Tema 5 - Elementos de Madeira Sob Flexão e Compressão

Prévia do material em texto

Elementos de madeira sob �exão e compressão
Profa. Larissa Camporez Araújo
Descrição Você vai entender o comportamento das vigas de madeira e das peças
comprimidas, além de conhecer as equações utilizadas para o
dimensionamento das vigas e das peças comprimidas.
Propósito O entendimento do comportamento das peças de madeira e de como se
dá o desenvolvimento dessas peças, sejam as vigas sejam as peças
comprimidas, é essencial para os engenheiros projetistas que irão
trabalhar com este material estrutural.
Objetivos
Módulo 1
Comportamento de vigas de
madeira
Módulo 2
Projeto de vigas de madeira
Reconhecer as equações e as condições
para o projeto de vigas de madeira.
Identificar o comportamento das vigas de
madeira.
Módulo 3
Comportamento de peças
comprimidas
Identificar o comportamento das peças
comprimidas de madeira.
Módulo 4
Projeto de peças
comprimidas em
compressão simples
Reconhecer as equações e as condições
para o projeto de peças de madeira
submetidas à compressão simples.
Introdução
Olá! Antes de começarmos, assista ao vídeo e compreenda como a
madeira pode ser utilizada como elemento de construção e como ela se
comporta sob tensões de flexão e compressão.

1 - Comportamento de vigas de madeira
Ao �nal deste módulo, você será capaz de identi�car o comportamento das vigas de madeira.
Vigas de madeira: conceitos e dimensões
Aprenda neste vídeo como dimensionar vigas de madeira, para que sirvam como
elementos de construção de edificações.
Conceitos gerais e tipos construtivos
Conheça no vídeo um panorama dos diferentes tipos de construções, como são
classificados e os critérios adotados para o dimensionamento adequado de
cada uma dessas estruturas.
Iniciaremos o nosso estudo com a apresentação das tensões que atuam nas
vigas, os tipos de peças de madeira que compõem as vigas e as dimensões
mínimas de contraflechas indicadas pela ABNT NBR 7190-1:2022.
Nas vigas de madeira, as tensões atuantes são as normais de tração e
compressão que agem no sentido longitudinal, ou seja, na direção paralela às
fibras. Nos apoios e demais pontos de aplicação de carga pontual, a viga é
submetida a tensões de compressão normal às fibras. Também temos a tensão
cisalhante na direção normal às fibras que são as tensões verticais na seção, e
na direção paralela às fibras que são as tensões horizontais.
Observe a seguir as tensões normais e cisalhantes e a flambagem lateral em
uma viga de madeira.
Flexão simples: (a) viga em flexão no plano vertical com tensões normais longitudinais e transversais e tensões
cisalhantes; (b) flambagem lateral de vigas.
A flambagem lateral geralmente ocorre em vigas altas e esbeltas. É identificada
quando a viga perde o equilíbrio no plano principal de flexão e
σ
τ
consequentemente apresenta deslocamentos laterais com rotação de torção. A
presença da flambagem lateral reduz a capacidade de resistência à compressão
da viga e, para evitá-la, são realizadas contenções laterais intermediárias ao
longo da viga.
Para garantir a segurança da viga no estado-limite último, as tensões solicitantes
de projeto devem ser inferiores às tensões resistentes. Para evitar a ocorrência
de danos em elementos acessórios da estrutura e o desconforto visual dos
usuários, os deslocamentos finais devem ser menores do que os valores-limite
estabelecidos em norma para o estado-limite de deformação excessiva.
Tipos construtivos
Veja os tipos mais comuns de vigas de madeira:
Peça simples maciça, muito usada como viga em obra provisória em
andaimes e escoras.
Tipos construtivos de vigas de madeira - Viga de madeira roliça.
Peça simples de madeira, geralmente utilizada na construção de pontes
de serviço. Normalmente suas seções transversais são maiores do que
as da madeira serrada e podem ser usadas peças lavradas de: 20 cm x
20 cm, 20 cm x 30 cm, 30 cm x 30 cm etc.
Vigas de madeira roliça 
Vigas de madeira lavrada 
Tipos construtivos de vigas de madeira - Viga de madeira lavrada.
Peça simples de madeira, normalmente obedece às dimensões
transversais padronizadas comercialmente.
Tipos construtivos de vigas de madeira - Viga de madeira serrada.
Apresentam grande importância entre os produtos industriais, pois são
construídas com comportamento equivalente ao da madeira maciça,
porém com dimensões muito superiores. Por exemplo, vigas retangulares
de seção de 30 cm x 200 cm.
Vigas de madeira serrada 
Vigas de madeira laminada ou microlaminada e colada 
Tipos construtivos de vigas de madeira - Viga de madeira laminada ou microlaminada e colada.
São utilizados os tarugos para a ligação de duas ou mais peças maciças.
A altura é limitada pelo tamanho das peças maciças.
Tipos construtivos de vigas de madeira - Vigas compostas de peças maciças por entarugamento.
A união entre as interfaces das peças maciças é realizada por cola,
pregos ou conectores de anel. A altura é limitada pelo tamanho das
peças maciças.
Vigas compostas de peças maciças por entarugamento 
Vigas compostas de peças maciças com interfaces contínuas 
Tipos construtivos de vigas de madeira - Viga composta de peças maciças com interfaces
contínuas.
A alma é formada por tábuas ou pranchas pregadas nos flanges. São
treliças de diagonais múltiplas.
Tipos construtivos de vigas de madeira - Viga composta com alma descontínua, pregada.
Esse tipo de viga também pode ser feita de madeira recomposta com
lascas orientadas.
A ligação é feita com cola ou pregos. Permite fazer vigas compostas de
grandes alturas com formas eficientes.
Tipos construtivos de vigas de madeira - Viga composta com alma formada por placas de
madeira compensada ou de madeira recomposta com lascas orientadas.
Viga composta com alma descontínua, pregada 
Viga composta com alma formada por placas de madeira
compensada 
Critérios de dimensionamento
As vigas compostas, ou seja, aquelas formadas por mais de uma peça, serrada e
com ligações por pregos, podem ser dimensionadas à flexão e à flexão
composta como se fossem vigas maciças, desde que:
 para seções 
 para seções ou caixão
Em que A e I são a área e o momento de inércia, respectivamente, da viga
composta considerada como maciça.
Já as vigas compostas de seção retangular que são ligadas por conectores
metálicos de anel podem ser consideradas maciças no dimensionamento à
flexão se:
 para dois elementos superpostos
 para três elementos superpostos
Dimensões mínimas e contra�echas e
critérios de cálculo
Confira como são realizados os cálculos para que as contraflechas dos
elementos de madeira sejam dimensionadas.
Dimensões mínimas e contra�echas
De acordo com a ABNT NBR 7190-1:2022, nas vigas, a área mínima das seções
transversais é de e a espessura mínima é de Em estruturas
Ar = A
Ir = 0, 95I T
Ir = 0, 85I I
Ir = 0, 85I
Ir = 0, 70I
50cm2 5cm.
industrializadas de madeira, as seções mínimas tanto da madeira quanto dos
elementos de ligação podem ser inferiores às mencionadas na norma, desde que
haja comprovação experimental ou teórica de sua eficiência.
Atenção!
No caso de estruturas industrializadas, cabe à empresa produtora dessas
estruturas o controle de qualidade dos materiais e de sua aplicação.
Quanto à contraflecha, normalmente, é especificado no projeto o seu valor para
compensar os deslocamentos totais provocados pelas cargas permanentes. As
vigas laminadas coladas podem ser construídas com contraflecha, para isso
basta colar as lâminas com a curvatura especificada. Já para as vigas de
madeira maciça, não é possível preparar as peças com contraflechas. Na
verificação do estado-limite de deformação excessiva, a contraflecha pode ser
deduzida a partir do deslocamento total.
De acordo com a ABNT NBR 7190-1:2022, nas peças que são dadas
contraflechas, a geometria dessa contraflecha deve ser a mais próxima de uma
parábola ao longo do vão.
Critérios de cálculo
Para o dimensionamento das vigas de madeira, é necessário realizar a
verificação de dois critérios:
É formuladaa partir da teoria clássica de resistência dos materiais,
embora a madeira não apresente o comportamento linear da Lei de
Hooke até a ruptura. Para peças compostas, consideramos a ineficiência
das ligações com a redução dos valores de momento de inércia ou dos
momentos resistentes.
Está relacionada aos requisitos estéticos, evitando os danos nos
componentes acessórios, e visa ao conforto dos usuários, como evitar
Limitação das tensões (estado-limite último) 
Limitação de deformação (estado-limite de deformação) 
deformação exagerada em assoalhos de edificação ou ponte. É realizada
por meio da limitação das flechas das vigas.
Os valores-limite para as flechas de vigas são indicados pela ABNT NBR 7190-1
e estão representados na tabela para vigas biapoiadas ou contínuas e para vigas
em balanço. O cálculo da deformação considera a existência ou não de
materiais frágeis ligados à estrutura, como forros, pisos e divisórias, para que
sejam evitados danos por meio do controle de deslocamento das vigas nesses
materiais não estruturais. Confira!
Tipo de viga
Vigas biapoiadas ou
contínuas
L/300 a
L/500
L/150 a
L/300
L/250 a
L/350
Vigas em balanço
L/150 a
L/250
L/75 a
L/150
L/125 a
L/175
Tabela: Valores-limite de deslocamentos para elementos correntes fletidos.
ABNT NBR7190-1, 2022, p. 67
Podemos observar a seguir as deformações que devem ser consideradas para
os casos correntes de elementos fletidos de madeira, a menos que haja
restrições especiais.
Verificação esquemática dos deslocamentos-limite.
Segundo a ABNT NBR 7190-1, as flechas em razão das ações permanentes
podem ser parcialmente compensadas por contraflechas realizadas durante a
construção. Porém, os valores das contraflechas não podem ser superiores a
2/3 dos deslocamentos instantâneos permanentes 
Além dos limites de deslocamentos indicados na tabela anterior, as flechas
instantâneas devido apenas às ações variáveis não podem superar 1/500 dos
δinst  δfin  δnet,fin 
(∑M
l=1 δinst,gi,k).
vãos ou 1/250 do comprimento dos balanços correspondentes, nem o valor
absoluto de 15 mm (ABNT NBR 7190-1, 2022).
Também deve ser considerado o valor-limite de vibrações nas estruturas sobre
as quais o público em geral pode caminhar. Devem ser evitadas vibrações que
tragam desconforto aos usuários. A menor frequência natural de vibração dos
elementos da estrutura do piso não pode ser inferior a 8 Hz para o caso
particular de pisos sobre os quais as pessoas andem regularmente, como em
residências e escritórios.
Vigas de madeira
Confira neste vídeo o que são as vigas de madeira e como elas podem ser
utilizadas para construção de edificações.
Generalidades e vão teórico
As vigas de madeira maciça são as mais utilizadas no Brasil. Geralmente, são
disponibilizadas em madeira serrada com dimensões padronizadas e
comprimento limitado em 5 m. A madeira serrada é utilizada na construção de
telhados, assoalhos, casas, galpões, treliças etc. Já a madeira lavrada pode ser
obtida nas regiões de madeireiras com seções transversais e comprimentos
especiais, normalmente, superiores às dimensões da madeira serrada.
Vejamos as considerações de dimensionamento para tipos diferentes de vigas:
Vigas simples ou contínuas
principais de pontes e
soalhos
As ancoragens devem ser
adequadas, seja por meio
Vigas secundárias e as
pranchas de soalhos
Os cálculos são realizados
tratando as vigas como
vigas simplesmente
de parafusos ou vigas de
amarração, para absorver
possíveis reações negativas
de cargas móveis.
apoiadas sobre dois apoios,
não considerando a
influência favorável da
continuidade.
De acordo com a ABNT NBR 7190-1:2022, para o projeto de vigas submetidas à
flexão simples reta, devemos considerar o menor dos seguintes valores para o
vão teórico das vigas fletidas:
Distância entre eixos do apoio.
Vão livre acrescido da altura da seção transversal da peça no meio do
vão, não se considerando acréscimo maior que 10 cm.
Ou seja:
Confira a representação dessas medidas:
Vão teórico da viga simples e contínua.
Em que é a distância entre centros dos apoios, é o vão livre, é a altura da
viga e é o vão teórico de vigas. Em trechos intermediários de vigas contínuas, o
vão teórico é igual à distância entre os centros dos apoios. Já nos trechos
externos, o vão teórico é igual ao vão livre acrescido da semialtura ( ) da
viga e da semilargura do apoio intermediário.
Vejamos agora as considerações para a resistência à flexão W em vigas de
seção circular e, posteriormente, para vigas de seção quadrada.
l é o menor valor entre 
⎧⎪⎨⎪⎩ l0
l′ + h ≤ l′ + 10cm
l0 l′ h
l
l0
h/2
Vigas de seção circular
O módulo resistente à flexão é aproximadamente igual ao das vigas de seção
quadrada de área equivalente, as quais podem ser dimensionadas como tal. Já
para as vigas de seção circular com diâmetro variável - peças roliças, desde que
atendida a relação pode-se calcular o diâmetro equivalente
 utilizando a seguinte equação:
Vigas de seção quadrada
Apresentam a mesma resistência tanto no plano paralelo à face quanto no plano
da diagonal.
Posição do diâmetro equivalente para peças de seção circular variável.
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
As vigas de madeira são dimensionadas no estado-limite último a fim de
garantir sua segurança em relação à ruptura da estrutura. Sendo assim, as
tensões de projeto precisam ser inferiores às tensões resistentes. Marque a
opção que apresenta todas as tensões de uma viga biapoiada de madeira.
deq ≤ 1, 5 ⋅ dmín 
(deq)
deq = dmin +
dma ́x − dmin
3
Parabéns! A alternativa D está correta.
Nas vigas de madeira, temos as tensões normais de compressão e tração
paralelas às fibras devido aos esforços de flexão, a compressão normal às
fibras devido às cargas pontuais e as tensões cisalhantes tanto na direção
normal como na direção paralela às fibras devido ao esforço cortante.
A
Tensões normais de tração na direção paralela às fibras,
tensões de compressão normal às fibras e tensão cisalhante
nas direções normal e paralela às fibras.
B
Tensões normais de compressão na direção paralela às fibras,
tensões de tração normal às fibras e tensão cisalhante nas
direções normal e paralela às fibras.
C
Tensões normais de compressão na direção paralela às
fibras, tensões de compressão normal às fibras e tensão
cisalhante nas direções normal e paralela às fibras.
D
Tensões normais de tração e compressão na direção paralela
às fibras, tensões de compressão normal às fibras e tensão
cisalhante nas direções normal e paralela às fibras.
E
Tensões normais de tração e compressão na direção normal
às fibras, tensões de tração paralela às fibras e tensão
cisalhante nas direções normal e paralela às fibras.
Pfeil; Pfeil, 2003, p. 94.
Questão 2
As vigas de madeira sofrem deformações vertical e de flambagem lateral. A
fim de evitar as deformações excessivas verticais, uma opção disponível para
o engenheiro estrutural é a especificação de contraflecha no projeto, que
consiste na deformação especificada para compensar os deslocamentos
provocados pelas cargas permanentes na estrutura. Sendo L o comprimento
de uma viga biapoiada, marque a opção que apresenta os valores-limite para
o deslocamento instantâneo dessa viga.
A L/300 a L/500
B L/150 a L/250
C L/150 a L/300
D L/75 a L/150
E L/125 a L/175
Parabéns! A alternativa A está correta.
Os valores-limite de deslocamento para as vigas são:
Tipo de viga
Vigas biapoiadas
ou contínuas
L/300 a
L/500
L/150 a
L/300
L/250 a
L/350
Vigas em balanço
L/150 a
L/250
L/75 a
L/150
L/125 a
L/175
Tabela: Valores-limite de deslocamentos para elementos correntes fletidos.
ABNT NBR7190-1, 2022, p. 67
2 - Projeto de vigas de madeira
Ao �nal deste módulo, você será capaz de reconhecer as equações e as condições para o projeto de
vigas de madeira.
δinst  δfin  δnet,fin 
Equações e condições para o projeto de
vigas de madeira
Veja nestevídeo como é possível realizar o dimensionamento das cargas de
cisalhamento e verificar a estabilidade lateral das vigas.
Cisalhamento longitudinal em vigas
Veja neste vídeo como é determinado o cisalhamento longitudinal em vigas
maciças, e como é realizada a redução da força cortante.
Vigas maciças
Segundo a ABNT NBR 7190-1:2022, para as vigas maciças submetidas à flexão
com força cortante, a condição de segurança em relação às tensões tangenciais
é calculada por esta equação:
Em que é a máxima tensão de cisalhamento atuando no ponto mais solicitado
da peça, é a força cortante na seção de estudo, é o momento estático da
τd =
Vd.S
b. I
≤ fv0,d
τd
Vd S
seção para o ponto em que se quer calcular a tensão, é a largura ou somatória
das larguras no ponto da seção em estudo e é o momento de inércia da seção
transversal.
Já em vigas com seção transversal retangular, de largura e altura com área
 a equação passa a ser:
Quando não há determinação experimental específica, pode-se adotar:
Para coníferas: 
Para folhosas: 
Redução da força cortante próxima aos apoios
De acordo com a ABNT NBR 7190-1:2022, em vigas com altura que recebem
forças concentradas ou distribuídas, que gerem tensões de compressão nos
planos longitudinais, a uma distância a partir do eixo do apoio, o
cálculo das tensões de cisalhamento pode ser feito com uma força cortante
reduzida de valor, conforme esta equação:
E tem origem no ponto teórico do apoio e é um fator redutor que anula o
cortante no ponto mas retoma os valores normais de para 
Vigas entalhadas de seção retangular
Para a ABNT NBR 7190-1:2022, no caso de variações bruscas de seção
retangular transversal, devido aos entalhes presentes nas vigas, devemos
multiplicar a tensão de cisalhamento na seção mais fraca, de altura pelo
fator obtendo o valor calculado conforme a seguinte equação:
b
I
b h,
A = b ⋅ h,
τd = 1, 5
Vd
A
fv0,d = 0, 12 ⋅ fc0,d
fv0,d = 0, 10 ⋅ fc0,d
h
0 ≤ z ≤ 2h
Vred  = V ⋅
z
2h
z z/2h
z = 0, V z ≥ 2h.
h1,
h/h1,
τd = 1, 5
Vd
b ⋅ h1
(
h
h1
)
Devemos também respeitar a restrição Observe!
Vigas com entalhes.
Quando a ABNT NBR 7191-1:2022 recomenda a utilização de
parafusos verticais dimensionados à tração axial para a totalidade da força
cortante a ser transmitida ou o emprego de variações de seção com mísulas de
comprimento não menor que três vezes a altura do entalhe, obedecendo sempre
ao limite absoluto: 
Estabilidade lateral de vigas
Assista ao vídeo e entenda como a norma ABNT NBR 7190-1:2022 é utilizada
para lidar com a flambagem lateral em vigas.
Recomendações da ABNT NBR 7190-1:2022
h1 > 0, 75 ⋅ h.
h1
h
≤ 0, 75
h1/h ≥ 0, 5.
De acordo com a Norma Brasileira 7190-1 de 2022, as vigas sujeitas à flexão
simples reta, além de respeitarem as condições de segurança, devem ter sua
estabilidade lateral verificada por teoria cuja validade tenha sido comprovada
experimentalmente.
A verificação da estabilidade lateral pode ser dispensada nos casos de vigas de
seção transversal retangular de largura b e altura h medida no plano de atuação
do carregamento, desde que dois requisitos sejam atendidos:
a. Impedir as rotações nas seções extremas da viga, ou seja, nos pontos
de apoio.
b. Impedir os deslocamentos laterais nos pontos de apoio e em qualquer
ponto com travamento lateral, caso exista.
O comprimento que é a distância entre pontos adjacentes da borda
comprimida com deslocamentos laterais nos pontos de apoio e em qualquer
ponto com travamento lateral, atende à seguinte condição:
Em que e é obtido nesta tabela:
Tabela: Coeficiente de correção para e 
Veja a versão acessível da tabela apresentada.
Para os casos de peças em que a condição de não seja atendida, a
verificação de estabilidade pode ser dispensada desde que atenda à condição
indicada na próxima tabela.
Tipo de viga
Vigas biapoiadas ou
contínuas
L/300 a
L/500
L/150 a
L/300
L/250 a
L/350
L1,
L1
b
≤
E0,ef
βMfm,d
βM =
4
π
⋅
βE
γf
⋅
( h
b
)
3/2
( h
b
− 0, 63)
1/2
BE = 4 βM
βM γf = 1, 4 BE = 4.
L1
δinst  δfin  δnet,fin 
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/07456/docs/anexo_01.pdf
Tipo de viga
Vigas em balanço
L/150 a
L/250
L/75 a L/150
L/125 a
L/175
Tabela: Valores-limite de deslocamentos para elementos correntes fletidos.
ABNT NBR7190-1, 2022, p. 67
Além da condição indicada pela tabela, também espera-se que a peça tenha o
valor máximo de cálculo da tensão de compressão atendido pela
expressão:
Já a estabilidade lateral de vigas de seção não retangular deve ser estudada
individualmente.
Segundo a ABNT NBR 7190-1:2022, com relação às peças que compõem as
vigas em que a instabilidade lateral pode ocorrer, o desvio no alinhamento axial
da peça, medido na metade da distância entre os apoios, deve ser limitado em:
 para peças de madeira serrada ou roliça.
 para peças de madeira laminada colada.
O fenômeno da �ambagem lateral
Esse fenômeno pode ser entendido pela flexão de um elemento comprimido;
assim, a parte superior da seção fica comprimida devido à ação do momento
fletor com tendência de flambagem no eixo de menor momento de inércia.
Devido à estabilidade da parte inferior da viga que está submetida à esforços de
tração, o deslocamento lateral é dificultado e o fenômeno ocorre pela torção 
da seção (PFEIL; PFEIL, 2003).
δinst  δfin  δnet,fin 
(σc,d),
σc,d ≤
Ec0,ef
( L1
b
)βM
L/300 →
L/500 →
u ∅
Flambagem lateral de viga biapoiada.
Para impedir a flambagem, podem ser realizadas amarrações laterais,
conhecidas como contraventamento, que têm por objetivo impedir a torção da
viga. Segundo Pfeil e Pfeil (2003), não é possível uma completa amarração da
viga para evitar a torção na prática, por isso é necessária a verificação de
segurança contra a flambagem lateral.
Veri�cação de tensões em �exão
Assista ao vídeo e confira como podemos verificar as flexões que ocorrem em
vigas retangulares. Confira também os conceitos de flexão simples e flexão
simples oblíqua.
Flexão simples
As vigas são elementos que normalmente estão submetidos à flexão. Para os
casos em que as vigas estejam submetidas a momento fletor cujo plano de ação
contenha um eixo central de inércia da seção transversal resistente, a ABNT NBR
7190-1:2022 recomenda que a seguinte expressão seja atendida:
Em que é o máximo de cálculo da tensão atuante de flexão, calculado por
 é o valor de cálculo da resistência à flexão. Caso seja usada a tabela a
seguir, deve-se considerar que é o valor de cálculo do
momento fletor e é o módulo de resistência da seção transversal à direção
paralela às fibras, em relação ao eixo central de inércia perpendicular ao plano de
ação do momento fletor.
Tabela: Classes de resistência de espécies de florestas nativas definidas em ensaios de corpos de prova
isentos de defeitos.
Veja a versão acessível da tabela apresentada.
Para as madeiras lameladas coladas cruzadas, deve-se consultar o item
6.7.4.10.2 da ABNT NBR 7190-1:2022 para determinar o módulo de resistência
da peça. Para peças com fibras inclinadas de ângulos deve-se aplicar a
 conforme apresenta o item 6.2.8 da norma.
Viga retangular
σM,d
fm,d
=
Md
W
fm,d
≤ 1
σM,d
Md
W
; fm,d
fm,d = fc0,d ⋅Md
W
α > 6∘,
fm,d,
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/07456/docs/anexo_02.pdf
Observe agora as tensões de compressão e de tração para uma viga retangular
com altura h e base b submetida à flexão.
Tensões normais em vigas de seção retangular.
Para as vigas retangulares, podemos considerar as seguintes equações para as
tensões de flexão de compressão e de tração, respectivamente:
Como:
A tensão de compressão será determinante para o dimensionamento das vigas
de madeira. E teremos o cálculo das tensões de tração e compressão na flexão
dado, respectivamente, por:
Flexão simples oblíqua
De acordo com a ABNT NBR 7190-1:2022, para os casos de vigas com seções
submetidas a momento fletor cujo plano de ação não contém um de seus eixos
centraisde inércia, a condição de segurança é expressa pela mais rigorosa das
condições:
σcd =
6Md
bh2
≤ fcd σtd =
6Md
bh2
 6∘,
fα =
f0 ⋅ f90
f0 ⋅ sen2 α+ f90 ⋅ cos2 α
σ90,d ≤ fc90,d
fc90,d
fc90,d ≤ 0, 25 ⋅ fc0,d ⋅ αn
αn
Extensão (a') do carregamento perpendicular às
fibras, medida paralelamente a estas
cm
Coeficiente
1 2,00
2 1,70
3 1,55
4 1,40
5 1,30
7,5 1,15
10 1,10
15 1,00
Tabela: Valores de 
ABNT NBR 7190-1, 2022, p. 17.
Para os casos em que a força estiver aplicada a menos de da
extremidade da peça ou a extensão do carregamento, medida paralelamente à
direção das fibras, for admite-se Para os casos que não
estiverem na tabela, a ABNT NBR 7190-1:2022 permite a interpolação linear.
Flexocompressão
A avaliação da flexocompressão é dada pela mais rigorosa das duas equações a
seguir, as quais devem ser aplicadas ao ponto mais solicitado da borda mais
comprimida, considerando uma função quadrática para a influência das tensões
devido à forçanormal de compressão. Veja!
αn
αn.
7, 5cm
a′
≥ 15cm, αn = 1.
(
σNc0,d
fc0,d
)
2
+
σMx,d
fm,d
+ kM
σMy,d
fm,d
≤ 1e(
σNc0,d
fc0,d
)
2
+ kM
σMx,d
fm,d
+
σMy,d
fm,d
≤ 1
Em que é o valor de cálculo da parcela de tensão normal atuante em
virtude apenas da força normal de compressão e é a resistência de cálculo
à compressão paralela às fibras. é a tensão máxima de cálculo devido às
componentes de flexão atuantes segundo as direções principais e é a
resistência de cálculo na flexão. O coeficiente de correção pode ser:
0,7 para seção retangular
1,0 para outras seções transversais
Para peças com fibras inclinadas de ângulos , deve-se aplicar a redução à
resistência a e 
Condição de estabilidade das peças
De acordo com a ABNT NBR 7190-1:2022, se e a peça
deve satisfazer apenas as condições de compressão ou da flexocompressão.
Não é necessária a verificação de estabilidade. Porém, nos casos em que o
índice de esbeltez relativo for maior do que em qualquer direção, além da
verificação apresentada em compressão e flexocompressão, devem ser
atendidas as condições de estabilidade dadas pelas seguintes inequações:
Observe o comportamento de um material elástico: (a) de um material plástico e
(b) de uma seção transversal submetida à flexocompressão:
Resistência de uma seção sujeita à flexocompressão: (a) material elástico (b) material inelástico.
A madeira apresenta comportamento linear elástico na tração e inelástico na
compressão. Logo, a superposição das tensões normais devido ao esforço
normal e ao momento fletor só é válida até a tensão limite de proporcionalidade,
σNc0,d
fc0,d
σM,d
fm,d
kM
α > 6∘
fc0,d fm,d
λrel, x ≤ 0, 3 λrel, y ≤ 0, 3,
0, 3,
σNc,d
kcxfc0,d
+
σMx,d
fm,d
+ kM
σMy,d
fm,d
≤ 1
σNc,d
kcxfc0,d
+ kM
σMx,d
fm,d
+
σMy,d
fm,d
≤ 1
 ou seja, não pode ser aplicada na ruptura. A ruptura é atingida quando a
máxima deformação se iguala a 
Estabilidade global – contraventamento
Confira no vídeo como é possível realizar o contraventamento em peças
compridas, para que a estabilidade global da peça seja atingida.
Generalidades
As estruturas que precisam ser contraventadas são aquelas formadas por um
sistema principal de elementos estruturais, dispostos com sua maior rigidez em
planos paralelos entre si. O contraventamento é realizado por outros elementos
estruturais com a maior rigidez em planos ortogonais aos primeiros. O objetivo é
impedir deslocamentos transversais excessivos do sistema principal e garantir a
estabilidade global do conjunto.
De acordo com a ABNT NBR 7190-1:2022, para o dimensionamento do
contraventamento, devem ser consideradas as imperfeições geométricas das
peças, as excentricidades inevitáveis dos carregamentos e os efeitos de
segunda ordem decorrentes das deformações das peças fletidas. Na falta de
determinação específica da influência desses fatores, é permitido, na situação
de cálculo, considerar uma força em cada nó do contraventamento com
direção perpendicular ao do plano de resistência dos elementos do sistema
principal. Veja!
fel,
εc = εN + εM .
F1d
Parâmetros para a verificação da estabilidade lateral.
Contraventamento de peças comprimidas
Para a ABNT NBR 7190-1: 2022, as peças comprimidas pela força de cálculo 
as quais apresentam articulações fixas em ambas as extremidades e cuja
estabilidade requeira o contraventamento lateral por elementos espaçados entre
si por devem obedecer às condições a seguir.
As forças atuantes em cada um dos nós do contraventamento
podem ser admitidas com o valor mínimo convencional de ,
correspondente a uma curvatura inicial da peça com flechas da ordem
de do comprimento do arco correspondente.
A rigidez da estrutura de apoio transversal das peças de
contraventamento deve assegurar que a eventual instabilidade teórica
da barra principal comprimida corresponda a um eixo deformado
constituído por m semiondas de comprimento entre nós
indeslocáveis.
Ainda, em relação a rigidez afirmamos que deve atender, no mínimo, às
seguintes condições:
Os valores de devem ser consultados nesta tabela:
Nd,
L1,
F1d
Nd/150
1/300
Kbr,1
L1
Kbr,1
Kbr,1,min = 2αm
π2E0,efI2
L3
1
αm = 1 + cos
π
m
αm
m 2 3 4 5
1 1,5 1,7 1,8 2
Tabela: Valores de .
ABNT NBR 7190-1, 2022, p. 29.
Consideramos o número de intervalos de comprimento entre as 
linhas de contraventamento ao longo do comprimento total da peça principal.
 é a distância entre elementos de contraventamento, é o valor do
módulo de elasticidade efetivo da peça principal contraventada. é o momento
de inércia da seção transversal da peça principal contraventada, para flexão no
plano de contraventamento.
A ABNT NBR 7190-1:2002 ainda afirma que, se os elementos de
contraventamento forem comprimidos pelas forças eles também devem ter
sua estabilidade verificada. Essa verificação será dispensada quando os
elementos de contraventamento forem efetivamente fixados em ambas as
extremidades, de modo que eles possam cumprir sua função, sendo solicitados
apenas à tração em um de seus lados.
Para o contraventamento do banzo comprimido de treliças ou de vigas fletidas,
admite-se o descrito acima, devendo-se considerar como a força máxima de
compressão atuante nas barras desse banzo ou a resultante das tensões de
compressão na viga. Para as vigas, a norma afirma que, para a validade dessas
hipóteses, é necessário que estejam impedidas de rotacionar em torno de seu
eixo longitudinal das seções transversais de suas duas extremidades.
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
São diversos os tipos de peças comprimidas de madeira e que podem, por
exemplo, ser encontrados em treliças e sistemas de contraventamento. A
∞
αm
αm
m L1 (m− 1)
L
L1 E0, ef 
I2
F1d,
Nd
Rcd
imagem a seguir representa uma seção do tipo:
Parabéns! A alternativa C está correta.
Na imagem abaixo, podemos ver diversos tipos de peças comprimidas. A
ordem delas é:
a. Seções maciças de madeira roliça.
b. Seções maciças de madeira lavrada.
c. Seções maciças de madeira serrada.
d. Seções maciças de madeira laminada colada.
e. Seções compostas de madeira serrada ou laminada.
A Maciça de madeira roliça.
B Maciça de madeira serrada.
C Maciça de madeira laminada colada.
D Composta de madeira serrada.
E Maciça de madeira lavrada.
Seções transversais de peças comprimidas.
Questão 2
A flambagem por flexão ocorre nas peças de madeira comprimidas devido à
falta de retilinidade das peças e por não ser possível a centralização do
carregamento. Uma importante propriedade da peça de madeira para verificar
a flambagem por flexão é a sua esbeltez. Dada uma coluna quadrada com
lado igual a 12 cm, engastada nas duas extremidades, ou seja, com rotação e
translação lateral impedidas e comprimento de 4,5 m, determine sua
esbeltez.
Parabéns! A alternativa E está correta.
Calculando, temos:
A 47,54
B 58,71
C 72,93
D 98,75
E 101,32
4 - Projeto de peças comprimidas em compressão simples
Ao �nal deste módulo, você será capaz de reconhecer as equações e as condições para o projeto de
peças de madeira submetidas à compressão simples.
Dimensionamento à compressão simples
e exemplos de cálculo
Assista ao vídeo e confira como são realizados os cálculos para dimensionar a
compressão em um projeto com elementos de madeira.
L0 = KE.L = 0, 65.4, 5 = 2, 925m
λ =
L0
√I/A
=
2, 925√12
0, 1
= 101, 32
Cálculos para o dimensionamento à
compressão simples
Assista ao vídeo e confira como dimensionar a compressão simples em
elementos construtivos. Veja também o dimensionamento de peças curtas e
peças com esbeltez moderada.
Peças curtas
Para o caso de colunas curtas, não é necessário considerar a redução
da resistência à compressão devido à flambagem. Segundo Pfeil e Pfeil (2003),
para a compressão simples de colunas curtas, a resistência da coluna é igual à
resistência da coluna mais solicitada:
Ou seja, da resistência dos materiais, basta aplicara equação: tensão é igual à
força sobre a área.
Peças medianamente esbeltas
Já para as peças comprimidas de esbeltez intermediária, temos a
resistência sendo afetada pela flambagem devido aos efeitos de imperfeições
λ h/20.
N ∗
g = Ng + (ψ1 + ψ2)Nq
Sendo e os valores característicos dos esforços normais oriundos da
carga permanete e variável, respectivamente, e e são coeficientes para a
composição da combinação de carga variável.
Além de verificar a estabilidade, é fundamental realizar a análise das condições
de resistência da seção.
Exemplo do cálculo da carga máxima de
projeto
Vamos juntos neste vídeo calcular as propriedades mecânicas, para carga
máxima de projeto e conferir os conceitos de coluna curta e coluna
medianamente esbelta.
Vamos analisar agora um exemplo adaptado de Pfeil e Pfeil (2003, p. 149-150).
Para um caibro de de guaiçara, submetido a carregamento de
longa duração e de classe de umidade 2, sujeito à compressão simples, calcular
a carga máxima de projeto para diversos comprimentos de flambagem
considerando coluna curta e coluna medianamente esbelta.
Cálculo das propriedades mecânicas
Admitindo a carga de longa duração e classe 2 de umidade, a partir das tabelas
a seguir, teremos:
Ng Nq
ψ1 ψ2
7, 5cm× 7, 5cm
Nd
Classes de carregamento em função dos tipos de madeira e de
ação variável 
Definição de classes de carregamento e valores de .
Valores de .
Classes de resistência para espécies de madeiras nativas do Brasil.
kmod1 
Classes de umidade, em função do tipo de madeira e de sua
recompostagem 
k mod 2
Classificação em relação à resistência 
Classes de resistência de espécies de florestas nativas definidas em
ensaios de corpos de prova isentos de defeito.
Veja a versão acessível das tabelas apresentadas.
Se tivermos um e um poderemos estimar os valores de
 da seguinte maneira:
Confira na tabela a seguir o coeficiente de fluência:
Material
Classes de umidade
(1)
(2 e
3)
(4)
Madeira serrada, MLC, MLCC, LVL e
roliça
0,6 0,8 2,0ª
Compensado estrutural 0,8 1,0 2,5
OSB estrutural 1,5 2,25 -
Especificação de classes, em função de variáveis mecânicas e
densidade 
γ = 1, 4 kmod  = 0, 63,
fcdecef
fcd = kmod ⋅
fck
γ
= 0, 63 ⋅
60
1, 4
= 27MPa
Ecef = kmod  ⋅Ec, med  = 0, 63 ⋅ 19500 = 12285MPa
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/07456/docs/anexo_04.pdf
Material
Classes de umidade
(1)
(2 e
3)
(4)
a Não é permitido o uso de MLCC para classe de umidade 4
Tabela: Coeficiente de fluência.
ABNT NBR 7190-1, 2022, p. 66
Em que:
Coluna curta, 
Coluna curta é toda coluna contida em um intervalo entre Veja um
exemplo da determinação de 
Coluna medianamente esbelta, 
Para esse intervalo, teremos: Fazendo os cálculos
para teremos:
φ = 0, 8
λ30cm,
A 5, 6MPa
B 5, 6kN/cm2
C 7, 8MPa
D 7, 8kN/cm2
Parabéns! A alternativa A está correta.
Como é uma coluna curta e para a compressão simples, temos:
Questão 2
O engenheiro estrutural, para fazer a verificação da resistência ao esforço de
compressão simples de uma coluna curta, foi ao local da obra é verificou que
a madeira utilizada foi a copaíba para uma situação de carga de longa
duração e classe 2 de umidade. Consultando a NBR 7190-1 e 7190-3, o valor
que ele encontrou para a tensão resistente de compressão foi de:
Classe de
Resistência
Nome popular Nome cientifico
D40 Canelão Ocotea sp.
D40 Catanudo Micropholis sp.
D40 Copaíba Copaifera sp.
D40 Cupiúba Goupia glabra
D40 Goiabão
Planchonella
pachycarpa
D40 Louro Verde Ocotea sp.
E 8, 4kN/m2
λ