tema 2 1 - Proposições simples

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Proposições simples
Apresentação
Os cachorros não voam! Esta é uma sentença que faz parte da linguagem utilizada no dia a dia. Ela 
é considerada uma proposição simples, porque permite a classificação entre verdadeira ou falsa. Ou 
seja, possui valor lógico verdadeiro ou falso.
Esta Unidade de Aprendizagem vai apresentar o cálculo proposicional. Será abordado tipo 
específico de proposições denominadas proposições simples. 
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Definir proposição simples.•
Determinar o valor-verdade das proposições simples.•
Identificar nas afirmações a veracidade ou falsidade das proposições simples.•
Laiane
Laiane
Desafio
Repare que não usaremos conectivos lógicos nem encadeamento de premissas (lógica analítica), 
mas vamos pensar em algumas proposições famosas!
Todas essas premissas são falsas! Você sabe por quê? 
Explique por que as premissas são consideradas falsas.
Laiane
Padrão de resposta esperadoA Terra não é plana, e já se duvidava dessa proposição desde os gregos. Mas, por volta de 1500, essa ideia ganhou muita força, e a teoria da Terra plana caiu em descrédito. A Terra se aproxima do formato esférico, mas não é uma premissa verdadeira, uma vez que, de fato, não tem este formato.Bem, a teoria da evolução não diz que descendemos de macacos, de onde originalmente se tirou essa premissa (falsa). É que é a teoria mais complexa do que isso, tanto que a premissa (falsa) de descendência dos macacos é usada de forma pejorativa.a2=b2+c2 parece com o teorema de Pitágoras, não é?Porém, o enunciado do teorema diz que “Em um triângulo retângulo, quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos”. Ou seja, para afirmar que a² = b² + c² é uma proposição verdadeira, é preciso ter certeza de duas coisas:1)  Estou me referindo a um triângulo retângulo. O que de fato ocorre, pois na figura há o indicativo de ângulo reto no triângulo.2) A medida a precisa ser a hipotenusa, e as medidas b e c precisam ser as medidas dos catetos. A hipotenusa é o lado oposto ao ângulo reto e os demais lados são os catetos. Assim, na imagem, a medida da hipotenusa é c e as medidas dos catetos são a e b.Logo, pela imagem temos: c² = a² + b². Assim, a proposição é falsa. Veja a importância de compreender o enunciado de um teorema e não apenas memorizar fórmulas.
Infográfico
Confira o infográfico e acompanhe a relação de alguns subconjuntos da lógica que os unifica, para 
deixar claras a diferença e a definição de cada.
Conteúdo do livro
Veja uma breve definição de proposição simples do livro Matemática aplicada à informática. Inicie 
seus estudos no tópico Proposições e encerre em Proposições compostas.
Boa leitura!
Catalogação na publicação: Poliana Sanchez de Araujo – CRB 10/2094
L732m Lima, Diana Maia de.
Matemática aplicada à informática [recurso eletrônico] / 
Diana Maia de Lima, Luis Eduardo Fernandes Gonzalez ; 
coordenação: Almério Melquíades de Araújo. – Porto 
Alegre : Bookman, 2015.
Editado como livro impresso em 2015.
ISBN 978-85-8260-317-8
1. Matemática – Informática. I. Gonzalez, Luis Eduardo 
Fernandes. II. Título. 
CDU 51:004
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Tabela 1.2 Tabela de conversão
Decimal Binário Hexadecimal 
0 0000 0
1 0001 1
2 0010 2
3 0011 3
4 0100 4
5 0101 5
6 0110 6
7 0111 7
8 1000 8
9 1001 9
10 1010 A
11 1011 B
12 1100 C
13 1101 D
14 1110 E
15 1111 F
Base octal para base hexadecimal e vice-versa
Para conversão de base octal para base hexadecimal:
 1. Converta de octal para binário. 
 2. Converta de binário para hexadecimal.
Para conversão de base hexadecimal para base octal:
 1. Converta de hexadecimal para binário.
 2. Converta de binário para octal.
Proposições
Uma proposição é uma construção (sentença, frase, pensamento) à qual se pode 
atribuir juízo. No caso da lógica matemática, o tipo de juízo é o verdadeiro-falso, ou 
seja, o interesse é na “verdade” das proposições. Em informática, o valor lógico (V) é 
representado pelo número (1), e o valor lógico (F), pelo número (0).
Laiane
Laiane
Laiane
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As proposições podem ser simples (também chamadas de atômicas, pois não po-
dem ser decompostas em proposições mais simples), ou compostas, utilizando 
operadores lógicos, também denominados conetivos.
Proposições simples
A proposição simples não contém qualquer outra proposição como parte inte-
grante de si mesma. 
Por exemplo:
 • Paulo é médico.
 • 2 4
 • Se Pedro é estudante, então lê livros.
 • Pedro é inteligente se, e somente se, estuda. 
 • O sol é quadrado e a neve é branca.
 • O computador não é barato.
Agora é a sua vez!
 3. Considerando que a = 4, b = 5 e c = 2, discuta com seu colega qual é o valor lógico resultante (V ou F) 
de cada proposição abaixo:
a. a >= c
b. b = (c * b)
Laiane
Laiane
Laiane
Laiane
verdadeiro
Laiane
falso
Laiane
falso
Laiane
Laiane
Laiane
Laiane
Laiane
Laiane
Laiane
M
at
em
át
ic
a 
ap
lic
ad
a 
à 
in
fo
rm
át
ic
a
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Operadores lógicos
As variáveis proposicionais são representadas por letras minúsculas para indicar as 
proposições simples. 
Por exemplo:
p: A taxa de juros é alta.
q: O computador é caro.
Agora, considerando as proposições simples dadas acima, observe no Quadro 1.5 
as representações simbólicas das proposições.
Agora é a sua vez!
4. Considerando que a = 4, b = 5 e c = 2, apresente o valor de x. Se (a > b) ou (ccálculo proposicional, 
sim. Então, o que podemos concluir a respeito do valor lógico dessa proposição, utilizando a 
lógica proposicional? 
A) Não podemos concluir nada.
B) Podemos concluir que a proposição é falsa.
Laiane
Laiane
Laiane
Observe que a/b pertence aos números racionais, sempre que "a" for um número inteiro e "b", número inteiro não nulo, pois o denominador não pode ser nulo.
Laiane
Não temos como afirmar que b = c.
Laiane
b não pode ser 0 e, se for 1, a proposição é falsa.
Laiane
É falso porque b poderia ser 0 e a, qualquer número.
Laiane
Os complexos são um conjunto à parte.
Laiane
A lógica matemática não pode ser relacionada a sujeito e predicado.
Laiane
Temos um sujeito: "todos os números naturais". Temos também um predicado: "fazem parte do conjunto dos reais".
Laiane
Observe que essa proposição é a mesma que a segunda, mas deve ser traduzida para ficar igual. Ela tem sujeito e predicado.
Laiane
Apesar do significado das palavras, a ordem não muda. Temos um sujeito, "o predicado" e um predicado, "é o sujeito".
Laiane
Temos sujeito e predicado.
Laiane
Podemos concluir.
Laiane
Afinal, é uma proposição.
Laiane
C) Podemos concluir que a proposição é verdadeira.
D) O enunciado está errado, afinal, pela lógica analítica, não há falácia.
E) Há um terceiro estado, além de verdadeira ou falsa, e esse é o estado que atribuímos a 
proposições neste estilo.
4) Observe a proposição: "Todo mundo é humano". Ela pode ser analisada por qual(is) tipo(s) de 
lógica(s)? 
 
I) Lógica analítica (aristotélica). 
II) Lógica verofuncional (tabela verdade). 
III) Lógica quantificativa.
A) Somente a I está correta.
B) Somente a II está correta.
C) Somente a III está correta.
D) I e III estão corretas.
E) Todas estão corretas.
5) Na proposição composta, se uma proposição tem relação com a outra, poderíamos 
relacioná-las. Não é nosso objetivo, mas pense: como analisaria cada uma em separado? Por 
isso, com as seguintes três proposições unidas por um "e" e um "ou", diga individualmente a 
veracidade de cada uma delas. 
 
Sou rica e bem-sucedida, ou mentirosa. 
 
Observe-se novamente que, para não gerar paradoxo nas proposições compostas, analise 
cada uma individualmente.
A) Cada uma pode ser verdadeira ou falsa individualmente.
B) A primeira e a segunda proposições devem ser contrárias à terceira. Respeitando esta regra, 
podem ter qualquer valor.
C) Todo mundo mente uma vez na vida, o que o faz ser mentiroso. Porém, quanto às condições 
de rico e bem-sucedido, nada podemos afirmar, uma vez que não temos certeza do sujeito 
(sujeito oculto).
Laiane
Laiane
Laiane
Laiane
Ela é falsa.
Laiane
O sujeito remete a proposição como um inteiro, e o predicado é o sujeito. Isso é uma bagunça!
Laiane
Afinal, estamos tratando de proposições verofuncionais, para as quais atribuímos valor de verdadeiro ou falso.
Laiane
Na I enxergamos como sujeito-predicado, tendo premissa verdadeira. Assim, se tivéssemos mais uma premissa, poderíamos até ter uma conclusão. Na II atribuímos valor de verdadeiro ou falso à proposição. Na III temos a expressão “todo”, que caracteriza o quantificador universal. Ou seja, todas as afirmações são verdadeiras.
Laiane
Uma vez que não estudamos, aqui, a relação entre as proposições. Ao analisamos o valor lógico de proposições compostas, isto é, proposições formadas por duas ou mais proposições simples, analisamos primeiramente os valores lógicos de cada proposição simples para depois decidir sobre o valor lógico da proposição composta. Neste caso, cada proposição simples, individualmente, pode ser ou verdadeira ou falsa.
Laiane
Repare que cada uma pode ter valor individual, independentemente das demais.
Laiane
Repare que cada uma pode ter valor individual, independentemente das demais.
D) "Rica" e "bem-sucedida" são adjetivos relativos, uma vez que dependem de parâmetros, mas 
mentiroso todo mundo é. Por exemplo, se você concordar com esta alternativa, estará 
mentido.
E) Se é rica, pelo padrão social, deve ser bem-sucedida. Se é mentirosa, nada tem a ver com as 
duas primeiras proposições.
Laiane
Repare que cada uma pode ter valor individual, independentemente das demais.
Laiane
Repare que cada uma pode ter valor individual, independentemente das demais.
Na prática
A filosofia e a lógica estão presentes nos mais diversos ramos, pois precisamos delas para atribuir 
significado até mesmo na ciência. Pense: o método científico envolveu muita filosofia e lógica para 
ser aprimorado da forma que é. Pode até evoluir um dia, quem sabe! Porém, a lógica (pelo menos 
uma parte dela) se baseia nas proposições para ter um ponto de partida, afinal, premissas são 
proposições, e conclusões também.
Veja como uma proposição simples mudou o mundo, isto é, deu o "estalo" para Edward Jenner 
achar a cura para a varíola.
 
Saiba +
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do professor:
Apenas 1 Minuto - Aula 006 - Proposições simples e compostas.
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Brasil Escola. Lógica de Aristóteles.
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http://brasilescola.uol.com.br/filosofia/logica-aristoteles.htm