P2_CALCULO_I_ (1)

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Universidade Federal do Espir´ıto Santo
Segunda prova de Ca´lculo I - Cieˆncia da Computac¸a˜o
Professora Julia Wrobel
Vito´ria, 30 de maio de 2006
Nome Leg´ıvel:
Assinatura:
1. Quando um prato circular de metal e´ aquecido em um forno, seu raio au-
menta a uma taxa de 0, 01cm/min. A que taxa a a´rea do prato aumenta
quando seu raio e´ de 50cm?
2. A func¸a˜o y = f(x) e´ dada implicitamente pela equac¸a˜o x2− 2xy− 3y2 = 1.
Verifique que d
dx
f(x) = x−f(x)
x+3f(x)
, para todo x ∈ Df , com x + 3f(x) 6= 0.
Calcule d
dx
f(x)
∣
∣
x=1
.
3. Calcule d
dx
(1 + x)e
−x
.
4. Considere a func¸a˜o f(x) = x
2
x2−x−2
.
a) Quais os intervalos de crescimento e decrescimento da func¸a˜o?
b) Estude a concavidade da func¸a˜o
c) Fac¸a um esboc¸o do gra´fico da func¸a˜o
5. Suponha que o decre´scimo na pressa˜o sangu´ınea de uma pessoa dependa da
quantidade de uma certa droga tomanda por essa pessoa. Assim, se xmg da
droga forem tomados, o decre´scimo na pressa˜o sangu´ınea sera´ uma func¸a˜o de
x. Suponha que f(x) define esta func¸a˜o, com f(x) = 1
2
x2(K−x), x ∈ [0, K],
onde K e´ uma constante positiva. Determine a quantidade da droga em
mg que causa o maior decre´scimo na pressa˜o sangu´ınea.
Questa˜o extra (0,5 ponto): Na a´rea de biomatema´tica va´rias func¸o˜es difer-
entes sa˜o propostas para descrever o efeito da luz sobre a taxa a que se processa
a fotoss´ıntese. Para qua a func¸a˜o seja realista, ela deve exibir o efeito de fo-
toinibic¸a˜o, isto e´, a taxa de produc¸a˜o P da fotoss´ıntese deve decrescer para zero
a` medida que a intensidade da luz I atinge n´ıveis muito altos. Qual das seguintes
fo´rmulas para P , com a e b constantes positivas e´ mais realista? Justifique sua
resposta.
i) P = aI
b+I
ii) P = aI
b+I2
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