5_unidade_IV - Pilares

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Centro de Ciências Tecnológicas da Terra e do Mar 
Curso de Engenharia Civil 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Construções em Concreto Armado 
 
Unidade VIII – Projeto de Pilares 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Luiz Alberto Duarte Filho, MSc. 
 
 
 
 
 
 
 
 
5a edição: maio 2010. 
UNIVALI – Estruturas de Concreto Armado II 
Prof. Luiz Alberto Duarte Filho 
 
2 
Índice da unidade VIII – Projeto de pilares em concreto 
armado 
 
1 DEFINIÇÃO......................................................................................................................................3 
2 DIMENSÕES ....................................................................................................................................3 
2.1 DIMENSÕES MÍNIMAS DA SEÇÃO TRANSVERSAL..............................................................................3 
3 CÁLCULO DAS SOLICITAÇÕES NOS PILARES.....................................................................3 
3.1 ESTRUTURAS DE NÓS FIXOS E ESTRUTURAS DE NÓS MÓVEIS ...........................................................4 
3.2 PARÂMETRO DE INSTABILIDADE α ..................................................................................................4 
3.3 COEFICIENTE γZ ...............................................................................................................................5 
3.4 IMPERFEIÇÕES GEOMÉTRICAS .........................................................................................................5 
3.5 COMPRIMENTO EQUIVALENTE (COMPRIMENTO DE FLAMBAGEM)....................................................7 
3.6 CÁLCULO DAS SOLICITAÇÕES NOS PILARES USUAIS DE EDIFÍCIOS ...................................................8 
3.7 EXCENTRICIDADE DE FORMA ..........................................................................................................9 
3.8 MOMENTO DE SOLIDARIEDADE ENTRE VIGA E PILAR.....................................................................10 
4 ANÁLISE DE ELEMENTOS ISOLADOS...................................................................................12 
4.1 DISPENSA DA ANÁLISE DOS EFEITOS LOCAIS DE 2ª ORDEM ............................................................12 
4.2 FLEXO-COMPRESSÃO OBLÍQUA .....................................................................................................14 
5 DETERMINAÇÃO DOS EFEITOS LOCAIS DE 2A ORDEM..................................................14 
5.1 MÉTODO EXATO............................................................................................................................14 
5.2 MÉTODOS APROXIMADOS .............................................................................................................15 
5.3 MÉTODO DO PILAR PADRÃO PARA PILARES DE SEÇÃO RETANGULAR SUBMETIDOS À FLEXÃO 
COMPOSTA OBLÍQUA...............................................................................................................................16 
5.4 RESUMO DAS EXIGÊNCIAS DA NBR6118/03 .................................................................................17 
6 DISPOSIÇÕES GERAIS RELATIVAS ÀS ARMADURAS ......................................................17 
6.1 ARMADURAS LONGITUDINAIS .......................................................................................................17 
6.2 ARMADURAS TRANSVERSAIS ........................................................................................................19 
RESUMO DAS SITUAÇÕES DE CÁLCULO PARA PILARES........................................................21 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS....................................................................................................22 
7 EXERCÍCIOS DE PILARES RETANGULARES BI-APOIADOS...........................................23 
7.1 EXEMPLO 1 ...................................................................................................................................23 
7.2 EXEMPLO 2 ...................................................................................................................................28 
7.3 EXERCÍCIO 3 .................................................................................................................................33 
7.4 EXERCÍCIO 4 .................................................................................................................................40 
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UNIDADE VII
Projeto de pilares em concreto armado
 
 
1 Definição 
 
 
Segundo item 14.4.1.2 da NB1: “pilares são elementos lineares de eixo reto, usualmente 
dispostos na vertical, em que as forças normais de compressão são preponderantes”. 
 
 
2 Dimensões 
 
2.1 Dimensões mínimas da seção transversal 
 
 
A seção transversal de pilares não deve apresentar dimensão menor que 19 cm (item 
13.2.3). Em casos especiais, permite-se a consideração de dimensões entre 19 cm e 12 
cm, desde que se multiplique as ações a serem consideradas no dimensionamento por 
um coeficiente adicional γn, de acordo com o indicado na Tab. 2.1 ou obtido pela Eq. 
2.1. Em qualquer caso, não se permite pilar com área transversal inferior a 360cm2. 
 
1,0h05,095,1 xn ≥−=γ . (2.1)
 
 
TABELA 2.1 – Valores do coeficiente adicional γn. 
 
Menor dimensão da seção do pilar (hx) 
hx ≥ 19 18 17 16 15 14 13 12 
γn 1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 1,30 1,35 
O coeficiente γn deve majorar os esforços solicitantes finais de cálculo nos pilares, 
quando de seu dimensionamento. 
 
 
3 Cálculo das solicitações nos pilares 
 
Sob a ação de cargas verticais e horizontais, os nós da estrutura de um edifício 
deslocam-se horizontalmente. Os esforços de segunda ordem decorrentes desses 
deslocamentos são chamados efeitos globais de 2a ordem. 
 
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4 
Nas barras das estruturas, como um lance do pilar, os respectivos eixos não se mantêm 
retilíneos, surgindo aí efeitos de 2a ordem que, em princípio, afetam principalmente os 
esforços solicitantes ao longo delas. 
 
 
 
Efeitos locais de 2ª ordem Efeitos globais de 2ª ordem 
 
 
 
3.1 Estruturas de nós fixos e estruturas de nós móveis 
 
a) Estruturas de nós fixos: os deslocamentos horizontais são pequenos, então os efeitos 
de 2a ordem globais são desprezíveis (menores que 10% dos esforços de 1a ordem). 
Nessas estruturas, basta considerar os efeitos de 1a ordem. 
 
b) Estruturas de nós móveis: os deslocamentos horizontais não são pequenos. Deve-se 
considerar os efeitos de 2a ordem globais e locais. 
 
Existem dois parâmetros para avaliar estas considerações: parâmetro de instabilidade α 
e coeficiente γz. 
 
3.2 Parâmetro de instabilidade α 
 
Uma estrutura reticulada simétrica pode ser considerada como sendo de nós fixos 
(efeitos de 2a ordem desprezíveis) se seu parâmetro de instabilidade α for menor que o 
valor α 1, conforme a expressão: 
 
ccs
k
tot IE
N
H=α , (3.1) 
sendo: 
α1 = 0,2 + 0,1n se: n ≤ 3 
α1 = 0,6 se: n ≥ 4 
onde: 
 
n é o número de níveis de barras horizontais (andares) acima da fundação; 
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Htot é a altura total da estrutura, medida a partir do topo da fundação; 
 
Nk é a somatória de todas as cargas verticais atuantes na estrutura, com seu valor 
característico; 
 
EcsIc representa a somatória dos valores de rigidez de todos os pilares na direção 
considerada. No caso de estruturas de pórticos, de treliças ou mistas, ou com pilares de 
rigidez variável ao longo da altura, pode ser considerado o valor da expressão EcsIc de 
um pilar equivalente de seção constante. 
 
 
3.3 Coeficiente γz 
 
O coeficiente γz de avaliação da importância dos esforços de segunda ordem global é 
válido para estruturas reticuladas de, no mínimo, quatro andares (n ≥ 4). 
 
Considera-se que a estrutura é de nós fixos (efeitos de 2a ordem desprezíveis) se for 
obedecida a condição: γz ≤ 1,10, sendo: 
 
 
M
∆M
1
1dtot,1,
dtot,
z
−
=γ , 
(3.2)
 
onde: 
 
M1,tot,d é o momento de tombamento, ou seja, a soma dos momentos de todas as forças 
horizontais com seus valores de cálculo, em relação à base da estrutura; 
 
∆Mtot,d é a soma dos produtos de todas as forças verticais atuantes na estrutura com seus 
valores de cálculo, pelos deslocamentos horizontais de seus respectivos pontos de 
aplicação, obtidos da análise de 1ª ordem. 
 
3.4 Imperfeições geométricas 
 
Na verificação do estado limite último das estruturas reticuladas, devem ser 
consideradas as imperfeições geométricas do eixo dos elementos estruturais da estrutura 
descarregada. Essas imperfeições podem ser divididas em dois grupos: imperfeições 
globais e imperfeições locais. 
 
a) Imperfeições globais 
 
Na análise global dessas estruturas, sejam elas contraventadas ou não, deve ser 
considerado um desaprumo dos elementos verticais conforme mostra a Fig. 3.1. 
 
 
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FIGURA 3.1 - Imperfeições geométricas globais 
 
Sendo: 
θ1min = 1/400 para estruturas de nós fixos; 
θ1min = 1/300 para estruturas de nós móveis e imperfeições locais; 
θ1min ≤ 1/200. 
 
O desaprumo mínimo (θ1min) não deve necessariamente ser superposto ao carregamento 
de vento. Entre os dois, vento e desaprumo, pode ser considerado apenas o mais 
desfavorável, que pode ser definido através do que provoca o maior momento total na 
base de construção. 
 
b) Imperfeições locais 
 
No caso de elementos que ligam pilares contraventados a pilares de contraventamento, 
usualmente vigas e lajes, deve ser considerada a tração decorrente do desaprumo do 
pilar contraventado (ver Fig. 3.2a). 
 
No caso da verificação de um lance de pilar, deve ser considerado o efeito do 
desaprumo ou da falta de retilinidade do eixo do pilar (ver Figs. 3.2b e 3.2c, 
respectivamente). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 a) elementos de travamento b) falta de retilinidade c) desaprumo do pilar 
FIGURA 3.2 - Imperfeições geométricas locais 
 
Admite-se que, nos casos usuais, a consideração apenas da falta de retilinidade ao longo 
do lance de pilar seja suficiente. 
 
ea ea 
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c) Momento mínimo 
 
O efeito das imperfeições locais nos pilares pode ser substituído pela consideração do 
momento total M1d,min de primeira ordem, dado por: 
 
M1d,mín = Nd (1,5 + 0,03h), (3.3)
ou 
M1d,mín = Nd e1, min, (3.4)
 
e1,mín = 1,5 + 0,03h (3.5)
 
onde: 
 
h é a altura total da seção transversal na direção considerada, em centímetros; 
 
e1, min é a excentricidade mínima de 1a ordem. 
 
Nas estruturas reticuladas usuais admite-se que o efeito das imperfeições locais (ea) 
esteja atendido se for respeitado esse valor de momento total mínimo. 
 
3.5 Comprimento equivalente (comprimento de flambagem) 
 
 
Nas estruturas de nós fixos, o cálculo pode ser realizado considerando cada elemento 
comprimido isoladamente, como barra vinculada nas extremidades aos demais 
elementos estruturais que ali concorrem, onde se aplicam os esforços obtidos pela 
análise da estrutura efetuada segundo a teoria de 1ª ordem. A análise dos efeitos locais 
de 2ª ordem deve ser realizada de acordo com o estabelecido no item 15.8 
(NBR6118:2003). 
 
O comprimento equivalente λe do elemento comprimido (pilar), suposto vinculado em 
ambas as extremidades, deve ser o menor dos seguintes valores: 
 
λe = λ0 + h, (3.5)
λe = λ, (3.6)
 
onde: 
 
λ0 é a distância entre as faces internas dos elementos estruturais, supostos horizontais, 
que vinculam o pilar; 
 
h é a altura da seção transversal do pilar, medida no plano da estrutura em estudo; 
 
λ é a distância entre os eixos dos elementos estruturais aos quais o pilar está vinculado. 
 
Para o caso de pilares engastados na base e livres no topo deve-se usar λe = 2λ. 
 
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3.6 Cálculo das solicitações nos pilares usuais de edifícios 
 
Para efeito de projeto, os pilares dos edifícios podem ser classificados em três 
categorias: pilares intermediários, pilares de extremidade e pilares de canto (ver Fig. 3. 
3). 
 
Os pilares intermediários estão basicamente submetidos a cargas axiais de compressão. 
Como as vigas e lajes que se apoiam neste pilar não sofrem interrupções total sobre os 
mesmos, admitem-se como desprezíveis os momentos fletores transmitidos para os 
pilares. A situação básica de projeto para os pilares intermediários é, portanto, a de 
compressão centrada. 
 
Os pilares de extremidade, em princípio, estão submetidos à flexão normal composta. A 
flexão decorre da interrupção, sobre o pilar, da viga perpendicular à borda considerada. 
 
Nos pilares de canto, em virtude da interrupção das vigas situadas nas duas bordas, 
existe uma situação de projeto de flexão oblíqua composta. 
 
 
FIGURA 3.3 – Arranjos usuais dos pilares de edifícios (Fonte: Fusco, 1981). 
 
 
Em todos os casos considerados, é importante observar que as situações de projeto 
levam em conta somente os esforços solicitantes iniciais, que são os esforços de 1a 
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ordem decorrentes apenas das cargas atuantes sobre a estrutura. Para o 
dimensionamento dos pilares, devem ser consideradas as excentricidades mínimas, que 
são também excentricidades de 1a ordem, bem como, no caso de pilares medianamente 
esbeltos, as excentricidades de 2a ordem locais. 
 
 
3.7 Excentricidade de forma 
 
Em edifícios, as posições das vigas e dos pilares dependem fundamentalmente do 
projeto arquitetônico. Assim, é comum em projetos a coincidência entre faces (internas 
ou externas) das vigas com as faces dos pilares que as apóiam. 
 
Quando os eixos baricêntricos das vigas não passam pelo centro de gravidade da seção 
transversal do pilar, as reações das vigas apresentam excentricidades que são 
denominadas excentricidades de forma (PINHEIRO, 2003). 
 
As excentricidades de forma, em geral, não são consideradas no dimensionamento dos 
pilares, pelas razões apresentadas a seguir. A Fig. 3.4 mostra as vigas VT01 e VT04 que 
se apóiam no pilar P01, com excentricidades de forma efy e efx, respectivamente. As 
tensões causadas pela reação da viga VT01, pelo Princípio de Saint-Venant, propagam-
se com um ângulo de 45o e logo se uniformizam, distribuindo-se por toda a seção 
transversal do pilar em um plano P (PINHEIRO, 2003). 
 
 
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FIGURA 3.4 – Excentricidades de forma e binários correspondentes (PINHEIRO, 
2003). 
 
 
A excentricidade de forma provoca, no nível de cada andar, um momento fletor 
MVT01 = RVT01 efy que tende a ser equilibrado por um binário. A Fig. 3.4 também 
representa esquematicamente os eixos dos pilares em vários tramos sucessivos, os 
momentos introduzidos pela excentricidade de forma e os binários que os equilibram 
(PINHEIRO, 2003). 
 
Observa-se que, em cada piso, atuam pares de forças em sentidos contrários com 
valores da mesma ordem de grandeza e que, portanto, tendem a se anular. 
 
A rigor, apenas no nível da fundação e da cobertura as excentricidades de forma 
deveriam ser levadas em conta. Entretanto, mesmo nesses níveis elas costumam ser 
desprezadas. 
 
No nível da fundação, sendo muito grande o valor da força normal proveniente dos 
andares superiores, o acréscimo de uma pequena excentricidade da reação da viga não 
afeta significativamente os resultados do dimensionamento. 
 
Já no nível da cobertura, os pilares são pouco solicitados e dispõem de armadura 
mínima, em geral, capaz de absorver os esforços adicionais causados pela 
excentricidade de forma (PINHEIRO, 2003). 
 
 
3.8 Momento de solidariedade entre viga e pilar 
 
 
Quando não for realizado o cálculo exato da influência da solidariedade dos pilares com 
a viga, deve ser considerado, nos apoiosexternos, momento fletor igual ao momento de 
engastamento perfeito multiplicado pela relação entre os coeficientes de rigidez : 
 
 
 
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- na viga: 
supinfvig
supinf
engvig rrr
rr
MM
++
+
= , (3.7)
 
- no tramo superior do pilar: 
supinfvig
sup
engsup rrr
r
MM
++
= , (3.8)
 
- no tramo inferior do pilar: 
supinfvig
inf
enginf rrr
r
MM
++
= , (3.9)
 
onde: 
 
ri é a rigidez do elemento i no nó considerado, dada por: 
inf
inf
inf
I6r
λ
= ; 
sup
sup
sup
I6
r
λ
= ; (3.10)
vig
vig
vig
I4
r
λ
= (para vigas contínuas) ou 
vig
vig
vig
I3
r
λ
= (para vigas com extremidade oposta rotulada). 
(3.11)
 
As Figs. 3.5 e 3.6 ilustram o momento de solidariedade entre a viga e o pilar de 
extremidade. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Lvig 
Linf /2 
Lsup /2 
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FIGURA 3.5 – Resumo das fórmulas para determinação dos coeficientes de rigidez. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FIGURA 3.6 – Momentos de solidariedade entre viga e pilar de extremidade. 
 
 
4 Análise de elementos isolados 
 
4.1 Dispensa da análise dos efeitos locais de 2ª ordem 
 
Os esforços locais de 2ª ordem em elementos isolados podem ser desprezados quando o 
índice de esbeltez (λ) for menor que o valor limite λ1: 
 
- λ 90, devendo ser acrescentada à M1d a 
parcela correspondente à excentricidade ec definida no item 15.8.4 da NB1. 
 
5.1 Método exato 
 
Consiste na análise não-linear de 2ª ordem efetuada com discretização adequada da 
barra, consideração da relação momento-curvatura real em cada seção, e consideração 
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da não-linearidade geométrica de maneira não aproximada. O método é obrigatório para 
λ>140. 
 
5.2 Métodos aproximados 
 
A determinação dos esforços locais de 2ª ordem pode ser feita por métodos 
aproximados como o do pilar padrão. 
 
a) Método do pilar padrão com curvatura aproximada 
 
Pode ser empregado apenas no cálculo de pilares com λ≤90, seção constante e armadura 
simétrica e constante ao longo de seu eixo. A não-linearidade geométrica é considerada 
de forma aproximada, supondo-se que a deformação da barra seja senoidal. A não-
linearidade física é considerada através de uma expressão aproximada da curvatura na 
seção crítica. 
 
O momento total máximo no pilar deve ser calculado pela expressão: 
 
A1d,
2
e
dA1d,b totd, M 
r
1 
10
 N M M ≥+α=
λ
, (5.1)
 
ou, relacionando as excentricidades: 
 
121btot e e e e ≥+α= , (5.2)
 
onde 1/r representa a curvatura na seção crítica, que pode ser avaliada pela expressão 
aproximada: 
 
h
0,005
)0,5ν(h
0,005
r
1
≤
+
= , (5.3)
 
sendo: 
 
ν = Nd / (Ac fcd), 
e 
min1d,A1d, MM ≥ (ou min1,1 ee ≥ ), (5.4)
 
onde h é a altura da seção na direção considerada. 
 
b) Método do pilar padrão com rigidez κ aproximada 
 
Pode ser empregado apenas no cálculo de pilares com λ≤90, seção retangular constante, 
armadura simétrica e constante ao longo de seu eixo. 
 
O momento total máximo no pilar deve ser calculado pela expressão: 
 
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16 






≥
/νκ
−
α
=
min1d,
A1d,
2
A1d,b
totd, M
M
 
120
λ1
M 
M , 
(5.5) 
 
ou, em função das excentricidades, 
 






≥
κ/ν
−
α
=
min1,
1
2
1b
tot e
e
 
120
λ1
e 
e , 
(5.6) 
 
sendo o valor da rigidez adimensional κ dado aproximadamente pela expressão: 
 
ν





+=
d
totd,
h.N
M
 5 1 32 κ , (5.7) 
 
ou, 
 
ν




 +=
h
e
 5 1 32 κ tot . (5.8) 
 
As variáveis h, ν, M1d,A e αb são as mesmas definidas no item anterior. Usualmente 2 ou 
3 iterações são suficientes quando se optar por um cálculo iterativo. 
 
 
Segundo Banki e Coelho (2005), a excentricidade de 2a ordem pelo processo do pilar 
padrão com rigidez aproximada também pode ser calculada pela expressão direta dada 
por: 














+−+





−=
2h
e
10
k
5h
e
2h
e
10
khe cc
2
c
2 , 
sendo: 



 =
≥
min1,
A
ib
C
i
c e
e αe
 e , 
e 
3840
λ1k
2
−= . 
 
5.3 Método do pilar padrão para pilares de seção 
retangular submetidos à flexão composta oblíqua 
 
Quando a esbeltez de um pilar de seção retangular submetido à flexão composta oblíqua 
for menor que 90 (λno item anterior simultaneamente em cada uma das duas direções. 
 
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A amplificação dos momentos de 1ª ordem em cada direção é diferente pois depende de 
valores distintos de rigidez e esbeltez. 
 
Uma vez obtida a distribuição de momentos totais, de primeira e segunda ordem, em 
cada direção, deve ser verificada, para cada seção ao longo do eixo, se a composição 
desses momentos solicitantes fica dentro da envoltória de momentos resistentes para a 
armadura escolhida. Essa verificação pode ser realizada em apenas três seções: nas 
extremidades A e B e num ponto intermediário onde se admite atuar concomitantemente 
os momentos Md,tot nas duas direções (x e y). 
 
 
5.4 Resumo das exigências da NBR6118/03 
 
PROCESSO DE CÁLCULO 
λ Consideração 
das deformações 
Exato Simplificado 
Consideração da 
fluência 
≤ λ1 dispensável - - - 
≤ 90 dispensável permitido dispensável 
≤ 140 
≤ 200 
obrigatória 
obrigatório não permitido obrigatória 
Não é permitido empregar λ > 200 
 
6 Disposições gerais relativas às armaduras 
 
As exigências que seguem (item 18.4) referem-se a pilares cuja maior dimensão da 
seção transversal não exceda cinco vezes a menor dimensão, e não são válidas para as 
regiões especiais. Quando a primeira condição não for satisfeita, o pilar deve ser tratado 
como pilar parede, aplicando-se o disposto no item 18.5 da NB1. 
 
 
6.1 Armaduras longitudinais 
 
a) Diâmetro mínimo e taxa de armadura 
 
O diâmetro das barras longitudinais não deve ser inferior a 10 mm e nem superior 1/8 da 
menor dimensão transversal. 
 
A taxa geométrica de armadura deve respeitar os valores máximos e mínimos 
especificados no item 17.3.4.3 da NB1. Conforme este item, a taxa de armadura deve ter 
o valor mínimo de: 
 
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18 
%0,40
f
f
0,15
A
A
yd
cd
c
s
min ≥ν==ρ , (6.1) 
sendo: 
cdc
Sd
fA
N
=ν , (6.2) 
 
onde ν é o valor da força normal em termos adimensionais. 
 
Pode-se também escrever a Eq. 6.1 na forma (substituindo a Eq. 6.2): 
 
%0,40
fA
N
0,15
ydc
Sd
min ≥=ρ , (6.3) 
ou, em termos de área de aço: 
c
yd
Sd
min A%0,40
f
N
0,15 ≥=Α , (6.4) 
 
A Tab. 6.1 fornece valores para ρmin (Eq. 6.1), com o uso de aço CA-50 e considerando 
γc = 1,4 e γs = 1,15. 
 
TABELA 6.1 - Taxas mínimas de armadura de pilares. 
 
Valores de ρmin* 
% 
Valores de fck 20 25 30 35 40 45 50 
Valores de ν 
0,1 0,400 0,400 0,400 0,400 0,400 0,400 0,400 
0,2 0,400 0,400 0,400 0,400 0,400 0,400 0,400 
0,3 0,400 0,400 0,400 0,400 0,400 0,400 0,400 
0,4 0,400 0,400 0,400 0,400 0,400 0,444 0,493 
0,5 0,400 0,400 0,400 0,431 0,493 0,554 0,616 
0,6 0,400 0,400 0,444 0,518 0,591 0,665 0,739 
0,7 0,400 0,431 0,518 0,604 0,690 0,776 0,863 
0,8 0,400 0,493 0,591 0,690 0,789 0,887 0,986 
* Para aço CA-50, γc = 1,4 e γs = 1,15. 
 
A maior armadura possível em pilares deve ser 8% da seção real, considerando-se 
inclusive a sobreposição de armadura existente em regiões de emenda (Eq. 6.3). 
 
As, máx = 8,0% Ac. (6.5) 
 
b) Distribuição transversal 
 
As armaduras longitudinais devem ser dispostas na seção transversal de forma a garantir 
a adequada resistência do elemento estrutural. 
 
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19
Em seções poligonais, deve existir pelo menos uma barra em cada vértice; em seções 
circulares, no mínimo seis barras distribuídas ao longo do perímetro. 
 
O espaçamento livre entre as armaduras, medido no plano da seção transversal, fora da 
região de emendas, deve ser igual ou superior ao maior dos seguintes valores: 
 
- 20 mm; 
- diâmetro da barra; 
- no mínimo 1,2 vezes o diâmetro máximo do agregado, inclusive nas emendas. 
 
O espaçamento máximo entre eixos das barras, ou de centros de feixes de barras, deve 
ser menor ou igual a duas vezes a menor dimensão no trecho considerado, sem exceder 
400 mm. 
 
6.2 Armaduras transversais 
 
A armadura transversal de pilares, constituída por estribos e, quando for o caso, por 
grampos suplementares, deve ser colocada em toda a altura do pilar, sendo obrigatória 
sua colocação na região de cruzamento com vigas e lajes. 
 
a) Estribos 
 
O diâmetro dos estribos em pilares não deve ser inferior a 5 mm nem a 1/4 do diâmetro 
da barra isolada ou do diâmetro equivalente do feixe que constitui a armadura 
longitudinal. 
 
O espaçamento longitudinal entre estribos, medido na direção do eixo do pilar, para 
garantir o posicionamento, impedir a flambagem das barras longitudinais e garantir a 
costura das emendas de barras longitudinais nos pilares usuais, deve ser igual ou inferior 
ao menor dos seguintes valores: 
 
- 200 mm 
- menor dimensão da seção; 
- 24φ para CA-25, 12φ para CA-50. 
 
Pode ser adotado o valor φtde Concreto Armado II. UFRGS – 
Departamento de Engenharia Civil, Porto Alegre, 2002. 
 
FUSCO, P. B., Técnicas de armar estruturas de concreto. Editora PINI, São Paulo, 
1994. 
 
FUSCO, P. B., Concreto armado - Solicitações normais. Editora PINI, São Paulo, 1981. 
 
IBRACON, Prática recomendada – Comentários Técnicos NB-1. Rio de Janeiro: 2004. 
 
PINHEIRO, L. M., Estrutura de Concreto – Notas de Aula. USP – EESC. 
Departamento de Engenharia de Estruturas. São Carlos, 2003. 
 
 
2xcxx e e e +=
y 
Situação de projeto 
Seção 
Intermediária
Situação de cálculo 5 Situação de cálculo 6 




≥
min1x,
C
ix
cx e
e
 e
C
ixe
 
x 
Nd 
C
iye
y 
x 
Nd 
ex 
ey 
y 
x 
Nd 
C
ixe
A
ixbx
C
ix e e α=
A
iyby
C
iy e e α=
C
iye
2ycyy e e e +=




≥
min1y,
C
iy
cy e
e
 e
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23
7 Exercícios de pilares retangulares bi-apoiados 
 
7.1 Exemplo 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dados: 
fck = 25 MPa; 
N = 150 tf = 1500 kN; 
Le = 2,6 m (comprimento equivalente). Considerar igual nas duas direções. 
 
Resolução: 
 
Lx = Ly = 260cm 
hx = 30cm → como a menor dimensão é maior que 19cm → γn = 1,0. 
hy = 40cm 
Solicitações: 





=
=
=
0M
0M
kN1500 N
y
x 
 
- Excentricidades de projeto: 
Como Mx = 0 eix = 0; 
Como My = 0 eiy = 0; 
 
- Excentricidades mínimas: 
xmin1x, h03,05,1e += 
cm4,23003,05,1e min1x, =×+= 
ymin1y, h03,05,1e += 
2,7cm400,031,5e min1y, =×+= 
 
y
x
30cm 
40cm 
 
 
 
 
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24 
- Índices de esbeltez: 
 
a) Direção x: 
x
e
x h
L
3,46λ = 30
30
2603,46λ x == 
 
como 90λ35 1x ≤≤ : 1xx λλω = 0,30. 
yd
cdc
s f
.fω.A
A = 2
s cm39,7
43,5
1,4
2,540510,30
A =
×××
= 
 
6φ12,5mm (7,5cm2) → 3φ12,5mm em cada face 
 
 
Dimensionamento situação de cálculo 4 (seção intermediária): flexo-compressão normal 







==
==
=×==
=
cm40hh
cm15hb
cmkN.9,108109,3350MM
kN503N
y
x
x 
 
d’ = c + φt + φ/2 = 2,5 + 0,5 + 1,6/2 = 3,8cm (arbitrado) 
 
095,0
40
8,3
h
d'
== 
 
Será utilizado o diagrama de interação: d’=0,10 h. 
 
cdc
d
fA
N
ν = 55,0
1,4
2,54015
1,21,4503
=
××
××
= 
y
y
cdyc
dx
h
e
ν
fhA
Mµ ==
y = 0,042 
 
Diagrama de interação → ω = 0,0 
yd
cdc
s f
.fω.A
A = 2
s cm0A = 
 
 
 
 
 
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32 
Detalhamento: 
 
 
 
 
 
 6φ12,5mm 
 
 
 
 
 
Verificações: 
- Taxa de armadura: %25,1
4015
25,16
A
Aρ
c
s =
×
×
== 
- Taxa de armadura mínima: 0,40%
Af
N
0,15ρ
cyd
d
min ≥= 
%33,0
43,51540
1,21,45030,15.ρmin =
××
××
= 0,40%ρmin =∴ 
 
- Taxa de armadura máxima: 4,0%ρmax = 
Ok!ρρρ maxmin e1x,min 1α bx ≠ 
4,0
e
e0,40,6α A
ix
B
ix
bx ≥+= 
4,00,52
2,67
0,53-0,40,6α bx >=




×+= 52,0α bx =∴ 
29,51
0,52
20
67,212,525
λ1x =
+
= 
Então: 29,51λ1x = 
Como: 1xx λλ > 0e2x ≠ 
 
d) Direção y: 
y
e
y h
L
3,46λ = = 34,6 
como: 90λ35 1y ≤≤ , então: 1yy λλ= 28 MPa, c = 2,5cm, λe = 300cm (nas duas direções), Nk = 500 kN. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1 – Detalhe do pilar P5. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2 – Distribuição longitudinal dos momentos ao longo do lance do pilar P5. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 V2
 V9
 V9
P5 
(35×18) 
8 kN.m 
15 kN.m 
Momentos gerados 
pela viga V2 
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41
Resolução: 
Solicitações: 





−==
=
=
kN.m8M kN.m15M
kN.m0M
kN500 N
B
y
A
y
x 
 
hx = 18cm → γn = 1,95 – 0,05hx = 1,05 
hy = 35cm 
Le = 3,0m (comprimento equivalente) 
 
- Excentricidades de projeto: 
 
cm60,1
500
800ecm0,3
500
1500e topo
iy
base
iy ==== ; 
cm60,1
500
800ecm0,3
500
1500e B
iy
A
iy −=−=== ; 
0ee topo
ix
base
ix == 
 
- Excentricidades mínimas: 
cm04,2h03,05,1e xmin1x, =+= 
cm55,2h03,05,1e ymin1y, =+= 
 
- Índices de esbeltez: 
a) Direção x: 
67,57
h
L
3,46λ
x
e
x == 
bx
x
A
ix
1x α
h
e12,525
λ
+
= sendo 90λ35 1x ≤≤ 
 
como eix 0e2x ≠ 
 
b) Direção y: 
66,29
h
L
3,46λ
y
e
y == 
by
y
A
iy
1y α
h
e
12,525
λ
+
= sendo 90λ35 1y ≤≤ 
como A
iye > e1y,min 1αby ≠ 
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42 
4,0
e
e
0,40,6α A
iy
B
iy
by ≥+= 
4,00,38
3,0
1,6-0,40,6αby