um argumento pode ser verificada por meio de diagramas de Venn, uma ferramenta 
extremamente útil para essa finalidade, frequentemente usada para analisar a lógica de argumentos. Vamos 
ilustrar esse método com o exemplo mencionado acima. Ao afirmar na afirmação P1 que “todos os homens são 
pássaros”, podemos representar esta afirmação da seguinte forma:
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Note-se que todos os elementos do conjunto menor (homens) estão contidos no conjunto maior (pássaros), 
diminuindo que todos os elementos do primeiro grupo pertencem também ao segundo. Esta é a forma padrão 
de representar graficamente a afirmação “Todo A é B”: dois círculos, com o menor dentro do maior, onde o 
círculo menor representa o grupo classificado após a expressão “Todo”.
Quanto à afirmação “Nenhum pássaro é animal”, a palavra-chave aqui é “Nenhum”, que transmite a ideia de 
completa separação entre os dois conjuntos incluídos.
A representação gráfica da afirmação “Nenhum A é B” sempre consistirá em dois conjuntos distintos, sem 
sobreposição alguma entre eles.
Ao combinar as representações gráficas das duas indicações mencionadas acima e analisá-las, obteremos:
Ao analisar a conclusão de nosso argumento, que afirma “Nenhum homem é animal”, e compará-la com 
as representações gráficas das metas, questionamos: essa conclusão decorre logicamente das metas? 
Definitivamente, sim!
Percebemos que o conjunto dos homens está completamente separado do conjunto dos animais, diminuindo 
uma dissociação total entre os dois. Portanto, concluímos que este argumento é válido.
Argumentos Inválidos
Um argumento é considerado inválido, também chamado de ilegítimo, mal formulado, falacioso ou sofisma, 
quando as propostas apresentadas não são capazes de garantir a verdade da conclusão.
Por exemplo: 
P1: Todas as crianças gostam de chocolate. 
P2: Patrícia não é criança. 
C: Logo, Patrícia não gosta de chocolate.
Este exemplo ilustra um argumento inválido ou falacioso, pois as premissas não estabelecem de maneira 
conclusiva a veracidade da conclusão. É possível que Patrícia aprecie chocolate, mesmo não sendo criança, 
uma vez que a proposta inicial não limite o gosto por chocolate exclusivamente para crianças.
Para demonstrar a invalidez do argumento supracitado, utilizaremos diagramas de conjuntos, tal como foi 
feito para provar a validade de um argumento válido. Iniciaremos com as primeiras metas: “Todas as crianças 
gostam de chocolate”.
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Examinemos a segunda premissa: “Patrícia não é criança”. Para obrigar, precisamos referenciar o diagrama 
criado a partir da primeira localização e determinar a localização possível de Patrícia, levando em consideração 
o que a segunda localização estabelece.
Fica claro que Patrícia não pode estar dentro do círculo que representa as crianças. Essa é a única restrição 
imposta pela segunda colocação. Assim, podemos deduzir que existem duas posições possíveis para Patrícia 
no diagrama:
1º) Fora do círculo que representa o conjunto maior;
2º) Dentro do conjunto maior, mas fora do círculo das crianças. Vamos analisar:
Finalmente, passemos à análise da conclusão: “Patrícia não gosta de chocolate”. Ora, o que nos resta para 
sabermos se este argumento é válido ou não, é justamente confirmar se esse resultado (se esta conclusão) é 
necessariamente verdadeiro!
– É necessariamente verdadeiro que Patrícia não gosta de chocolate? Olhando para o desenho acima, 
respondemos que não! Pode ser que ela não goste de chocolate (caso esteja fora do círculo),mas também 
pode ser que goste (caso esteja dentro do círculo)! Enfim, o argumento é inválido, pois as premissas não 
garantiram a veracidade da conclusão!
Métodos para validação de um argumento
Vamos explorar alguns métodos que nos ajudarão a determinar a validade de um argumento:
1º) Diagramas de conjuntos: ideal para argumentos que contenham as palavras “todo”, “algum” e “nenhum” 
ou suas convenções como “cada”, “existe um”, etc. referências nas indicações.
2º) Tabela-verdade: recomendada quando o uso de diagramas de conjuntos não se aplica, especialmente 
em argumentos que envolvem conectores lógicos como “ou”, “e”, “→” (implica) e “↔” (se e somente se) . O 
processo inclui a criação de uma tabela que destaca uma coluna para cada premissa e outra para a conclusão. 
O principal desafio deste método é o aumento da complexidade com o acréscimo de proposições simples.
3º) Operações lógicas com conectivos, assumindo posições verdadeiras: aqui, partimos do princípio 
de que as premissas são verdadeiras e, através de operações lógicas com conectivos, buscamos determinar 
a veracidade da conclusão. Esse método oferece um caminho rápido para demonstrar a validade de um 
argumento, mas é considerado uma alternativa secundária à primeira opção.
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4º) Operações lógicas considerando propostas verdadeiras e conclusões falsas: este método é útil 
quando o anterior não fornece uma maneira direta de avaliar o valor lógico da conclusão, solicitando, em vez 
disso, uma análise mais profunda e, possivelmente, mais complexa.
Em síntese, temos:
Deve ser usado quando: Não deve ser usado 
quando:
1o método
Utilização dos 
Diagramas 
(circunferências).
O argumento apresentar as 
palavras todo, nenhum, ou algum
O argumento não 
apresentar tais palavras.
2o método Construção das 
tabelas-verdade.
Em qualquer caso, mas 
preferencialmente quando o 
argumento tiver no máximo duas 
proposições simples.
O argumento não 
apresentar três ou mais 
proposições simples.
3o método
Considerando as 
premissas verdadeiras 
e testando a 
conclusão verdadeira.
O 1o método não puder ser 
empregado, e houver uma 
premissa que seja uma 
proposição simples; ou
que esteja na forma de uma 
conjunção (e).
Nenhuma premissa for 
uma proposição simples 
ou uma conjunção.
4o método
Verificar a existência 
de conclusão 
falsa e premissas 
verdadeiras.
0 1o método ser empregado, e a 
conclusão tiver a forma de uma 
proposição simples; ou estiver na 
forma de uma condicional (se...
então...).
A conclusão não for uma 
proposição simples, nem 
uma desjunção, nem uma 
condicional.
Exemplo: diga se o argumento abaixo é válido ou inválido:
(p ∧ q) → r
_____~r_______
~p ∨ ~q
Resolução:
1ª Pergunta: o argumento inclui as expressões “todo”, “algum”, ou “nenhum”? Se uma resposta negativa, 
isso exclui a aplicação do primeiro método, levando-nos a considerar outras opções.
2ª Pergunta: o argumento é composto por, no máximo, duas proposições simples? Caso a resposta seja 
negativa, o segundo método também é descartado da análise.
3ª Pergunta: alguma das propostas consiste em uma proposição simples ou em uma conjunção? Se 
afirmativo, como no caso da segunda proposição ser (~r), podemos proceder com o terceiro método. Se 
desejarmos explorar mais opções, temos obrigações com outra pergunta.
4ª Pergunta: a conclusão é formulada como uma proposição simples, uma disjunção, ou uma condicional? 
Se a resposta for positiva, e a conclusão para uma disjunção, por exemplo, temos a opção de aplicar o método 
quarto, se assim escolhermos.
Vamos seguir os dois caminhos: resolveremos a questão pelo 3º e pelo 4º método.
Analise usando o Terceiro Método a partir do princípio de que as premissas são verdadeiras e avalie a 
veracidade da conclusão, dessa forma, será obtido:
2ª Premissa: Se ~r é verdade, isso implica que r é falso.
1ª Premissa: se (p ∧ q) → r é verdade, e já estabelecemos que r é falso, isso nos leva a concluir que (p ∧ 
q) também deve ser falso. Uma conjunção é falsa quando pelo menos uma das proposições é falsa ou ambas 
são. Portanto, não conseguimos determinar os valores específicos de p e q com esta abordagem. Apesar da 
aparência inicial de adequação, o terceiro método não nos permite concluir definitivamente sobre a validade do 
argumento.
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Analise usando o Quarto Método considerando a conclusão como falsa e as premissas como verdadeiras, 
chegaremos a:
Conclusão: Se ~pv ~q é falso, então tanto p quanto q são verdadeiros. Procedemos ao teste das propostas 
sob a suposição de sua verdade:
1ª Premissa: Se (p∧q) → r é considerado verdadeiro, e p e q são verdadeiros, a situação condicional 
também é verdadeira, o que nos leva a concluir que r deve ser verdadeiro.
2ª Premissa) Com r sendo verdadeiro, encontramos um conflito, pois isso tornaria ~r falso. Contudo, nesta 
análise, o objetivo é verificar a coexistência de posições verdadeiras com uma conclusão falsa. A ausência 
dessa coexistência indica que o argumento é válido. Portanto, concluímos que o argumento é válido sob o 
método quarto.
DIAGRAMAS LÓGICOS
Os diagramas lógicos são usados na resolução de vários problemas. É uma ferramenta para resolvermos 
problemas que envolvam argumentos dedutivos, as quais as premissas deste argumento podem ser formadas 
por proposições categóricas. 
ATENÇÃO: É bom ter um conhecimento sobre conjuntos para conseguir resolver questões que en-
volvam os diagramas lógicos.
Vejamos a tabela abaixo as proposições categóricas:
TIPO PREPOSIÇÃO DIAGRAMAS
A TODO 
A é B
Se um elemento pertence ao conjunto A, então pertence também 
a B.
E NENHUM
A é B
Existe pelo menos um elemento que pertence a A, então não per-
tence a B, e vice-versa.
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I ALGUM 
A é B
Existe pelo menos um elemento comum aos conjuntos A e B.
Podemos ainda representar das seguintes formas:
O ALGUM 
A NÃO é B
Perceba-se que, nesta sentença, a atenção está sobre o(s) elemen-
to (s) de A que não são B (enquanto que, no “Algum A é B”, a aten-
ção estava sobre os que eram B, ou seja, na intercessão).
Temos também no segundo caso, a diferença entre conjuntos, que 
forma o conjunto A - B
Exemplo: 
(GDF–ANALISTA DE ATIVIDADES CULTURAIS ADMINISTRAÇÃO – IADES) Considere as proposições: 
“todo cinema é uma casa de cultura”, “existem teatros que não são cinemas” e “algum teatro é casa de cultura”. 
Logo, é correto afirmar que 
(A) existem cinemas que não são teatros. 
(B) existe teatro que não é casa de cultura. 
(C) alguma casa de cultura que não é cinema é teatro. 
(D) existe casa de cultura que não é cinema. 
(E) todo teatro que não é casa de cultura não é cinema.
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Resolução:
Vamos chamar de:
Cinema = C
Casa de Cultura = CC
Teatro = T
Analisando as proposições temos:
- Todo cinema é uma casa de cultura 
- Existem teatros que não são cinemas
- Algum teatro é casa de cultura
Visto que na primeira chegamos à conclusão que C = CC
Segundo as afirmativas temos:
(A) existem cinemas que não são teatros- Observando o último diagrama vimos que não é uma verdade, 
pois temos que existe pelo menos um dos cinemas é considerado teatro.
(B) existe teatro que não é casa de cultura. – Errado, pelo mesmo princípio acima. 
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(C) alguma casa de cultura que não é cinema é teatro. – Errado, a primeira proposição já nos afirma o con-
trário. O diagrama nos afirma isso
(D) existe casa de cultura que não é cinema. – Errado, a justificativa é observada no diagrama da alternativa 
anterior.
(E) todo teatro que não é casa de cultura não é cinema. – Correta, que podemos observar no diagrama 
abaixo, uma vez que todo cinema é casa de cultura. Se o teatro não é casa de cultura também não é cinema.
Resposta: E
Raciocínio sequencial. Orientações espacial e temporal
A orientação espacial e temporal constitui um dos pilares fundamentais do nosso entendimento do mundo 
ao nosso redor. Este tópico aborda a capacidade de compreender e se situar no espaço físico, bem como de 
organizar e interpretar eventos no tempo. 
CALENDÁRIOS
Calendário é um sistemapara contagem e agrupamento de dias que visa atender, principalmente, às neces-
sidades civis e religiosas de uma cultura. As unidades principais de agrupamento são o mês e o ano.
Divisão do Ano
– O ano padrão possui 365 dias, dividido em semanas de 7 dias.
Isto significa que um ano possui exatamente 52 semanas + 1 dia. Isto faz com que, se um determinado ano 
começa na segunda-feira, o ano seguinte inicia no dia da semana seguinte (terça-feira, neste caso), exceto 
para anos bissextos. Desta forma, se em um ano uma data (p.ex. 05/Fevereiro) cai em um dia da semana es-
pecífico (p.ex. na terça), no ano seguinte cairá no dia da semana seguinte (na quarta, neste caso), exceto em 
anos bissextos.
– Uma semana inicia-se no Domingo (primeiro dia da semana) e encerra-se no Sábado (sétimo dia da se-
mana). Desta forma, a semana é constituída por Domingo, Segunda, Terça, Quarta, Quinta, Sexta e Sábado.
O Ano é dividido em 12 meses com as seguintes quantidades de dias:
JANEIRO FEVEREIRO MARÇO ABRIL MAIO JUNHO JULHO AGOSTO SETEMBRO OUTUBRO NOVEMBRO DEZEMBRO
31 dias 28 dias 31 dias 30 dias 31 dias 30 dias 31 dias 31 dias 30 dias 31 dias 30 dias 31 dias
59
Ano bissexto
Chama-se de ano bissexto ao acréscimo de 1 dia ao ano, fazendo com que o ano possua 366 dias (52 
semanas + 2 dias). O ano bissexto é criado para ajustar nosso calendário ao ano natural. Como um ano não 
possui exatamente 365 dias, mas cerca de 365 dias e 6 horas, a cada 4 anos as horas excedentes totalizam 
um dia completo. “Excluir” estas horas adicionais faria com que, ao longo dos anos, as datas não caíssem nas 
mesmas épocas e estações naturais do ano. Se a cada ano perdêssemos 6 horas, em 720 anos dia 01/01 
cairia não no verão (no hemisfério sul) mas no inverno, por exemplo.
As regras de criação do ano bissexto são:
- De 4 em 4 anos é ano bissexto.
- De 100 em 100 anos não é ano bissexto.
- De 400 em 400 anos é ano bissexto.
- Prevalecem as últimas regras sobre as primeiras.
Calculando um dia específico da semana
Exemplos: 
Se considerarmos hoje como segunda-feira e contarmos 73 dias, qual dia da semana cairá?
Resolução:
– Em primeiro lugar, calcular as semanas completas entre a data inicial e a data final. Logicamente, calcu-
lando as semanas completas iremos para o dia da semana mais próximo que é igual àquele do dia inicial que 
estamos calculando. Se dividirmos 73 por 7 dias por semana, temos 10,48 ou 10 semanas completas. Assim, a 
segunda-feira mais próxima da data que desejamos é igual a 7×10= 70 dias.
– Na segunda etapa, subtraímos da quantidade de dias este valor e somamos ao dia da semana que alcan-
çamos. Assim, 73 -70 = 3 dias. Então a partir da segunda-feira, somamos + 3 dias, o que equivale a quinta-feira, 
que é nosso resultado final.
(PC/PI - Escrivão de Polícia Civil - UESPI) 
Se 01/01/2013 foi uma terça-feira, qual dia da semana foi 19/09/2013?
(A) Quarta-feira.
(B) Quinta-feira.
(C) Sexta-feira.
(D) Sábado.
(E) Domingo.
Resolução:
Se 01/01/2013 foi uma terça feira, podemos determinar o dia da semana em que cairá 19/09/2013.
Basta fazermos as seguintes operações:
– determinar o número de dias entre estas datas:
Janeiro faltam mais 30 dias para acabar o mês.
Fevereiro 28
Março: 31
Abril 30
Maio 31
60
Junho 30
Julho 31
Agosto 31
Setembro 19
Logo, teremos um total de 261 dias.
– Dividiremos este número por 7 e veremos quantas semanas inteiras teríamos neste intervalo de dias: 
262/7 = 37 semanas e 2 dias.
Logo, 19/09/2013 cairá numa quinta-feira.
Resposta: B.
ORDEM TEMPORAL
A ordem temporal é um conceito importante para a compreensão de como os eventos se desenrolam e se 
inter-relacionam ao longo do tempo. Ela é essencial para que os indivíduos possam se situar sobre aconteci-
mentos passados, presentes e futuros em uma sequência lógica e coerente.
Importância da Ordem Temporal
– Contextualização: A ordem temporal ajuda a situar eventos dentro de um contexto mais amplo, permitindo 
uma compreensão mais profunda das causas e consequências.
– Planejamento: É fundamental para o planejamento de ações e projetos, pois permite prever etapas e 
organizar atividades de forma sequencial.
– Memória: Auxilia na retenção e recuperação de informações, pois a memória humana tende a organizar 
as lembranças em uma sequência cronológica.
Estratégias
• Criação de Linhas do Tempo: Desenvolver linhas do tempo para visualizar a sequência de eventos histó-
ricos, literários ou científicos.
• Uso de Cronogramas: Utilizar cronogramas para planejar e acompanhar projetos, destacando inícios, 
durações e términos de cada fase.
• Exercícios de Sequenciamento: Realizar atividades que envolvam a ordenação de eventos ou etapas de 
um processo.
Exemplo:
Linha do Tempo da Revolução Industrial
– Século XVIII: Invenção da máquina a vapor (1712).
– Século XIX: Desenvolvimento do telégrafo (1837), início da produção em massa (Fordismo, início do 
século XX).
– Século XX: Avanço da automação e da informática.
RACIOCÍNIO SEQUENCIAL
As sequências podem ser compostas por números, letras, pessoas, figuras e assim por diante. Há várias 
maneiras de estabelecer uma sequência, mas o importante é que haja pelo menos três elementos que 
caracterizem a lógica de sua formação. No entanto, algumas séries exigem mais elementos para definir sua 
lógica. Ter um bom conhecimento em Progressões Aritméticas (PA) e Progressões Geométricas (PG) torna a 
dedução das sequências simples e sem complicações. É crucial estar atento a vários detalhes oferecidos por 
elas, como nos exemplos abaixo:
61
Progressão Aritmética: soma-se constantemente um mesmo número.
Progressão Geométrica: multiplica-se constantemente um mesmo número.
Sequência de Figuras: esse tipo de sequência pode seguir o mesmo padrão observado na sequência de 
pessoas ou simplesmente sofrer rotações, como nos exemplos a seguir:
1. Analise a sequência a seguir:
Admitindo-se que a regra de formação das figuras seguintes permaneça a mesma, pode-se afirmar que a 
figura que ocuparia a 277ª posição dessa sequência é:
Resolução:
A sequência das figuras completa-se na 5ª figura. Assim, continua-se a sequência de 5 em 5 elementos. A 
figura de número 277 ocupa, então, a mesma posição das figuras que representam número 5n + 2, com n N. 
Ou seja, a 277ª figura corresponde à 2ª figura, que é representada pela letra “B”.
Resposta: B
2. (Câmara de Aracruz/ES - Agente Administrativo e Legislativo - IDECAN) A sequência formada pelas 
figuras representa as posições, a cada 12 segundos, de uma das rodas de um carro que mantém velocidade 
constante. Analise-a.
62
Após 25 minutos e 48 segundos, tempo no qual o carro permanece nessa mesma condição, a posição da 
roda será:
Resolução:
A roda se mexe a cada 12 segundos. Percebe-se que ela volta ao seu estado inicial após 48 segundos.
O examinador quer saber, após 25 minutos e 48 segundos qual será a posição da roda. Vamos transformar 
tudo para segundos:
25 minutos = 1500 segundos (60x25)
1500 + 48 (25m e 48s) = 1548 
Agora é só dividir por 48 segundos (que é o tempo que levou para roda voltar à posição inicial)
1548 / 48 = vai ter o resto “12”. 
Portanto, após 25 minutos e 48 segundos, a roda vai estar na posição dos 12 segundos.
Resposta: B
3. (Pref. Petrópolis/RJ) A figura que completa o sentido da frase, é:
63
Resolução: 
O círculo está para a figura do círculo mais esticada (elipse), assim como o quadrado está para o quadrado 
mais esticado (retângulo).
Resposta: A
Questões
1. FUNDATEC - 2023
Referente aos múltiplos e divisores, é correto afirmar que o número:
(A) 10 possui 4 múltiplos naturais.
(B) 12 possui infinitos divisores naturais. 
(C) 20 é múltiplo natural de 3.
(D) 4 é divisor natural do número 18.
(E) 25 é múltiplo natural do número 5.
2. FUNDATEC - 2023
Analise as assertivas abaixo a respeito de múltiplos e divisores:
I. O número natural 3 é múltiplo natural de 12.
II. O maior divisor natural de um número natural é o próprio número.
III. 17 é múltiplonatural de 34.
IV. 54 é divisor natural de 432.
Quais estão corretas?
(A) Apenas II. 
(B) Apenas III.
(C) Apenas I e III.
(D) Apenas I e IV.
(E) Apenas II e IV.
3. FUNDATEC - 2024
Em relação aos múltiplos e divisores naturais de um número, analise as assertivas a seguir e assinale V, se 
verdadeiras, ou F, se falsas.
( ) O número 12 possui 6 múltiplos naturais.
( ) Todo número natural possui um número infinito de divisores naturais.
( ) O número 31 possui 2 divisores naturais.
( ) O número 12 possui 6 divisores naturais.
A ordem correta de preenchimento de dos parênteses, de cima para baixo, é: 
(A) V – V – F – V.
(B) V – F – V – V.
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(C) F – F – V – V.
(D) V – V – V – F.
(E) F – F – F – F.
4. IDHTEC - 2023
O número 5 é inversamente proporcional a grandeza B. Se multiplicarmos o 5 pelo próprio 5, devemos, para 
manter a razão de proporcionalidade, reduzir o valor de B em
(A) 50%
(B) 60%
(C) 70%
(D) 80%
(E) 90%
5. OBJETIVA - 2023
Certa piscina é abastecida com água por duas mangueiras de igual vazão, demorando 5h para ser comple-
tamente preenchida. Supondo-se que essa piscina seja abastecida por três mangueiras iguais às anteriores, ao 
todo, quanto tempo irá levar para essa piscina ser completamente preenchida?
(A) 3h
(B) 3h20min
(C) 3h40min
(D) 4h
6. OBJETIVA - 2021
Sabendo-se que a razão entre a altura de certa árvore e a projeção de sua sombra é igual a 3/4 e que a sua 
sombra mede 1,6m, ao todo, qual a altura dessa árvore?
(A) 1m
(B) 1,1m
(C) 1,2m
(D) 1,3m
7. GS Assessoria e Concursos - 2021
Na construção de um muro 8 pedreiros levaram 12 dias para conclui-lo. Se a disponibilidade para fazer 
esse muro fosse de 6 homens em quanto tempo estaria concluído?
(A) 16
(B) 14
(C) 20
(D) 21
(E) 18
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8. INSTITUTO MAIS - 2021
Uma empresa de limpeza verificou que 15 funcionárias levam cerca de 3 horas para limpar um espaço 
de 3.375 m² de área. Sabendo que um evento ocorrerá em um espaço retangular de perímetro igual a 190 
m e comprimento igual a 50 m, é correto afirmar que 20 funcionárias dessa empresa, trabalhando no mesmo 
ritmo, para limpar o espaço onde ocorrerá esse evento, levarão 
(A) 1 hora e 30 minutos.
(B) 2 horas.
(C) 2 horas e 30 minutos.
(D) 3 horas.
9. Creative Group - 2021
Uma moto com velocidade constante de 90 km/h faz determinado percurso em 80 minutos. Qual foi a velo-
cidade da moto sabendo que em outro momento ela fez esse mesmo percurso em 1h 40minutos?
(A) 112,5km/h.
(B) 72km/h.
(C) 82km/h.
(D) 80km/h.
10. IUDS - 2022
Gustavo realizou um empréstimo de R$ 520.000,00 a juros simples com taxa de 5% ao mês. Se essa quan-
tia deverá ser totalmente quitada ao final de 12 meses, qual será o valor final dos juros que Gustavo irá pagar? 
(A) R$ 156.000,00
(B) R$ 312.000,00
(C) R$ 1560.000,00
(D) R$ 3120.000,00
11. UNIVIDA - 2023
Um investidor divide R$ 10.000,00 em duas partes, aplicando uma em juros simples a uma taxa de 5% ao 
ano e a outra em juros compostos a uma taxa de 4% ao ano. Após doze meses, ambas as partes renderam os 
mesmos juros, qual foi o capital inicial do investimento no juros compostos? 
(A) R$ 6.000,00. 
(B) R$ 5.600,00. 
(C) R$ 5.555,56. 
(D) R$ 5.500,00. 
(E) R$ 5.400,32.
66
12. Avança SP - 2022
Um capital de R$7.500,00 esteve aplicado a juros compostos à taxa de 6%, ao mês. Após um período de 
dois meses, os juros obtidos dessa operação era de: 
(A) R$1.125,00
(B) R$927,00
(C) R$749,00
(D) R$845,00
(E) R$1.001,00
13. VUNESP - 2024
Em países como os Estados Unidos, utiliza-se a polegada como unidade de medida de comprimento, sendo 
que 1 polegada corresponde a 2,54 cm. Para uma abordagem sobre diferentes medidas e instrumentos de me-
dição, uma professora utilizou uma corda com 38,1 metros de comprimento e um pedaço de madeira medindo 
75 polegadas. Após fazer uma apresentação aos alunos, explicando sobre a polegada, a professora pediu que 
eles medissem a corda, utilizando como unidade u de medida o pedaço de madeira. A correta resposta espera-
da pela professora é que a corda tem o comprimento de
(A) 200 u.
(B) 50 u.
(C) 100 u.
(D) 10 u.
(E) 20 u.
14. INQC - 2024
Ao planejar uma viagem em um aplicativo de GPS, o motorista reparou que a duração prevista seria de 4 
horas e 28 minutos.
Esse tempo, em minutos, é igual a:
(A) 88
(B) 148
(C) 208
(D) 268
15. INQC - 2024
A quantidade de copos de 250 ml que uma jarra de 2 litros cheia consegue encher é igual a:
(A) 8
(B) 10
(C) 12
(D) 14
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16. FAUEL - 2024
A casa de Tereza foi construída sobre um terreno em formato de paralelogramo, como mostra a figura a 
seguir.
Qual é a medida da área total do terreno de Tereza?
(A) 120 m².
(B) 180 m². 
(C) 216 m².
(D) 460 m².
17. UNIVIDA - 2024
Qual é a área de um quadrado cujo perímetro é igual ao de um retângulo com dimensões de x cm por y cm, 
onde x é o maior número natural de um algarismo e y é o menor número natural com dois algarismos?
(A) 90 cm².
(B) 2,25 cm².
(C) 5,0625 cm².
(D) 6,0459 cm².
(E) 2,025 cm².
18. CESPE / CEBRASPE - 2024
No seguir, é apresentada uma situação hipotética seguida de uma assertiva a ser julgada a respeito de prin-
cípios de contagem, operações com conjuntos e problemas geométricos. 
Um galpão de ferramentas da prefeitura cujas dimensões são de 11 m por 16 m será ampliado de tal forma 
que suas novas dimensões passarão a ser 12 m por 22 m. Nesse caso, serão adicionados 88 m2 de área útil 
ao galpão.
( ) CERTO
( ) ERRADO
68
19. IBADE - 2024
Gabriel é dono de uma fábrica de materiais de construção e deseja calcular o volume de areia que foi arma-
zenado em um tanque. Para isso, ele estabeleceu as seguintes medidas: 
O volume, em m³, de areia nesse tanque é de:
(A) 0,130
(B) 0,325
(C) 0,455
(D) 0,585
(E) 0,715
20. OMNI - 2021
Seja uma pirâmide hexagonal de área da base igual a 5m2 e altura igual a 12m, o volume dela é de:
(A) 20 m3
(B) 20 m2
(C) 60 m3
(D) Nenhuma das alternativas.
21. NC-UFPR - 2024
Ao aumentar a área da base de um cilindro regular em 15% e diminuir sua altura em 10%, é correto afirmar 
que seu volume:
(A) aumenta em 3,5%.
(B) aumenta em 5%.
(C) diminui em 3,5%.
(D) diminui em 5%.
(E) permanece o mesmo.
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22. OBJETIVA - 2023
Com base na análise do diagrama abaixo, assinalar a alternativa INCORRETA:
(A) Todos os pássaros são aves. 
(B) Alguns pássaros, que não são aves, são velozes.
(C) Nenhuma tartaruga é ave.
(D) Nenhuma tartaruga é veloz.
23. IMPARH - 2023
Todo amigo de um amigo meu é também meu amigo. Eu, Francisco, sou amigo de Antônio. Antônio é amigo 
de Bruno. Bruno é amigo de Carlos. Carlos é amigo de Daniel. Daniel é amigo de Eduardo. E Eduardo é meu 
amigo. Quantos amigos eu tenho no grupo de pessoas citadas, diferentes de mim mesmo?
(A) 3.
(B) 4.
(C) 5.
(D) 2.
24. Instituto Consulplan - 2024
Analise as sentenças a seguir:
I. x – 4 = 16.
II. Márcio é servidor público estadual.
III. Ela disse que está nevando em Curitiba.
Das sentenças apresentadas qual(quais) é(são) aberta(s)?
(A) I.
(B) III.
(C) I e III.
(D) II e III.
25. FEPESE - 2024
Analise as seguintes sentenças do ponto de vista das estruturas lógicas:
João não vai à praia no final de semana.
As notas dos alunos da turma A são mais altas do que as dos alunos da turma B.
70
Elabore uma apresentação do relatório para o Supervisor do setor.
Maria comprou uma quantidade x de camisetas.
Assinale a alternativa que indica todas as sentenças que são consideradas proposições.
(A) São proposições apenas as sentenças 1 e 2.
(B) São proposições apenas as sentenças 2 e 4.
(C) São proposições apenas as sentenças 3 e 4.
(D) São proposições apenas as sentenças 1, 3 e 4.
(E) São proposições apenas as sentenças 2, 3 e 4.
26. FUNDATEC - 2024
Dados que P e Q são proposições, qual expressão lógica representa simbolicamente a sentença “o vestido 
é azul e não é curto”?
(A) P∧Q
(B) P∼Q
(C) P⇔Q
(D) P∨Q
(E) P∪Q
27. FGV - 2024
A proposição condicional “Se Temístocles é professor entãoDemóstenes é orador” é logicamente equiva-
lente a
(A) Temístocles não é professor e Demóstenes é orador.
(B) Temístocles é professor e Demóstenes não é orador.
(C) Temístocles não é professor e Demóstenes não é orador.
(D) Temístocles é professor ou Demóstenes não é orador.
(E) Temístocles não é professor ou Demóstenes é orador.
28. Instituto Consulplan - 2024
Considere as premissas a seguir:
• Se hoje é feriado, então Júlia vai viajar e Gabriel terá folga.
• Se Júlia vai viajar ou Marcelo vai trabalhar, então Daniel vai ao show.
• Hoje, Gabriel está de folga e Daniel não foi ao show.
Sabendo-se que as premissas apresentadas são verdadeiras, é possível concluir que hoje
(A) é feriado e Júlia vai viajar.
(B) não é feriado e Júlia vai viajar.
(C) é feriado ou Marcelo vai trabalhar.
(D) não é feriado e Marcelo não vai trabalhar.
71
29. Instituto Consulplan - 2024
Considere os dois argumentos apresentados a seguir:
I. Se alguém é bacharel em direito, então conhece a jurisprudência. Carla conhece a jurisprudência. Portan-
to, Carla é bacharel em direito.
II. Ou o juiz não deu o veredito, ou inocentou o réu. O juiz deu o veredito. Portanto, inocentou o réu.
A respeito desses argumentos, pode-se afirmar que:
(A) Ambos são válidos.
(B) Ambos são inválidos.
(C) I é válido e II é inválido.
(D) II é válido e I é inválido.
30. CEBRASPE (CESPE) - 2024
“O chefe não me falou sobre isso, mas, se eu for convidado, aceitarei a tarefa.”
Supondo verdadeira a proposição acima, assinale a opção que apresenta uma proposição também verda-
deira.
(A) O chefe não me falou sobre isso.
(B) Não aceitarei a tarefa.
(C) O chefe me falou sobre isso.
(D) Serei convidado.
(E) Aceitarei a tarefa.
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Gabarito
1 E
2 E
3 C
4 D
5 B
6 C
7 A
8 A
9 B
10 B
11 C
12 B
13 E
14 D
15 A
16 B
17 C
18 CERTO
19 C
20 A
21 A
22 B
23 C
24 C
25 A
26 A
27 E
28 D
29 D
30 A. 11)
A + B = 11+ 33 = 44
Resposta: Alternativa C
Números Inteiros: Operações, Propriedades. Números Racionais: Operações e Proprie-
dades
CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS (ℤ)
O conjunto dos números inteiros é denotado pela letra maiúscula ℤ e compreende os números inteiros 
negativos, positivos e o zero. 
ℤ = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,…}
O conjunto dos números inteiros também possui alguns subconjuntos:
ℤ+ = {0, 1, 2, 3, 4…}: conjunto dos números inteiros não negativos.
ℤ- = {…-4, -3, -2, -1, 0}: conjunto dos números inteiros não positivos.
ℤ*
+ = {1, 2, 3, 4…}: conjunto dos números inteiros não negativos e não nulos, ou seja, sem o zero.
7
ℤ*
- = {… -4, -3, -2, -1}: conjunto dos números inteiros não positivos e não nulos.
Módulo
O módulo de um número inteiro é a distância ou afastamento desse número até o zero, na reta numérica 
inteira. Ele é representado pelo símbolo | |.
O módulo de 0 é 0 e indica-se |0| = 0
O módulo de +6 é 6 e indica-se |+6| = 6
O módulo de –3 é 3 e indica-se |–3| = 3
O módulo de qualquer número inteiro, diferente de zero, é sempre positivo.
Números Opostos
Dois números inteiros são considerados opostos quando sua soma resulta em zero; dessa forma, os pontos 
que os representam na reta numérica estão equidistantes da origem.
Exemplo: o oposto do número 4 é -4, e o oposto de -4 é 4, pois 4 + (-4) = (-4) + 4 = 0. Em termos gerais, o 
oposto, ou simétrico, de “a” é “-a”, e vice-versa; notavelmente, o oposto de zero é o próprio zero.
Operações com Números Inteiros
Adição de Números Inteiros
Para facilitar a compreensão dessa operação, associamos a ideia de ganhar aos números inteiros positivos 
e a ideia de perder aos números inteiros negativos.
Ganhar 3 + ganhar 5 = ganhar 8 (3 + 5 = 8)
Perder 4 + perder 3 = perder 7 (-4 + (-3) = -7)
Ganhar 5 + perder 3 = ganhar 2 (5 + (-3) = 2)
Perder 5 + ganhar 3 = perder 2 (-5 + 3 = -2)
Observação: O sinal (+) antes do número positivo pode ser omitido, mas o sinal (–) antes do número 
negativo nunca pode ser dispensado.
Subtração de Números Inteiros
A subtração é utilizada nos seguintes casos:
– Ao retirarmos uma quantidade de outra quantidade;
– Quando temos duas quantidades e queremos saber a diferença entre elas;
– Quando temos duas quantidades e desejamos saber quanto falta para que uma delas atinja a outra.
A subtração é a operação inversa da adição. Concluímos que subtrair dois números inteiros é equivalente a 
adicionar o primeiro com o oposto do segundo.
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Observação: todos os parênteses, colchetes, chaves, números, etc., precedidos de sinal negativo têm seu 
sinal invertido, ou seja, representam o seu oposto.
Multiplicação de Números Inteiros
A multiplicação funciona como uma forma simplificada de adição quando os números são repetidos. 
Podemos entender essa situação como ganhar repetidamente uma determinada quantidade. Por exemplo, 
ganhar 1 objeto 15 vezes consecutivas significa ganhar 15 objetos, e essa repetição pode ser indicada pelo 
símbolo “x”, ou seja: 1+ 1 +1 + ... + 1 = 15 x 1 = 15.
Se substituirmos o número 1 pelo número 2, obtemos: 2 + 2 + 2 + ... + 2 = 15 x 2 = 30
Na multiplicação, o produto dos números “a” e “b” pode ser indicado por a x b, a . b ou ainda ab sem nenhum 
sinal entre as letras.
Divisão de Números Inteiros
Considere o cálculo: - 15/3 = q à 3q = - 15 à q = -5
No exemplo dado, podemos concluir que, para realizar a divisão exata de um número inteiro por outro 
número inteiro (diferente de zero), dividimos o módulo do dividendo pelo módulo do divisor.
No conjunto dos números inteiros ℤ, a divisão não é comutativa, não é associativa, e não possui a propriedade 
da existência do elemento neutro. Além disso, não é possível realizar a divisão por zero. Quando dividimos zero 
por qualquer número inteiro (diferente de zero), o resultado é sempre zero, pois o produto de qualquer número 
inteiro por zero é igual a zero.
Regra de sinais
Potenciação de Números Inteiros
A potência an do número inteiro a, é definida como um produto de n fatores iguais. O número a é denominado 
a base e o número n é o expoente.
an = a x a x a x a x ... x a , ou seja, a é multiplicado por a n vezes.
– Qualquer potência com uma base positiva resulta em um número inteiro positivo.
– Se a base da potência é negativa e o expoente é par, então o resultado é um número inteiro positivo.
9
– Se a base da potência é negativa e o expoente é ímpar, então o resultado é um número inteiro negativo.
Radiciação de Números Inteiros
A radiciação de números inteiros envolve a obtenção da raiz n-ésima (de ordem n) de um número inteiro 
a. Esse processo resulta em outro número inteiro não negativo, representado por b, que, quando elevado à 
potência n, reproduz o número original a. O índice da raiz é representado por n, e o número a é conhecido como 
radicando, posicionado sob o sinal do radical.
A raiz quadrada, de ordem 2, é um exemplo comum. Ela produz um número inteiro não negativo cujo 
quadrado é igual ao número original a.
Importante observação: não é possível calcular a raiz quadrada de um número inteiro negativo no conjunto 
dos números inteiros.
É importante notar que não há um número inteiro não negativo cujo produto consigo mesmo resulte em um 
número negativo.
A raiz cúbica (de ordem 3) de um número inteiro a é a operação que gera outro número inteiro. Esse número, 
quando elevado ao cubo, é igual ao número original a. É crucial observar que, ao contrário da raiz quadrada, 
não restringimos nossos cálculos apenas a números não negativos.
10
Propriedades da Adição e da Multiplicação dos números Inteiros
Para todo a, b e c em ℤ
1) Associativa da adição: (a + b) + c = a + (b + c) 
2) Comutativa da adição: a + b = b +a 
3) Elemento neutro da adição : a + 0 = a
4) Elemento oposto da adição: a + (-a) = 0
5) Associativa da multiplicação: (a.b).c = a. (b.c)
6) Comutativa da multiplicação : a.b = b.a
7) Elemento neutro da multiplicação: a.1 = a
8) Distributiva da multiplicação relativamente à adição: a.(b +c ) = ab + ac
9) Distributiva da multiplicação relativamente à subtração: a .(b –c) = ab –ac
10) Elemento inverso da multiplicação: para todo inteiro a ≠ 0, existe um inverso a–1 = 1/a em ℤ, tal que, a 
. a–1 = a . (1/a) = 1
11) Fechamento: tanto a adição como a multiplicação de um número natural por outro número natural, 
continua como resultado um número natural.
11
Exemplos: 
1) Para zelar pelos jovens internados e orientá-los a respeito do uso adequado dos materiais em geral e 
dos recursos utilizados em atividades educativas, bem como da preservação predial, realizou-se uma dinâmica 
elencando “atitudes positivas” e “atitudes negativas”, no entendimento dos elementos do grupo. Solicitou-se que 
cada um classificasse suas atitudes como positiva ou negativa, atribuindo (+4) pontos a cada atitude positiva e 
(-1) a cada atitude negativa. Se um jovem classificou como positiva apenas 20 das 50 atitudes anotadas, o total 
de pontos atribuídos foi
(A) 50.
(B) 45.
(C) 42.
(D) 36.
(E) 32.
Solução: Resposta: A.
50-20=30 atitudes negativas
20.4=80
30.(-1)=-30
80-30=50
2) Ruth tem somente R$ 2.200,00 e deseja gastar a maior quantidade possível, sem ficar devendo na loja. 
Verificou o preço de alguns produtos: 
TV: R$ 562,00 
DVD: R$ 399,00 
Micro-ondas: R$ 429,00 
Geladeira: R$ 1.213,00 
Na aquisição dos produtos, conforme as condições mencionadas, e pagando a compra em dinheiro, o troco 
recebido será de: 
(A) R$ 84,00 
(B) R$ 74,00 
(C) R$ 36,00 
(D) R$ 26,00 
(E) R$ 16,00 
Solução: Resposta: D.
Geladeira + Micro-ondas + DVD = 1213 + 429 + 399 = 2041
Geladeira + Micro-ondas + TV = 1213 + 429 + 562 = 2204, extrapola o orçamento
Geladeira + TV + DVD = 1213 + 562 + 399 = 2174, é a maior quantidade gasta possível dentro do orçamento.
Troco:2200 – 2174 = 26 reais
12
CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS (Q)
Os números racionais são aqueles que podem ser expressos na forma de fração. Nessa representação, tanto 
o numerador quanto o denominadorpertencem ao conjunto dos números inteiros, e é fundamental observar 
que o denominador não pode ser zero, pois a divisão por zero não está definida.
O conjunto dos números racionais é simbolizado por Q. Vale ressaltar que os conjuntos dos números naturais 
e inteiros são subconjuntos dos números racionais, uma vez que todos os números naturais e inteiros podem 
ser representados por frações. Além desses, os números decimais e as dízimas periódicas também fazem parte 
do conjunto dos números racionais. 
Representação na reta:
Também temos subconjuntos dos números racionais:
Q* = subconjunto dos números racionais não nulos, formado pelos números racionais sem o zero.
Q+ = subconjunto dos números racionais não negativos, formado pelos números racionais positivos.
Q*
+ = subconjunto dos números racionais positivos, formado pelos números racionais positivos e não nulos.
Q- = subconjunto dos números racionais não positivos, formado pelos números racionais negativos e o zero.
Q*
- = subconjunto dos números racionais negativos, formado pelos números racionais negativos e não nulos.
Representação Decimal das Frações
Tomemos um número racional a/b, tal que a não seja múltiplo de b. Para escrevê-lo na forma decimal, basta 
efetuar a divisão do numerador pelo denominador. 
Nessa divisão podem ocorrer dois casos:
1º) O numeral decimal obtido possui, após a vírgula, um número finito de algarismos. Decimais Exatos:
2/5 = 0,4
1/4 = 0,25
2º) O numeral decimal obtido possui, após a vírgula, infinitos algarismos (nem todos nulos), repetindo-se 
periodicamente Decimais Periódicos ou Dízimas Periódicas:
1/3 = 0,333... 
167/66 = 2,53030...
13
Existem frações muito simples que são representadas por formas decimais infinitas, com uma característica 
especial: existe um período.
Uma forma decimal infinita com período de UM dígito pode ser associada a uma soma com infinitos termos 
deste tipo:
Para converter uma dízima periódica simples em fração, é suficiente utilizar o dígito 9 no denominador para 
cada quantidade de dígitos que compõe o período da dízima.
Exemplos: 
1) Seja a dízima 0, 333....
Veja que o período que se repete é apenas 1(formado pelo 3), então vamos colocar um 9 no denominador 
e repetir no numerador o período.
Assim, a geratriz de 0,333... é a fração 3/9.
2) Seja a dízima 1, 2343434...
O número 234 é formado pela combinação do ante período com o período. Trata-se de uma dízima periódica 
composta, onde há uma parte não repetitiva (ante período) e outra que se repete (período). No exemplo dado, 
o ante período é representado pelo número 2, enquanto o período é representado por 34.
Para converter esse número em fração, podemos realizar a seguinte operação: subtrair o ante período do 
número original (234 - 2) para obter o numerador, que é 232. O denominador é formado por tantos dígitos 9 
quanto o período (dois noves, neste caso) e um dígito 0 para cada dígito no ante período (um zero, neste caso).
Assim, a fração equivalente ao número 234 é 232/990
 → temos uma fração mista, então transformando-a 
→ 
Simplificando por 2, obtemos x = 495
611
, a fração geratriz da dízima 1, 23434... 
14
Módulo ou valor absoluto
Refere-se à distância do ponto que representa esse número até o ponto de abscissa zero.
Inverso de um Número Racional 
— Operações com números Racionais
Soma (Adição) de Números Racionais
Como cada número racional pode ser expresso como uma fração, ou seja, na forma de a/b, onde “a” e “b” 
são números inteiros e “b” não é zero, podemos definir a adição entre números racionais da seguinte forma: b
a
e d
c
, da mesma forma que a soma de frações, através de:
Subtração de Números Racionais
A subtração de dois números racionais, representados por a e b, é equivalente à operação de adição do 
número p com o oposto de q. Em outras palavras, a – b = a + (-b)
b
a
 - d
c
 = bd
bcad −
Multiplicação (produto) de Números Racionais
O produto de dois números racionais é definido considerando que todo número racional pode ser expresso 
na forma de uma fração. Dessa forma, o produto de dois números racionais, representados por a e b é obtido 
multiplicando-se seus numeradores e denominadores, respectivamente. A expressão geral para o produto de 
dois números racionais é a.b. O produto dos números racionais a/b e c/d também pode ser indicado por a/b × 
c/d, a/b.c/d. Para realizar a multiplicação de números racionais, devemos obedecer à mesma regra de sinais 
que vale em toda a Matemática:
Podemos assim concluir que o produto de dois números com o mesmo sinal é positivo, mas o produto de 
dois números com sinais diferentes é negativo.
Divisão (Quociente) de Números Racionais
A divisão de dois números racionais p e q é a própria operação de multiplicação do número p pelo inverso 
de q, isto é: p ÷ q = p × q-1
15
Potenciação de Números Racionais
A potência qn do número racional q é um produto de n fatores iguais. O número q é denominado a base e o 
número n é o expoente. Vale as mesmas propriedades que usamos no conjunto dos Números Inteiros.
qn = q × q × q × q × ... × q, ou seja, q aparece n vezes.
Radiciação de Números Racionais
Se um número é representado como o produto de dois ou mais fatores iguais, cada um desses fatores é 
denominado raiz do número. Vale as mesmas propriedades que usamos no conjunto dos Números Inteiros.
Propriedades da Adição e Multiplicação de Números Racionais
1) Fechamento: o conjunto Q é fechado para a operação de adição e multiplicação, isto é, a soma e a 
multiplicação de dois números racionais ainda é um número racional.
2) Associativa da adição: para todos a, b, c em Q: a + ( b + c ) = ( a + b ) + c
3) Comutativa da adição: para todos a, b em Q: a + b = b + a
4) Elemento neutro da adição: existe 0 em Q, que adicionado a todo q em Q, proporciona o próprio q, isto 
é: q + 0 = q
5) Elemento oposto: para todo q em Q, existe -q em Q, tal que q + (–q) = 0
6) Associativa da multiplicação: para todos a, b, c em Q: a × ( b × c ) = ( a × b ) × c
7) Comutativa da multiplicação: para todos a, b em Q: a × b = b × a
8) Elemento neutro da multiplicação: existe 1 em Q, que multiplicado por todo q em Q, proporciona o próprio 
q, isto é: q × 1 = q
9) Elemento inverso da multiplicação: Para todo q = 
b
a em Q, q diferente de zero, existe :
q-1 = 
a
b em Q: q × q-1 = 1 
b
a x 
a
b = 1
10) Distributiva da multiplicação: Para todos a, b, c em Q: a × ( b + c ) = ( a × b ) + ( a × c )
Exemplos:
1) Na escola onde estudo, 1/4 dos alunos tem a língua portuguesa como disciplina favorita, 9/20 têm a 
matemática como favorita e os demais têm ciências como favorita. Sendo assim, qual fração representa os 
alunos que têm ciências como disciplina favorita? 
(A) 1/4
(B) 3/10
(C) 2/9
16
(D) 4/5
(E) 3/2
Solução: Resposta: B.
Somando português e matemática:
O que resta gosta de ciências:
2) Simplificando a expressão abaixo
Obtém-se :
(A) ½
(B) 1
(C) 3/2
(D) 2
(E) 3
Solução: Resposta: B.
1,3333...= 12/9 = 4/3
1,5 = 15/10 = 3/2
Múltiplos e Divisores
Os conceitos de múltiplos e divisores de um número natural podem ser estendidos para o conjunto dos 
números inteiros1. Ao abordar múltiplos e divisores, estamos nos referindo a conjuntos numéricos que satisfa-
zem certas condições. Múltiplos são obtidos pela multiplicação por números inteiros, enquanto divisores são 
números pelos quais um determinado número é divisível.
Esses conceitos conduzem a subconjuntos dos números inteiros, pois os elementos dos conjuntos de 
múltiplos e divisores pertencem ao conjunto dos números inteiros. Para compreender o que são números 
primos, é fundamental ter uma compreensão sólida do conceito de divisores.
MÚLTIPLOS
Sejam a e b dois números inteiros conhecidos, o número a é múltiplo de b se, e somente se, existir um 
número inteiro k tal que a=b⋅k. Portanto, o conjunto dos múltiplos de a é obtido multiplicando a por todos os 
números inteiros, e os resultados dessas multiplicações são os múltiplos de a.
1 https://brasilescola.uol.com.br/matematica/multiplos-divisores.htm17
Por exemplo, podemos listar os 12 primeiros múltiplos de 2 da seguinte maneira, multiplicando o número 2 
pelos 12 primeiros números inteiros: 2⋅1,2⋅2,2⋅3,…,2⋅12
Isso resulta nos seguintes múltiplos de 2: 2,4,6,…,24
2 · 1 = 2
2 · 2 = 4
2 · 3 = 6
2 · 4 = 8
2 · 5 = 10
2 · 6 = 12
2 · 7 = 14
2 · 8 = 16
2 · 9 = 18
2 · 10 = 20
2 · 11 = 22
2 · 12 = 24
Portanto, os múltiplos de 2 são:
M(2) = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24}
Observe que listamos somente os 12 primeiros números, mas poderíamos ter listado quantos fossem 
necessários, pois a lista de múltiplos é gerada pela multiplicação do número por todos os inteiros. Assim, o 
conjunto dos múltiplos é infinito.
Para verificar se um número é múltiplo de outro, é necessário encontrar um número inteiro de forma que a 
multiplicação entre eles resulte no primeiro número. Em outras palavras, a é múltiplo de b se existir um número 
inteiro k tal que a=b⋅k. Veja os exemplos:
– O número 49 é múltiplo de 7, pois existe número inteiro que, multiplicado por 7, resulta em 49. 49 = 7 · 7
– O número 324 é múltiplo de 3, pois existe número inteiro que, multiplicado por 3, resulta em 324.
324 = 3 · 108
– O número 523 não é múltiplo de 2, pois não existe número inteiro que, multiplicado por 2, resulte em 523.
523 = 2 · ?”
Múltiplos de 4
Como observamos, para identificar os múltiplos do número 4, é necessário multiplicar o 4 por números 
inteiros. Portanto: 
4 · 1 = 4
4 · 2 = 8
4 · 3 = 12
4 · 4 = 16
4 · 5 = 20
4 · 6 = 24
4 · 7 = 28
4 · 8 = 32
4 · 9 = 36
18
4 · 10 = 40
4 · 11 = 44
4 · 12 = 48
...
Portanto, os múltiplos de 4 são:
M(4) = {4, 8, 12, 16, 20. 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, … }
DIVISORES
Sejam a e b dois números inteiros conhecidos, vamos dizer que b é divisor de a se o número b for múltiplo 
de a, ou seja, a divisão entre b e a é exata (deve deixar resto 0).
Veja alguns exemplos:
– 22 é múltiplo de 2, então, 2 é divisor de 22.
– 121 não é múltiplo de 10, assim, 10 não é divisor de 121.
Critérios de divisibilidade
Critérios de divisibilidade são diretrizes práticas que permitem determinar se um número é divisível por outro 
sem realizar a operação de divisão.
– Divisibilidade por 2 ocorre quando um número termina em 0, 2, 4, 6 ou 8, ou seja, quando é um número 
par.
– A divisibilidade por 3 ocorre quando a soma dos valores absolutos dos algarismos de um número é 
divisível por 3.
– Divisibilidade por 4: Um número é divisível por 4 quando seus dois últimos algarismos formam um número 
divisível por 4.
– Divisibilidade por 5: Um número é divisível por 5 quando termina em 0 ou 5.
– Divisibilidade por 6: Um número é divisível por 6 quando é divisível por 2 e por 3 simultaneamente.
– Divisibilidade por 7: Um número é divisível por 7 quando o dobro do seu último algarismo, subtraído do 
número sem esse algarismo, resulta em um número múltiplo de 7. Esse processo é repetido até verificar a 
divisibilidade.
– Divisibilidade por 8: Um número é divisível por 8 quando seus três últimos algarismos formam um número 
divisível por 8.
– Divisibilidade por 9: Um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos 
é divisível por 9.
– Divisibilidade por 10: Um número é divisível por 10 quando o algarismo da unidade termina em zero.
– Divisibilidade por 11: Um número é divisível por 11 quando a diferença entre a soma dos algarismos de 
posição ímpar e a soma dos algarismos de posição par resulta em um número divisível por 11, ou quando essas 
somas são iguais.
– Divisibilidade por 12: Um número é divisível por 12 quando é divisível por 3 e por 4 simultaneamente.
– Divisibilidade por 15: Um número é divisível por 15 quando é divisível por 3 e por 5 simultaneamente.
Para listar os divisores de um número, devemos buscar os números que o dividem. Veja:
– Liste os divisores de 2, 3 e 20.
D(2) = {1, 2}
D(3) = {1, 3}
D(20) = {1, 2, 4, 5, 10, 20}
19
Propriedade dos Múltiplos e Divisores
Essas propriedades estão associadas à divisão entre dois inteiros. É importante notar que quando um 
inteiro é múltiplo de outro, ele é também divisível por esse outro número.
Vamos considerar o algoritmo da divisão para uma melhor compreensão das propriedades:
N=d⋅q+r, onde q e r são números inteiros.
Lembre-se de que:
N: dividendo; 
d, divisor; 
q: quociente; 
r: resto.
– Propriedade 1: A diferença entre o dividendo e o resto (N−r) é um múltiplo do divisor, ou seja, o número d 
é um divisor de N−r.
– Propriedade 2: A soma entre o dividendo e o resto, acrescida do divisor (N−r+d), é um múltiplo de d, 
indicando que d é um divisor de (N−r+d).
Alguns exemplos:
Ao realizar a divisão de 525 por 8, obtemos quociente q = 65 e resto r = 5. 
Assim, temos o dividendo N = 525 e o divisor d = 8. Veja que as propriedades são satisfeitas, pois (525 – 5 
+ 8) = 528 é divisível por 8 e: 528 = 8 · 66
Exemplo 1: O número de divisores positivos do número 40 é:
(A) 8
(B) 6
(C) 4
(D) 2
(E) 20
Vamos decompor o número 40 em fatores primos.
40 = 23 . 51 ; pela regra temos que devemos adicionar 1 a cada expoente:
3 + 1 = 4 e 1 + 1 = 2 ; então pegamos os resultados e multiplicamos 4.2 = 8, logo temos 8 divisores de 40.
Resposta: A.
Exemplo 2: Considere um número divisível por 6, composto por 3 algarismos distintos e pertencentes ao 
conjunto A={3,4,5,6,7}.A quantidade de números que podem ser formados sob tais condições é:
(A) 6
(B) 7
(C) 9
(D) 8
(E) 10
Para ser divisível por 6 precisa ser divisível por 2 e 3 ao mesmo tempo, e por isso deverá ser par também, 
e a soma dos seus algarismos deve ser um múltiplo de 3.
Logo os finais devem ser 4 e 6:
354, 456, 534, 546, 564, 576, 654, 756, logo temos 8 números.
Resposta: D.
20
Números e Grandezas Diretamente e Inversamente Proporcionais: Razões e Propor-
ções, Divisão Proporcional
Frequentemente nos deparamos com situações em que é necessário comparar grandezas, medir variações 
e entender como determinadas quantidades se relacionam entre si. Para isso, utilizamos os conceitos de razão 
e proporção, que permitem expressar de maneira simples e eficiente essas relações.
RAZÃO
A razão é uma maneira de comparar duas grandezas por meio de uma divisão. Se temos dois números a e 
b (com b≠0), a razão entre eles é expressa por a/b ou a:b. Este conceito é utilizado para medir a relação entre 
dois valores em diversas situações, como a comparação entre homens e mulheres em uma sala, a relação 
entre distâncias percorridas e tempo, entre outros.
Exemplo:
Em uma sala de aula há 20 rapazes e 25 moças. A razão entre o número de rapazes e moças é dada por:
Portanto, a razão é 4:5.
Razões Especiais
Algumas razões são usadas em situações práticas para expressar comparações específicas:
− Velocidade Média: A razão entre a distância percorrida e o tempo gasto, representada por: 
− Densidade Demográfica: A razão entre o número de habitantes e a área de uma região, dada por: 
− Escalas: Usada para representar a proporção entre o tamanho real de um objeto e sua representação em 
um mapa ou desenho, como: 
PROPORÇÃO
Uma proporção é uma igualdade entre duas razões. Se temos duas razões A\B e C\D , dizemos que elas 
estão em proporção se:
Esse conceito é frequentemente utilizado para resolver problemas em que duas ou mais relações entre 
grandezas são iguais. A propriedade fundamental das proporções é que o produto dos extremos é igual ao 
produto dos meios, ou seja:
21
Exemplo:
Suponha que 3/4 esteja em proporção com 6/8 . Verificamos se há proporção pelo produto dos extremos e 
dos meios:
3 × 8 = 4 × 6
Como 24 = 24, a proporção é verdadeira.
Exemplo:
Determine o valor de X para que a razão X/3 esteja em proporção com 4/6 . Montando a proporção:
Multiplicando os extremos e os meios:
6X = 3 × 4
6X = 12
X = 2
Propriedades das Proporções
Além da propriedade fundamental, as proporções possuem outras propriedades que podem facilitar a reso-
lução de problemas. Algumas das mais importantes são:
− Soma ou diferença dos termos: A soma (oudiferença) dos dois primeiros termos está para o primeiro 
(ou segundo) termo assim como a soma (ou diferença) dos dois últimos termos está para o terceiro (ou quarto) 
termo. Por exemplo: 
− Soma ou diferença dos antecedentes e consequentes: A soma (ou diferença) dos antecedentes está 
para a soma (ou diferença) dos consequentes, assim como cada antecedente está para seu respectivo conse-
quente: 
GRANDEZAS PROPORCIONAIS
Além de compreender razão e proporção, é importante entender como diferentes grandezas se relacionam 
entre si, conforme o comportamento das variáveis envolvidas.
Grandezas Diretamente Proporcionais
Duas grandezas são diretamente proporcionais quando a razão entre seus valores é constante, ou seja, 
quando uma grandeza aumenta, a outra também aumenta proporcionalmente. O exemplo clássico é a relação 
entre distância percorrida e combustível gasto:
Distância (km) Combustível (litros)
13 1
26 2
39 3
52 4
22
Nessa situação, quanto mais distância se percorre, mais combustível é gasto. Se a distância dobra, o com-
bustível também dobra.
Divisão em Partes Diretamente Proporcionais
Quando queremos decompor um número M em partes X1,X2,…,Xn que sejam diretamente proporcionais a 
p1,p2,…,pn , a regra geral é distribuir M de acordo com as proporções p1,p2,…,pn . A fórmula geral para cada parte 
Xi é:
Exemplo:
Considere que uma empresa precisa distribuir um bônus de R$1.200,00 entre três funcionários, Ana, Bru-
no e Carla. Os salários mensais de cada um são R$2.000,00, R$3.000,00 e R$5.000,00, respectivamente. O 
bônus será distribuído de forma diretamente proporcional aos salários.
Primeiro, somamos os salários:
2.000 + 3.000 + 5.000 = 10.000
Agora, calculamos as partes correspondentes de cada um:
Parte de Ana:
Parte de Bruno:
Parte de Carla:
Portanto, Ana receberá R$240,00, Bruno R$360,00 e Carla R$600,00. 
Grandezas Inversamente Proporcionais
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando a razão entre os valores da primeira grandeza é 
igual ao inverso da razão dos valores correspondentes da segunda. Um exemplo clássico é a relação entre 
velocidade e tempo:
Velocidade (m/s) Tempo (s)
5 200
8 125
10 100
16 62,5
20 50
Aqui, quanto maior a velocidade, menor o tempo necessário para percorrer uma distância. Se a velocidade 
dobra, o tempo cai pela metade.
Divisão em Partes Inversamente Proporcionais
23
Para decompor um número M em partes X1,X2,…,Xn inversamente proporcionais a p1,p2,…,pn, usamos o 
inverso das proporções. A ideia é que as partes maiores Xi corresponderão aos menores pi, e vice-versa.
A fórmula para a decomposição inversamente proporcional é:
Exemplo:
Suponha que três operários estão trabalhando em uma obra e precisam dividir igualmente uma tarefa que 
envolve 120 horas de trabalho. A produtividade de cada operário (medida em horas para realizar a mesma 
tarefa) é de 12 horas, 24 horas e 36 horas, respectivamente. Desejamos dividir as horas de trabalho de forma 
inversamente proporcional à produtividade, ou seja, quem tem maior produtividade trabalhará menos horas.
Primeiro, calculamos os inversos das produtividades:
Somamos esses inversos:
Agora, calculamos as partes correspondentes para cada operário:
Parte do 1º operário:
Parte do 2º operário:
Parte do 3º operário:
Nesse exemplo, o operário com maior produtividade (1º operário) trabalhará menos horas, enquanto o ope-
rário com menor produtividade (3º operário) trabalhará mais horas.
Mais exemplos:
1. (PREF. PAULISTANA/PI – PROFESSOR DE MATEMÁTICA – IMA) Uma herança de R$ 750.000,00 
deve ser repartida entre três herdeiros, em partes proporcionais a suas idades que são de 5, 8 e 12 anos. O 
mais velho receberá o valor de: 
(A) R$ 420.000,00 
(B) R$ 250.000,00 
(C) R$ 360.000,00 
(D) R$ 400.000,00 
(E) R$ 350.000,00 
24
Resolução:
5x + 8x + 12x = 750.000
25x = 750.000
x = 30.000
O mais velho receberá: 12⋅30000=360000
Resposta: C
2. (TRF 3ª – TÉCNICO JUDICIÁRIO – FCC) Quatro funcionários dividirão, em partes diretamente proporcio-
nais aos anos dedicados para a empresa, um bônus de R$36.000,00. Sabe-se que dentre esses quatro funcio-
nários um deles já possui 2 anos trabalhados, outro possui 7 anos trabalhados, outro possui 6 anos trabalhados 
e o outro terá direito, nessa divisão, à quantia de R$6.000,00. Dessa maneira, o número de anos dedicados 
para a empresa, desse último funcionário citado, é igual a
(A) 5.
(B) 7.
(C) 2.
(D) 3.
(E) 4.
Resolução:
2x + 7x + 6x + 6000 = 36000
15x = 30000
x = 2000
Como o último recebeu R$ 6.000,00, significa que ele se dedicou 3 anos a empresa, pois 2000.3 = 6000
Resposta: D
3. (SABESP – ATENDENTE A CLIENTES 01 – FCC) Uma empresa quer doar a três funcionários um bônus 
de R$ 45.750,00. Será feita uma divisão proporcional ao tempo de serviço de cada um deles. Sr. Fortes traba-
lhou durante 12 anos e 8 meses. Sra. Lourdes trabalhou durante 9 anos e 7 meses e Srta. Matilde trabalhou 
durante 3 anos e 2 meses. O valor, em reais, que a Srta. Matilde recebeu a menos que o Sr. Fortes é
(A) 17.100,00.
(B) 5.700,00.
(C) 22.800,00.
(D) 17.250,00.
(E) 15.000,00.
Resolução:
Fortes: 12 anos e 8 meses = 12.12 + 8 = 144 + 8 = 152 meses
Lourdes: 9 anos e 7 meses = 9.12 + 7 = 108 + 7 = 115 meses
Matilde: 3 anos e 2 meses = 3.12 + 2 = 36 + 2 = 38 meses
TOTAL: 152 + 115 + 38 = 305 meses
Vamos chamar a quantidade que cada um vai receber de F, L e M.
25
Agora, vamos calcular o valor que M e F receberam:
M = 38 . 150 = R$ 5 700,00
F = 152 . 150 = R$ 22 800,00
Por fim, a diferença é: 22 800 – 5700 = R$ 17 100,00
Resposta: A
4. (SESP/MT – PERITO OFICIAL CRIMINAL - ENGENHARIA CIVIL/ENGENHARIA ELÉTRICA/FÍSICA/
MATEMÁTICA – FUNCAB/2014) Maria, Júlia e Carla dividirão R$ 72.000,00 em partes inversamente propor-
cionais às suas idades. Sabendo que Maria tem 8 anos, Júlia,12 e Carla, 24, determine quanto receberá quem 
ficar com a maior parte da divisão.
(A) R$ 36.000,00
(B) R$ 60.000,00
(C) R$ 48.000,00
(D) R$ 24.000,00
(E) R$ 30.000,00
Resolução:
A maior parte ficará para a mais nova (grandeza inversamente proporcional).
Assim:
8.M = 288 000 
M = 288 000 / 8 
M = R$ 36 000,00
M + J + C = 72000
Resposta: A
26
Regra de Três Simples e Composta
A regra de três é uma ferramenta matemática essencial que permite resolver problemas que envolvem a 
proporcionalidade direta ou inversa entre grandezas. Seja no planejamento de uma receita de cozinha, no cál-
culo de distâncias em um mapa ou na gestão financeira, a regra de três surge como um método prático para 
encontrar valores desconhecidos a partir de relações conhecidas.
REGRA DE TRÊS SIMPLES
A regra de três simples é utilizada quando temos duas grandezas diretamente proporcionais ou inversamen-
te proporcionais entre si.
Passos utilizados numa regra de três simples:
1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na mesma 
linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência.
2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais.
3º) Montar a proporção e resolver a equação.
Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 400Km/h, faz um determinado percurso em 3 horas. 
Em quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse de 480km/h?
Solução: montando a tabela:
1) Velocidade (Km/h) Tempo (h)
400 ----- 3
480 ----- X
2) Identificação do tipo de relação:
VELOCIDADE Tempo
400 ↓ ----- 3 ↑
480 ↓ ----- X ↑
Obs.: como as setas estão invertidas temos que inverter os números mantendo a primeira coluna e inver-
tendo a segunda coluna ou seja o que está em cima vai para baixo e o que está em baixo na segunda coluna 
vai para cima
VELOCIDADE Tempo
400 ↓ ----- 3 ↓
480 ↓ ----- X ↓
480x=1200
X=25
REGRA DE TRÊS COMPOSTA
Regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas grandezas, direta ou inversamente 
proporcionais.
Exemplos:
1) Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m³ de areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão neces-
sários para descarregar 125m³?27
Solução: montando a tabela, colocando em cada coluna as grandezas de mesma espécie e, em cada linha, 
as grandezas de espécies diferentes que se correspondem:
HORAS CAMINHÕES VOLUME
8 ↑ ----- 20 ↓ ----- 160 ↑
5 ↑ ----- X ↓ ----- 125 ↑
A seguir, devemos comparar cada grandeza com aquela onde está o x.
Observe que:
Aumentando o número de horas de trabalho, podemos diminuir o número de caminhões. Portanto a relação 
é inversamente proporcional (seta para cima na 1ª coluna).
Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o número de caminhões. Portanto a relação é direta-
mente proporcional (seta para baixo na 3ª coluna). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o pro-
duto das outras razões de acordo com o sentido das setas.
Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
HORAS CAMINHÕES VOLUME
8 ↑ ----- 20 ↓ ----- 160 ↓
5 ↑ ----- X ↓ ----- 125 ↓
 
Obs.: Assim devemos inverter a primeira coluna ficando:
HORAS CAMINHÕES VOLUME
8 ----- 20 ----- 160 
5 ----- X ----- 125 
Logo, serão necessários 25 caminhões
Porcentagem. Juros Simples e compostos
PORCENTAGEM
O termo porcentagem se refere a uma fração cujo denominador é 100, representada pelo símbolo (%). Seu 
uso é tão comum que a encontramos em praticamente todos os aspectos do dia a dia: nos meios de comunica-
ção, em estatísticas, nas etiquetas de preços, nas máquinas de calcular, e muito mais.
A porcentagem facilita a compreensão de aumentos, reduções e taxas, o que auxilia na resolução de exer-
cícios e situações financeiras cotidianas.
Acréscimo
Se, por exemplo, há um acréscimo de 10% a um determinado valor, podemos calcular o novo valor multipli-
cando esse valor por 1,10, que é o fator de multiplicação. Se o acréscimo for de 20%, multiplicamos por 1,20, e 
assim por diante. Veja a tabela abaixo:
28
ACRÉSCIMO OU LUCRO FATOR DE MULTIPLICAÇÃO
10% 1,10
15% 1,15
20% 1,20
47% 1,47
67% 1,67
Exemplo: Aumentando 10% no valor de R$10,00 temos: 
10 × 1,10 = R$ 11,00
Desconto
No caso de haver um decréscimo, o fator de multiplicação será:
Fator de Multiplicação = 1 - taxa de desconto (na forma decimal)
Veja a tabela abaixo:
DESCONTO FATOR DE MULTIPLICAÇÃO
10% 0,90
25% 0,75
34% 0,66
60% 0,40
90% 0,10
Exemplo: Descontando 10% no valor de R$10,00 temos: 
10 × 0,90 = R$ 9,00
Desconto Composto
O desconto composto é aplicado de forma que a taxa de desconto incide sobre o valor já descontado no 
período anterior. Para calcular o novo valor após vários períodos de desconto, utilizamos a fórmula:
Vn = V0 × (1 - taxa)n
Onde:
• Vn é o valor após n períodos de desconto.
• V0 é o valor original.
• Taxa é a taxa de desconto por período em forma decimal.
• n é o número de períodos. 
DESCONTO FATOR DO 1º PERÍODO FATOR DO 2 º PERÍODO FATOR DO 3º PERÍODO
10% 0,90 0,81 0,729
25% 0,75 0,5625 0,4218
34% 0,66 0,4356 0,2872
60% 0,40 0,16 0,064
90% 0,10 0,01 0,001
Exemplo: Se aplicarmos um desconto composto de 10% ao valor de R$100,00 por dois períodos, teremos:
100 × 0,90 × 0,90 = R$ 81,00
29
Lucro
Chamamos de lucro em uma transação comercial de compra e venda a diferença entre o preço de venda e 
o preço de custo.
Lucro = preço de venda - preço de custo
Podemos expressar o lucro na forma de porcentagem de duas formas:
Exemplo
(DPE/RR – Analista de Sistemas – FCC/2015) Em sala de aula com 25 alunos e 20 alunas, 60% desse 
total está com gripe. Se x% das meninas dessa sala estão com gripe, o menor valor possível para x é igual a
(A) 8.
(B) 15.
(C) 10.
(D) 6.
(E) 12.
Resolução
45------100%
X-------60%
X=27
O menor número de meninas possíveis para ter gripe é se todos os meninos estiverem gripados, assim 
apenas 2 meninas estão.
Resposta: C.
JUROS
Os juros simples e compostos são cálculos efetuados com o objetivo de corrigir os valores envolvidos nas 
transações financeiras, isto é, a correção que se faz ao emprestar ou aplicar uma determinada quantia durante 
um período de tempo2.
O valor pago ou resgatado dependerá da taxa cobrada pela operação e do período que o dinheiro ficará 
emprestado ou aplicado. Quanto maior a taxa e o tempo, maior será este valor.
— Diferença entre Juros Simples e Compostos
Nos juros simples a correção é aplicada a cada período e considera apenas o valor inicial. Nos juros 
compostos a correção é feita em cima de valores já corrigidos.
Por isso, os juros compostos também são chamados de juros sobre juros, ou seja, o valor é corrigido sobre 
um valor que já foi corrigido.
2 https://www.todamateria.com.br/juros-simples-e-compostos/
30
Sendo assim, para períodos maiores de aplicação ou empréstimo a correção por juros compostos fará com 
que o valor final a ser recebido ou pago seja maior que o valor obtido com juros simples.
A maioria das operações financeiras utiliza a correção pelo sistema de juros compostos. Os juros simples se 
restringem as operações de curto período.
— Fórmula de Juros Simples
Os juros simples são calculados aplicando a seguinte fórmula:
Sendo:
J: juros.
C: valor inicial da transação, chamado em matemática financeira de capital.
i: taxa de juros (valor normalmente expresso em porcentagem).
t: período da transação.
Podemos ainda calcular o valor total que será resgatado (no caso de uma aplicação) ou o valor a ser quitado 
(no caso de um empréstimo) ao final de um período predeterminado.
Esse valor, chamado de montante, é igual a soma do capital com os juros, ou seja:
Podemos substituir o valor de J, na fórmula acima e encontrar a seguinte expressão para o montante:
A fórmula que encontramos é uma função afim, desta forma, o valor do montante cresce linearmente em 
função do tempo.
Exemplo: Se o capital de R$ 1 000,00 rende mensalmente R$ 25,00, qual é a taxa anual de juros no sistema 
de juros simples?
Solução: Primeiro, vamos identificar cada grandeza indicada no problema.
C = R$ 1 000,00
J = R$ 25,00
t = 1 mês
i = ?
31
Agora que fizemos a identificação de todas as grandezas, podemos substituir na fórmula dos juros:
Entretanto, observe que essa taxa é mensal, pois usamos o período de 1 mês. Para encontrar a taxa anual 
precisamos multiplicar esse valor por 12, assim temos:
i = 2,5.12= 30% ao ano
— Fórmula de Juros Compostos
O montante capitalizado a juros compostos é encontrado aplicando a seguinte fórmula:
Sendo:
M: montante.
C: capital.
i: taxa de juros.
t: período de tempo.
Diferente dos juros simples, neste tipo de capitalização, a fórmula para o cálculo do montante envolve uma 
variação exponencial. Daí se explica que o valor final aumente consideravelmente para períodos maiores.
Exemplo: Calcule o montante produzido por R$ 2 000,00 aplicado à taxa de 4% ao trimestre, após um ano, 
no sistema de juros compostos.
Solução: Identificando as informações dadas, temos:
C = 2 000
i = 4% ou 0,04 ao trimestre
t = 1 ano = 4 trimestres
M = ?
Substituindo esses valores na fórmula de juros compostos, temos:
Observação: o resultado será tão melhor aproximado quanto o número de casas decimais utilizadas na 
potência.
Portanto, ao final de um ano o montante será igual a 
R$ 2 339,71.
32
Sistema de Medidas Legais
O sistema de medidas é um conjunto de unidades de quantificação padronizadas que são utilizadas para 
expressar a magnitude de grandezas físicas como comprimento, massa, volume, temperatura, entre outras. 
Essas unidades permitem que as pessoas comuniquem e compreendam quantidades de maneira clara e 
consistente em diferentes contextos e aplicações. 
O Sistema Internacional de Unidades (SI) é o padrão mais amplamente adotado no mundo, que surgiu da 
necessidade de uniformizar as unidades que são utilizadas na maior parte dos países.
COMPRIMENTO
No SI a unidade padrão de comprimento é o metro (m). Atualmente ele é definido como o comprimento da 
distância percorrida pela luz no vácuo durante um intervalo de tempo de 1/299.792.458 de um segundo.
UNIDADES DE COMPRIMENTO
km hm dam m dm cm mm
Quilômetro Hectômetro Decâmetro Metro Decímetro Centímetro Milímetro
1000m 100m 10m 1m 0,1m 0,01m 0,001m
Osmúltiplos do metro são utilizados para medir grandes distâncias, enquanto os submúltiplos, para peque-
nas distâncias. Para medidas milimétricas, em que se exige precisão, utilizamos:
mícron (µ) = 10-6 m angströn (Å) = 10-10 m
Para distâncias astronômicas utilizamos o Ano-luz (distância percorrida pela luz em um ano):
Ano-luz = 9,5 · 1012 km
Exemplos de Transformação
1m=10dm=100cm=1000mm=0,1dam=0,01hm=0,001km
1km=10hm=100dam=1000m
Ou seja, para transformar as unidades, quando “ andamos” para direita multiplica por 10 e para a esquerda 
divide por 10.
Exemplo:
(CETRO - 2012 - TJ-RS - Oficial de Transportes) João tem 1,72m de altura e Marcos tem 1,89m. Dessa 
forma, é correto afirmar que Marcos tem
Alternativas
(A) 0,17cm a mais do que João.
(B) 0,17cm a menos do que João.
(C) 1,7cm a mais do que João.
(D) 17cm a mais do que João.
(E) 17cm a menos do que João.
33
Resolução: Marcos = 1,89m = 189cm
João = 1,72m = 172cm
189-172=17cm
Resposta:D
SUPERFÍCIE
A medida de superfície é sua área e a unidade fundamental é o metro quadrado(m²).
Para transformar de uma unidade para outra inferior, devemos observar que cada unidade é cem vezes 
maior que a unidade imediatamente inferior. Assim, multiplicamos por cem para cada deslocamento de uma 
unidade até a desejada. 
UNIDADES DE ÁREA
km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2
Quilômetro
Quadrado
Hectômetro
Quadrado
Decâmetro
Quadrado
Metro
Quadrado
Decímetro
Quadrado
Centímetro
Quadrado
Milímetro
Quadrado
1000000m2 10000m2 100m2 1m2 0,01m2 0,0001m2 0,000001m2
Exemplos de Transformação
1m²=100dm²=10000cm²=1000000mm²
1km²=100hm²=10000dam²=1000000m²
Ou seja, para transformar as unidades, quando “ andamos” para direita multiplica por 100 e para a esquerda 
divide por 100.
Exemplo:
(CESGRANRIO - 2005 - INSS - Técnico - Previdenciário) Um terreno de 1 km2 será dividido em 5 lotes, 
todos com a mesma área. A área de cada lote, em m2 , será de:
Alternativas
(A) 1 000
(B) 2 000
(C) 20 000
(D) 100 000
(E) 200 000
Resolução: Para calcular a área de um quadrado, basta elevar ao quadrado a medida de um lado.
1 KM = 1000m
1km² = 1000m x 1000m = 1000000m²
Como sao 5 lotes, todos de mesma area
1.000.000/5 = 200.000m
Resposta:E
34
VOLUME
Os sólidos geométricos são objetos tridimensionais que ocupam lugar no espaço. Por isso, eles possuem 
volume. Podemos encontrar sólidos de inúmeras formas, retangulares, circulares, quadrangulares, entre ou-
tras, mas todos irão possuir volume e capacidade.
UNIDADES DE VOLUME
km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3
Quilômetro
Cúbico
Hectômetro
Cúbico
Decâmetro
Cúbico
Metro
Cúbico
Decímetro
Cúbico
Centímetro
Cúbico
Milímetro
Cúbico
1000000000m3 1000000m3 1000m3 1m3 0,001m3 0,000001m3 0,000000001m3
CAPACIDADE
Para medirmos a quantidade de leite, sucos, água, óleo, gasolina, álcool entre outros utilizamos o litro e 
seus múltiplos e submúltiplos, unidade de medidas de produtos líquidos. 
Se um recipiente tem 1L de capacidade, então seu volume interno é de 1dm³
1L=1dm³
UNIDADES DE CAPACIDADE
kl hl dal l dl cl ml
Quilolitro Hectolitro Decalitro Litro Decilitro Centilitro Mililitro
1000l 100l 10l 1l 0,1l 0,01l 0,001l
Exemplo: 
(FCC - 2012 - SEE-MG - Assistente Técnico Educacional - Apoio Técnico) Uma forma de gelo tem 21 
compartimentos iguais com capacidade de 8 mL cada. Para encher totalmente com água três formas iguais a 
essa é necessário
Alternativas
(A) exatamente um litro.
(B) exatamente meio litro.
(C) mais de um litro.
(D) entre meio litro e um litro.
Resolução:
21 x 3 x 8 = 504 ml = 0,504 L (entre 0,5 e 1L)
Resposta:D
MASSA
No Sistema Internacional de unidades a medida de massa é o quilograma (kg). Um cilindro de platina e irídio 
é usado como o padrão universal do quilograma.
UNIDADES DE MASSA
kg hg dag g dg cg mg
Quilograma Hectograma Decagrama Grama Decigrama Centigrama Miligrama
1000g 100g 10g 1g 0,1g 0,01g 0,001
Toda vez que andar 1 casa para direita, multiplica por 10 e quando anda para esquerda divide por 10.
35
E uma outra unidade de massa muito importante é a tonelada
1 tonelada=1000kg
Exemplo: 
(FUNCAB - 2014 - SEE-AC - Professor EJA I (1º Segmento)) Assinale a alternativa que contém a maior 
dentre as massas representadas a seguir.
25kg / 42.000g / 1.234,3 dg / 26.000 cg / 2.000 mg
Alternativas
(A) 25 kg
(B) 42.000 g
(C) 1.234,3 dg
(D) 26.000 cg
(E) 2.000mg
Resolução: Primeiramente você deve passar todas as medidas diferentes para a mesma unidade de medi-
das, pois só assim você conseguirá fazer a comparação de quem é maior
25 kg = 25000g
42.000g= 42000g
26.000 cg = 260g
2.000 mg = 2g
1.234,3 dg = 123,43g
Resposta:B
TEMPO
A unidade fundamental do tempo é o segundo(s).
É usual a medição do tempo em várias unidades, por exemplo: dias, horas, minutos
Transformação de unidades
Deve-se saber:
1 dia=24horas
1hora=60minutos
1 minuto=60segundos
1hora=3600s
Adição de tempo
Exemplo: Estela chegou ao ginásio às 15h 35minutos. Lá, bateu seu recorde de nado livre e fez 1 minuto e 
25 segundos. Demorou 30 minutos para chegar em casa. Que horas ela chegou?
15h 35 minutos
1 minutos 25 segundos
30 minutos
--------------------------------------------------
15h 66 minutos 25 segundos
36
Não podemos ter 66 minutos, então temos que transferir para as horas, sempre que passamos de um para 
o outro tem que ser na mesma unidade, temos que passar 1 hora=60 minutos
Então fica: 16h6 minutos 25segundos
Vamos utilizar o mesmo exemplo para fazer a operação inversa.
Subtração
Vamos dizer que sabemos que ela chegou em casa as 16h6 minutos 25 segundos e saiu de casa às 15h 35 
minutos. Quanto tempo ficou fora?
11h 60 minutos
16h 6 minutos 25 segundos
-15h 35 min
--------------------------------------------------
Não podemos tirar 6 de 35, então emprestamos, da mesma forma que conta de subtração.
1hora=60 minutos
15h 66 minutos 25 segundos
15h 35 minutos
--------------------------------------------------
0h 31 minutos 25 segundos
Multiplicação
Pedro pensou em estudar durante 2h 40 minutos, mas demorou o dobro disso. Quanto tempo durou o es-
tudo?
2h 40 minutos
x2
----------------------------
4h 80 minutos OU
5h 20 minutos
Divisão
5h 20 minutos : 2
5h 20 minutos 2
1h 20 minutos 2h 40 minutos
80 minutos
0
1h 20 minutos, transformamos para minutos :60+20=80minutos
37
Exemplo:
(CONESUL - 2008 - CMR-RO - Agente Administrativo) Um intervalo de tempo de 4,15 horas corresponde, 
em horas, minutos e segundos a
(A) 4 h 1 min 5 s.
(B) 4 h 15 min 0 s.
(C) 4h 9 min 0 s.
(D) 4 h 10 min 5 s.
(E) 4 h 5 min 1 s. Matemática
Resolução: Transformando 4,15h em minutos = 4,15x60 = 249 minutos.
249min = 4h + 9 minutos
Resposta:C
Conceitos básicos de geometria: cálculo de área e cálculo de volume
PERÍMETROS E ÁREAS
O estudo do perímetro e da área de figuras planas é fundamental na geometria, proporcionando ferramen-
tas para a compreensão e a aplicação de conceitos matemáticos no cotidiano. 
A seguir, exploraremos as fórmulas necessárias para calcular o perímetro e a área de diferentes figuras 
geométricas planas, como triângulos, quadrados, retângulos, círculos e outros polígonos, aprofundando nosso 
entendimento dessas importantes propriedades.
− Perímetro: Medida total do contorno de uma figura geométrica, somando o comprimento de todos os seus 
lados.
− Área: Medida da superfície interna de uma figura geométrica, indicando seu tamanho.
38
VOLUMES E ÁREAS
Os sólidos geométricos estão presentes em diversas formas ao nosso redor, desde objetos cotidianos até 
grandes estruturas arquitetônicas. Compreender como calcular suas áreas e volumes é essencial para medir, 
construir e otimizar espaços.
— Cilindros
Considere dois planos paralelos, α e β, e um círculo de centro O contido em um dos planos. Seja s uma reta 
que intercepta ambos os planos. Um cilindro pode ser definido como o sólido gerado pela reunião de todos os 
segmentos de reta paralelos a s, cujas extremidades pertencem ao círculo em um plano e ao outro plano.
Classificação de Cilindros– Cilindro Reto (ou de Revolução): Um cilindro é classificado como reto quando as geratrizes (segmentos 
que unem os pontos correspondentes das bases) são perpendiculares ao plano das bases.
– Cilindro Equilátero: Um cilindro reto é chamado de equilátero quando sua altura (h) é igual ao dobro do 
raio da base (r), ou seja, h = 2r.
– Cilindro Oblíquo: Um cilindro é classificado como oblíquo quando as geratrizes são inclinadas em rela-
ção ao plano das bases, ou seja, não são perpendiculares. Nesse caso, as faces laterais formam um ângulo 
diferente de 90° com o plano da base.
Fórmulas da Área e Volume de Cilindros
– Área da Base (Sb): Cada base do cilindro é um círculo, cuja área é dada por: 
39
Onde:
▪ r é o raio da base.
– Área Lateral (Sl): É a área da superfície lateral do cilindro, equivalente ao “retângulo” obtido ao desenrolar 
a lateral. A fórmula é:
Onde:
▪ r é o raio da base.
▪ h é a altura do cilindro.
– Área Total (St): A soma da área lateral e das duas bases:
– Volume: O volume de um cilindro é calculado como o produto da área da base pelo valor da altura. A 
fórmula é:
— Cones
Considere um plano α contendo um círculo e um ponto V que não pertence ao plano α. A figura geométrica 
formada pela reunião de todos os segmentos de reta que têm uma extremidade no ponto V e a outra em qual-
quer ponto do círculo é denominada cone circular. O ponto V é chamado de vértice do cone, e o círculo no plano 
α é denominado base do cone.
Classificação de Cones
– Cone Reto (ou de Revolução): Um cone é classificado como reto quando o eixo (VO) que une o vértice 
(V) ao centro da base (O) é perpendicular ao plano da base. Esse tipo de cone pode ser gerado pela rotação 
de um triângulo retângulo em torno de um de seus catetos.
– Cone Equilátero: Um cone reto é chamado de equilátero quando a sua geratriz (g) é igual ao dobro do 
raio da base (r), ou seja, g = 2r. 
Para verificar essa condição, podemos usar a fórmula 
40
– Cone Oblíquo: Um cone é classificado como oblíquo quando o eixo (VO) não é perpendicular ao plano 
da base. Nesse caso, o vértice (V) não está alinhado diretamente sobre o centro da base (O), resultando em 
uma figura inclinada.
Fórmulas da Área e Volume de Cones
– Área da Base (Sb): A base do cone é um círculo, cuja área é dada por:
Onde:
▪ r é o raio da base do cone.
– Área Lateral (Sl): A área lateral é a área da superfície curva do cone. Ela é obtida ao considerar a super-
fície formada pela geratriz (g) ao redor da base. A fórmula é:
Onde:
▪ r é o raio da base
▪ g é a geratriz do cone
– Área Total (St): A área total do cone é a soma da área lateral com a área da base. A fórmula é:
– Volume: O volume do cone é calculado como um terço do produto da área da base pelo valor da altura.
— Pirâmides
Considere um polígono plano como base e um ponto V que não pertence ao plano da base. A figu-
ra geométrica formada pela reunião de todos os segmentos de reta que têm uma extremidade no ponto 
V e a outra em qualquer ponto do polígono base é denominada pirâmide. As pirâmides podem ser classificadas 
quanto ao número de lados da base:
41
Fórmulas da Área e Volume de Pirâmides
– Área Lateral (Sl): A área lateral de uma pirâmide é a soma das áreas das faces laterais, que são triângu-
los. Para uma pirâmide regular, em que todas as faces laterais são triângulos congruentes, a fórmula é:
Onde:
▪ n é o número de lados da base
▪ A área de cada triângulo é calculada como
– Área da Base (Sb): A área da base é a área do polígono que forma a base da pirâmide. Para polígonos 
regulares:
– Área Total (St): A área total da pirâmide é a soma da área lateral com a área da base:
– Volume: O volume da pirâmide é calculado como um terço do produto da área da base pelo valor da altura 
(h). A fórmula é:
— Prismas
Considere dois planos paralelos, α e β, e um polígono R contido no plano α. A figura geométrica formada 
pela união de todos os segmentos de reta que são perpendiculares aos planos e têm uma extremidade no po-
lígono R e a outra no plano β é denominada prisma. O prisma é um poliedro composto por duas faces paralelas 
e congruentes, chamadas de bases, que são cópias do polígono R, e pelas demais faces, denominadas faces 
laterais, que são paralelogramos resultantes da ligação dos vértices correspondentes das duas bases.
42
Classificação de Prismas
Os prismas podem ser classificados de acordo com diferentes critérios:
1. Quanto à inclinação das arestas laterais:
– Prisma reto: Quando as arestas laterais são perpendiculares às bases. Nesse caso, as faces laterais são 
retângulos.
– Prisma oblíquo: Quando as arestas laterais não são perpendiculares às bases, fazendo com que as fa-
ces laterais sejam paralelogramos inclinados.
2. Quanto ao formato do polígono da base:
– Prisma triangular: A base é um triângulo (base com 3 lados).
– Prisma quadrangular: A base é um quadrilátero (base com 4 lados).
E assim sucessivamente, seguindo o padrão, como no caso do prisma pentagonal (base com 5 lados) ou 
prisma octogonal (base com 8 lados). 
43
3. Quanto à regularidade da base:
– Prisma regular: A base é um polígono regular (todos os lados e ângulos iguais), e o prisma é reto.
– Prisma irregular: A base não é um polígono regular.
Prismas especiais
– Paralelepípedo reto: Todas as faces laterais são retângulos.
– Paralelepípedo oblíquo: As faces laterais são paralelogramos inclinados.
– Cubo: Caso particular de um paralelepípedo reto com todas as faces quadradas.
Fórmulas da Área e Volume de Prismas
– Área Lateral (Sl): A área lateral de um prisma é a soma das áreas das faces laterais. Para prismas retos, 
as faces laterais são retângulos congruentes, e a área lateral é calculada como:
Onde:
▪ Pb: perímetro da base.
▪ h : altura do prisma.
– Área da Base (Sb): A área da base é a área do polígono que forma a base do prisma. Para diferentes 
tipos de base:
– Área Total (St): A área total do prisma é a soma da área lateral com as áreas das duas bases:
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– Área do Cubo (St): A área total de um cubo é a soma das áreas de suas seis faces quadradas:
Onde:
▪ a: comprimento da aresta do cubo.
– Área do Paralelepípedo (St): A área total de um paralelepípedo é a soma das áreas de suas três pares 
de faces opostas:
Onde:
▪ a, b, c: comprimentos das arestas.
– Área do Prisma (St): A área total de um prisma é a soma da área lateral e das áreas das duas bases:
– Volume do Cubo (V): O volume do cubo é dado pelo cubo do comprimento de sua aresta:
– Volume do Paralelepípedo (V): O volume do paralelepípedo é o produto das dimensões de suas arestas:
– Volume do Prisma (V): O volume de qualquer prisma é o produto da área da base pela altura (h):
Raciocínio lógico. Compreensão do processo lógico que, a partir de um conjunto de hi-
póteses, conduz, de forma válida, a conclusões determinadas. Formação de conceitos. 
Discriminação de elementos
ESTRUTURAS LÓGICAS
Uma proposição é um conjunto de palavras ou símbolos que expressa um pensamento ou uma ideia com-
pleta, transmitindo um juízo sobre algo. Uma proposição afirma fatos ou ideias que podemos classificar como 
verdadeiros ou falsos. Esse é o ponto central do estudo lógico, onde analisamos e manipulamos proposições 
para extrair conclusões.
Valores Lógicos
Os valores lógicos possíveis para uma proposição são:
− Verdadeiro (V), caso a proposição seja verdadeira.
− Falso (F), caso a proposição seja falsa.
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Os valores lógicos seguem três axiomas fundamentais:
− Princípio da Identidade: uma proposição é idêntica a si mesma. Em termos simples: p≡p
Exemplo: “Hoje é segunda-feira” é a mesma proposição em qualquer contexto lógico.
− Princípio da Não Contradição: uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo.
Exemplo: “O céu é azul e não azul” é uma contradição.
− Princípio do Terceiro Excluído: toda proposição é ou verdadeira ou falsa, não existindo um terceiro caso 
possível. Ou seja: “Toda proposição tem um, e somente um, dos valores lógicos: V ou F.”
Exemplo: “Está chovendoou não está chovendo” é sempre verdadeiro, sem meio-termo.
Classificação das Proposições
Para entender melhor as proposições, é útil classificá-las em dois tipos principais:
• Sentenças Abertas
São sentenças para as quais não se pode atribuir um valor lógico verdadeiro ou falso, pois elas não expri-
mem um fato completo ou específico. São exemplos de sentenças abertas:
− Frases interrogativas: “Quando será a prova?”
− Frases exclamativas: “Que maravilhoso!”
− Frases imperativas: “Desligue a televisão.”
− Frases sem sentido lógico: “Esta frase é falsa.”
• Sentenças Fechadas
Quando a proposição admite um único valor lógico, verdadeiro ou falso, ela é chamada de sentença fecha-
da. Exemplos:
− Sentença fechada e verdadeira: “2 + 2 = 4”
− Sentença fechada e falsa: “O Brasil é uma ilha”
Proposições Simples e Compostas
As proposições podem ainda ser classificadas em simples e compostas, dependendo da estrutura e do nú-
mero de ideias que expressam:
• Proposições Simples (ou Atômicas)
São proposições que não contêm outras proposições como parte integrante de si mesmas. São representa-
das por letras minúsculas, como p, q, r, etc.
Exemplos:
p: “João é engenheiro.”
q: “Maria é professora.”
• Proposições Compostas (ou Moleculares)
Formadas pela combinação de duas ou mais proposições simples. São representadas por letras maiúscu-
las, como P, Q, R, etc., e usam conectivos lógicos para relacionar as proposições simples.
Exemplo:
P: “João é engenheiro e Maria é professora.”
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Classificação de Frases
Ao classificarmos frases pela possibilidade de atribuir-lhes um valor lógico (verdadeiro ou falso), consegui-
mos distinguir entre aquelas que podem ser usadas em raciocínios lógicos e as que não podem. Vamos ver 
alguns exemplos e suas classificações.
“O céu é azul.” – Proposição lógica (podemos dizer se é verdadeiro ou falso).
“Quantos anos você tem?” – Sentença aberta (é uma pergunta, sem valor lógico).
“João é alto.” – Proposição lógica (podemos afirmar ou negar).
“Seja bem-vindo!” – Não é proposição lógica (é uma saudação, sem valor lógico).
“2 + 2 = 4.” – Sentença fechada (podemos atribuir valor lógico, é uma afirmação objetiva).
“Ele é muito bom.” – Sentença aberta (não se sabe quem é “ele” e o que significa “bom”).
“Choveu ontem.” – Proposição lógica (podemos dizer se é verdadeiro ou falso).
“Esta frase é falsa.” – Não é proposição lógica (é um paradoxo, sem valor lógico).
“Abra a janela, por favor.” – Não é proposição lógica (é uma instrução, sem valor lógico).
“O número x é maior que 10.” – Sentença aberta (não se sabe o valor de x)
Agora veremos um exemplo retirado de uma prova:
1. (CESPE/UNB) Na lista de frases apresentadas a seguir:
– “A frase dentro destas aspas é uma mentira.”
– A expressão x + y é positiva.
– O valor de √4 + 3 = 7.
– Pelé marcou dez gols para a seleção brasileira.
– O que é isto?
Há exatamente:
(A) uma proposição;
(B) duas proposições;
(C) três proposições;
(D) quatro proposições;
(E) todas são proposições.
Resolução:
Analisemos cada alternativa:
(A) A frase é um paradoxo, então não podemos dizer se é verdadeira ou falsa. Não é uma proposição lógica.
(B) Não sabemos os valores de x e y, então não podemos dizer se é verdadeira ou falsa. É uma sentença 
aberta e não é uma proposição lógica.
(C) Podemos verificar se é verdadeira ou falsa. É uma proposição lógica.
(D) Podemos verificar se é verdadeira ou falsa, independente do número exato. É uma proposição lógica.
(E) É uma pergunta, então não podemos dizer se é verdadeira ou falsa. Não é uma proposição lógica. 
Resposta: B.
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Conectivos Lógicos
Para formar proposições compostas a partir de proposições simples, utilizamos conectivos lógicos. Esses 
conectivos estabelecem relações entre as proposições, criando novas sentenças com significados mais com-
plexos. São eles:
Operação Conectivo Estrutura 
Lógica
Exemplos
p q Resultado
Negação ~ ou ¬ Não p "Hoje é 
domingo" - ~p: "Hoje não é domingo"
Conjunção ^ p e q "Estudei" "Passei na 
prova" p ^ q: "Estudei e passei na prova" 
Disjunção 
Inclusiva v p ou q "Vou ao 
cinema"
"Vou ao 
teatro" p v q: "Vou ao cinema ou vou ao teatro" 
Disjunção 
Exclusiva ⊕ Ou p ou q "Ganhei 
na loteria"
"Recebi uma 
herança"
p ⊕ q: "Ou ganhei na loteria ou recebi 
uma herança" 
Condicio-
nal → Se p en-
tão q
"Está cho-
vendo"
"Levarei o 
guarda-chu-
va"
p → q: "Se está chovendo, então leva-
rei o guarda-chuva" 
Bicondicio-
nal ↔
p se e 
somente 
se q
"O núme-
ro é par"
"O número é 
divisível por 
2"
p ↔ q: "O número é par se e somente 
se é divisível por 2" 
Exemplo: 
2. (VUNESP) Os conectivos ou operadores lógicos são palavras (da linguagem comum) ou símbolos (da lin-
guagem formal) utilizados para conectar proposições de acordo com regras formais preestabelecidas. Assinale 
a alternativa que apresenta exemplos de conjunção, negação e implicação, respectivamente.
(A) ¬ p, p v q, p ^ q
(B) p ^ q, ¬ p, p → q
(C) p → q, p v q, ¬ p
(D) p v p, p → q, ¬ q
(E) p v q, ¬ q, p v q
Resolução:
Precisamos identificar cada conectivo solicitado na ordem correta. A conjunção é o conectivo ^, como em 
p ^ q. A negação é representada pelo símbolo ¬, como em ¬p. A implicação é representada pelo símbolo →, 
como em p → q. 
Resposta: B.
Tabela Verdade
A tabela verdade é uma ferramenta para analisar o valor lógico de proposições compostas. O número de 
linhas em uma tabela depende da quantidade de proposições simples (n):
Número de Linhas = 2n
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Vamos agora ver as tabelas verdade para cada conectivo lógico: 
p q ~p p ^ q p v q p ⊕ q p → q p ↔ q
V V F V V F V V
V F F F V V F F
F V V F V V V F
F F V F F F V V
Exemplo:
3. (CESPE/UNB) Se “A”, “B”, “C” e “D” forem proposições simples e distintas, então o número de linhas da 
tabela-verdade da proposição (A → B) ↔ (C → D) será igual a:
(A) 2;
(B) 4;
(C) 8;
(D) 16;
(E) 32.
Resolução:
Temos 4 proposições simples (A, B, C e D), então aplicamos na fórmula 2n, onde n é o número de proposi-
ções. Assim, 24 = 16 linhas.
Resposta D.
Tautologia, Contradição e Contingência
As proposições compostas podem ser classificadas de acordo com o seu valor lógico final, considerando 
todas as possíveis combinações de valores lógicos das proposições simples que as compõem. Essa classifica-
ção é fundamental para entender a validade de argumentos lógicos:
− Tautologia
Uma tautologia é uma proposição composta cujo valor lógico final é sempre verdadeiro, independentemente 
dos valores das proposições simples que a compõem. Em outras palavras, não importa se as proposições sim-
ples são verdadeiras ou falsas; a proposição composta será sempre verdadeira. Tautologias ajudam a validar 
raciocínios. Se uma proposição complexa é tautológica, então o argumento que a utiliza é logicamente consis-
tente e sempre válido.
Exemplo: A proposição “p ou não-p” (ou p v ~p) é uma tautologia porque, seja qual for o valor de p (verda-
deiro ou falso), a proposição composta sempre terá um resultado verdadeiro. Isso reflete o Princípio do Terceiro 
Excluído, onde algo deve ser verdadeiro ou falso, sem meio-termo.
− Contradição
Uma contradição é uma proposição composta que tem seu valor lógico final sempre falso, independente-
mente dos valores lógicos das proposições que a compõem. Assim, qualquer que seja o valor das proposições 
simples, o resultado será falso. Identificar contradições em um argumento é essencial para determinar incon-
sistências lógicas. Quando uma proposição leva a uma contradição, isso significa que o argumento em questão 
não pode ser verdadeiro.
Exemplo: A proposição “p e não-p” (ou p ^ ~p) é uma contradição, pois uma proposição não pode ser 
verdadeira e falsa ao mesmo tempo. Esse exemplo reflete o Princípio da Não Contradição, que diz que uma 
proposição não pode ser simultaneamente verdadeira e falsa.
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− Contingência
Uma contingência é uma proposição composta cujo valor lógico final pode ser tanto verdadeiro quanto falso, 
dependendo dos valores das proposições simples que