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Matemática Revisão da graduação Regra de potenciação Observação( * é sinal de multiplicação, : é sinal de divisão) �� = � a=base n=expoente b=potência �) �� ∗ �� = ���� �) �� + �� = �� + �� (observa que base é igual e os expoentes são diferentes por isso que resposta continua �� + �� �) 1�� + 1�� = 2�� (������� ��� � ���� �ã� ������ � �� ��������� �ã� �� ����� ��� ���� ���� �����. �) �� − �� = �� − �� �) 1�� − 1�� = 0 �) �� ∗ �� = ���� (Multiplicação de potência conserva a base soma os expoentes, essa lei só funciona se base for igual) �) �� : �� = ���� �� �� �� = �� ∗ ��� = ���� (Divisão de potência conserva a base subtrai os expoentes, essa lei só funciona se base for igual ) �) (� ∗ �)� = �� ∗ �� d) ( � � )� = �� �� �)��� = � �� onde a≠0 a ( todo número elevado a -1 é o inverso dele mesmo) �)�� = a ( todo número elevado a 1 é ele mesmo) �)� � � = √�� � ���� � é ������ ������� a ≠ 0 todo número elevado a � � é o raiz quadrada se n=2 raiz cubica n=3 ou seja � � é ���� ��é���� �� �� ������ ������� ) � � � = √�� � � � = √�� � � � � = √� � � � � = √� � ℎ)� �� � = � √� � (���� � é ������ ������� a ≠ 0 h) � �� � = � √� � � �� � = � √� � ��� Na multiplicação o número 1 é número neutro ou seja não precisa aparecer porque sabemos que ele está lá por exemplo: x + x ou seja 1x +1x = 2x uma variável multiplicado por um 1 é própria variável ou seja 1*x= x Vamos fazer exercícios aplicando a regra de potência. �) 2� ∗ 2� b) �� �� �) 4�� ∗ 4� �) 5�� : 5� �) ( 5� )� d) �)2�� �)2�� g) ( � � )�� �)2 � � ℎ)2 �� � �)5 ��� ��� �)2 ���� ���� Vou começar citando uma frase minha que surgiu quando estava escrevendo esse artigo de matemática para leigos com linguagem popular, o importante desse artigo que você entenda ideia como lidar com cada situação da derivada. DESCULPE os professores de português que nesse artigo eu enforquei o português .........kkkkkkk, Desculpe também a zuação durante o artigo vão ter muitas zuações. Ai vai frase: Uma ideia parece mas muito útil na matemática não importa se caminho é longo ou caminho é curto importante mesmo que você conheça esse caminho que você está andando para não ficar perdido. (Wellerson Davi) A derivada sempre vai ser aplicada quando for falado sobre energia mínima ou energia máxima ou força mínima ou força máxima ou seja a derivada está relacionado ao ponto máximo e o ponto mínimo da função. Tem alguns autores que diz que a derivada é uma reta que toca em único ponto ou seja é reta tangente naquele ponto. O símbolo da derivada ��(�) �� ou f linha de x f’(x). Então toda vez que vermos ��(�) �� ou f’ quer dizer estamos fazendo uma derivada em relação a uma variável que nesse caso a nossa variável é x. Para aprender derivada partimos do pressuposto que sabemos tudo sobre funções e sobre as quatro operações matemática (soma , subtração , multiplicação e divisão). A primeira regra que vamos aprender é regra do tombo onde cair o expoente e subtrai um do expoente. Temos uma função �(�) = �� agora vamos aplicar regra do tombo. ��(�) �� = 2���� então fica ��(�) �� = 2�� ( lembrando da regra de potenciação onde diz que todo número elevado ao expoente 1 é ele mesmo) então ��(�) �� = 2�. Vamos continuar praticando �(�) = �� Aplicando a derivada ��(�) �� = 3���� então fica ��(�) �� = 3�� Agora faça você sozinho matemática só aprende se praticar várias vezes �)�(�) = ��, �)�(�) = ��, �)�(�) = ��, �)�(�) = ��, �)�(�) = ���, �)�(�) = ���, �)�(�) = ���, ℎ)�(�) = ���, �)�(�) = ��, �)�(�) = ��, �)�(�) = ���, �)�(�) = ��, �)�(�) = ��, �)�(�) = ���, �)�(�) = ���, �)�(�) = ���, �)�(�) = ���, �)�(�) = ���, �)�(�) = ��, �)�(�) = ���, Vamos continuar praticando �(�) = � ( toda vez que tiver a variável sozinha que significa que ela está elevado a 1) ��(�) �� = 1���� então fica ��(�) �� = 1��(( lembrando da regra de potenciação onde diz que todo número elevado ao expoente 0 é 1) ( observação 0� esse número não é 1 , matematicamente esse número não existe) ��(�) �� = 1 ∗ 1 ���ã� ���� ��(�) �� = 1 podemos dizer que derivada de uma variável sozinha é um número) Agora faça você sozinho matemática só aprende se praticar várias vezes �)�(�) = 2�, �)�(�) = 5�, �)�(�) = �, �)�(�) = 8�, �)�(�) = 51�, �)�(�) = ���, �)�(�) = 3�, ℎ)�(�) = 10�, �)�(�) = ��, �)�(�) = ��, �)�(�) = 33�, �)�(�) = 25�, �)�(�) = ��, �)�(�) = ���, �)�(�) = ����, �)�(�) = 13�, �)�(�) = 21�, �)�(�) = 100�, �)�(�) = ���, �)�(�) = ����, Vamos continuar praticando �(�) = 1 (toda vez que vermos um número sozinho ou seja um numero sem acompanhamento de variável) vamos chamar ele de constante . Se olhar na função f(x) observa que função não tem nenhuma letra acompanhando ou seja ela está sozinha, vamos falar na linguagem mais bonita a função não está variando. Sabemos que 1��=1 ��(�) �� = 0 ∗ 1����(Todos os números multiplicado por zero é zero) então derivada fica ��(�) �� = 0 ou seja derivada de um numero é zero. Vamos falar na linguagem mais bonita a derivada de uma constante é zero é bom gravar essa regra) Agora faça você sozinho matemática só aprende se praticar várias vezes �)�(�) = 2, �)�(�) = 5, �)�(�) =, �)�(�) = 8, �)�(�) = 51, �)�(�) = 2��, �)�(�) = 3, ℎ)�(�) = 10, �)�(�) = 2�, �)�(�) = � � , �)�(�) = √33 � , �)�(�) = �� � , �)�(�) = √8 � , �)�(�) = 5��, �)�(�) = � � , �)�(�) = 14, �)�(�) = 25, �)�(�) = 33, �)�(�) = 100, �)�(�) = ��, Vamos continuar praticando �(�) = 2�� ��(�) �� = 2 ∗ 2���� Então fica ��(�) �� = 2 ∗ 2�� ou ��(�) �� = 4� Agora faça você sozinho matemática só aprende se praticar várias vezes. �)�(�) = 5��, �)�(�) = 6��, �)�(�) = 7��, �)�(�) = 7��, �)�(�) = 10���, �)�(�) = 10���, �)�(�) = 10���, ℎ)�(�) = 15���, �)�(�) = 20��, �)�(�) = 3��, �)�(�) = ���, �)�(�) = ��, �)�(�) = ��, �)�(�) = ���, �)�(�) = 1���, �)�(�) = 10���, �)�(�) = 10���, �)�(�) = 5���, �)�(�) = 2��, �)�(�) = 3���, Vamos continuar praticando �(�) = 2�� + 5�� ��(�) �� = 2 ∗ 2���� + 3 ∗ 5���� então fica ��(�) �� = 2 ∗ 2�� + 3 ∗ 5�� ou ��(�) �� = 4� + 15�� podemos fazer a derivada separada e depois juntar ela de novo, mas para temos chamar renomear a função com outra letra. �(�) = �(�) + ℎ(�) ����çã� 1 �(�) = 2�� ���ã� ���� ��(�) �� = 2 ∗ 2���� ou ��(�) �� = 4� E���çã� 2 ℎ(�) = + 5�� ���ã� ���� ��(�) �� = +3 ∗ 5���� ou ou ��(�) �� = 15�� ��(�) �� = ��(�) �� + ��(�) �� ou seja a derivada da soma é soma derivada . Juntando os resultados das equações 1 e 2 então fica ��(�) �� = 4� + 15�� que é mesma resposta conta de cima. Vamos continuar praticando �(�) = 2�� - 5�� ��(�) �� = 2 ∗ 2���� − 3 ∗ 5���� então fica ��(�) �� = 2 ∗ 2�� − 3 ∗ 5�� ou ��(�) �� = 4� − 15�� podemos fazer a derivada separada e depois juntar ela de novo, mas para temos chamar renomear a função com outra letra. �(�) = �(�) − ℎ(�) ����çã� 1 �(�) = 2�� ���ã� ���� ��(�) �� = 2 ∗ 2���� ou��(�) �� = 4� E���çã� 2 ℎ(�) = - 5�� ���ã� ���� ��(�) �� = −3 ∗ 5���� ou ou ��(�) �� = −15�� ��(�) �� = ��(�) �� − ��(�) �� . Juntando os resultados das equações 1 e 2 então fica ��(�) �� = 4� − 15�� que é mesma resposta conta de cima. Agora faça você sozinho matemática só aprende se praticar várias vezes. �)�(�) = 5��+1 �)�(�) = 6��+x �)�(�) = 7-7x �)�(�) = 7��+8 �)�(�) = 10��� -8x �)�(�) = 10��� + 3��, �)�(�) = 10��� − 10���, ℎ)�(�) = 15��� − 10���, �)�(�) = 20��, �)�(�) = 3��+3��, �)�(�) = 2 + ���, �)�(�) = 33�−��, �)�(�) = 5� − ��, �)�(�) = ���, �)�(�) = 1���+7 �)�(�) = −� + �, �)�(�) = 10���, �)�(�) = 5���, �)�(�) = 3� − 22��, �)�(�) = 33���(Cuidado com as propriedades de potenciação olhe na propriedade lá em cima) Já aprendemos a regra da soma e da subtração de derivada agora vamos aprender a regra do produto. A regra do produto é usado toda vez que ver duas funções multiplicando. A regra do produto diz bem assim: deriva a primeira função e conserva a segunda ( conservar significa que você vai apenas repetir a função sem mexer nela) + a deriva da segunda função e conserva a primeira função. A regra do produto é expressa matematicamente desse jeito: F(x)= f(x)g(x) ��(�) �� = ��(�) �� �(�) + ��(�) �� �(�) Então vamos aplicar essa regra que bastante útil. Vamos continuar praticando �(�) = 2��5�� ��(�) �� = 2 ∗ 2���� ∗ 5�� + 3 ∗ 5���� ∗ 2�� então fica ��(�) �� = 4�� ∗ 5�� + 3 ∗ 5�� ∗ 2�� (2� = � 2 é �ℎ����� �� ���� � � 3 é �ℎ����� �� ��������) ( lembrando da propriedade de multiplicação de potência por exemplo 2� ∗ 2�= 2��� = 2� ou seja você vai conserva( repetir) a base e somar os expoente isso é valido só quando a base é igual, quando não é igual temos dar um jeito de transformar na mesma base por exemplo 8� ∗ 2� sabemos (2� = 2*2*2=8) então 8� ∗ 8 então fica 8��� então fica 8� ou poderia fazer de outro jeito por exemplo (2�=8) então fica (2�)� ∗ 2� aplicando a propriedade potência de potência nessa regra toda vezes (2�)� uma situação dessa multiplicamos os expoentes repetimos a base. (2�)� ∗ 2� ���ã� ���� 2� ∗ 2� Então fica 2��� então 2�� para ver se isso é verdade faz essa conta na calculadora 2�� e 8� se obtiver a mesma resposta é verdade. Outro lembrete que sempre que a matemática nos engana 2� + 2�≠2�� � 2�� =2� ∗ 2� repare que um é uma soma de potência e outro é multiplicação de potência, (faz essa conta na calculadora). Depois de dado uma revisão básica nas propriedades de potência. Agora continuar com a derivada fica ��(�) �� = 20���� + 30����(não precisa ficar assustado simplesmente só efetuamos a multiplicação de números inteiros) ��(�) �� = 20�� + 30�� então fica ��(�) �� = 50�� ( só efetuamos a soma cuidado só pode somar se os expoentes for iguais se for diferente não pode soma, por exemplo se fosse 20��� + 30�� você pode perceber que os expoentes são diferentes então não pode somar então continua a conta do mesmo jeito 20��� + 30��) Vamos continuar praticando �(�) = 2��5�� aplicando a regra de potenciação então fica �(�) = 5 ∗ 2���� que fica �(�) = 10�� agora podemos derivar ��(�) �� = 5 ∗ 10���� então fica ��(�) �� = 50�� isso só foi para provar que regra da derivada do produto é verdadeira porque deu o mesmo resultado. Vamos continuar praticando �(�) = 2��5�� vamos aplicar a regra do produto separado ��(�) �� �(�) + ��(�) �� �(�) Primeiro vamos ver quem é meu f(x) e g(x) para depois derivar. F(x)= 2��5�� então meu f(x)= 2�� e meu g(x)= 5�� vamos derivar ��(�) �� = ��(�) �� �(�) + ��(�) �� �(�) ��(�) �� = 2 ∗ 2���� então fica ��(�) �� = 4�� fazendo a derivada de ��(�) �� = 3 ∗ 5���� então fica ��(�) �� = 15�� agora é substituir os valores na equação da derivada do produto ��(�) �� = ��(�) �� �(�) + ��(�) �� então fica ��(�) �� = 4�� ∗ 5�� + 15�� ∗ 2�� agora é somar os números e aplicar a regra potência nos expoentes ��(�) �� = 20�� + 30�� então fica ��(�) �� = 50�� provamos de novo que funciona a regra do produto. Uma ideia parece mas muito útil na matemática não importa se caminho é longo ou caminho é curto importante mesmo que você conheça esse caminho que você está andando para não ficar perdido. (Wellerson Davi) Agora faça você sozinho aplicando a regra do produto matemática só aprende se praticar várias vezes. �)�(�) = � ∗ 5�� �)�(�) = � ∗ 6�� �)�(�) = 7x7x �)�(�) = 7��8x �)�(�) = 10���8x �)�(�) = 10���3��, �)�(�) = 10���10���, ℎ)�(�) = 15���10���, �)�(�) = 1 ∗ 20�� �)�(�) = 3��3��, �)�(�) = 2���, �)�(�) = 33���, �)�(�) = 5���, �)�(�) = ���, �)�(�) = 1���7 �)�(�) = −��, �)�(�) = 10���, �)�(�) = 5���, �)�(�) = 3� − 22�� �)�(�) = 33���(Cuidado com as propriedades de potenciação olhe na propriedade lá em cima) Já aprendemos a regra da soma e da subtração de derivada agora vamos aprender a regra da derivada do quociente. A regra do quociente é usado toda vez que ver duas funções dividindo. A regra do quociente diz bem assim: deriva a primeira função e conserva a segunda ( conservar significa que você vai apenas repetir a função sem mexer nela) - a deriva da segunda função e conserva a primeira função e eleva a segunda função ao quadrado. A regra do quociente é expressa matematicamente desse jeito: F(x) = �(�) �(�) ��(�) �� = ��(�) �� �(�)� ��(�) �� �(�) �(�)� Vamos continuar praticando �(�) = ��� ��� Agora vamos derivar ��(�) �� = ��(�) �� �(�)� ��(�) �� �(�) �(�)� Desse jeito eu achei mais fácil para aplicar a regra do quociente. Posso aplicar a regra do quociente direto mas eu corro risco de errar desse jeito é mais prático e confiável. �(�) = 2�� ( a derivada desta função já foi feita la em cima passo a passo) g(x)= 5�� ( a derivada desta função já foi feita la em cima passo a passo) ��(�) �� = 4�� =4� ��(�) �� =15�� �(�)� = (5��)�= 25�� agora só jogar na formula da regra do quociente ��(�) �� = ��(�) �� �(�)� ��(�) �� �(�) �(�)� então fica ��(�) �� = ��∗���� ����∗��� ���� então fica ��(�) �� = ����� ���� ���� então fica ��(�) �� = � ���� ���� então fica ��(�) �� = � ����∗��� �� então fica ��(�) �� = � ������ �� então fica ��(�) �� = � ����� �� então fica ��(�) �� = −0,4��� então fica ��(�) �� = � �,� �� ( não precisa ficar assustado só usei regra matemática da 7° ano) Vamos continuar praticando �(�) = ��� ��� (aplicando a regra de potenciação) então fica �(�) = ���∗��� � ���ã� ���� �(�) = ���� � vamos dividir os numeros então fica �(�) = 0,4��� vamos plicar a regra produto achei mais interessante. ��(�) �� = ��(�) �� �(�) + ��(�) �� �(�) f(x)=0,4 g(x)= ��� ��(�) �� = 0 ∗ 0,4���� =0 ��(�) �� =) = −1 ∗ ����� = −��� ��(�) �� = ��(�) �� �(�) + ��(�) �� �(�) ��(�) �� =0* ���+(−���) ∗0,4 então fica ��(�) �� = (−���) ∗0,4 ��(�) �� = −0,4��� então fica ��(�) �� = � �,� �� ( está provada que regra quociente funciona) �(�) = 0,4��� (vamos derivar sem usar regra do produto ) ��(�) �� = -1∗ 0,4�����então fica ��(�) �� = −0,4��� então fica ��(�) �� = � �,� ��viu como tem como fazer a mesma derivada por vários caminhos desde que você conheça a função e regras básicas da matemática. Agora faça você sozinho aplicando a regra do quociente matemática só aprende se praticar várias vezes. a)�(�) = �� � �) �� �� �) �� � d) �� �� f) ��� �� g) �� ��� h) �� �� i) �� �� j) �� �� l) ��� ��� m) �� �� n) �� �� o) ��� �� Agora vamos aprender a última regra da derivada a regra da cadeia( pode ficar tranquilo o derivada não ninguém não... kkkk) Toda vez que tivermos uma função dentro de função temos que aplicar a regra cadeia por exemplo. F(x)= f(g(x)) a derivada fica ��(�) �� = ��(�) ��(�) ∗ ��(�) �(�) F’(x)=f’(x)*g(x)*g’(x) é muito prático representar desse jeito também Essa regra diz: a derivada da função de fora vezes a função de dentro vezes a derivada da função de dentro. Vamos aplicar a regra da cadeia F(x)=(��)� F(x)=(��)� g(x)= �� ��(�) �(�) = 2x (aplica regra do tombo) (observação aqui você está derivando a variável) f(x)= )=(�(�))� ��(�) ��(�) =2(g(x) (aplica regra do tombo)( observação aqui você está derivando função ) que fique bem claro variável é diferente de função. x= variável g(x)= função Usando a nossa formula da regra da cadeia ��(�) �� = ��(�) ��(�) ∗ ��(�) �(�) F(x)= )=(��)� g(x)= �� ��(�) �(�) = 2x f(x)= )=(�(�))� ��(�) ��(�) =2(g(x)) ��(�) �� =2(g(x)) 2x meu g(x) = �� ��(�) �� =2(��) 2x ��(�) �� =(��) 4x usando a regra de potência. Então fica ��(�) �� =4�� F(x)=(��)� usando a regra da potência de potencia Então fica F(x)=�� ��(�) �� =4�� (foi aplicado a regra do tombo) isso só foi para provar que regra da derivada da cadeia é verdadeira porque deu o mesmo resultado. Observação é importante aprender todas as regras porque tem funções que você vai usar todas a regras juntas. Vamos praticar o que nós aprendemos regra da cadeia, regra do produto e regra do quociente. �)(��)� �)(2��)� �)(2��)� �)(2��)� �)(20��)� �)(20��)� �)(20��)� �)��(��)� ℎ)2(20��)� �) �(��)� j) � �� (2��)� l) � �� (2��)� m) � �� (2��)� n) ��� �� (2��)� o) ��� �� (2��)� VAMOS FAZER A DERIVADA DE ALGUMAS FUNÇÕES ESPECIAIS F(X)=ln(x) ��(�) �� = � � essa regra é provada por regras de limites, mas no mestrado não vamos mexer com limites então é bom decorar isso. F(X)=�� Essa derivada é uma regra da cadeia onde g(x)= x f(x)= ��(�) ��(�) �� = ��(�) ��(�) ∗ ��(�) �(�) ��(�) �(�) =1 ( usa regra do tombo) ��(�) ��(�) = ��(�) Observação a derivada de ��(�) é ela mesma. Substituindo na formula de regra da cadeia ��(�) �� = ��(�) ∗ 1 meu g(x)=x então fica ��(�) �� = �� ∗ 1 então fica ��(�) �� = �� F(X)=�� � g(x)= �� f(x)= ��(�) ��(�) �(�) =2x ��(�) ��(�) = ��(�) Observação a derivada de ��(�) é ela mesma. ��(�) �� = ��(�) ��(�) ∗ ��(�) �(�) ��(�) �� = ��(�) ∗ 2� então fica ��(�) �� = �� � ∗ 2� nunca esqueça de substituir g(x). F(X)=� �� � g(x)= �� � f(x)= ��(�) ��(�) �(�) = �� � (regra do tombo ) observação quem está variando é o x. É bom sempre observar a letra que esta variando na função no nosso caso é x ��(�) ��(�) = ��(�) Observação a derivada de ��(�) é ela mesma. ��(�) �� = ��(�) ��(�) ∗ ��(�) �(�) ��(�) �� = ��(�) ∗ �� � então fica ��(�) �� = � �� � ∗ �� � nunca esqueça de substituir g(x). Vamos ver o caso em vez de x estar variando agora p que varia para ver como fica a função. F(p)=� �� � repare que antes quando x variava era F(x) mas agora como é p que esta variando então fica F(p). F(p)=� �� � g(p)= �� � f(p)= ��(�) ��(�) �(�) = � �� (usa regra do quociente ou você usa regra de potência ���� agora é com você.) observação quem está variando é o p. É bom sempre observar a letra que esta variando na função no nosso caso é p. ��(�) ��(�) = ��(�) Observação a derivada de ��(�) é ela mesma. ��(�) �� = ��(�) ��(�) ∗ ��(�) �(�) ��(�) �� = ��(�) ∗ �� �� então fica ��(�) �� = � �� � ∗ �� �� nunca esqueça de substituir g(x). Agora faça a derivada das seguintes funções. �)�(�) = � � � b)f(p)= � ��� � c)f(x)= � �� � d)f(p)= � �� � e)f(r)= � �� � �)�(�) = � �� � g)f(x)= �(��) Vamos continuar conhecendo funções especial F(x)= cos(x) ��(�) �� = -sen(x) é bom decorar por isso é provado apenas por limites F(x)= sen(x) ��(�) �� = cos(x) é bom decorar por isso é provado apenas por limites Existe outras funções, mas o que vamos usar no mestrados são só essas Vamos praticar as derivada aplicando todas as regras que conhecemos e todas as propriedades. Cuidado cos (�)��≠ � ��� (�) , sen (�)��≠ � ��� (�) então todas vez que temos uma fração trigonométricas usaremos sempre a regra do quociente. Repare também que funções dos exercícios a)F(x)= cos(2x) a derivada F(x)= cos(2x) ��(�) �� = −2���(2�) repare que são duas funções uma dentro da outra. b)F(x)= sen(3x) �)�(�) = ���(��) ���(�) d)�(�) = ��� (�)� ���(��) e) �(�) = �� �� � f)F(x)= ��(��) g)f(x)= ��(��) + ���(�) h) sen(x)+ cos(x)+ ��� ���(��) i)F(x)= ln(X)+cos(14x) j) F(x)=2 + 33+ se(x) l)F(x)= ln(2X) m)F(x)=x*x*x+ 2ln(x) n)2x+ Cx o) Ax+ BX
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