Lista 06 - Otimização - 2022

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6ª Lista - Resumo Teórico e Exercícios Cálculo Diferencial e Integral II
Otimização: máximos locais, mínimos locais e pontos de sela
Profs. Neide/Eugenio/Paulo/Eduardo/Müller
Considere uma função de duas variáveis f : D ⊆ R2 → R. Veja os exemplos a seguir:
1. f(x, y) = x2 + y2 + 1 com D = R2
Abaixo temos o gráfico da função f :
Se (x0, y0) = (0, 0) então f(0, 0) = 1. A partir do gráfico notamos:
(a) (0, 0) é ponto de mínimo absoluto de f em D.
(b) f(0, 0) = 1 é o valor mínimo de f em D.
(c) não existe ponto de máximo.
2. f(x, y) = x2 + y2 + 1 com D = {(x, y) ∈ R2|x2 + y2 ≤ 9}
(a) (0, 0) é ponto de mínimo absoluto de f em D.
(b) f(0, 0) = 1 é o valor mínimo de f em D.
(c) todos os pontos do plano-xy contidos na circunferência de centro (0,0) e raio
3 (x2 + y2 = 9) são pontos de máximo absoluto, com valor máximo igual
a 10 em D.
Quando um ponto P0 = (x0, y0) é um ponto de máximo local ou ponto de mínimo
local, então o plano tangente ao gráfico de f neste ponto é paralelo ao plano−xy, e
assim
∂f
∂x
(x0, y0) = 0 e ∂f
∂y
(x0, y0) = 0.
Um ponto P0 = (x0, y0) que anula simultaneamente as derivadas parciais ∂f
∂x
e ∂f
∂y
recebe
o nome de ponto crítico de f . É importante destacar o seguinte fato:
Todo ponto de extremo local (máximo ou mínimo) é um ponto crítico, mas nem todo ponto
crítico é um ponto de extremo.
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Cálculo II (Continuação)
Quando um ponto crítico não é ponto de máximo local nem de mínimo local, dizemos
que P0 = (x0, y0) é um ponto de sela (saddle-point). Para entender geometricamente
um ponto de sela, considere o gráfico ilustrado abaixo. O ponto X destacado é um ponto
de sela. Note que se caminharmos ao longo da curva que conecta os pontos A e B, o
ponto X corresponde a um mínimo local. Por outro lado, se caminharmos ao longo da
curva que conecta os pontos C e D, o ponto X passa a ser um máximo local.
Teorema 1 (Critério Hessiano) Seja P0 = (x0, y0) um ponto crítico da função f(x, y)
e
E(x, y) =
(
∂2f
∂x∂y
)2
− ∂2f
∂x2 · ∂2f
∂y2
o hessiano de f(x, y).
• Se E(x0, y0) 0 então P0 = (x0, y0) é um ponto de mínimo local.
• Se E(x0, y0) > 0 então P0 = (x0, y0) é um ponto de sela.
• Se E(x0, y0) = 0 nenhuma conclusão pode ser obtida pelo teste (teste inconclusivo).
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Cálculo II (Continuação)
Exercícios da 6ª Lista
1. Determine os pontos críticos de f e classifique-os (máximo local, mínimo local ou
ponto de sela), sendo dado:
(a) f(x, y) = 6x − 4y − x2 − 2y2
(b) f(x, y) = x2 + 2xy + 2y2
(c) f(x, y) = 2x2 + y2 + 6xy + 10x − 6y + 5
(d) f(x, y) = x3 − 3x − y2
(e) f(x, y) = −3y + 3x2y + y3
(f) f(x, y) = 4xy2 − 2x2y − x
2. Considere a função f(x, y) = x3
3 − x − ln(1 − y) − y.
(a) Determine o(s) ponto(s) crítico(s) da função.
(b) Classifique esse(s) ponto(s) utilizando o critério Hessiano.
3. Determine 3 números positivos cuja soma é 100 e o produto é máximo.
4. O volume de uma caixa retangular sem tampa é de 500 cm3.
(a) Determine a expressão da área total da caixa em função das variáveis x e y.
(b) Determine as dimensões da caixa que minimizem sua área total.
(c) Calcule sua área total mínima.
(Dado: V = xyz)
5. Uma caixa de papelão no formato de um paralelepípedo com base retangular e sem
tampa deve ter um volume de 32 000 cm3. Determine as dimensões que minimizem
a quantidade de papelão.
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Cálculo II (Continuação)
6. Projete uma caixa retangular de leite com comprimento x, largura y e altura z que
contenha 1 024 cm3 de leite. Os lados da caixa custam R$ 0,01/cm2, o topo e o
fundo custam R$ 0,02/cm2.
(a) Determine a expressão para o custo total da caixa em função das variáveis x e
y.
(b) Ache as dimensões da caixa que minimizem o custo total do material usado.
(c) Qual o custo da caixa?
(Dado: V = xyz)
7. Uma caixa e confeccionada com diferentes materiais. O material do fundo custa R$
0,10/dm2 e o material das laterais tem custo de R$ 0,05/dm2. Sabendo que a caixa
não deve ter tampa, determine o custo mínimo para uma caixa com capacidade
de 10 litros. (Dado: 1 litro = 1 dm3)
8. Um tanque de decantação, em formato de paralelepípedo, com base retangular, sem
tampa, com volume de 144 m3, foi encomendado à sua empresa e, coube a você a
tarefa de projetá-lo. Sabendo que o custo do material do fundo é de R$ 4,00/m2 e
as laterais custam R$ 3,00/m2, determine as dimensões do tanque que minimizam
o custo.
9. A base de um aquário, sem tampa, com volume V é feita de ardósia e os lados
são de vidro. Se o preço da ardósia é de R$ 50,00/m2 e do vidro é de R$ 10,00/m2,
determine as dimensões do aquário para minimizar o custo do material.
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Cálculo II (Continuação)
Respostas
1. (a) (3, −1) máx. local
(b) (0, 0) mín. local
(c) (2, −3) ponto de sela
(d) (−1, 0) máx. local; (1, 0) ponto de sela
(e) (−1, 0) e (1, 0) pontos de sela; (0, 1) mín. local; (0, −1) máx. local
(f)
(
0, −1
2
)
e
(
0, 1
2
)
pontos de sela
2. (a) (1, 0) e (−1, 0)
(b) (1, 0): mín. local; (−1, 0): ponto de sela
3. x = y = z = 100
3
4. (a) Área total: A = Abase+Alateral = xy+(2zx+2zy). Como V = 500 = xyz → z = 500
xy
de modo que A(x, y) = xy + 1000
y + 1000
x .
(b) x = y = 10 cm e z = 5 cm
(c) 300 cm2
5. x = y = 40 cm e z = 20 cm
6. (a) Custo total:
C = Ctopo+Cbase+Clateral = 0, 02Atopo+0, 02Abase+0, 01Alateral = 0, 04xy+0, 02zx+0, 02zy.
Como V = 1024 = xyz → z = 1024
xy de modo que C(x, y) = 0, 04xy + 20,48
y + 20,48
x .
(b) x = y = 8 cm e z = 16 cm
(c) R$ 7,68
7. x = y = z = 3√10; Custo = R$ 1,39
8. 6 × 6 × 4 m3
9. x = y = 3
√
0, 4V e z = 3
√
V
0,16
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