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Teoria das Estruturas
Responsável pelo Conteúdo:
Prof. Me. Emerson Felix
Revisão Textual:
Prof.ª Dra. Selma Aparecida Cesarin
Método da Rigidez Direta
Método da Rigidez Direta
 
 
• Apresentar uma transição entre os Métodos Clássicos de Análise Estrutural Manual 
( Método das Forças e Deslocamentos) e os automatizados, utilizados na análise por pro-
gramas de computador.
OBJETIVOS DE APRENDIZADO 
• Introdução;
• Comparação entre o Método da 
Rigidez Direta e o Método das Forças;
• Resolução Pelo Método das Forças;
• Resolução Pelo Método da Rigidez.
UNIDADE Método da Rigidez Direta
Introdução
Para estabelecermos os procedimentos analíticos a serem utilizados em uma análise 
automatizada por computadores, usaremos uma forma alternada do Método das Forças, 
o Método da Rigidez. 
Esse método, no qual as equações de equilíbrio nos nós são descritas por meio dos 
deslocamentos desconhecidos dos nós, retira a necessidade de selecionar reações redun-
dantes, como descrito na Unidade 3 (no Método das Forças), e de determinar a priori, 
uma estrutura principal isostática e uma virtual para cada força hiperestática redundante.
Iniciamos a apresentação do método apresentado uma comparação do Método 
da Rigidez com o Método das Forças, descrevendo passo a passo o processo de de-
terminação do coeficiente de rigidez de um nó com deslocamento desconhecido, em 
seguida, o Método da Rigidez é aplicado para a análise de treliças, vigas e pórticos.
Comparação entre o Método da 
Rigidez Direta e o Método das Forças
Anteriormente, foram apresentados os processos de cálculo para a análise de estrutu-
ras via Método das Forças e dos Deslocamentos, Unidades 3 e 4, em que foram descritas 
as generalidades de cada método. 
Como foi visto, no Método das Forças, fazia-se necessário gerar uma estrutura isostá-
tica, retirando as reações de apoio redundantes e, por meio dessa estrutura, geravam-se 
um sistema principal e os sistemas virtuais. 
Em seguida, ao aplicar o princípio dos trabalhos virtuais, determinavam-se os deslo-
camentos em cada um dos sistemas e, por fim, as reações redundantes eram determina-
das por meio da compatibilização da geometria da deformada da viga. 
No Método dos Deslocamentos, determina-se, a priori, o valor do grau de indetermi-
nação cinemática da estrutura, para, em seguida, restringir nos nós cada um dos desloca-
mentos possíveis e, com auxílio de uma Tabela de Engastamento Perfeito , determinam-se 
os valores das reações de apoio. O Método dos Deslocamentos é uma formulação base-
ada no Método da Rigidez, que será visto na sequência.
Assim, no Método das Forças, escrevemos equações de compatibilidade em função 
de Forças redundantes incógnitas. Já no Método da Rigidez, escrevemos equações de 
equilíbrio em função dos deslocamentos desconhecidos dos nós.
A fim de ilustrar a diferença entre os Métodos das Forças e da Rigidez Direta, na se-
quência, é apresentada a análise de uma estrutura composta por duas barras de treliça, 
conforme mostra a Figura 1. 
A estrutura da Figura 1 apresenta um sistema que é uma vez hiperestático (se você 
teve dúvidas sobre o grau de indeterminação dessa estrutura, reveja o início da disciplina).
8
9
Para facilitar a leitura dos resultados e deixar o texto fácil e didático, os elementos da 
estrutura foram identificados por números, sendo as barras de treliça classificadas com 
números dentro de círculos, e os nós classificados por números dentro de um quadrado.
Figura 1
Fonte: Acervo do conteudista
Resolução pelo Método das Forças
Para analisarmos a estrutura da Figura 1 pelo Método das Forças, precisamos, ini-
cialmente, retirar as reações redundantes, no caso, como se trata de uma estrutura uma 
vez hiperestática, retiramos apenas uma das restrições.
Assim, se retirarmos a reação horizontal do nó 1, teremos os sistemas principal e 
virtual apresentados nas Figuras 2.b e 2.c.
Observe que nessas figuras já foram inseridos os valores das forças externas e inter-
nas de cada barra.
Figura 2
Fonte: Acervo do conteudista
9
UNIDADE Método da Rigidez Direta
Para a determinação da reação hiperestática, força horizontal F1, determinamos os 
deslocamentos horizontais no nó 1, para cada um dos sistemas, virtual e principal, fa-
zendo o uso do princípio dos trabalhos virtuais, o qual foi apresentado na Unidade 2. 
Então, superpomos os deslocamentos e compatibilizamos as deformadas lembrando-se 
de que no nó 1, da estrutura real (Figura 2.a), o deslocamento deve ser nulo.
Como o apoio 3 do sistema principal (Figura 2.b) é o único que possui uma restrição 
horizontal, ele será o único a resistir a força horizontal aplicada no nó 2. 
Assim, a carga horizontal de 10kN será transmitida integralmente para o apoio 3 e, 
por consequência, encontramos que F2 é 10kN. 
Continuando nossa análise, quando a barra 2 é comprimida, os nós 1 e 2 se deslo-
cam para a direita a uma distância de Δ10. Esse deslocamento é determinado por meio 
das equações apresentadas na Unidade 2, referentes à deformação de uma barra de 
treliça, ou seja:
�
10
20 2
2 2
4 6
5
10 1
100 10 100 10
10� �
�� �� �
� �� �
� �
�
�F L
A E
m
* *
� �
O sinal negativo, para o valor de Δ10, indica que o deslocamento tem direção contrá-
ria ao qual supomos inicialmente.
Em seguida, determinamos o deslocamento do nó 1, δ11, devido à ação da reação 
redundante F1, fazendo o uso do sistema virtual (Figura 2.c). 
Observe que esse deslocamento está em função do deslocamento conjunto das barras 
1 e 2.
Assim:
�
11
11 1
1 1
21 2
2 2
2 8 2
1 1
10 10
1 1
0 5 10
� � �
� �� �
� �� �
�
� �� �
� �� �
F L
A E
F L
A E , * 22 10
2 10
8
6
*
*� �
� �
� � m
Como foi visto na Unidade 3, para determinarmos as reações hiperestáticas, deve-
mos escrever uma equação de compatibilidade baseada no requisito geométrico de que 
o deslocamento horizontal na reação 1, deve ser nulo.
Assim:
� �
1 10 1 11
0� � �F�
Se agora substituirmos os valores encontrados para Δ10 e δ11 na equação anterior, 
encontramos o valor da reação F1:
F kN
1
10
11
5
6
10
2 10
5�
�
�
� �� �
�
�
�
�
� *
�
10
11
Agora que encontramos o valor da força redundante, podemos determinar as forças 
restantes. Para isso, geramos o diagrama de corpo livre da estrutura real, e fazemos o 
equilíbrio das Forças na direção horizontal. As reações da estrutura e as forças internas 
das barras 1 e 2 são apresentadas na Figura 3:
Figura 3
Fonte: Acervo do conteudista
Resolução Pelo Método da Rigidez
Agora, iremos apresentar a estratégia utilizada para resolver a mesma estrutura apre-
sentada na Figura 1, por meio do Método da Rigidez.
Assim, sendo a estrutura hiperestática novamente apresentada na Figura 4.a, obser-
vamos que ela apresenta um grau de indeterminação cinemática (para lembrar o que é 
uma indeterminação cinemática, veja a unidade anterior).
Figura 4
Fonte: Acervo do conteudista
Considerando a ação de uma carga externa pontualmente aplicada no nó 2, ele se 
deslocará uma distância Δ2 para a direita. 
11
UNIDADE Método da Rigidez Direta
Se observarmos, a compatibilidade da deformada das duas barras nos informa 
que o alongamento da barra 1 deve ser equivalente ao encurtamento da barra 2 
e, assim, escreve-se que:
Δ2 = ΔL1 = ΔL2
Considerando as equações referentes à deformação de uma barra de treliça, apresen-
tadas na Unidade 2, podemos determinar o alongamento da barra 1 e o encurtamento da 
barra 2 e, assim, os valores das Forças internas de cada barra, conforme:
F L
1
1 1
1
1
2 8
2
6
2
10 10
1
10� �
� �� �
� �
�
�
AE
L
� � �
F L
2
2 2
2
2
2 8
2
6
2
0 5 10 2 10
1
10� �
� �� �
� �
�
�
A E
L
� � �
, * *
Agora, se realizarmos o equilíbrio do nó 2, temos:
10 10 10 10 10 0
1 2
6
2
6
2
� � � � � � �F F � �
�
2 6
510
2 10
0 5 10� � �
*
, * m
Para estabelecermos as Forças das barras 1 e 2, substituímos o valor encontrado para 
o deslocamento Δ2, nas equações referentes às Forças de cada uma das barras:
F kN
1
6
2
6 5
10 100 5 10 5� � ��� * , *
F kN
2
6
2
6 5
10 10 0 5 10 5� � ��� * , *
A equação que gerou o deslocamento também pode ser obtida de forma ligeiramen-
te diferente. Para isso, vamos introduzir um deslocamento unitário no nó 2, conforme 
apresentado na Figura 2.c. 
Utilizando as equações referente à determinação do alongamento e/ou encurtamento 
de uma barra de treliça, podemos determinar a força K2 necessária para alongar a barra 
1 e comprimir a barra 2 em um valor unitário:
K
2
1 1
1
1 1
1
6
1 1 2 10� � � � � � �AE
L
A E
L
*
Mas como sabemos que o deslocamento real do nó 2 não é unitário, mas Δ2, de-
vemos, então, multiplicar todas as Forças e deflexões (Figura 4.c) por Δ2. Para que a 
estrutura esteja em equilíbrio, a magnitude de Δ2 deve ser tal que no nó 2 desenvolva-se 
uma resistência de 10kN. 
Como sabemos que a reação exercida pelas barras tem função linear quando rela-
cionada ao deslocamento do nó 2, o deslocamento real do nó 2 pode ser descrito por 
12
13
meio de uma equação de equilíbrio para as Forças na direção horizontal, considerando 
claro, o nó 2, ou seja:
� �
� � � �
F
f f
x 0
10 0
1 2 2 2
� �
Se substituirmos os valores referentes às Forças nas barras, para o sistema da Figura 
2.c, sistema referente a imposição de um deslocamento unitário, temos:
� � � �10 10 10 0
6
2
6
2
� �
�
2 6
510
2 10
0 5 10� � �
*
, * m
Observe, aqui, que encontramos o mesmo valor para o deslocamento do nó 2, po-
rém, pela consideração do sistema com a imposição de um deslocamento unitário no nó 
que possuía um grau de indeterminação cinemática.
A quantidade K2 é denominada coeficiente de rigidez. Por analogia, se as duas barras 
fossem consideradas uma grande mola, o coeficiente de rigidez seria responsável por 
informar a resistência (ou rigidez) do sistema à deformação imposta pelo carregamento 
externo. Lembre-se desse conceito: é ele que dá forma ao Método da Rigidez Direta.
A grande maioria dos programas de computador são baseados no método descrito 
anteriormente, o Método da Rigidez Direta. 
As principais vantagens desse método residem no fato de que um analista não precisa 
selecionar e ou determinar uma estrutura isostática (livre das reações redundantes, ou 
hiperestáticas) e que a análise estrutural pode ser feita de forma automatizada. 
Assim, para uma análise faz-se necessário identificar as posições dos nós, e gerar os 
deslocamentos unitários, determinando os coeficientes de rigidez de cada nó. Por fim, 
conhecidos os coeficientes de rigidez de cada nó, realiza-se o equilíbrio de cada um, 
calculando as forças de cada componente estrutural.
Exemplo 1
Determine as reações de apoio da viga hiperestática da Figura 5 e desenhe o diagrama 
de esforço cortante e o momento fletor. Considere o produto EI constante em toda a viga.
Figura 5
Fonte: Acervo do conteudista
13
UNIDADE Método da Rigidez Direta
Solução
Nesse exemplo, estenderemos o Método da Rigidez Direta para a análise de uma viga 
hiperestática. Lembre-se de que nesse tipo de elemento as deformações são em maior 
parte advindas da deflexão da viga. 
Assim, por simplificação, consideraremos apenas as deformações por flexão. Esse 
exemplo servirá ainda como base para a análise de pórticos hiperestáticos. Para a 
resolução de vigas hiperestáticas por meio do Método da Rigidez Direta, iremos uti-
lizar conceitos e cálculos vistos no Método dos Deslocamentos, na Unidade 4.
A Figura 6.a apresenta uma viga contínua de seção transversal e momento de inércia 
constantes. 
Na Figura 6.a, observa-se que apenas o nó 2 possui um deslocamento desconhecido, 
que é o giro θ2.
Assim, ela apresenta um grau de indeterminação cinemática:
Figura 6
Fonte: Acervo do conteudista
O primeiro passo para a análise da viga consiste em grampear o nó 2, impedindo-o de 
girar, produzindo assim, duas vigas de extremidades fixas, conforme mostra a Figura 6.b. 
Em seguida, aplicamos a carga real de 10kN à viga 1, a qual produzirá os momentos 
de extremidade fixa MEF12 e MEF21 (conforme visto na Unidade 4). 
14
15
Utilizando a Tabela de Engaste Perfeito, apresentada na Unidade 4, podemos deter-
minar os momentos de extremidade:
MEF PL kN m
12
8
10 16
8
20�
�
�
�� �� �
� � .
MEF PL kN m
21
8
10 16
8
20� �
� �� �
� .
Adotamos, arbitrariamente, a convenção de sinais. Será utilizada a mesma convenção 
adotada nas Unidades 3 e 4, ou seja, momentos e rotações no sentido horário nas extremi-
dades dos membros são positivos, e no sentindo anti-horário são negativos.
A Figura 6.b mostra que no nó 2 agem somente forças na viga 1. Assim, teremos 
momentos agindo apenas à esquerda do nó 2. Logo, o momento atuando no nó 2, M2, 
é igual ao momento agindo a esquerda do nó 2.
Agora, devemos levar em conta uma rotação unitária no nó 2, para determinarmos 
o coeficiente de rigidez desse nó, ou seja, o coeficiente K2.
A Figura 6.c apresenta a segunda etapa do processo de cálculo. Para tal, aplicamos no 
nó 2 uma rotação unitária no sentido anti-horário. Por isso, o sinal negativo e, em seguida, 
colocamos um grampo para restringir a rotação ao valor pré-estabelecido.
Essa rotação produz momentos de extremidade de membros que podem ser avalia-
dos usando os dois primeiros termos da equação da inclinação-deflexão apresentada na 
Unidade 4:
M EI
LDN P F� �� �2 2� �
onde θ é a rotação do membro, e para os índices temos P para próximo e D para distante.
Assim, podemos calcular os momentos de extremidade de membros para todas as 
barras, conforme segue:
M EI
L
EI EIDN
P F12
2
2
2
16
2 0 1
8
� �� � � � �� �� � � �� � *
M EI
L
EI EIDN
P F21
2
2
2
16
2 1 0
4
� �� � � �� � �� � � �� � *
M EI
L
EI EIDN
P F23
2
2
2
8
2 1 0
2
� �� � � �� � �� � � �� � *
M EI
L
EI EIDN
P F32
2
2
2
8
0 1
4
� �� � � � �� �� � � �� �
15
UNIDADE Método da Rigidez Direta
Agora, semelhante à determinação do momento M2, do nó 2, do caso I da Figura 
6.b, determinamos o momento atuando no nó 2, considerando o caso II (Figura 6.c).
Para isso, observe na Figura 6.c, que agora temos momentos atuando tanto na extre-
midade esquerda quanto na direita. 
Logo o coeficiente de rigidez, K2 é determinado pelo equilíbrio dos momentos desse 
nó, ou seja:
K M M EI EI EIDN DN
2 21 23
4 2
3
4
� � �
��
�
�
�
�
� �
��
�
�
�
�
� �
�
De forma semelhante como fizemos para o elemento treliçada da Figura 1, para 
determinarmos o valor real da rotação no nó 2, θ2 fazemos a superposição dos efeitos 
somando-os e igualando a zero.
Assim:
� �M
2
0
20 0
2 2
� �K �
Substituindo o valor encontrado para K2, encontramos a rotação do nó 2:
�
2
2
20 20 4
3
80
3
�
�
�
�� �
�� �
�
K EI EI
*
*
Agora que determinamos o valor da rotação real do nó 2, podemos, por superposi-
ção dos casos I e II, determinar os momentos em cada uma das extremidades das vigas 
1 e 2, de forma que:
M MEF M EI
EI
kN mDN
12 12 12 2
20
8
80
3
23 33� � � � �
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� � �� , .
M MEF M EI
EI
kN mDN
21 21 21 2
20
4
80
3
13 33� � � �
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �� , .
M M EI
EI
kN mDN
23 23 2
2
80
3
13 33� �
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� � �� , .
M M EI
EI
kN mDN
32 32 2
4
80
3
6 67� �
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� � �� , .
Com os valores dos momentos de extremidade e pelo diagrama de corpo livre, en-
contramos, facilmente, os valores das reações restantes, conforme apresentado na Fi-
gura 7.a:
16
17
Figura 7
Fonte: Acervo do conteudista
Por fim, os diagramas de esforços cortantes e o momento fletor podem ser determi-
nados. Esses diagramas são apresentados nas Figuras 7.b e 7.c, respectivamente.
Exemplo 2
Determine as reações de apoio do pórtico hiperestático apresentado na Figura 8 e 
desenhe o diagrama de esforço cortante e momento fletor. 
Considere o produto EI constante.
Figura 8
Fonte: Acervo do conteudista
Solução
Nesse exemplo, estenderemos o Método da Rigidez Direta para a análise de um pór-
tico hiperestático. Lembre-se de que, nesse tipo de elemento, as deformações são em 
maior parte advindas da deflexão.17
UNIDADE Método da Rigidez Direta
Assim, por simplificação, consideraremos apenas as deformações por flexão. Para a 
resolução de pórticos hiperestáticos por meio do Método da Rigidez Direta, iremos uti-
lizar conceitos e cálculos vistos no Método dos Deslocamentos, Unidade 4. O exemplo 
anterior também auxilia o entendimento desse exemplo.
Inicialmente, determinamos qual é grau de indeterminação cinemática. Por meio da 
Figura 8, verificamos que apenas o nó 2 está livre para rotacionar. Logo, o grau de 
indeterminação é um. 
Assim, o único deslocamento desconhecido é a rotação θ2. O primeiro passo consiste 
na aplicação de um grampo no nó 2, o qual o impede de rotacionar. Esse impedimento 
gera dois membros de extremidade fixa, conforme mostra a Figura 9.a.
 
Figura 9
Fonte: Acervo do conteudista
Quando as cargas externas da estrutura real são aplicadas, momentos de extremida-
de fixa se desenvolvem no elemento 2, mas nada acontece no elemento 1.
Utilizando a Tabela de Engastamento Perfeito, apresentada na Unidade 4, podem ser 
calculados os valores dos momentos de extremidade fixa da Figura 9.a.
Assim:
MEF PL kN m
23
2
9
2 12 9
9
24�
�
�
� � �� �
� � .
MEF PL kN m
32
2
9
2 12 9
9
24� �
� �� �
� .
Adotamos arbitrariamente a convenção de sinais. Assim, será utilizada a mesma con-
venção adotada nas Unidades 3 e 4, ou seja, momentos e rotações no sentido horário 
nas extremidades são positivos.
A Figura 9.1 mostra que no nó 2 agem somente forças na viga 2. Assim, teremos 
momentos agindo apenas à direita do nó 2. Logo, o momento atuando no nó 2, M2, é 
igual ao momento agindo à esquerda do nó 2.
Na sequência, aplicamos uma rotação unitária no sentido horário no nó 2 e, em se-
guida, nós o grampeamos na posição deformada, conforme mostra a Figura 9.b. 
18
19
Os momentos produzidos pela rotação unitária são sobrescritos com o termo DN (de 
Deslocamento de Nó). 
Como estamos interessados em identificar o efeito da rotação real, θ2, produzida pelas 
cargas de 12kN, temos de multiplicar todos os efeitos da rotação unitária por θ2.
Utilizando a equação da inclinação-deflexão apresentada na Unidade 4, que é dada por:
M EI
LDN P F� �� �2 2� �
Pode-se determinar os momentos resultantes da deformação causada pela rotação 
unitária do nó 2:
M EI
L
EI EIDN
P F12
2
2
2
6
2 0 1
3
� �� � � � � �� � �� � *
M EI
L
EI EIDN
P F21
2
2
2
6
2 1 0
2
3
� �� � � � � �� � �� � *
M EI
L
EI EIDN
P F23
2
2
2
9
2 1 0
4
9
� �� � � � � �� � �� � *
M EI
L
EI EIDN
P F32
2
2
2
9
0 1
2
9
� �� � � � � �� � �� �
O momento total do caso II (Figura 9.b), K2, é determinado pela soma dos momentos 
atuantes no nó 2:
K M M EI EI EIDN DN
2 21 23
2
3
4
9
10
9
� � � �
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
� �
De forma semelhante ao que fizemos para o elemento treliçada da Figura 1, para 
determinarmos o valor real da rotação no nó 2, θ2, fazemos a superposição dos efeitos 
somando-os e igualando a zero.
Assim:
� �M
2
0
� � �24 0
2 2
K �
Substituindo o valor encontrado para K2, encontramos a rotação do nó 2:
�
2
2
24 24 9
10
108
5
�
�
�
�� �
� �
�
K EI EI
*
*
Agora que determinamos o valor da rotação real do nó 2, podemos, por superpo-
sição dos casos I e II, determinar os momentos em cada uma das extremidades dos 
elementos 1 e 2, de forma que:
19
UNIDADE Método da Rigidez Direta
M M EI
EI
kN mDN
12 12 2
3
108
5
7 2� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �� , .
M M EI
EI
kN mDN
21 21 2
2
3
108
5
14 4� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �� , .
M MEF M EI
EI
kN mDN
23 23 23 2
24
4
9
108
5
14 4� � � � � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� � �� , .
M MEF M EI
EI
kN mDN
32 32 32 2
24
2
9
108
5
28 8� � � � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �� , .
Com os valores dos momentos de extremidade e pelo diagrama de corpo livre, encon-
tramos, facilmente, os valores das reações restantes, conforme apresentado na Figura 10.a.
Figura 10
Fonte: Acervo do conteudista
Por fim, destacamos que, nesta Unidade, foram apresentadas estratégias para a aná-
lise de estruturas com apenas um grau de indeterminação cinemática por meio do Mé-
todo da Rigidez. 
Na próxima Unidade, será apresentada uma estratégia que automatiza o cálculo e a 
análise de estruturas com mais de um grau de indeterminação.
20
21
Material Complementar
Indicações para saber mais sobre os assuntos abordados nesta Unidade:
 Sites
Ftool
Para pesquisar e aprofundar seus estudos na análise estrutural, sugere-se utilizar para 
conferir os resultados dos exercícios o software Ftool, o qual pode ser baixado no seguinte 
site e livros:
http://bit.ly/2NBv0bR
 Livros
Mecânica vetorial para engenheiros
BEER, F. P. Mecânica vetorial para engenheiros. 7.ed. São Paulo: McGraw-Hill, 2006. 
v. 1.
Análise de estruturas: Método das Forças e método dos deslocamentos
SORIANO, H. L.; LIMA, S. S. Análise de estruturas: Método das Forças e método dos 
deslocamentos. 2.ed. Rio de Janeiro: Ciência Moderna Ltda., 2006.
Processos gerais da hiperestática clássica
SOUZA, J. C. A. O.; ANTUNES, H. M. C. Processos gerais da hiperestática clássica. 2.ed. 
São Carlos: Serviço Gráfico da EESC, 1995.
21
UNIDADE Método da Rigidez Direta
Referências
KASSIMALI, A. Análise estrutural. São Paulo: Cengage Learning, 2015.
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