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- UNIVERSIDADE SAO JUDAS TADEU I DATA: I CURSO:- ENGENHARIA TURMA: N° DE ORDEM: DISCIPLINA: CÁLCULO I PROFESSOR: MARIA L. MANCINI ALUNO:.................................................................................... R.A.: . (EM LETRA DE FORMA) ASSINATURA DO ALUNO: . ~ .. 2° SEMESTRE, , GABARITO 1) Resolução: Aqui f(x) = x 2 - x -12 e g(x) = x2 - 3x - 4. Apli-. - cando o Teorema 4.3, da seção 4.2.2 letras (d) e (a), vem limf(x) = lim(x2 - x -12) = 42 - 4 -12 = O X""" 4 x--4 e lim g(x) = lim( x'2 - 3x - 4) = 42 - 3 .4 - 4 = O. x-4 x-4 Como limf (x) = O e limg(x) = O, temos uma indeterminação x-4 x-4. Odo tipo-o O Calculando f'(x) vem f'(x) = 2x -1 e calculando g'(x) vem g'(x) = 2x - 3. Aplicando a regra de L'Hospital, temos . x2 - x -12 . 2x -1 2·4 -1 7 lim =lim-- x ....•4 x2 _ 3x - 4 x~4 2x - 3 2 .4 - 3 5 Portanto, x2 - x -12 7 lim =- x ....•4 x2 3x 4 5 2) Resolução: Aqui f(x) = x e g(x) = 1- e", Aplicando o Teorema 4.3 da seção 4.2.2, letras (d) e (a), vem limx = Oe lim(1- eX) = 1- eO = 1-1 = O. X"'" o X"'" o Como limx = Oe lim(1- eX) = O, temos uma indeterminação do X-;O x ....•O. Otipo-o O Calculando f'(x) e g'(x) vem f'(x) = 1 eg'(x) = _ex• Aplicando a regra de L'Hospital, temos lim_x_ = lim_l_ = ~ = -1. x ....•o 1- e" x ....•O _ex -1 Portanto, UpgS ~ gp opeunxorda lOIuAUIn 'OIdUIgxglOd 1. xInl--= -1. x ....•o 1- e" - 3) Resolução: Como lim x2 = 00 e lim eX = 00 , temos uma indeter- x-ao x-oo 00 minação do tipo - . 00 Logo, ( )'2 x2 2-' 1im~ = lim---- = lim~ X~OO eX X~OC ( eX )' X~OO eX ' A indetermínação continua. Aplicando novamente a regra, vem , - .. , 2x , (2x )' . 2 lim - = limn- = lim -- = Ox • x-oo e x-oo eX' x-oo eX Portanto, 2 I' xnn--=O.________________ ~~~x~=:oo~e-x-------------------------------------------------ç 4) Resolução: 1imf(x) = lim x" = Oe limg(x) = l~(logx) = log(~~X) = 00. x~o x~o x~o x o Temos uma indeterminação do tipo Ox 00 , pois ~i!:!(f (x) .g(x) ) , no caso, f(x) - Oe g(x) - 00, quando x - O. Vamos escrever ( ) , g(x) ~~ f(x)' g(x) =~--""1 f(x) obtendo assim as indetermínações do tipo O 00 -ou-oO 00 Assim, ( ) , log x . log x lim x2 -Iog x = lnn-- = hm-_2-, x~o x~o 1 x-e-Ü X x2 I' ( 2 1 ) I' logxnn x . ogx = nn--:::2' x~o x~o x Como ~~(logx) = logÜi~X) = 00 e~~x-2 = 00, temos uma in- 00 determinação do tipo - . 00 Aplicando a regra de L'Hospital, vem 1 lim(x 'logx) = 1im(logx }' = lim x x~o x-+O (X-2) x~o -2·x-3 -I -1-(-3) 2 1· x I' x I' x= nn = Hfl = nn- = O X~O -2 .x-3 X~O 2 x--+O 2 Portanto, 1ím(x2 .logx) = O. X~O ----------------------------------------------------- ... 5) j(x) e' _e- X _X2 j(O) O fazendo -- = e -- = - o derivando og(x) 2x-senx g(O) O' f'(x) eX +e-x -2x 1'(0) numerador e denominador, separadamente, temos: -( ) = e ---- g' X -cosx g'(O) o e" +e-x -2x " lim =-2 x-->o cosx x -x 2 lime -e -x X-->O 2x - sen x ? 2 1 logo x -x 2lim _e__-_e __ -__x_ x-->o 2x sen x o ~ • ~ \ 6) -, f"{x) _ senx <p"{x) --6- I" X - sen X _ ? f{x) x - sen x 1(0) __Olffi -7 - e ~ derivando o x-->O 3x2 " lp(x) - 3x2 'q>(0) - O - f'(x) l-cosx 1'(0) O numerador e o denominador, separadamente, temos: ~ = e -( ) = - ; qJ\xJ 6x q>' O O 1"(0) 0_e -- = --O ~ lim x-senx - lim senx =0 q>"(O) 6 x-->o 3x2 x-s-O 6 7) lim[xoe;J= 0000x-->o 1 ~ Fazeno f{x) eX e <p{x) == -1 • X derivando o numerador e o denominador, separadamente, temos: 8) Fazendo f{x)_ qJ{x) - lim{secx-tgx)=? ~ lim{secx-tgx)= 00-00 ; 1C 1C X~- X~-2 2 1 sen x 1- sen X I( ~) O sec X - tgx = -- - -- = e m( '7r 2 ) = -O ; derivando o numerador e o cosx cosx cosx 'f"~ denominador, separadamente, temos: f'{x) - cosx cosx--=--=-- e qJ'{x) -senx senx 10 ( ) 10 cosxlIll sec x - tgx = lIll -- :=O X-->~ X-->~ senx 2 2
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