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UFAL – IM – 2015.2
Ca´lculo 1 – EAD – Lista 3
Derivadas
3-1 Se f, g : I ⊂ R −→ R sa˜o func¸o˜es deriva´veis em x ∈ I, mostre que
(a) (f + g)′(x) = f ′(x) + g′(x).
(b) (fg)′(x) = f ′(x)g(x) + f(x)g′(x).
(c) (
f
g
)′(x) =
f ′(x)g(x) + f(x)g′(x)
(g(x))2
.
3-2 Considere f(x) = x3 + 1, x ∈ R. Esboce o gra´fico de f , isto e´, a curva
y = x3 + 1 e calcule a sua reta tangente no ponto P = (−1, 0).
3-3 Calcular a derivada de y = 3
√
x em x = 8. Ache, tambe´m, a reta
tangente da curva em (8, 2). Fac¸a figuras.
3-4 Considere y = f(x) = 2x3 + 5x2 − 4x+ 4.
(a) Calcule f ′(0) e f ′(2).
(b) Determine a onde a reta tangente de y = f(x) em (a, f(a)) e´
paralela ao eixo-x.
3-5 Seja f : R − {α} −→ R dada por f(x) = 1
(x− α)p , p ∈ N. Mostre que
d3
dx3
f(x) = −p(p+ 1)(p+ 2)(x− α)−p−3.
3-6 Considere
g(x) =
x4
(x− 1)(x− 2) , x 6= 1 e x 6= 2.
(a) Mostre que g(x) = 7 + 3x+ x2 + 11−x +
16
x−2 .
(b) Calcule g′′′(x).
3-7 [Teorema de Leibniz, para Segunda e Terceira Derivadas]
Sejam f, g : I ⊂ R −→ R deriva´veis ate´ terceira ordem.
(a) Mostre que d
2
dx2 (fg) =
d2
dx2 fg + 2
d
dxf
d
dxg + f
d2
dx2 g.
(b) Mostre que d
3
dx3 (fg) =
d3
dx3 fg + 3
d2
dx2 f
d
dxg + 3
d
dxf
d2
dx2 g + f
d3
dx3 g.
3-8 Use a regra da cadeia para calcular a derivada das seguintes func¸o˜es.
(a) h(t) = (1− t2)250.
(b) h(t) = tg(1 + t2).
(c) h(x) = sen(cos(x2)).
3-9 Calcule a segunda derivada das seguintes func¸o˜es.
(a) h(t) = (1− t2)250.
(b) h(t) = tg(1 + t2).
(c) h(x) = sen(cos(x2)).
1
Minha¢ Anotac¸˜oe¢
Derivadas (Ca´lculo 1 – EAD – J. Adonai) -
Minha¢ Anotac¸˜oe¢
2
3-10 Se
xy3 + y2x5 + xy + x2 + y2 − x+ sen y = 0
define y = f(x) com f(0) = 0, calcule f ′(0) e f ′′(0).
3-11 Considere o fo´lio de Descartes
x3 + y3 − 6xy = 0,
que estudamos no exemplo 3.35 do texto.
(a) Mostre que o ponto P =
(
3,
3 (−1−
√
5)
2
)
e´ um ponto do fo´lio.
(b) Suponha que x3 + y3 − 6xy = 0 define implicitamente y como
func¸a˜o de x em torno do ponto P . Calcule dydx para x = 3 e
y =
3 (−1−
√
5)
2 .
(c) Qual a inclinac¸a˜o da reta tangente ao fo´lio de Descartes em P?
Lista 3
Sugesto˜es & Respostas
3-1 Estude o teorema 3.13 da Refereˆncia Principal.
3-2 A inclinac¸a˜o da reta e´ dydx (−1) = 3. A reta procurada e´ y = 3x+ 3.
3-3 A derivada e´ dydx =
1
3( 3
√
x)
2 . Em particular,
dy
dx (8) =
1
12 . Logo, a reta
procurada e´ y − 8 = 112 (x− 2).
3-4
(a) f ′(0) = −4 e f ′(2) = 40.
(b) A inclinac¸a˜o da reta deve ser nula. Logo, f ′(a) = 0 e, portanto,
a = −2 ou a = 1/3.
3-5 Use induc¸a˜o sobre n.
3-6
(b) g′′′(x) = 6(x−1)4 − 96(x−2)4 .
3-8
(a) h′(t) = −500t(1− t2)249.
(b) h′(t) = 2t sec2(1 + t2).
(c) h′(x) = −2x sen(x2) cos(cos(x2)).
3-9
(a) h′′(t) = 249000 t2
(
1− t2)248 − 500 (1− t2)249.
(b) h′′(t) = 2 sec(1 + t2)2 + 8 t2 sec(1 + t2)2 tg(1 + t2).
(c) h′′(x) = −4x2 cos(x2) cos(cos(x2))−2 cos(cos(x2)) sen(x2)−4x2 sen(x2)2 sen(cos(x2)).
3-10 Derivando os dois membros da equac¸a˜o, obtemos
−1+2x+dy
dx
x+y+2
dy
dx
y+2
dy
dx
x5 y+3
dy
dx
x y2+5x4 y2+y3+
dy
dx
cos y = 0.
(E1)
Substituindo x = 0 e y = 0, vem que d
y
dxy (0) = f
′(0) = 1. Para
calcular a segunda derivada, derive (E1) , fac¸a x = 0, y = 0 e y′ = 1
e obtenha f ′′(0) = −6.
3-11
(a) Se x = 3 e y =
3 (−1−
√
5)
2 , verifique que x
3 + y3 − 6xy = 0.
(b) dydx =
5−7√5
10 .
(c) A inclinac¸a˜o e´ 5−7
√
5
10 .
3
Minha¢ Anotac¸˜oe¢