Controle de Qualidade_5_Estatistica

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CONTROLE DE QUALIDADE
Hudson A Bode, Dr
hudson.bode@fatec.sp.gov.br
1° Semestre de 2015
1
INTRODUÇÃO AO CONTROLE ESTATÍSTICA DA QUALIDADE
2
O que é Estatística?
A Estatística é a ciência que visa obter conclusões sobre como se comporta uma população, sem que para isto 
tenhamos que analisar 100% dos elementos desta população, mas analisando somente uma parte dela (amostra).
A Estatística nos fornece 
informações importantes para as 
tomadas de decisões!
INTRODUÇÃO AO CONTROLE ESTATÍSTICA DA QUALIDADE
3
Estatística para todo o lado
 Pesquisas de mercado
 Pesquisas eleitorais
 Levantamento de censo eleitoral
 A maioria dos indicadores econômicos são baseados em amostras e etc...
Estatística Descritiva
É o processo de descrever como se comporta a população de dados que temos em mãos. 
A partir das amostras é possível descrever claramente como se comporta uma população, desde que estas 
sejam corretamente retiradas.
A este processo chamamos de “Inferência”, ou seja, inferir significa tirar conclusões sobre o todo analisando 
apenas uma pequena parte das informações. 
Definições
Termos usados na Estatística
 População : Todo os elementos de interesse (100%)
 N : Tamanho da População
 Amostra : Uma parte da população a ser analisada
 N : Tamanho da Amostra (amostragem)
INTRODUÇÃO AO CONTROLE ESTATÍSTICA DA QUALIDADE
4
Coleta de dados
 Censo: inspeciona todos os elementos de uma população.
 Parâmetros: valor desconhecido associado a uma característica 
(média=µ, variância=𝜎2)
 Amostra: é uma parte representativa da população.
 Estimador: função que estima o valor de um 
Parâmetro baseando-se nas observações
(média = 𝑥 , variância =𝑠2)
População
Amostra (𝑥1, 𝑥2,..., , 𝑥𝑛) 
EstimaçãoEstimação
 𝑥
𝑠
INTRODUÇÃO AO CONTROLE ESTATÍSTICA DA QUALIDADE
5
1 - Medidas de tendência central da distribuição
Média aritmética
É a soma dos valores dos elementos dividida pelo número de elementos
 Anotamos a temperatura de uma pessoa de 1 em 1 hora, durante 8 horas. Qual a média da temperatura?
 Valores observados: 37, 37, 38, 39, 37, 39, 39⁰C.
 O tamanho da amostra é n = 7
𝑺𝒐𝒎𝒂 𝒅𝒆 𝒕𝒐𝒅𝒐𝒔 𝒐𝒔 𝒅𝒂𝒅𝒐𝒔
𝑵° 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝒅𝒆 𝐝𝐚𝐝𝐨𝐬
 𝒙 =
1 2 1...
n
i
n i
x
x x x
x
n n
   

037 37 38 39 37 39 38
39
7
Cx
     
 
INTRODUÇÃO AO CONTROLE ESTATÍSTICA DA QUALIDADE
6
1 - Medidas de tendência central da distribuição
Médiana
 Ela não é influenciada pelos dados atípicos
 Deve-se ordenar os dados em ordem crescente
 Qual a mediana da temperatura?
 Valores observados: 37, 37, 38, 39, 37, 39, 39ºC.
 Valores ordenados: 37, 37, 37, 38, 39, 39, 39ºC
 n = 7 é ímpar – mediana valor central 𝑥 = 38ºC
  1 2
( 2) ( 2 1)
2
n
n n
x
x x x




  

n ímpar
n par
 Qual a mediana da temperatura?
 Valores observados: 67, 86, 43, 89, 54, 73ºC
 Valores ordenados : 43, 54, 67, 73, 86, 89ºC
 n = 6 é par
 Para achar a Mediana, calculamos: (6/2) =3 e (6/2)+1= 4
 3º e 4º elementos 67 e 73 (respectivamente). Então a 
mediana sera 𝑥=(67+73/2)=70
INTRODUÇÃO AO CONTROLE ESTATÍSTICA DA QUALIDADE
7
1 - Medidas de tendência central da distribuição
Moda
Observação que ocorre com mais frequência
 Qual a moda da temperatura ?
 Valores observados: 37, 37, 38, 39, 37, 39, 39ºC
 Duas modas : 37 e 39ºC
INTRODUÇÃO AO CONTROLE ESTATÍSTICA DA QUALIDADE
8
1 - Medidas de tendência central da distribuição
A média amostral corresponde ao centro de massa dos dados da amostra.
A variabilidade nos dados amostrais é medida pela variância amostral.
Notamos que a variância amostral é simplesmente a soma dos quadrados dos desvios de cada observação em
relação à média amostral , devidida pelo tamanho da amostra menos um. 
A raiz quadrada é chamada desvio padrão amostral S, como uma medida de variabilidade. Resulta que
 
2
2 1
1
n
i
i
x x
S
n




  
2
1
1
n
i
i
x x
S
n





 𝒙
O desvio padrão não reflete a magnitude dos dados amostrais, reflete apenas
a dispersão em torno da média.
Em uma distribuição de probabilidades é necessário:
 P(x) = 1, onde x toma todos valores possíveis
0  P(x)  1 para todo o x.
A distribuição de probabilidades indica a percentagem de vezes que, em
grande quantidade de observações, podemos esperar a ocorrência de vários
resultados de uma variável aleatória.
Distribuição de Probabilidades
Distribuições de 
probabilidade
Distribuições descontínuas 
ou discretas
Distribuições contínuas
Envolvem distribuições de probabilidades de variáveis aleatórias relativas a dados que
podem ser contados.
Exemplos:
 Número de ocorrências por amostras
 Número de ocorrências por unidade num intervalo de tempo
 Número de fumantes presentes em eventos esportivos
Distribuições Descontínuas ou Discretas
Uniforme ou Retangular
Binomial
Binomial Negativa ou de Pascal
Geométrica
Poisson
Multinomial ou Polinomial
Hipergeométrica
Formas da 
distribuição 
descontínua
DISTRIBUIÇÕES 
CONTÍNUAS
UNIFORME OU RETANGULAR
NORMAL
BIVARIADA NORMAL
EXPONENCIAL
LOGNORMAL
WEIBULL
QUI-QUADRADO 2
t DE STUDENT
F DE SNEDECOR
GAMA
BETA
ERLANG
( formas)
Distribuições Contínuas
Quando se usa as distribuições contínuas?
A variável aleatória discreta apresenta um grande número de resultados;
A variável aleatória em questão é contínua.
Os ponteiros de um relógio podem parar em qualquer dos infinitos pontos 
do círculo logo a probabilidade de parar em um ponto é zero.
Nas distribuições contínuas utilizam-se a probabilidade da ocorrência em 
um intervalo P(a < x < b);
Em uma distribuição contínua, a probabilidade é dada pela área contida 
no intervalo considerado.
Distribuições Contínuas
13
 Distribuições contínuas – quando a variável sendo medida é expressa em uma escala contínua. A distribuição
de probabilidade dos diâmetros dos pistões é contínua.
 Distribuições discretas – quando o parâmetro sendo medido só pode assumir certos valores, tais como os
inteiros. A distribuição do número de defeitos em placas de circuito é um exemplo.
A média µ de uma distribuição de probabilidade é uma medida da tendência central da distribuição, ou da sua
posição. Sendo definida como:
1
N
i
i
x
N
 

A amostragem (N) é o número de 
amostras consideradas para um 
estudo. Ex: 5 grupos de 30 elementos
cada, logo:
N=5x30(n)=150
1
( ) ,
( ),i i
i
xf x dx x continuo
x p x x discreta








 



Distribuição de Probabilidades
INTRODUÇÃO AO CONTROLE ESTATÍSTICA DA QUALIDADE
14
1 - Medidas de tendência central da distribuição
Relação entre média e mediana → fornece a forma da dispersão
 Distribuição simétrica 10 12 14 16 18 𝑥 = 14 = 𝑥 = 14
 Distribuição assimétrica à direita 10 12 14 16 23 𝑥 = 15 > 𝑥 = 14
 Distribuição assimétrica à esquerda 05 12 14 16 18 𝑥 = 13 < 𝑥 = 14
Mediana tem maior robustez a dados atípicos do que a média
INTRODUÇÃO AO CONTROLE ESTATÍSTICA DA QUALIDADE
15
2 - Medidas de variabilidade
Observações individuais apresentam dispersão em torno do valor médio. Isto chama-se 
variabilidade dos dados.
Tanto na natureza quanto nos processos industriais, nunca temos dois produtos 
idênticos. Por menor que sejam, as diferenças sempre existem. Estas diferenças são 
devidas às variações nas condições dos processos envolvidos na criação de 
determinado elemento.
Existem 3 maneiras de descrever a Variação (ou tambémconhecida como Dispersão): 
Amplitude, Variância e Desvio Padrão.
Medidas de dispersão indicam o afastamento dos valores observados em relação a 
média aritmética da amostra estuda.
INTRODUÇÃO AO CONTROLE ESTATÍSTICA DA QUALIDADE
2 - Medidas de variabilidade
Amplitude (Range) 
É a medida da faixa de variação dos dados.
Só considera os 2 valores extremos encontrados.
Amplitude: R = Xmax - Xmin
Exemplo: 8,5 8,7 8,9 10,1 10,5 10,7 11,5 11,9 
R = 11,9 - 8,5 = 3,4 
A amplitude é fácil de calcular e fornece uma ideia da magnitude da faixa de variação dos dados. Não 
informa a respeito da dispersão dos valores que caem entre os dois extremos. 
Ela é influenciada pelos dados atípicos 
Quando n <10 pode resultar em uma medida de variação bastante satisfatória.
A amplitude é influenciada por valores extremos!
16
INTRODUÇÃO AO CONTROLE ESTATÍSTICA DA QUALIDADE
2 - Medidas de variabilidade
Variância : Quadrado da distância de todos os valores 𝑥𝑖 em relação a sua média.
A dispersão, espalhamento ou variabilidade na distribuição é expressa pela variância σ2. A definição de 
variância é 
Quando a variável aleatória é discreta com N valores igualmente prováveis, teremos 
E podemos observar que, neste caso, a variância é a média dos quadrados das distâncias de cada elemento da 
população à média. Existe uma semelhança com a variância amostral 𝑺𝟐.
17
 
2
2
2
1
( ) ( ) ,
( ),i i
i
x f x dx x continuo
x p x x discreta










 
 


2
2 1
( )
N
i
i
x
N

 



INTRODUÇÃO AO CONTROLE ESTATÍSTICA DA QUALIDADE
2 - Medidas de variabilidade
Desvio-padrão : À medida que a variabilidade aumenta, a variância 𝝈𝟐 também aumenta. A variância é expressa
no quadrado da unidade da variável original. Por exemplo, se estamos medindo voltagens, a unidade da variância
é (volts)𝟐. Assim, é costume utilizar a raiz quadrada da variância, chamada desvio padrão σ. Segue que
18
2
2 1
( )
N
i
i
x
N

  

 

O desvio padrão é uma medida de dispersão ou
espalhamento da população expressa na unidade original. 
Duas distribuições com a mesma média e diferentes
desvios padrão como mostra a figura.
INTRODUÇÃO AO CONTROLE ESTATÍSTICA DA QUALIDADE
2 - Medidas de variabilidade
19
2
2 1
( )
N
i
i
x
N

  

 

2
2 1
( )
N
i
i
x
N

 



 
2
2 1
1
n
i
i
x x
S
n





 
2
2 1
1
n
i
i
x x
S S
n


 


Desvio padrão da população
Desvio padrão da população Variância da amostra
Desvio padrão da amostra
INTRODUÇÃO AO CONTROLE ESTATÍSTICA DA QUALIDADE
2 - Medidas de variabilidade
20
Exemplo
Amostra: 10 12 14 16 18 (anos)
A média é 14 meses, a variância e o desvio padrão são
 
2
2 2 2 2 2
2 21 (10 14) (12 14) (14 14) (16 14) (18 14) 9,98
1 5 1
n
i
i
x x
S meses
n


        
  
 

9,98 3,16S meses 
INTRODUÇÃO AO CONTROLE ESTATÍSTICA DA QUALIDADE
3 - Distribuição Probabilidades - Normal
Uma distribuição de probabilidade é um modelo matemático que relaciona um certo 
valor da variável em estudo com a sua probabilidade de ocorrência.
Há dois tipos de distribuição de probabilidade:
 Distribuições Discretas: Quando a variável que está sendo medida só pode assumir 
certos valores, como por exemplo os valores inteiros: 0, 1, 2, etc. 
 Distribuição Binomial, Poisson
 Distribuições Contínuas: Quando a variável que está sendo medida é expressa em 
uma escala contínua, como no caso de uma característica dimensional. 
 Distribuição Normal
21
IMPORTÂNCIA DA DISTRIBUIÇÃO NORMAL
Retrata com boa aproximação, as distribuições de frequência de muitos fenômenos
naturais e físicos
Serve como aproximação das probabilidades binomiais (sim ou não) quando n é grande
Representa a distribuição das médias e proporções em grandes amostras, o que tem
relevante implicação na amostragem (a mais importante)
Distribuição Normal
1. A curva normal tem a forma de sino
2. É simétrica em relação a média
3. Prolonga-se de - a + (apenas em teoria) (assintótica)
4. Fica completamente especificada por sua média e seu desvio padrão; há uma distribuição 
normal para cada par (média e desvio padrão)
5. A área total sob a curva é considerada 100% ou igual a 1
6. A área sob a curva entre dois pontos é a probabilidade de uma variável normalmente 
distribuída tomar um valor entre esses pontos
7. A probabilidade de uma variável aleatória normalmente distribuída tomar exatamente 
determinado valor (pontual) é zero (característica da distribuição contínua)
8. A área sob a curva entre a média e um ponto arbitrário é função do número de desvios 
padrões entre a média e aquele ponto
Distribuição Normal - Características
A probabilidade de uma variável aleatória tomar um valor entre dois pontos quaisquer é igual à 
área sob a curva normal entre aqueles pontos
µ a b
P (a < x < b) = área hachurada sob a curva
Distribuição Normal
INTRODUÇÃO AO CONTROLE ESTATÍSTICA DA QUALIDADE
3 - Distribuição Probabilidades - Normal
A distribuição normal, provavelmente, a mais importante distribuição, tanto na teoria quanto na prática da 
estatística, se x é uma variável aleatória normal. Então a distribuição de probabilidade de x é definida como 
segue.
25
2
1
21( )
2
x
f x e x


 
 
  
     
A média da distribuição normal é µ ( ) e a variância é σ2>0. x   
A aparência visual de uma distribuição normal é a de uma curva simétrica, unimodal, em forma de sino.
OBSERVAÇÃO:
x - µ = distância do ponto considerado à média
x - µ

z = número de desvios padrões a contar da média. Ex.: 2,5 desvios padrões
z = valor z ou score z. Pode-se obter valores negativos de z para valores de x inferiores à 
média
Distribuição Normal
x – ponto considerado da distribuição.
µ - média da distribuição.
 - desvio padrão da distribuição.
INTRODUÇÃO AO CONTROLE ESTATÍSTICA DA QUALIDADE
3 - Distribuição Probabilidades - Normal
A distribuição normal, provavelmente, a mais importante distribuição, tanto na teoria quanto na prática da 
estatística, se x é uma variável aleatória normal. Então a distribuição de probabilidade de x é definida como 
segue.
27
 
2
1
21( )
2
xa
P x a F a e dx


 
 
 
 

   
 
a
P x a P z


 
     
 
   1 1
a
P x a P x a P z


 
       
 
A distância entre a média e um ponto qualquer é dado 
em número de desvios padrões (z)
Normal 
padronizada
Normal não 
padronizada
µ x 0 z
PP
Distribuição Normal
x
z




70 80 90 100 110 120 130 
-3 -2 -1 0 +1 +2 +3
µ = 100,0
 = 10,0
escala efetiva 
escala padronizada 
Escala efetiva X Escala padronizada
Distribuição Normal
Como calcular Z ?
µ  x x - µ (x - µ)/  = z
média desvio padrão valor considerado diferença diferença relativa
40 1 42 2 2
30 2,5 37,5 7,5 3
25 2 23 -2 -1
22 4 22 0 0
183 13,5 -4,5 -1,5
37 38 39 40 41 42 43 escala efetiva 
-3 -2 -1 0 +1 +2 +3
(42 – 40)/1 = 2
S = 1
Distribuição Normal
Como calcular o valor efetivo
Passando do valor z para o valor efetivo
µ  z µ + z  resultado 
média desvio padrão valor z cálculo valor efetivo
20 1 3 20 + 3(1) 23
72 5 0,3 72 + 5(0,3) 73,5
50 3 -1 50 + 3(-1) 47
60 2 -2 60 + 2(-2) 56
Distribuição Normal
-3 -2 -1 0 +1 +2 +3
68%
95,5%
99,7%
Distribuição Normal
1,0 00 01 02 03 04 05 06...
1,2
.
.
.
1,1
1,25
.
.
. 0,3944
olhando a 
tabela
Distribuição Normal - Consultando a tabela
Probabilidade de uma variável 
aleatória normal tomar um valor z 
entre a média e o ponto situado a z 
desvios padrões
z área entre a média e z
1,00 0,3413
1,50 0,4332
2,13 0,4834
2,77 0,4972
área tabelada = área desejada
0 z
Distribuição Normal - Consultando a tabela
z P(0 < x < z) P(x > z) = 0,5 – P(0 < x < z)
0 z
Distribuição Normal - Consultando a tabela
0 z
Distribuição Normal - Tabela
Determinando a área entre dois pontos quaisquer
Exemplos
Determinando a área (probabilidade) sob a curva 
entre dois pontos entorno da média
0,1359
0 +1 +2
0,3413
0,4772
-1 0 +1
0,3413 0,3413
Distribuição Normal - Cálculo da probabilidade
1) Após 28 dias de curagem, o cimento de uma certa marca tem uma resistência compressiva
média de 4000psi. Suponha que a resistência tem uma distribuição normal com desvio-padrão
de 120psi. Qual a probabilidade de se comprar um pacote de cimento com resistência
compressiva de 28 dias menor que 3850psi?
N(;) = N(4000,120) psi X = 3850psi
%56,101056,0)25,1( ZP
3850 4000
-1,25
Área em vermelho = z = -1,25 = 0,3944
Área desejada = 0,50 – 0,3944 = 0,1056 = 10,56%
25,1
120
40003850




 
X
z
P(z ≤ -1,25)
Distribuição Normal - Exemplos
N(,) = N(50;15) dias X = 31 dias
2) Uma grande empresa faz uso de milhares de lâmpadas elétricas que permanecem acessas
continuamente. A vida de uma lâmpada pode ser considerada como uma variável aleatória
normal com vida média de 50 dias e desvio-padrão de 15 dias. Se no dia 1º de agosto foram
instaladas 8000 lâmpadas novas, aproximadamente quantas deverão ser substituídas no dia 1º
de setembro?
27,1
15
5031




 
X
z
%20,101020,03980,05000,0log3980,0)27,1(  oZP
Consultando a tabela:
Deverão ser substituídas um total de (0,1020x 8.000) = 816 lâmpadas
Distribuição Normal - Exemplos
X
Z
f(x)
50
0
31
-1,27
3520
3) Uma indústria siderúrgica produz tubos de aço cujo comprimento
pode ser considerado uma variável normalmente distribuída com média
=10,00 metros, e desvio padrão igual a  = 0,09 metros. Quanto
refugo a indústria espera produzir se o comprimento dos tubos de aço
tiver que ser no máximo, igual a 10,20 m?
N(,) = N(10;0,09) metros
X = 10,20m
22,2
09,0
1020,10




 
X
z
%32,10132,04868,05,0)22,2()22,2(  ZPZP
f(x)
10
X10,20
0 2,22 Z
Distribuição Normal - Exemplos
Consultando tabela temos:
4) O tempo médio que demora para uma viatura de uma determinada cia da PMMG de Ipatinga atender a uma
chamada de emergência é de 8 minutos com desvio-padrão de 3 minutos. Considere o tempo médio como uma
variável normalmente distribuída para calcular a probabilidade de uma chamada esperar menos de 4 minutos.
CASO PRÁTICO DO USO DA ESTATÍSTICA
NA QUESTÃO LOGÍSTICA DA PRESTAÇÃO DE SERVIÇOS
%18,90918,04082,05,0)33,1()4(  ZPxP
Consultando a tabela:
33,1
3
84




 
X
z
N(,) = N(8;3) minutos
X < 4 minutos
f(x)
X8
0
4
Z-1,33
Distribuição Normal - Exemplos
5) Um máquina produz peças com o diâmetro médio de 2,00” e o desvio-padrão de 0,01”. As peças que se
afastam da média por mais de 0,03” são consideradas defeituosas. Qual é a percentagem de peças defeituosa?
ESTATÍSTICA NO CONTROLE DA PRODUÇÃO INDUSTRIAL
)3()3()97,1()03,2(  ZPZPxouPxP
3
01,0
203,2
1 



 
X
z
f(x)
2
X2
0 3 Z
2,031,97
-3
N(,) = N(2,00;0,01)
X1 = 2,03 e X2=1,97
3
01,0
297,1
2 



 
X
z
Consultando 
tabela: %28,00014,00014,0)3()3(  ZPZP
Distribuição Normal - Exemplos
6) A vida média de uma marca de televisão é de 8 anos com desvio-padrão de 1,8 anos. A campanha de
lançamento diz que todos os produtos que tiverem defeito dentro do prazo de garantia serão substituídos por
novos. Se você fosse o gerente de produção, qual seria o tempo de garantia que você especificaria para ter no
máximo 5% de trocas.
ESTATÍSTICA E A ASSISTÊNCIA TÉCNICA
05,0049471,0
)(65,1
050503,0049471,0
)64,1(65,1




 Zx
6449,105,0 Z



X
z
8,1
8
6449,1


X
N(,) = N(8;1,8) anos
X=?
z
-1,65 0,049471
? 0,05
-1,64 0,050503
)( oZ
anosX 04,5
Distribuição Normal - Exemplos
44
EXERCÍCIO AULA 
CÁLCULO CURVA DE APRENDIZADO
INTRODUÇÃO AO CONTROLE ESTATÍSTICA DA QUALIDADE
45
Bibliografia Complementar
[1] Douglas C. Montgomery - Introducao ao Controle Estatistico da Qualidade, LTC, 4ª Ed, 2004.
[2] Adriano Reis – Material de aula de Controle de Qualidade , FATEC – 1º semestre de 2013.
[3] Samuel Bloch Silva – Material de Aula de DIP, ITA - 1º semestre de 2015.