Matematica-Exercicios-Resolvidos-Da-Anpec-2-Edicao-Revista_pag29

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Com a derivada primeira, obtemos os pontos críticos:
x1 = 1
x2 = 1/3
Vejamos qual dentre esses é ponto de máximo, ponto de mínimo ou ponto de inflexão:
O ponto x = 1 é de mínimo, contrariamente ao descrito no enunciado, e o ponto x = 1/3 é de máximo.
Falso
(1) Existe uma vizinhança do ponto x = 1 dentro da qual o menor valor que a função g(x) = f(x) + 1 assume é 0.
RESOLUÇÃO
Como x = 1 é ponto de mínimo local em f(x), ele tem uma vizinhança cujo menor valor é alcançado por esse mínimo. Se x = 1 é mínimo para f(x) , ele também será para g(x)
= f(x) + 1. Calculamos o valor dessa última função no ponto de mínimo local g(1) = f(1) + 1 = – 1 + 1 = 0. Ou seja, o menor valor na vizinhança de
x = 1 é o valor da função neste ponto, que é justamente zero.
Verdadeiro
(2) f(x) possui uma inflexão em x = 2/3.
RESOLUÇÃO
Temos f”(x) = 6x – 4 = 0 ⇒ x = 2/3.
Como f”(x) tem sinais diferentes à direita e à esquerda de x = 2/3, ou seja, ocorre uma troca de côncavidade, segue que este ponto é de inflexão.
Verdadeiro
(3) f(x) é convexa apenas na região (–∞, 1/3) e côncava apenas na região
(1, ∞).
RESOLUÇÃO
Como vimos, o ponto de inflexão da função é x = 2/3, onde a função troca de concavidade. Assim, a função f(x) apresenta a mesma concavidade no intervalo (–∞, 2/3).
Como nesse intervalo f”(x) 0, a função será convexa. Vejamos se isso ocorre no intervalo [−2,2]:
f’(x) = 3x² + 3
f”(x) = 6x
A derivada segunda será positiva somente para x > 0, e não para todo o intervalo proposto.
Falso
2009 - QUESTÃO 01
Seja f : RXR → R definida por f(x, y) = g(x)g(y), em que g : R → R é a função dada por g(x) = x²(2 – x). Seja a = 4/3 e K = [0,2] X [0,2]. Julgue os itens abaixo:
(0) g é decrescente no intervalo [0,a].
RESOLUÇÃO
Pelo enunciado temos, g(x) = x²(2 – x) = –x³ + 2x².
Derivando a função e obtendo os pontos críticos:
g’(x) = –3x² + 4x = 0
(–3x + 4)x = 0
x1 = 0
x2 = 4/3