3ª lista de Álgebra Linear

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Lista de Exerc´ıcios - Espac¸os Vetoriais e
Subespac¸os Vetoriais
Curso: F´ısica Me´dica e F´ısica de Materiais.
Professora: Francielle Rodrigues de Castro Coelho.
1. Sejam U e V espac¸os vetoriais sobre R. Mostrar que o produto cartesiano de
U e V , U × V = {(u, v)| u ∈ U e v ∈ V }, e´ um espac¸o vetorial em relac¸a˜o ao
seguinte par de operac¸o˜es:
(I) (u1, v1) + (u2, v2) = (u1 + u2, v1 + v2)
(II) α(u, v) = (αu, αv).
2. Seja V = R2. V na˜o e´ um espac¸o vetorial em relac¸a˜o a nenhum dos dois seguintes
pares de operac¸o˜es sobre V :
(a) (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2) e α(x, y) = (x, αy).
(b) (x1, y1) + (x2, y2) = (x1, y1) e α(x, y) = (αx, αy).
Diga em cada caso quais dos 8 axiomas na˜o se verificam.
3. Seja V como no exerc´ıcio anterior. Definamos:
(x1, y1) + (x2, y2) = (2x1 − 2y1,−x1 + y1) e α(x, y) = (3αy,−αx).
Com estas operac¸o˜es definidas sobre V , perguntamos se este conjunto e´ um
espac¸o vetorial sobre R.
4. Seja V = {(x, y)| x, y ∈ C}. Mostrar que V e´ um espac¸o vetorial sobre R com
a adic¸a˜o e a multiplicac¸a˜o por escalares definidas assim:
(I) (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2), ∀ (x1, y1), (x2, y2) ∈ V e
(II) α(x, y) = (αx, αy), ∀ α ∈ R, ∀ (x, y) ∈ V.
5. Seja R+ = {x ∈ R| x > 0}. Definimos as operac¸o˜es de adic¸a˜o ⊕ e multiplicac¸a˜o
por escalar � em R+ como segue:
x⊕ y = x · y e α� x = xα,
para todos x, y ∈ R+, α ∈ R.
Por exemplo, em R+,
2⊕ 5 = 2 · 5 = 10 e (−3)� 1
2
= (1
2
)−3 = 8.
Mostre que R+ com estas operac¸o˜es e´ um espac¸o vetorial sobre R.
6. (a) No espac¸o vetorial M3×2(R), consideremos os vetores:
A =
 1 10 0
0 0
 B =
 0 12 1
1 1
 C =
 1 21 0
0 −1
 ,
Existem x, y ∈ R tais que A = xB + yC?
(b) Sejam u = (1 + i, i) e v = (1 − i, 2i) vetores no espac¸o vetorial C2. Existe
z ∈ C tal que v = zu?
(c) No espac¸o vetorial P3(R) (conjunto dos polinoˆmios de grau menor ou igual
a 3), sejam f(t) = t3 − 1, g(t) = t2 + t − 1 e h(t) = t + 2 vetores. Existem
k1, k2 ∈ R tais que f(t) = k1g(t) + k2h(t)?
7. Mostrar que o conjunto W = {(x, y) ∈ R2| y = 0} e´ um supespac¸o vetorial do
R2.
8. Mostrar que e´ subespac¸o de M2(R) o seguinte subconjunto:
W =
{(
x y
z t
)
∈M2(R)| y = −x
}
.
9. Seja I = [0, 1] ⊂ R e consideremos o espac¸o vetorial C(I) = {f : I → R| f e´
cont´ınua}.
(a) Mostrar que o subconjunto W = {f : I → R| f e´ deriva´vel} e´ um subespac¸o
vetorial de C(I).
(b) Mostrar que o subconjunto T = {f : I → R| ∫ 1
0
f(t)dt = 0} e´ um subespac¸o
vetorial de C(I).
10. W = {(x, y, z) ∈ R3| x ∈ Z} e T = {(x, y, z) ∈ R3| y e´ irracional} sa˜o
subespac¸os vetoriais de R3? Justifique.
11. Verificar se os seguintes subconjuntos sa˜o subespac¸os vetoriais:
(a) W = {(x, y, z) ∈ R3| x = y = 0} ⊂ R3.
(b) W = {(x, y, z) ∈ R3| x+ z = 0 e x− 2y = 0} ⊂ R3.
(c) W = {(x, y, z, t) ∈ R4| x− y − z + t = 0} ⊂ R4.
(d) W = {(x, y, z, t) ∈ R4| x− y = z + t = 0} ⊂ R4.