Limites Aula 05

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• Limites envolvendo Funções 
Limitadas 
 
•Limites Fundamentais 
Cleber Costa Jr 
 , , , , 
O que são funções limitadas? 
Uma função f é dita limitada, em seu 
domínio, quando sua imagem está 
contida num intervalo, ou seja, 
 , onde a, b R. 
 b,afIm  
 Notamos que o gráfico está "preso" 
entre duas retas paralelas ao eixo x. 
Dessa maneira, 
 
 11,fIm 
senx)x(f 
 . 
2xe)x(f 
   1010 ,,fIm 
1
0

 x
senx
lim
x
Limites Fundamentais 
x senx senx/x 
0,5 0,479425538 0,958851077 
0,4 0,389418342 0,973545855 
0,3 0,295520206 0,985067355 
0,2 0,198669330 0,993346654 
0,1 0,099833416 0,998334166 
0,01 0,009999833 0,999983333 
0,001 0,000999999 0,999999833 
01. 
Aplicações: 
 
a) ?
x
xsen
lim
x


2
0 x
xsen
lim
x 2
2
2
0
 212  .
 
 b) 
?
xsen
xsen
lim
x

 5
3
0

 xsen
x
.
x
xsen
.lim
x 5
5
3
3
5
3
0
5
3
11
5
3
..
Aplicações: 
?
x
xcos1
lim
20x


 )xcos1(x
)xcos1)(xcos1(
lim
20x 



02. 
e
x
1
1lim
x
x








x 1+ 1/x (1+1/x)x 
10 1,1 2,593 
100 1,01 2,704813 
1000 1,001 2,716923 
10000 1,0001 2,718145 
100000 1,00001 2,718268 
1000000 1,000001 2,718280 
...... ..... ...... 
...... ...... ...... 
109 1,000000001 2,71828182 
Aplicações: 
?
x
1
1lim
x2
x

























2
1
1
x
x x
lim
2ea) 
b) 
?
x
lim
x
x








3
1
wxfazendo 3








w
w w
lim
3
3
3
1 
















3
1
1
w
w w
lim 3e
?
1x
x
lim
x
x







c) ...
x
1x
lim
x
x





 


?
x
lim
x
x








1
1
1e
d) 









w
w w
lim
1
1
wxfazendo 


















1
1
1
w
w w
lim
e) 
?
x
x
lim
x
x








 1
1 













x
x
x
x
x
x
lim
1
1

















x
x
x
x
x
lim
x
lim
1
1
1
1

e
e
1
2e
  ?x1lim x/1
0x


Faça uma mudança 
de variável t = 1/x 
t→+∞ 
f) 








t
t t
lim
1
1 e
03. 
aln
x
1a
lim
x
0x



Demonstração: 
 k1ax
 )k1ln(alnx
 k1ax )k1ln(aln x 
aln
)k1ln(
x


k)ln(1
a ln
 . k
x
1
1).(a
x
1a x
x





 x
1a
lim
x
0x )k1ln(
aln
.klim
0k 

 )k1ln(
k
lim.aln
0k


k
)k1ln(
1
lim.aln
0k



k
1
0k
)k1ln(
1
lim.aln 
 eln
1
lim.aln
0k

eln
aln aln
x→0 
k→0 
Aplicações: 
a) 
b) 
c) 
x
1e
lim
x2
0x


13
13
lim
x3
x2
0x 


x
)x1ln(
lim
0x


x
)x21ln(
lim
0x


d) 
FLEMMING, Diva Maria. Cálculo A. São Paulo: Makron 
Books, 1992. 
LEITHOLD , Louis. O cálculo com Geometria Analítica , v. 1 
Harbra, 1976. 
STEWART, James. Cálculo. v. 1, 5 ed. São Paulo: Pioneira, 
2005 
IEZZI, Gelson. Fundamentos de Matemática Elementar. São 
Paulo, 2005