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regra da derivada

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Matemática Revisão da graduação 
Regra de potenciação 
Observação( * é sinal de multiplicação, : é sinal de divisão) 
�� = � a=base n=expoente b=potência 
�) �� ∗ �� = ���� 
�) �� + �� = �� + �� (observa que base é igual e os expoentes são diferentes por isso 
que resposta continua �� + �� 
�) 1�� + 1�� = 2�� 
(������� ��� � ���� �ã� ������ � �� ��������� �ã� �� ����� ��� ���� ���� �����. 
�) �� − �� = �� − �� 
�) 1�� − 1�� = 0 
�) �� ∗ �� = ���� (Multiplicação de potência conserva a base soma os expoentes, essa lei 
só funciona se base for igual) 
 
 �) �� : �� = ���� �� 
�� 
�� 
= �� ∗ ��� = ���� (Divisão de potência conserva a base 
subtrai os expoentes, essa lei só funciona se base for igual ) 
 
 �) (� ∗ �)� = �� ∗ �� d) (
� 
�
)� =
�� 
�� 
 
 
 �)��� =
�
�� 
 onde a≠0 a ( todo número elevado a -1 é o inverso dele mesmo) 
 �)�� = a ( todo número elevado a 1 é ele mesmo) 
 �)�
�
� = √�� 
�
 ���� � é ������ ������� a ≠ 0 todo número elevado a 
�
�
 é o raiz quadrada 
se n=2 raiz cubica n=3 ou seja 
�
�
 é ���� ��é���� �� �� ������ ������� ) 
�
�
� = √�� �
�
� = √�� 
�
 �
�
� = √� 
� �
�
� = √� 
�
 
ℎ)�
��
� =
�
√�
� (���� � é ������ ������� a ≠ 0 
h) �
��
� =
�
√�
� �
��
� =
�
√�
� ��� 
 
 
 
 
 
 
Na multiplicação o número 1 é número neutro ou seja não precisa aparecer porque sabemos 
que ele está lá por exemplo: x + x ou seja 1x +1x = 2x uma variável multiplicado por um 1 é 
própria variável ou seja 1*x= x 
 
Vamos fazer exercícios aplicando a regra de potência. 
�) 2� ∗ 2� b) 
�� 
�� 
 �) 4�� ∗ 4� �) 5�� : 5� �) ( 5� )� d) �)2�� �)2�� g) (
�
�
)�� 
�)2
�
� ℎ)2
��
� �)5
���
��� �)2
����
���� 
 
Vou começar citando uma frase minha que surgiu quando estava escrevendo esse artigo de 
matemática para leigos com linguagem popular, o importante desse artigo que você entenda 
ideia como lidar com cada situação da derivada. DESCULPE os professores de português que 
nesse artigo eu enforquei o português .........kkkkkkk, Desculpe também a zuação durante o 
artigo vão ter muitas zuações. Ai vai frase: Uma ideia parece mas muito útil na matemática 
não importa se caminho é longo ou caminho é curto importante mesmo que você conheça 
esse caminho que você está andando para não ficar perdido. (Wellerson Davi) 
A derivada sempre vai ser aplicada quando for falado sobre energia mínima ou energia 
máxima ou força mínima ou força máxima ou seja a derivada está relacionado ao ponto 
máximo e o ponto mínimo da função. Tem alguns autores que diz que a derivada é uma reta 
que toca em único ponto ou seja é reta tangente naquele ponto. 
O símbolo da derivada 
��(�)
��
 ou f linha de x f’(x). Então toda vez que vermos 
��(�)
��
 ou f’ quer 
dizer estamos fazendo uma derivada em relação a uma variável que nesse caso a nossa 
variável é x. 
Para aprender derivada partimos do pressuposto que sabemos tudo sobre funções e sobre as 
quatro operações matemática (soma , subtração , multiplicação e divisão). 
A primeira regra que vamos aprender é regra do tombo onde cair o expoente e subtrai um do 
expoente. 
 
Temos uma função �(�) = �� agora vamos aplicar regra do tombo. 
��(�)
��
= 2���� então fica 
��(�)
��
= 2�� ( lembrando da regra de potenciação onde diz que todo 
número elevado ao expoente 1 é ele mesmo) então 
��(�)
��
= 2�. 
Vamos continuar praticando �(�) = �� 
Aplicando a derivada 
��(�)
��
= 3���� então fica 
��(�)
��
= 3�� 
Agora faça você sozinho matemática só aprende se praticar várias vezes 
�)�(�) = ��, �)�(�) = ��, �)�(�) = ��, �)�(�) = ��, �)�(�) = ���, 
�)�(�) = ���, �)�(�) = ���, ℎ)�(�) = ���, �)�(�) = ��, �)�(�) = ��, 
�)�(�) = ���, �)�(�) = ��, �)�(�) = ��, �)�(�) = ���, �)�(�) = ���, 
�)�(�) = ���, �)�(�) = ���, �)�(�) = ���, �)�(�) = ��, �)�(�) = ���, 
Vamos continuar praticando �(�) = � ( toda vez que tiver a variável sozinha que significa que 
ela está elevado a 1) 
��(�)
��
= 1���� então fica 
��(�)
��
= 1��(( lembrando da regra de potenciação onde diz que todo 
número elevado ao expoente 0 é 1) ( observação 0� esse número não é 1 , matematicamente 
esse número não existe) 
��(�)
��
= 1 ∗ 1 ���ã� ���� 
��(�)
��
= 1 podemos dizer que derivada de 
uma variável sozinha é um número) 
Agora faça você sozinho matemática só aprende se praticar várias vezes 
�)�(�) = 2�, �)�(�) = 5�, �)�(�) = �, �)�(�) = 8�, �)�(�) = 51�, 
�)�(�) = ���, �)�(�) = 3�, ℎ)�(�) = 10�, �)�(�) = ��, �)�(�) = ��, 
�)�(�) = 33�, �)�(�) = 25�, �)�(�) = ��, �)�(�) = ���, �)�(�) = ����, 
�)�(�) = 13�, �)�(�) = 21�, �)�(�) = 100�, �)�(�) = ���, �)�(�) = ����, 
Vamos continuar praticando �(�) = 1 (toda vez que vermos um número sozinho ou seja um 
numero sem acompanhamento de variável) vamos chamar ele de constante . 
Se olhar na função f(x) observa que função não tem nenhuma letra acompanhando ou seja ela 
está sozinha, vamos falar na linguagem mais bonita a função não está variando. Sabemos que 
1��=1 
��(�)
��
= 0 ∗ 1����(Todos os números multiplicado por zero é zero) então derivada fica 
��(�)
��
= 0 ou seja derivada de um numero é zero. Vamos falar na linguagem mais bonita a 
derivada de uma constante é zero é bom gravar essa regra) 
Agora faça você sozinho matemática só aprende se praticar várias vezes 
�)�(�) = 2, �)�(�) = 5, �)�(�) =, �)�(�) = 8, �)�(�) = 51, 
�)�(�) = 2��, �)�(�) = 3, ℎ)�(�) = 10, �)�(�) = 2�, �)�(�) =
�
�
, 
�)�(�) = √33
�
, �)�(�) =
��
�
, �)�(�) = √8
�
, �)�(�) = 5��, �)�(�) =
�
�
, 
�)�(�) = 14, �)�(�) = 25, �)�(�) = 33, �)�(�) = 100, �)�(�) = ��, 
Vamos continuar praticando �(�) = 2�� 
��(�)
��
= 2 ∗ 2���� Então fica 
��(�)
��
= 2 ∗ 2�� ou 
��(�)
��
= 4� 
Agora faça você sozinho matemática só aprende se praticar várias vezes. 
�)�(�) = 5��, �)�(�) = 6��, �)�(�) = 7��, �)�(�) = 7��, �)�(�) = 10���, 
�)�(�) = 10���, �)�(�) = 10���, ℎ)�(�) = 15���, �)�(�) = 20��, �)�(�) = 3��, 
�)�(�) = ���, �)�(�) = ��, �)�(�) = ��, �)�(�) = ���, �)�(�) = 1���, 
�)�(�) = 10���, �)�(�) = 10���, �)�(�) = 5���, �)�(�) = 2��, �)�(�) = 3���, 
 
Vamos continuar praticando �(�) = 2�� + 5�� 
��(�)
��
= 2 ∗ 2���� + 3 ∗ 5���� então fica 
��(�)
��
= 2 ∗ 2�� + 3 ∗ 5�� ou 
��(�)
��
= 4� + 15�� 
podemos fazer a derivada separada e depois juntar ela de novo, mas para temos chamar 
renomear a função com outra letra. 
�(�) = �(�) + ℎ(�) 
����çã� 1 �(�) = 2�� ���ã� ���� 
��(�)
��
= 2 ∗ 2���� ou 
��(�)
��
= 4� 
E���çã� 2 ℎ(�) = + 5�� ���ã� ���� 
��(�)
��
= +3 ∗ 5���� ou ou 
��(�)
��
= 15�� 
��(�)
��
= 
��(�)
��
+
��(�)
��
 ou seja a derivada da soma é soma derivada . 
Juntando os resultados das equações 1 e 2 então fica 
��(�)
��
= 4� + 15�� que é mesma 
resposta conta de cima. 
Vamos continuar praticando �(�) = 2�� - 5�� 
��(�)
��
= 2 ∗ 2���� − 3 ∗ 5���� então fica 
��(�)
��
= 2 ∗ 2�� − 3 ∗ 5�� ou 
��(�)
��
= 4� − 15�� 
podemos fazer a derivada separada e depois juntar ela de novo, mas para temos chamar 
renomear a função com outra letra. 
�(�) = �(�) − ℎ(�) 
����çã� 1 �(�) = 2�� ���ã� ���� 
��(�)
��
= 2 ∗ 2���� ou��(�)
��
= 4� 
E���çã� 2 ℎ(�) = - 5�� ���ã� ���� 
��(�)
��
= −3 ∗ 5���� ou ou 
��(�)
��
= −15�� 
��(�)
��
= 
��(�)
��
−
��(�)
��
 . 
Juntando os resultados das equações 1 e 2 então fica 
��(�)
��
= 4� − 15�� que é mesma 
resposta conta de cima. 
Agora faça você sozinho matemática só aprende se praticar várias vezes. 
�)�(�) = 5��+1 �)�(�) = 6��+x �)�(�) = 7-7x �)�(�) = 7��+8 
 �)�(�) = 10��� -8x �)�(�) = 10��� + 3��, �)�(�) = 10��� − 10���, 
 ℎ)�(�) = 15��� − 10���, �)�(�) = 20��, �)�(�) = 3��+3��, 
�)�(�) = 2 + ���, �)�(�) = 33�−��, �)�(�) = 5� − ��, �)�(�) = ���, 
 �)�(�) = 1���+7 �)�(�) = −� + �, �)�(�) = 10���, �)�(�) = 5���, �)�(�) =
3� − 22��, �)�(�) = 33���(Cuidado com as propriedades de potenciação olhe na 
propriedade lá em cima) 
Já aprendemos a regra da soma e da subtração de derivada agora vamos aprender a regra do 
produto. 
 A regra do produto é usado toda vez que ver duas funções multiplicando. 
A regra do produto diz bem assim: deriva a primeira função e conserva a segunda ( conservar 
significa que você vai apenas repetir a função sem mexer nela) + a deriva da segunda função e 
conserva a primeira função. A regra do produto é expressa matematicamente desse jeito: 
F(x)= f(x)g(x) 
��(�)
��
=
��(�)
��
�(�) +
��(�)
��
�(�) Então vamos aplicar essa regra que bastante útil. 
Vamos continuar praticando �(�) = 2��5�� 
��(�)
��
= 2 ∗ 2���� ∗ 5�� + 3 ∗ 5���� ∗ 2�� então fica 
��(�)
��
= 4�� ∗ 5�� + 3 ∗ 5�� ∗ 2�� 
(2� = � 2 é �ℎ����� �� ���� � � 3 é �ℎ����� �� ��������) ( lembrando da propriedade 
de multiplicação de potência por exemplo 2� ∗ 2�= 2��� = 2� ou seja você vai conserva( 
repetir) a base e somar os expoente isso é valido só quando a base é igual, quando não é igual 
temos dar um jeito de transformar na mesma base por exemplo 8� ∗ 2� sabemos 
(2� = 2*2*2=8) então 8� ∗ 8 então fica 8��� então fica 8� ou poderia fazer de outro jeito 
por exemplo (2�=8) então fica (2�)� ∗ 2� aplicando a propriedade potência de potência 
nessa regra toda vezes (2�)� uma situação dessa multiplicamos os expoentes repetimos a 
base. (2�)� ∗ 2� ���ã� ���� 2� ∗ 2� Então fica 2��� então 2�� para ver se isso é verdade faz 
essa conta na calculadora 2�� e 8� se obtiver a mesma resposta é verdade. 
Outro lembrete que sempre que a matemática nos engana 2� + 2�≠2�� � 2�� =2� ∗ 2� repare 
que um é uma soma de potência e outro é multiplicação de potência, (faz essa conta na 
calculadora). Depois de dado uma revisão básica nas propriedades de potência. Agora 
continuar com a derivada fica 
��(�)
��
= 20���� + 30����(não precisa ficar assustado 
simplesmente só efetuamos a multiplicação de números inteiros) 
��(�)
��
= 20�� + 30�� então 
fica 
��(�)
��
= 50�� ( só efetuamos a soma cuidado só pode somar se os expoentes for iguais se 
for diferente não pode soma, por exemplo se fosse 20��� + 30�� você pode perceber que os 
expoentes são diferentes então não pode somar então continua a conta do mesmo jeito 
20��� + 30��) 
Vamos continuar praticando �(�) = 2��5�� aplicando a regra de potenciação então fica 
�(�) = 5 ∗ 2���� que fica �(�) = 10�� agora podemos derivar 
��(�)
��
= 5 ∗ 10���� então fica 
��(�)
��
= 50�� isso só foi para provar que regra da derivada do produto é verdadeira porque 
deu o mesmo resultado. 
Vamos continuar praticando �(�) = 2��5�� vamos aplicar a regra do produto separado 
��(�)
��
�(�) +
��(�)
��
�(�) Primeiro vamos ver quem é meu f(x) e g(x) para depois derivar. 
F(x)= 2��5�� então meu f(x)= 2�� e meu g(x)= 5�� vamos derivar 
��(�)
��
= 
��(�)
��
�(�) +
��(�)
��
�(�) 
��(�)
��
= 2 ∗ 2���� então fica 
��(�)
��
= 4�� fazendo a derivada 
de 
��(�)
��
= 3 ∗ 5���� então fica 
��(�)
��
= 15�� agora é substituir os valores na equação da 
derivada do produto 
��(�)
��
= 
��(�)
��
�(�) +
��(�)
��
 então fica 
��(�)
��
= 4�� ∗ 5�� + 15�� ∗ 2�� agora 
é somar os números e aplicar a regra potência nos expoentes 
��(�)
��
= 20�� + 30�� então fica 
��(�)
��
= 50�� provamos de novo que funciona a regra do produto. Uma ideia parece mas muito 
útil na matemática não importa se caminho é longo ou caminho é curto importante mesmo 
que você conheça esse caminho que você está andando para não ficar perdido. (Wellerson 
Davi) 
Agora faça você sozinho aplicando a regra do produto matemática só aprende se praticar 
várias vezes. 
�)�(�) = � ∗ 5�� �)�(�) = � ∗ 6�� �)�(�) = 7x7x �)�(�) = 7��8x 
 �)�(�) = 10���8x �)�(�) = 10���3��, �)�(�) = 10���10���, 
 ℎ)�(�) = 15���10���, �)�(�) = 1 ∗ 20�� �)�(�) = 3��3��, 
�)�(�) = 2���, �)�(�) = 33���, �)�(�) = 5���, �)�(�) = ���, 
 �)�(�) = 1���7 �)�(�) = −��, �)�(�) = 10���, �)�(�) = 5���, 
 �)�(�) = 3� − 22�� �)�(�) = 33���(Cuidado com as propriedades de potenciação olhe na 
propriedade lá em cima) 
Já aprendemos a regra da soma e da subtração de derivada agora vamos aprender a regra da 
derivada do quociente. 
 A regra do quociente é usado toda vez que ver duas funções dividindo. 
A regra do quociente diz bem assim: deriva a primeira função e conserva a segunda ( conservar 
significa que você vai apenas repetir a função sem mexer nela) - a deriva da segunda função e 
conserva a primeira função e eleva a segunda função ao quadrado. A regra do quociente é 
expressa matematicamente desse jeito: 
 F(x) =
�(�)
�(�)
 
��(�)
��
=
��(�)
��
�(�)�
��(�)
��
�(�) 
�(�)�
 
 
Vamos continuar praticando �(�) = 
���
���
 
Agora vamos derivar 
��(�)
��
=
��(�)
��
�(�)�
��(�)
��
�(�) 
�(�)�
 
Desse jeito eu achei mais fácil para aplicar a regra do quociente. Posso aplicar a regra do 
quociente direto mas eu corro risco de errar desse jeito é mais prático e confiável. 
�(�) = 2�� ( a derivada desta função já foi feita la em cima passo a passo) 
g(x)= 5�� ( a derivada desta função já foi feita la em cima passo a passo) 
��(�)
��
= 4�� =4� 
��(�)
��
=15�� �(�)� = (5��)�= 25�� agora só jogar na formula da regra do quociente 
��(�)
��
=
��(�)
��
�(�)�
��(�)
��
�(�) 
�(�)�
 então fica 
��(�)
��
=
��∗���� ����∗��� 
����
 
então fica 
��(�)
��
=
����� ���� 
����
 então fica 
��(�)
��
=
� ���� 
����
 
então fica 
��(�)
��
=
� ����∗��� 
��
 então fica 
��(�)
��
=
� ������ 
��
 
então fica
��(�)
��
=
� ����� 
��
então fica 
��(�)
��
= −0,4��� 
então fica 
��(�)
��
=
� �,� 
��
 ( não precisa ficar assustado só usei regra matemática da 7° ano) 
Vamos continuar praticando �(�) = 
���
���
 (aplicando a regra de potenciação) 
 então fica �(�) = 
���∗���
�
 ���ã� ���� �(�) = 
����
�
 vamos dividir os numeros então fica 
�(�) = 0,4��� vamos plicar a regra produto achei mais interessante. 
��(�)
��
=
��(�)
��
�(�) +
��(�)
��
�(�) 
f(x)=0,4 
g(x)= ��� 
��(�)
��
= 0 ∗ 0,4���� =0 
��(�)
��
=) = −1 ∗ ����� = −��� 
��(�)
��
=
��(�)
��
�(�) +
��(�)
��
�(�) 
��(�)
��
=0* ���+(−���) ∗0,4 então fica 
��(�)
��
= (−���) ∗0,4 
��(�)
��
= −0,4��� então fica 
��(�)
��
=
� �,� 
��
 ( está provada que regra quociente funciona) 
�(�) = 0,4��� (vamos derivar sem usar regra do produto ) 
��(�)
��
= -1∗ 0,4�����então fica 
��(�)
��
= −0,4��� 
então fica 
��(�)
��
=
� �,� 
��viu como tem como fazer a mesma derivada por vários caminhos 
desde que você conheça a função e regras básicas da matemática. 
 
 
 
 
 
 
Agora faça você sozinho aplicando a regra do quociente matemática só aprende se praticar 
várias vezes. 
a)�(�) =
��
�
 �)
��
��
 �)
��
�
 d)
��
��
 f)
���
��
 g)
��
���
 
h)
��
��
 i)
��
��
 j)
��
��
 l)
���
���
 m)
��
��
 n) 
��
��
 o)
���
��
 
Agora vamos aprender a última regra da derivada a regra da cadeia( pode ficar tranquilo o 
derivada não ninguém não... kkkk) 
Toda vez que tivermos uma função dentro de função temos que aplicar a regra cadeia por 
exemplo. 
F(x)= f(g(x)) a derivada fica 
��(�)
��
=
��(�)
��(�)
∗
��(�)
�(�)
 
F’(x)=f’(x)*g(x)*g’(x) é muito prático representar desse jeito também 
Essa regra diz: a derivada da função de fora vezes a função de dentro vezes a derivada da 
função de dentro. 
Vamos aplicar a regra da cadeia F(x)=(��)� 
F(x)=(��)� 
 g(x)= �� 
 
��(�)
�(�)
 = 2x (aplica regra do tombo) (observação aqui você está derivando a variável) 
f(x)= )=(�(�))� 
��(�)
��(�)
=2(g(x) (aplica regra do tombo)( observação aqui você está derivando função ) 
que fique bem claro variável é diferente de função. 
x= variável 
g(x)= função 
 Usando a nossa formula da regra da cadeia 
��(�)
��
=
��(�)
��(�)
∗
��(�)
�(�)
 
F(x)= )=(��)� 
 g(x)= �� 
��(�)
�(�)
 = 2x 
f(x)= )=(�(�))� 
��(�)
��(�)
=2(g(x)) 
��(�)
��
=2(g(x)) 2x meu g(x) = �� 
 
��(�)
��
=2(��) 2x 
��(�)
��
=(��) 4x usando a regra de potência. 
Então fica 
��(�)
��
=4�� 
F(x)=(��)� usando a regra da potência de potencia 
Então fica F(x)=�� 
��(�)
��
=4�� (foi aplicado a regra do tombo) isso só foi para provar que regra da derivada da 
cadeia é verdadeira porque deu o mesmo resultado. 
Observação é importante aprender todas as regras porque tem funções que você vai usar 
todas a regras juntas. 
Vamos praticar o que nós aprendemos regra da cadeia, regra do produto e regra do quociente. 
�)(��)� �)(2��)� �)(2��)� �)(2��)� �)(20��)� �)(20��)� �)(20��)� 
�)��(��)� ℎ)2(20��)� �) �(��)� j) 
�
��
(2��)� l) 
�
��
(2��)� m) 
�
��
(2��)� 
n) 
���
��
(2��)� o) 
���
��
(2��)� 
VAMOS FAZER A DERIVADA DE ALGUMAS FUNÇÕES ESPECIAIS 
F(X)=ln(x) 
��(�)
��
= 
�
�
 essa regra é provada por regras de limites, mas no mestrado não vamos 
mexer com limites então é bom decorar isso. 
F(X)=�� Essa derivada é uma regra da cadeia onde 
g(x)= x 
 f(x)= ��(�) 
��(�)
��
=
��(�)
��(�)
∗
��(�)
�(�)
 
 
��(�)
�(�)
=1 ( usa regra do tombo) 
��(�)
��(�)
= ��(�) Observação a derivada de ��(�) é ela mesma. 
Substituindo na formula de regra da cadeia 
��(�)
��
= ��(�) ∗ 1 meu g(x)=x então fica 
��(�)
��
= �� ∗ 1 então fica 
��(�)
��
= �� 
F(X)=��
�
 
g(x)= �� 
 f(x)= ��(�) 
��(�)
�(�)
=2x 
��(�)
��(�)
= ��(�) Observação a derivada de ��(�) é ela mesma. 
��(�)
��
=
��(�)
��(�)
∗
��(�)
�(�)
 
��(�)
��
= ��(�) ∗ 2� então fica 
��(�)
��
= ��
�
∗ 2� nunca esqueça de substituir g(x). 
F(X)=�
��
� 
g(x)= 
��
�
 
 f(x)= ��(�) 
��(�)
�(�)
=
��
�
 (regra do tombo ) observação quem está variando é o x. É bom sempre observar a 
letra que esta variando na função no nosso caso é x 
��(�)
��(�)
= ��(�) Observação a derivada de ��(�) é ela mesma. 
��(�)
��
=
��(�)
��(�)
∗
��(�)
�(�)
 
��(�)
��
= ��(�) ∗
��
�
 então fica 
��(�)
��
= �
��
� ∗
��
�
 nunca esqueça de substituir g(x). 
Vamos ver o caso em vez de x estar variando agora p que varia para ver como fica a função. 
F(p)=�
��
� repare que antes quando x variava era F(x) mas agora como é p que esta variando 
então fica F(p). 
 F(p)=�
��
� 
g(p)= 
��
�
 
 f(p)= ��(�) 
��(�)
�(�)
=
�
��
 (usa regra do quociente ou você usa regra de potência ���� agora é com você.) 
observação quem está variando é o p. É bom sempre observar a letra que esta variando na 
função no nosso caso é p. 
��(�)
��(�)
= ��(�) Observação a derivada de ��(�) é ela mesma. 
��(�)
��
=
��(�)
��(�)
∗
��(�)
�(�)
 
��(�)
��
= ��(�) ∗
��
��
 então fica 
��(�)
��
= �
��
� ∗
��
��
 nunca esqueça de substituir g(x). 
Agora faça a derivada das seguintes funções. 
�)�(�) = �
�
� b)f(p)= �
���
� c)f(x)= �
��
� d)f(p)= �
��
� e)f(r)= �
��
� 
�)�(�) = �
��
� g)f(x)= �(��) 
Vamos continuar conhecendo funções especial 
F(x)= cos(x) 
��(�)
��
= -sen(x) é bom decorar por isso é provado apenas por limites 
F(x)= sen(x) 
��(�)
��
= cos(x) é bom decorar por isso é provado apenas por limites 
 
Existe outras funções, mas o que vamos usar no mestrados são só essas 
Vamos praticar as derivada aplicando todas as regras que conhecemos e todas as 
propriedades. Cuidado cos (�)��≠
�
��� (�)
 , sen (�)��≠
�
��� (�)
 então todas vez que temos uma 
fração trigonométricas usaremos sempre a regra do quociente. Repare também que funções 
dos exercícios 
a)F(x)= cos(2x) a derivada F(x)= cos(2x) 
��(�)
��
= −2���(2�) repare que são duas funções uma 
dentro da outra. 
 b)F(x)= sen(3x) �)�(�) =
���(��)
���(�)
 d)�(�) =
��� (�)�
���(��)
 e) �(�) = ��
��
� f)F(x)= ��(��) 
g)f(x)= ��(��) + ���(�) h) sen(x)+ cos(x)+ 
 ���
���(��)
 i)F(x)= ln(X)+cos(14x) 
j) F(x)=2 + 33+ se(x) l)F(x)= ln(2X) m)F(x)=x*x*x+ 2ln(x) 
n)2x+ Cx o) Ax+ BX

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