[CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL IV] - Integral dupla - Algumas questões resolvidas

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Profª Ana Maria Maceira Pires 
 
Nome: Matr. 
 
Algumas questões resolvidas 
 
Questão 1 
Um região R é mostrada na figura. 
Decida, no caso, quanto ao uso de coordenadas polares ou retangulares e escreva, 
respectivamente, ∫∫∫∫
θ
θθθ
xyRrR
dA )y,x(f ou d dr r )rsen ,cosr(f enquanto uma integral iterada, em 
que f é uma função contínua em R, indicando os limites de integração. 
 
 A reta é definida pela função y = ax + b. 
 Considerando a = 4 e o ponto A(0, 0) na função, 
 0 = 4.0 + b ⇒ b = 0 
 Conclui-se que y = 4x é representada pela reta AB. 
 
� A reta CB representa a função y = 4. 
 
 
Então, tem-se para a região R: 0 ≤≤≤≤ x ≤≤≤≤ 1 e 4x ≤≤≤≤ y ≤≤≤≤ 4 
 
 
 
Concluindo: I = ∫ ∫
1
0
4
x4
dxdy )y,x(f 
 
 
 
 
 
� Trata-se de região para tratamento em coordenadas 
retangulares 
� Para definir a função representada pela reta AB: 
x
y
a
∆
∆
= para os pontos A(0, 0) e B(1, 4) 
 4
01
04
a =
−
−
= 
Curso de Engenharia Química – EQU2013014NA783 
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral IV 
22/09/2015 
2 
 
 
 
Questão 2 
Uma lâmina plana tem a forma da região limitada pela curva y = x2 + 1 e pela reta y = x + 3. 
a) Represente-a. (esboço) 
b) Calcule a área dessa região. 
 
a) 
 
 
b) Para calcular a área, tem-se que A = ∫∫
R
dA , para −1 ≤ x ≤ 2 e x2 + 1 ≤ y ≤ x + 3. 
 A = ∫ ∫
−
+
+
2
1
3x
1x2
dxdy . 
 Calculando a Iy = 222
3x
1x
3x
1x
x2x1x3x)1x(3x ydy
2 2
−+=−−+=+−+==∫
+
+
+
+
 
 Calculando a Ix = ( ) =−+=−+=−+
−−
−
−
− − −
∫ ∫ ∫ ∫ x3
1
 x2 x
2
1
 dx xdx2dx x dx x2x
2
1
3
2
1
2
1
2
1
2
2
1
2
1
2
1
22
 
 ( )
2
9
2
6
2
3
 3
2
3
 36
2
3
 1 8 
3
1
 )12( 2 )14(
2
1
=+=+=−+=+−++−= 
 
 Conclusão: A = .a.u
2
9
 ou A = 4,5 u.a. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para elaborar o gráfico, determina-se a intersecção da 
curva y = x2 + 1 com a reta y = x+ 3: 
x2 + 1 = x + 3 ⇒ x2 – x – 2 = 0 ⇒ x = − 1 ou x = 2 
 
para x = − 1 então y = − 1 + 3 = 2 (-1, 2) 
para x = 2 então y = 2 + 3 = 5 (2, 5) 
 
A parábola passa por esses pontos e tem vértice (0, 1). 
A reta é determinada pelos dois pontos (intersecção). 
3 
 
 
 
Questão 3 
Calcule o volume do sólido limitado superiormente pelo parabolóide f(x, y) = x2 + y2, inferiormente 
pelo disco (R) dado por x2 + y2 ≤ 9, e lateralmente pelo cilindro vertical cuja base é o contorno de 
R. (Represente a região R) 
 
 
 
Rrθ : x2 + y2 ≤ 9 então 0 ≤ r ≤ 3 e 0 ≤ θ ≤ 2pi 
 
f(x,y) = x2 + y2 então f(rcosθ, rsenθ) = r2cos2θ + r2sen2θ = r2 (cos2θ + sen2θ) = r2 
 
Assim: V = θ∫ ∫
pi
d dr r .r 
2
0
3
0
2
 
 
Ir = ( ) 4
81
 081
4
1
 r
4
1
 dr r
3
0
3
0
43
=−==∫ 
 
Iθ = ( ) pi=−pi=θ=θ∫
pi pi
2
81
 02
4
81
 
4
81
 d 
4
812
0
2
0
 
 
 Conclusão: V = u.v. 
2
81
pi 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A região R é um disco de centro (0, 0) e raio 3. 
 
Com isso, o volume do sólido será calculado com auxílio de 
coordenadas polares. 
V = ( ) d dr r rsen ,rcosf dA )y,x(f
xy rR R
θθθ=∫∫ ∫∫
θ
 
4 
 
 
 
Questão 4 
Determine a massa da lâmina que ocupa a região R = {(x, y) | 0 ≤ x ≤ 
2
pi
 e 0 ≤ y ≤ cosx} e tem 
função densidade ρ(x, y) = y. Hachure a região. 
 
 
 
Iy = ( ) xcos21 0xcos 21 y21 dy y 2
xcos
0
2
cosx
0
2
=−==∫ 
 
 
Ix = =+=+=





+=
pipi pipipi pi
∫ ∫∫ ∫ sen2x 2
1
.
4
1
 x
4
1
 dx x2cos
4
1
 dx
4
1
 dx x2cos
2
1
2
1
2
1
 dx xcos
2
1 2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
 
(nas passagens, acima, foram utilizados, respectivamente, os métodos de integração: substituição 
trigonométrica e mudança de variável) 
 
( ) ( ) pi=−+pi=−pi+−pi=
2
1
 )00(
8
1
 2 .
4
1
 0sen4sen
8
1
 02
4
1
 
 
Conclusão: m = ½ pi u.m. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A massa da lâmina será determinada por: 
 
 m = ∫∫ρ
R
dA )y,x( 
 
 ou seja, ∫ ∫
pi
=
2
0
xcos
0
dxdy y m 
5 
 
 
Questão 5 
Uma lâmina ocupa a parte do disco x2 + y2 ≤ 4 em que y ≥ 0. Se a densidade em qualquer ponto 
for proporcional à distância do ponto ao eixo x, determine o momento de inércia para a lâmina em 
torno do eixo y. (Represente a região ocupada pela lâmina.) 
 
 
 
 
 
 
 
 
O momento de inércia da lâmina, em torno do eixo y, será determinado por: 
Iy = ∫∫ ρ
R
2 dA )y,x(x , que será calculado por coordenadas polares, reescrevendo: 
Iy = θθθ∫ ∫
pi
d dr r . sen r . k . cos .r 
0
2
0
22
 
Calculando Ir = =θθ=θθ=θθ ∫∫
2
0
52
2
0
424
2
0
2 r
5
1
 . sen . cos . k drr sen . cos . k drr . sen . cos . k 
 
 ( ) θθ=−θθ= sen . cos . k 
5
32
 032
5
1
 . sen . cos . k 22 
 
Calculando Iθ = =




 θ−=θθθ=θθθ
pipipi
∫∫ cos3
1
 . k
5
32
 d sen . cos k
5
32
 d sen . cos . k
5
32
0
3
0
2
0
2
 
 
(integral resolvida por mudança de variável, considerando u = cosθ) 
 
 
 ( ) k
15
64
 1) - (-1 k
15
32
 0coscos k
15
32
 
33
=−=−pi−= 
 
Conclusão: Iy = k15
64
 
 
Da informação x2 + y2 ≤ 4 em que y ≥ 0, 
obtêm-se as variações de r e de θ: 
 
 0 ≤ r ≤ 2 e 0 ≤ θ ≤ pi 
 
Quanto à densidade “em qualquer ponto é 
proporcional à distância do ponto ao eixo x”, 
então 
 
ρρρρ(x, y) = k.y