DOC-20250320-WA0055

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Prof. Dr. Jonathan Castro Amanajás 
 
 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 
CADERNO DE EXERCÍCIOS 
Prof. Dr. Jonathan Castro Amanajás 
 CURSO DE ENGENHARIA CIVIL 
 
Prof. Dr. Jonathan Castro Amanajás 
 
LIMITES E CONTINUIDADE 
Questão 01 Seja f uma função definida em algum intervalo aberto que contenha o número a, 
exceto possivelmente o próprio a. Então dizemos que o limite de f(x) quando x tende a a é L, e 
escrevemos Lxf
ax
=
→
)(lim . Logo, a partir da definição de limite, calcular: 
(a) )32²5³7(lim
2
−−+−
−→
xxx
x
 
(b) )24³35²(lim 94 xxxx
x
−+−+
−→
 
(c) 





−
+−
→ 3
96²
lim
3 x
xx
x
 
(d) 





−+
+
−→ 12²
82
lim
4 xx
x
x
 
(e) 





−
+−
→ 9²
65²
lim
3 x
xx
x
 
(f) 





+
−+
−→ 183
30²
lim
6 x
xx
x
 
(g) 





−
−
→ 1
1
lim
4
1 x
x
x
 
(h) 





+
+
−→ 2
8
lim
3
2 t
t
x
 
(i) 



2
lim
0
sen
→
 
(j) 


 5
3
lim
0 sen
sen
→
 
Questão 02 Considere a função f definida pelo gráfico abaixo. 
 
a) Determine o para a = 0, 1, 2, 3 e 4, se existir. 
b) Determine em que ponto(s) f não é contínua. 
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Questão 03 Considere a função 
 
Mostre que o limite de f(x) quando x tende a 1 existe. A função f é contínua em x = 1? 
Questão 04 Observe os gráficos das funções na figura abaixo: 
 
a) Determine em quais delas é possível discutir a continuidade em x = 4. 
b) Nas funções em que é possível discutir a continuidade em x = 4, determine quais são contínuas 
em x = 4. 
Questão 05 Verifique se a função é contínua em x = 1. 
 
 
 
 
 
 
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DERIVAÇÃO 
 
Questão 06 Dada a função f(x) = x² + 1, calcular a taxa de variação média (t.v.m) no intervalo [3,5]. 
Questão 07 Dada a função f(x) = x² + 3x + 2, calcular a taxa de variação instantânea (t.v.i) no ponto 
x0=2. 
Questão 08 Seja y = f(x) uma função com domínio D. A função derivada de f(x), denotada por f ′(x), 
é definida por 
h
xfhxf
xf
h
)()(
lim)('
0
−+
=
→
 desde que seja possível calcular o limite. Logo, pela 
definição de derivada, calcular a derivada das funções: 
a) xxxf −= 3)( 
b) 13)( 2 −= xxf 
c) 20)( =xf 
d) 20)( 2 += xxf 
e) xxxf 25)( 3 += 
f) 1000)( 3 += xxf 
g) 1)( 23 +++= xxxxf 
h) 123)( 8 ++= xxxf 
i) ( )92
3
1
)( 7 −+−= xxxf 
j) xxxf 23)( 8 +−= − 
l) 
7
3 1
)(
x
xxf += − 
m) xxxf 23)( 8 +−= − 
n) ( ) 





−+=
4
1
2.63)( 2 xxxf 
o) )2).(87()( 4323 −− +−+= xxxxxf 
p) 22 )13()( += xxf 
q) )27(log3)( 2
4 xxxf += 
r) )ln(cos3)( xxf = 
s) 12
)( += xexf 
t) )2²()( xxsenexf −= 
u) 373 )2()( xxxf += 
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v) )()( 3xsenxf = 
x) ( )xxf 3cos)( 2= 
Questão 09 Calcule a derivada das funções abaixo, utilizando a Regra da Cadeia: 
a) 32 )1()( += xxf 
b) 3)13()( += xxf 
c) )()( 2xsenxf = 
d) 22 )37()( xxxf +−= 
e) 13)( += xxf 
Questão 10 Calcule as seguintes derivadas usando a Regra da Cadeia: 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
g) 
h) 
i) 
j) 
Questão 11 Calcule y’(1) para 
35
1
−
=
x
y . 
Questão 12 Calcule 
dx
dt
 para 
12
3
+
=
x
x
t . 
Questão 13 Calcule g’(4) dado que f(4) = 3 e f ’(4) = - 5. 
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a) )(.)( xfxxg = 
b) 
x
xf
xg
)(
)( = 
Questão 14 Calcule g’(3) dado que f(3) = - 2 e f ’(3) = 4. 
a) )(53)( 2 xfxxg −= 
b) 
)(
12
)(
xf
x
xg
+
= 
Questão 15 Ache F’(2) dado que f(2) = - 1, f ’(2) = 4, g(2) = 1 e g’(2) = - 5. 
a) )(2)(5)( xgxfxF += 
b) )(3)()( xgxfxF −= 
c) )()()( xgxfxF = 
d) 
)(
)(
)(
xg
xf
xF = 
Questão 16 Ache 
3
3
dx
yd
. 
a) xxxy +−= 23 57 
b) 3212 2 +−= xxy 
c) 
x
x
y
1+
= 
d) )7)(35( 32 xxxy +−= 
e) xxy cos= 
Questão 17 Um avião está voando a 1100 m de altura, conforme a figura em anexo. Qual é a taxa 
de variação da distância entre o avião e o ponto fixo P em relação a θ quando θ = 30°? 
 
Questão 18 Um holofote, fixado sobre o solo, lança um facho de luz sobre uma parede distante 50 
m dele. Ache a taxa segundo a qual a distância D (feixe de luz projetado sobre a parede) está 
variando com θ quando θ = 45°. Expresse em metros/grau. 
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Questão 19 Dado a função y = 5x² -3x, no intervalo x = 1 e x = 2, existirá um ponto dentro desse 
intervalo onde a reta tangente terá a mesma inclinação da reta secante tomada de extremo a 
extremo do intervalo. Nessas condições, o valor desse ponto será igual a: 
(a) 1 
(b) 1,5 
(c) 1,70 
(d) 1,75 
(e) 2 
Questão 20 Dado a função f(x) = x² + 2x - 1, contínua e derivável no intervalo x = 1 e x = 2, existirá 
um ponto dentro desse intervalo onde a reta tangente terá a mesma inclinação da reta secante 
tomada de extremo a extremo do intervalo. Nessas condições, qual o valor desse ponto? 
 
Questão 21 A regra de L'Hôpital tem como objetivo calcular o limite de frações nos casos em que 
há indeterminações do tipo 
0
0
 ou 


. Suponha que f e g são funções continuamente 
diferenciáveis num número real c, então o 
)('
)('
lim
)(
)(
lim
xg
xf
xg
xf
cxcx →→
= . A partir dessa definição o 
x
xsen
x cos
)(1
lim
2
−
→

 é igual a: 
(a) 0 
(b) 1 
(c) 3 
(d) 3 
(e) 1/2 
Questão 22 Calcular a diferencial de: 
a) ²3xy = 
b) senxy = 
c) xxy 5²3 −= 
d) )3²5ln( xxy −= 
INTEGRAÇÃO 
Questão 23 Calcular as integrais: 
a)  += dxxxy )1( 3 
b)  += dxxxy 52 )1(2 
c)  += dxxy 22 )2( 
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d) 
−+
= dx
x
xx
y
4
25 12
 
e) = dx
x
senx
y
2cos
 
f) ( )
−++= dxxxxy 13 2 
g)  −= dxxxy )cos2(sec2 
Questão 24 Calcule as integrais definidas. 
a) dx
3
0
 4 R: 12 
b) dx 
4
0 x R: 8 
c) 
4
0
dx 
2
x
 R: 4 
d)  +
2
0
dx )52( x R: 14 
e)  −
5
0
dx )5( x R: 25/2 
f)  −+−
3
1
2 dx )34( xx R: 4/3 
g) − +
0
3
dx )2(x R: 3/2 
h) dx 
2
0
3
 x R: 
5
28
 
i)  −
4
0
2)4( dxxx R: 32/3 
j) dx 
13
2 x
 R: ln(3) – ln(2) 
k) dx 4
3
1 R: 8 
l)  +
3
0
 )2( dxx R: 21/2 
m) 
2
0
2 dxx R: 8/3 
n)  −
2
0
 )24( dxx R: 4 
Questão 25 Utilizando o método de integração por substituição, calcule as integrais definidas. 
a)  +
1
0
32 )1( dxxx R: 15/8 
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b)  −
1
0
2 1 dxxx R: 1/3 
c)  +
4
0 12
1
dx
x
 R: 2 
d) 
+
9
1 2)1(
1
dx
xx
 R: 1/2 
e) 
+
2
0 221
dx
x
x
 R: 1 
f) dxx 1
1
1− + R: 2
3
4
 
g)  +
2
0
3 )21( 2 dxx R: 156 
h) dxxx− −−
0
1
32)21)(4( R: 0 
i) 
2
1 2)3(
1
dx
x
 R: 1/18 
DERIVADAS PARCIAIS 
Questão 26 Calcule as derivadas parciais das funções a seguir. 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
g) 
h) 
i) 
j) 
Questão 27 Calcule as derivadas parciais das funções a seguir nos pontos dados. 
a) nos pontos x = 2 e y = 3. 
b) nos pontos x = 1 e y = 3. 
c) nos pontos x = 4 e y = 8. 
d) nos pontos x = 2 e y = 3. 
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e) nos pontos x = -1 e y = 2. 
f) nos pontos x = -3 e y = 1. 
g) nos pontos x = 1 e y = 1. 
Questão 28 A superfície de um lago é representada por uma região D em um plano xy de modo 
que a profundidade sob o ponto correspondente a é dada por 
 
onde e são expressos em metros. Se um esquiador aquático está na água no ponto (4, 
9) ache a taxa instantânea na qual a profundidadevaria na direção do eixo x e na direção do eixo 
y. 
Questão 29 Uma chapa de metal plana está em um plano xy de modo que a temperatura T em 
função de seja dada por . T é expressa em graus Celsius (°C), x e y 
são expressos em centímetros (cm). Ache a taxa instantânea de variação de T em relação à 
distância no ponto (1, 2) na direção do eixo x e na direção do eixo y. 
DERIVADAS PARCIAIS DE ORDEM SUPERIOR 
Questão 30 Calcule todas as derivadas parciais de 2ª ordem de: 
a) 
b) 
c) 
d) 
Questão 31 Verifique que , onde . 
REGRA DA CADEIA PARA DERIVADAS PARCIAIS 
Questão 32 Se , onde e , determine quando t = 0. 
Questão 33 Se , onde , , determine o valor de 
 quando r = 2, s = 1, t = 0 (Use o Diagrama de Árvores). 
INTEGRAIS DUPLAS 
Questão 34 Calcule as integrais duplas das funções a seguir. 
a) 
b) 
c) 
d) 
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e) 
f) 
g) 
h) 
Questão 35 Calcular a área retangular R. 
 
Questão 36 Determinar a área da região limitada pelas curvas y = x³ e y = 4x no 1º Quadrante. 
 
Questão 37 Determinar a área da região limitada pelas curvas e no 1º Quadrante. 
 
Questão 38 Determinar o volume do sólido limitado pelos planos coordenados pelo plano 
 no 1º octante. 
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Questão 39 Determinar o volume do sólido limitado por ; ; ; ; 
 . 
 
INTEGRAIS TRIPLAS 
Questão 40 Calcule a integral tripla , onde T é o tetraedro sólido com vértices (0,0,0), 
(1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1). 
 
Questão 41 Calcule a integral tripla , na caixa retangular G definida pelas 
desigualdades . 
 
MUDANÇA DA ORDEM DE INTEGRAÇÃO 
Questão 42 Calcule a integral mudando a ordem de integração de forma apropriada 
a) 
 
 
b) 
 
 
c)