Exercicios Calculo (125)

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𝑸𝒖𝒆𝒔𝒕ã𝒐 𝟏. 
 
𝑎) 𝑆𝑎𝑏𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑓 𝑒 𝑔 𝑠ã𝑜 𝑓𝑢𝑛çõ𝑒𝑠 𝑡𝑎𝑖𝑠 𝑞𝑢𝑒 lim
𝑥→+∞
(𝑓(𝑥) + 2𝑔(𝑥)) = 5 𝑒 
lim
𝑥→+∞
(𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)) = 2, 𝑒𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑒 lim
𝑥→+∞
(𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)). 
 
𝐶𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑒 𝑜 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑖𝑛𝑡𝑒 𝑞𝑢𝑜𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒: 
 
𝑓(𝑥) + 2𝑔(𝑥)
𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)
= 1 +
3𝑔(𝑥)
𝑓(𝑥)− 𝑔(𝑥)
 
 
𝐶𝑜𝑚𝑜 lim
𝑥→+∞
(𝑓(𝑥) + 2𝑔(𝑥)) 𝑒 lim
𝑥→+∞
(𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)) 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚, 𝑐𝑜𝑚 𝑒𝑠𝑡𝑒 ú𝑙𝑡𝑖𝑚𝑜 
𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑧𝑒𝑟𝑜,𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑜 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑜𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 é 𝑜 𝑞𝑢𝑜𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑜𝑠 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒𝑠 𝑒, 
𝑐𝑜𝑚𝑜 lim
𝑥→+∞
1 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒, 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑙𝑢𝑖-𝑠𝑒 𝑝𝑒𝑙𝑜 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 𝑚𝑒𝑚𝑏𝑟𝑜 𝑑𝑎 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑎𝑐𝑖𝑚𝑎 
𝑞𝑢𝑒 lim
𝑥→+∞
𝑔(𝑥) 𝑡𝑎𝑚𝑏é𝑚 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒. 𝐿𝑜𝑔𝑜, 
 
lim
𝑥→+∞
𝑓(𝑥) + 2𝑔(𝑥)
𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)
= lim
𝑥→+∞
1 + lim
𝑥→+∞
3𝑔(𝑥)
𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)
 
 
lim
𝑥→+∞
(𝑓(𝑥) + 2𝑔(𝑥))
lim
𝑥→+∞
(𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥))
= lim
𝑥→+∞
1 +
lim
𝑥→+∞
3𝑔(𝑥)
lim
𝑥→+∞
(𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥))
 
 
5
2
= 1 +
3 lim
𝑥→+∞
𝑔(𝑥)
2
 
 
5 = 2 + 3 lim
𝑥→+∞
𝑔(𝑥) 
 
lim
𝑥→+∞
𝑔(𝑥) = 1 
 
𝐶𝑜𝑚𝑜 lim
𝑥→+∞
𝑔(𝑥) 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 lim
𝑥→+∞
(𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)) = lim
𝑥→+∞
𝑓(𝑥) − lim
𝑥→+∞
𝑔(𝑥). 
𝑂𝑢 𝑠𝑒𝑗𝑎, lim
𝑥→+∞
𝑓(𝑥) 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒. 𝐶𝑜𝑚 𝑖𝑠𝑠𝑜, 
 
lim
𝑥→+∞
(𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)) = lim
𝑥→+∞
𝑓(𝑥) − lim
𝑥→+∞
𝑔(𝑥) 
 
 2 = lim
𝑥→+∞
𝑓(𝑥) − 1 
 
lim
𝑥→+∞
𝑓(𝑥) = 3. 
 
𝑃𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜, 
 
lim
𝑥→+∞
(𝑓(𝑥)𝑔(𝑥))= lim
𝑥→+∞
𝑓(𝑥) × lim
𝑥→+∞
𝑔(𝑥) = 3 × 1 = 3.