CARREGAMENTO AXIAL_nova

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Prof. Edimar N. Monteiro e-mail: eng.enmonteiro@gmail.com 
 
 
 
 
2022 
EDIMAR N. MONTEIRO 
UNESC 
13/10/2022 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
2 – Carregamento axial 
Imagem: 
BEER, F. P; et al. Mechanics of materials. 7. 
ed. New York: McGrawHill, 2015, p. 54 
 
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SUMÁRIO 
 
2.1 DEFORMAÇÃO ELÁSTICA DE UM ELEMENTO SOB A CARGA AXIAL ................................ 2 
Exercícios ......................................................................................................................................... 8 
2.2 ELEMENTOS ESTATICAMENTE INDETERMINADOS SOB CARGA AXIAL .........................10 
Exercícios ........................................................................................................................................14 
2.3 TENSÃO POR DEFORMAÇÃO TÉRMICA .................................................................................16 
Exercícios ........................................................................................................................................21 
2.4 CONCENTRAÇÃO DE TENSÃO .................................................................................................23 
Exercícios ........................................................................................................................................27 
RESPOSTAS ........................................................................................................................................27 
REFERÊNCIAS ....................................................................................................................................28 
APÊNCIDE A – PROPRIEDADES DE ALGUNS MATERIAIS.........................................................29 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2.1 DEFORMAÇÃO ELÁSTICA DE UM ELEMENTO SOB A CARGA AXIAL 
 
Adotando as premissas da lei de Hooke e as definições de tensão e deformação, podemos 
desenvolver uma equação para determinar a deformação elástica de um elemento submetido a 
cargas axiais. 
Para que possamos desenvolver tal equação, considere a Figura 2.1(a) em que uma barra, 
cuja área de seção transversal varia gradativamente ao longo de seu comprimento 𝐿, está 
submetida a cargas concentradas em suas extremidades e uma carga distribuída ao longo de seu 
comprimento. 
 
 
 
(a) (b) 
Figura 2.1 – (a) barra com área de seção transversal variável submetida a cargas diversas e (b) 
elemento de comprimento 𝒅𝒙 e sua deformação 
 
Para determinarmos o deslocamento relativo, 𝛿 (delta), de uma das extremidades da barra 
em relação à outra, provocado por esse conjunto de cargas, escolhemos um elemento de 
comprimento 𝑑𝑥 e área de seção 𝐴(𝑥) localizado em uma posição arbitrária 𝑥, tal como mostrado 
na Figura 2.1(b). 
O carregamento 𝑃(𝑥) que age nesse elemento fará com que ele se deforme de modo que 
uma extremidade se desloque em relação a outra em uma quantidade 𝑑𝛿. Se o comportamento 
descrito for elástico, a lei de Hooke (𝜎 = 𝐸𝜖) pode ser aplicada para determinarmos 𝑑𝛿, visto que: 
 
𝜎 =
𝑃(𝑥)
𝐴(𝑥)
 e 𝜖 =
𝑑𝛿
𝑑𝑥
 
 
Substituindo esses dois termos na lei de Hooke, escrevemos: 
 
𝑃(𝑥)
𝐴(𝑥)
= 𝐸
𝑑𝛿
𝑑𝑥
 
 
Resolvendo para 𝛿, obtemos: 
 
𝜹 = ∫
𝑷(𝒙)𝒅𝒙
𝑨(𝒙)𝑬
𝑳
𝟎
 (2.1) 
 
Em que: 
𝛿 = deslocamento de um ponto na barra relativo a um outro ponto, [𝑚]; 
𝐿 = distância original entre os pontos, [𝑚]; 
𝑃(𝑥) = força axial interna na seção, localizada a distância 𝑥 de uma extremidade, [𝑁]; 
𝐴(𝑥) = área da seção transversal da barra, expressa em função de 𝑥, [𝑚2]; 
𝐸 = módulo de elasticidade do material, [𝑃𝑎]. 
 
A Equação 2.1 é a forma geral para se determinar o deslocamento relativo entre dois pontos 
de um corpo sujeito a carga axial. É aplicada quanto a carga ou a área variam com o comprimento 
𝑥 do corpo. 
 
 
 
 
 
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Entretanto, para um caso específico em que tanto a área de seção quanto a carga não variam, 
ou seja, para de uma barra uniforme sujeita a cargas axiais iguais e opostas, tal como mostrado na 
Figura 2.2, a Equação 2.1 pode ser simplificada. 
 
 
Figura 2.2 - Barra axial com área uniforme, módulo de elasticidade uniforme e carga constante em 
todos os pontos 
 
Nesse caso, em que todas as variáveis são constantes, a Equação 2.1 pode ser escrita na 
forma: 
 
𝜹 =
𝑷𝑳
𝑨𝑬
 (2.2) 
 
Outra situação específica ocorre quando o corpo é submetido a várias cargas axiais 
diferentes, ou se a área de seção transversal ou o módulo de elasticidade mudarem repentinamente 
de uma região da barra para outra, tal como mostrado na Figura 2.3. 
 
 
Figura 2.3 - Barra sob carga axial contendo mudança abrupta nas áreas de seção transversal, cargas 
e módulo de elasticidade 
 
Nesse caso, a Equação 2.2 poderá ser aplicada a cada segmento do corpo em que todas as 
variáveis são constantes. Então, o deslocamento de uma extremidade da barra em relação à outra 
será a soma algébrica dos deslocamentos das extremidades (princípio da superposição) de cada 
segmento, ou seja: 
 
𝜹 = ∑
𝑷𝒊𝑳𝒊
𝑨𝒊𝑬𝒊
 (2.3) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXEMPLO 2.1) Uma barra tem área de seção igual a 5800 𝑚𝑚2 e 𝐸 = 200 𝐺𝑃𝑎. Determine o 
deslocamento do ponto 𝐴 da barra se ela está submetida ao carregamento mostrado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXEMPLO 2.2) A barra de aço A-36 está submetida ao carregamento mostrado. Se a área de seção 
transversal é 50 𝑚𝑚2, determine o deslocamento do ponto 𝐷 em relação ao ponto 𝐴. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXEMPLO 2.3) O conjunto é composto por três hastes de titânio (Ti-6AL-4V) e uma barra rígida 𝐴𝐶. 
A área de seção transversal de cada haste é dada na figura. Se uma força de 30 𝑘𝑁 for aplicada ao 
anel 𝐹, determine o deslocamento horizontal do ponto 𝐹. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXEMPLO 2.4) A barra rígida 𝐵𝐷𝐸 é suspensa por duas barras 𝐴𝐵 e 𝐶𝐷. A barra 𝐴𝐵 é de alumínio 
(𝐸 = 70 𝐺𝑃𝑎) e tem uma seção transversal com área de 500 𝑚𝑚2; a barra 𝐶𝐷 é de aço (𝐸 =
200 𝐺𝑃𝑎) e tem uma seção transversal com área de 600 𝑚𝑚2. Para a força de 30 𝑘𝑁 mostrada na 
figura, determine o deslocamento dos pontos 𝐵, 𝐷 e 𝐸. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercícios 
 
2.1) A barra de aço A-36 está submetida ao carregamento mostrado. Se o diâmetro da barra é 
20 𝑚𝑚, determine o deslocamento do ponto 𝐶 em relação ao ponto 𝐴. 
 
2.2) Os segmentos AB e CD do componente são barras circulares sólidas enquanto o segmento BC 
é um tubo. Sabendo que o componente é fabricado em alumínio 6061-T6, determine o 
deslocamento do ponto 𝐷 em relação ao ponto 𝐴. 
 
2.3) A barra de aço A-36 está submetida ao carregamento mostrado. Se o diâmetro da barra é 
30 𝑚𝑚, determine o deslocamento do ponto𝐶 em relação ao ponto 𝐴. 
 
2.4) Se a barra com 20 𝑚𝑚 de diâmetro é fabricada em aço A36 e a mola possui rigidez 𝑘 =
50 𝑀𝑁/𝑚, determine o deslocamento do ponto 𝐴 quando uma carga de 60 𝑘𝑁 é aplicada. 
 
2.5) A barra de titânio 2014-T6 com 20 𝑚𝑚 de diâmetro está submetida à carga distribuída como 
mostrado, determine o deslocamento do ponto 𝐴. 
 
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2.6) A barra de titânio 2014-T6 com 20 𝑚𝑚 de diâmetro está submetida à carga distribuída como 
mostrado, determine o deslocamento do ponto 𝐴. 
 
2.7) A carga é sustentada pelos quatro cabos de aço inoxidável 304 conectados aos elementos 
rígidos AB e DC. Determine o deslocamento vertical da carga de 2,5 𝑘𝑁 se os elementos estiverem 
na horizontal quando a carga for aplicada. Cada cabo tem área de seção transversal de 16 𝑚𝑚2. 
 
2.8) Para a treliça de aço (𝐸 = 200 𝐺𝑃𝑎) e o carregamento mostrado, determine as deformações 
dos componentes AB e AD, sabendo que suas áreas se seção transversal são, respectivamente, 
2400 𝑚𝑚2 e 1800 𝑚𝑚2. 
 
2.9) O conjunto é composto por uma haste 𝐶𝐵 e uma barra de alumínio 𝐵𝐴, cada uma com diâmetro 
de 12 𝑚𝑚. Se o conjunto está sujeito ao carregamento mostrado, determine o deslocamento do 
anel 𝐵 e da extremidade 𝐴. Considere 𝐸𝑎ç𝑜 = 200 𝐺𝑃𝑎 e 𝐸𝑎𝑙 = 70 𝐺𝑃𝑎. 
 
 
 
 
 
 
 
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2.2 ELEMENTOS ESTATICAMENTE INDETERMINADOS SOB CARGA AXIAL 
 
Em problemas de equilíbrio estático, quando as reações de apoio podem ser determinadas 
somente com a utilização das equações de equilíbrio translacional e rotacional, dizemos que se 
trata de um problema estaticamente determinado. 
Em contraposição a essa premissa, observa a Figura 2.4(a) em que temos uma barra presa 
em ambas as extremidades (biengastada). A Figura 2.4(b) mostra o diagrama de corpo livre dessa 
barra com a ação das cargas de reação. 
 
 
(a) (b) (c) 
Figura 2.4 - Barra sob carga axial contendo mudança abrupta nas áreas de seção transversal, cargas 
e módulo de elasticidade 
 
Ao aplicarmos a equação de equilíbrio translacional na direção vertical, obtemos: 
 
+↑ ∑ 𝐹𝑦 = 0; 𝐹𝐵 + 𝐹𝐴 − 𝑃 = 0 (2.4) 
 
Nesse caso, visto que a única equação de equilíbrio possível não é suficiente para determinar 
as reações, dizemos que a barra é estaticamente indeterminada, ou seja, há mais incógnitas do 
que equações de equilíbrio possíveis. 
A fim de estabelecermos uma equação adicional para a solução do problema, devemos 
considerar a geometria da deformação. Esse tipo de equação que indica as condições para o 
deslocamento é denominado condição de compatibilidade ou condição cinemática. Nesse caso, 
em específico, uma condição de compatibilidade adequada exige que a soma algébrica dos 
deslocamentos dos pontos A e B seja zero, uma vez que ambas estão apoiadas em pontos fixos. 
Dessa forma, escrevemos: 
 
𝛿𝐴 + 𝛿𝐵 = 0 (2.5) 
Escrevemos as deformações em função das cargas aplicadas em cada segmento, tal como 
mostrado na Figura 2.4(c), de modo que obtemos: 
 
𝐹𝐴𝐿𝐴𝐶
𝐴𝐸
−
𝐹𝐵𝐿𝐶𝐵
𝐴𝐸
= 0 (2.6) 
 
Visto que 𝐴𝐸 é constante, na Equação 4.6, e resolvendo ela em conjunto com a Equação 2.4, 
determinamos as reações, o que resulta em: 
 
𝐹𝐴 = 𝑃 (
𝐿𝐶𝐵
𝐿
) e 𝐹𝐵 = 𝑃 (
𝐿𝐴𝐶
𝐿
) (2.7) 
 
Observe-se que as condições de compatibilidade devem ser determinadas em função da 
geometria do deslocamento, o que as tornam específicas para cada problema. Os exemplos que 
seguem trazem algumas condições de compatibilidade comuns em problemas de engenharia. 
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EXEMPLO 2.5) A coluna de concreto mostrada na Fig.(a) de 1,5 𝑚 é reforçada com seis barras de 
aço, cada uma com 28 𝑚𝑚 de diâmetro, sabendo que 𝐸𝑎ç𝑜 = 200 𝐺𝑃𝑎 e 𝐸𝑐𝑜𝑛𝑐 = 25 𝐺𝑃𝑎, determine 
as tensões normais no aço e no concreto quando uma força 𝑃 centrada axial de 1550 𝑘𝑁 é aplicada 
à coluna. Use a condição de compatibilidade indicada na Fig.(b). 
 
 
(a) (b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXEMPLO 2.6) Se a folga entre a parede rígida em D é de 0,15 𝑚𝑚, determine a reação nos 
suportes em A e D quando uma força 𝑃 = 200 𝑘𝑁 é aplicada (Fig.a). A estrutura composta por 
barras cilíndricas é fabricada em aço A-36 (𝐸𝑎ç𝑜 = 200 𝐺𝑃𝑎). Use a condição de compatibilidade 
mostrada na Fig.(b). 
 
 
 
(a) (b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXEMPLO 2.7) Três barras suspensas, mostradas na Fig.(a), fabricadas em aço A-36 e apresentam 
área de seção transversal de 450 𝑚𝑚2 cada. Determine a tensão normal média em cada barra se 
a viga rígida é submetida ao carregamento mostrado. Use a condição de compatibilidade mostrada 
na Fig.(b). 
 
 
(a) (b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercícios 
 
2.10) A coluna é construída de concreto de alta resistência e seis hastes de reforço de aço A-36. 
Se ela for submetida a uma força axial de 150 𝑘𝑁, determine a tensão normal média no concreto e 
em cada haste. Cada uma tem diâmetro de 20 𝑚𝑚. 
 
2.11) Para a coluna do problema 2.10, determine o diâmetro exigido para cada haste, de modo que 
1 4⁄ da carga seja suportada pelo concreto e 3 4⁄ , pelo aço. 
2.12) A barra composta consiste em um segmento AB de aço A-36 com 20 𝑚𝑚 de diâmetro e duas 
barras de latão vermelho C83400. Determine a tensão normal média em cada barra se o conjunto 
está submetido ao carregamento mostrado. 
 
2.13) O poste A de aço inoxidável 304 tem diâmetro 𝑑 = 50 𝑚𝑚 e está embutido em um tubo B de 
latão vermelho C83400. Ambos estão apoiados sobre a superfície rígida. Se for aplicada uma força 
de 25 𝑘𝑁 à tampa rígida, determine a tensão normal média desenvolvida no poste e no tubo. 
 
2.14) As barras BD e CE são fabricadas em bronze (𝐸 = 105 𝐺𝑃𝑎) e têm área de seção transversal 
de 200 𝑚𝑚2. Determine a deflexão do ponto A da barra ABC provocada pela carga de 2 𝑘𝑁. 
 
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2.15) A barra rígda ABC suporta a carga distribuída mostrada. Determine o ângulo de inclinação da 
barra após a aplicação da carga. Cada suporte consiste em um poste com 120 𝑚𝑚 e módulo de 
elasticidade 𝐸 = 12 𝐺𝑃𝑎. 
 
2.16) A barra rígida ABCD está fixada ao pino B e pode girar livremente em torno dele, além de 
estar apoiada nos pontos A e D. As molas A e D possuem rigidezes e 𝑘1 = 10 𝑘𝑁/𝑚 e 𝑘2 =
25 𝑘𝑁/𝑚, respectivamente. Se o ângulo de rotação da barra em torno de B deve ser limitado a 3°, 
qual a máxima carga 𝑃 que pode ser aplicada? 
 
 
 
2.17) O carregamento distribuído é sustentado pelas três barras de suspensão. AB e EF são feitas 
de alumínio (𝐸𝑎𝑙 = 70 𝐺𝑃𝑎) e CD é feita de aço (𝐸𝑎ç𝑜 = 200 𝐺𝑃𝑎). Se cada barra tiver área de seção 
transversal de 450 𝑚𝑚2, determine a intensidade máxima 𝑤 do carregamento distribuído de modo 
a não ultrapassar uma tensão admissível (𝜎𝑎𝑑𝑚)𝑎ç𝑜 = 180 𝑀𝑃𝑎 e (𝜎𝑎𝑑𝑚)𝑎𝑙 = 94 𝑀𝑃𝑎. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2.3 TENSÃO POR DEFORMAÇÃO TÉRMICA 
 
Alterações dimensionais ocorremnos materiais se sua temperatura variar. Em geral, se a 
temperatura aumenta, o material expande-se, se a temperatura é reduzida, o material sofre 
contração. Em caso de materiais homogêneos e isotrópicos essa relação entre a variação 
dimensional e a expansão ou contração é linear e pode ser determinada pela Equação 2.8. 
 
𝜹𝑻 = 𝜶∆𝑻𝑳 (2.8) 
 
Em que: 
𝛿𝑇 = variação no comprimento do elemento; 
𝛼 = coeficiente linear de expansão térmica. As unidades envolvem deformação por grau de 
temperatura [1 ℃⁄ ou 1 𝐾⁄ (Kelvin)]. Valores típicos são apresentados no final da apostila; 
∆𝑇 = variação na temperatura do elemento; 
𝐿 = comprimento inicial do elemento. 
 
Caso a variação da temperatura ocorra em todo o comprimento dos elementos, ou seja, ∆𝑇 =
∆𝑇(𝑥), ou se o valor de 𝛿 sofrer alteração ao longo do comprimento, a Equação 2.8 pode ser 
aplicada individualmente para cada segmento que tenha comprimento 𝑑𝑥. Nesse caso, a mudança 
no comprimento do elemento pode ser determinada por: 
 
𝜹𝑻 = ∫ 𝜶∆𝑻𝒅𝒙
𝑳
𝟎
 (2.9) 
 
Quando o elemento é estaticamente determinado a mudança em seu comprimento pode ser 
calculada diretamente pelas Equações 2.8 e 2.9, uma vez que ele está livre para expandir ou 
contrair. Em contrapartida, quando o elemento é estaticamente indeterminado, as deformações 
térmicas podem ser restringidas pelos apoios, produzindo tensões térmicas que devem ser 
consideradas no projeto. Os cálculos dessas tensões térmicas podem ser conduzidos pelas 
equações de equilíbrio e condições de compatibilidades específicas para cada problema. 
A Figura 2.5 ilustra alguns dos efeitos das tensões térmicas em projetos de engenharia. 
 
(a) 
Muitas pontes são construídas com juntas de 
expansão para acomodar a deformação térmica 
proveniente das mudanças climáticas e, com isso, 
evitar tensões térmicas 
(b) 
Longos tubos destinados a condução de fluidos 
estão sujeitos a variações climáticas. Juntas de 
expansão, como as mostradas na figura, são 
utilizadas para minimizar os efeitos da tensão 
térmica no material. 
Figura 4.5 – (a) tensão térmica em justas de pontes e (b) tensão térmica em tubulações 
 
Os exemplos que seguem trazem a aplicação de algumas condições de compatibilidade 
utilizadas para a determinação de tensões térmicas em projetos de engenharia. 
 
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EXEMPLO 2.8) Um tubo de vapor com 1,8 𝑚 de comprimento é feito de aço com 𝐸 = 200 𝐺𝑃𝑎 e 
𝛼 = 12 × 10−6 ℃−1 e está ligado diretamente a duas turbinas A e B, como mostrado na Fig.(a). O 
diâmetro externo do tubo é 100 𝑚𝑚 e a espessura da parede é 6 𝑚𝑚. A ligação foi feita a 𝑇1 = 20 ℃. 
Considerando que os pontos de acoplamento das turbinas são rígidos, determine a força que o tubo 
exerce sobre ela quando o vapor e, portanto, o tubo, atingem uma temperatura 𝑇2 = 135 ℃. Use a 
condição de compatibilidade mostrada na Fig.(b). 
 
 
(a) (b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXEMPLO 2.9) Para o exemplo 2.8, mostrado na Fig.(a), considere que uma junta elástica com 
rigidez 𝑘 = 100 𝑘𝑁/𝑚 é instalada nos pontos de acoplamento do tubo com as turbinas. Determine 
a força que o tubo exerce sobre ela para a mesma variação de temperatura. Considere a condição 
de compatibilidade mostrada na Fig.(b) 
 
 
(a) (b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXEMPLO 2.10) O tubo de bronze 86100 mostrado na Fig.(a) tem raio interno de 12,5 𝑚𝑚 e 
espessura de parede de 5 𝑚𝑚. Se o gás que passa por ele mudar a temperatura do tubo 
uniformemente de 𝑇𝐴 = 60 ℃ em A para 𝑇𝐵 = 15 ℃ em B, determine a força axial que ele exerce 
sobre as paredes. O tubo foi instalado entre as paredes quando 𝑇 = 15 ℃. Considere a condição 
de compatibilidade do Exemplo 2.8. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXEMPLO 2.11) Na temperatura ambiente (20 ℃) existe um espaçamento de 0,5 𝑚𝑚 entre as 
extremidades das barras mostradas na Fig.(a). Algum tempo depois, quando a temperatura atingir 
140 ℃, determine (a) a tensão normal na barra de alumínio e (b) sua variação do comprimento. 
Considere a condição de compatibilidade mostrada na Fig.(b). 
 
 
(a) (b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercícios 
 
2.18) Uma trena de aço é usada por um supervisor para medir o comprimento de uma reta. A seção 
transversal da trena é retangular, com 1,25 𝑚𝑚 de espessura por 5 𝑚𝑚 de largura e o comprimento 
é 30 𝑚𝑚 quando 𝑇1 = 20 ℃ e a carga de tração na trena é 100 𝑁. Determine o comprimento 
verdadeiro da reta medida se a leitura da trena for 139 𝑚 quando usada sob tração de 175 𝑁 a 𝑇2 =
40 ℃. O piso onde a trena é utilizado é plano. Considere 𝐸𝑎ç𝑜 = 200 𝐺𝑃𝑎, 𝛼𝑎ç𝑜 = 17 × 10−6 ℃−1 
 
2.19) A barra de aço de 15 𝑚𝑚 de diâmetro é montada livre de tensões entre os suportes mostrados 
na figura. Sabendo que 𝐸𝑎ç𝑜 = 200 𝐺𝑃𝑎, 𝛼𝑎ç𝑜 = 12 × 10−6 ℃−1, determine (a) a variação de 
temperatura na barra, ∆𝑇 (em graus Célsius), na qual a tensão de cisalhamento no parafuso A de 
12 𝑚𝑚 seja de 45 𝑀𝑃𝑎 e (b) com essa variação de temperatura determine a tenção normal de 
compressão na arruela de diâmetro 𝐷 = 20 𝑚𝑚. 
 
2.20) O conjunto ABC é montado com duas barras circulares de diâmetros diferentes e mesmo 
material 𝐸 = 6 𝐺𝑃𝑎 e 𝛼 = 100 × 10−6 ℃−1. Se a barra é submetida a um aumento uniforme de 30 ℃ 
na temperatura: (a) a força compressiva e a tensão na barra AC da figura “a” e (b) e força 
compressiva e a tensão na barra AC se o apoio elástico possui rigidez 𝑘 = 50 𝑀𝑁/𝑚. 
 
2.21) O tubo de aço A-36 está acoplado aos colares em 𝐴 e 𝐵. Quando a temperatura é 15 ℃, não 
há nenhuma carga axial no tubo. Se o gás quente que passa pelo tubo provocar uma elevação de 
∆𝑇 = (20 + 30𝑥) ℃ na temperatura do tubo, em que 𝑥 é dado em metros, determine a tensão normal 
média no tubo. O diâmetro interno é 50 𝑚𝑚, e a espessura da parede é 4 𝑚𝑚. 
 
2.22) A haste é feita de aço A-36 e tem diâmetro de 6 𝑚𝑚. Se as molas forem comprimidas 12 𝑚𝑚 
quando a temperatura da haste é 𝑇 = 10 ℃, determine a força de compressão na haste quando sua 
temperatura for 𝑇 = 75 ℃. 
 
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2.23) Os trilhos de aço A-36 de uma ferrovia têm 12 𝑚 de comprimento e foram assentados com 
uma pequena folga entre eles para permitir dilatação térmica. Determine a folga 𝛿 exigida para que 
os trilhos apenas encostem um no outro quando a temperatura aumentar de 𝑇1 = −30 ℃ para 𝑇2 =
30 ℃. Considerando essa folga, qual seria a força axial nos trilhos se a temperatura atingisse 𝑇3 =
40 ℃? A área de seção transversal dos trilhos é 3200 𝑚𝑚2. 
 
2.24) Três barra, fabricadas com materiais diferentes, são conectadas e colocadas entre apoios 
rígidos a temperatura 𝑇1 = 12 ℃. Determine a força exercida pelo suporte rígido quando a 
temperatura aumenta para 𝑇2 = 18 ℃. 
 
2.25) A barra de aço A-36 tem diâmetro de 50 𝑚𝑚 e foi montada entre os apoios rígidos quando 
𝑇1 = 50 ℃. Determine a força 𝑃 que deve ser aplicada ao colar central para que a reação em 𝐵 seja 
zero quando 𝑇2 = 30 ℃. 
 
2.26) O tubo AB fabricado em liga de magnésio AM1004-T61 está fixado ao apoio rígido em A. A 
folga entre o ponto E e o fim tubo circular de alumínio 6061-T6,ponto C, é de 0,02 𝑚𝑚 quando a 
temperatura é 30 ℃. Determine a tensão norma desenvolvida em cada tubo quando a temperatura 
aumenta para 80 ℃. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2.4 CONCENTRAÇÃO DE TENSÃO 
 
Desenvolvemos o conceito de tensão e deformação a partir da suposição de que, se o material 
se comportar de forma linear-elástica, essas grandezas serão proporcionais e uniformes em todo o 
corpo rígido de modo que a tensão calculada representa a tensão média em uma dada seção. 
Em contraposição a essa suposição, observem como a deformação ocorre em um corpo de 
prova de alta elasticidade sobre compressão, Figura 2.6(a), e sob tração, Figura 2.6(b). Notem que 
nas proximidades da aplicação da carga as linhas de grade demarcadas no corpo de prova se 
deformam de maneira não linear e mais acentuadamente, ou seja, ocorrem deformações 
localizadas nas proximidades da aplicação da carga. Além disso, as deformações vão se nivelando 
e tornam-se uniformes em toda a seção média da barra. 
 
(a) (b) 
Figura 2.6 – (a) corpo de prova de alta elasticidade sob compressão e (b) corpo de prova de alta 
elasticidade sob tração 
 
Visto que a tensão está relacionada com a deformação, podemos afirmar que ela será maior 
nas proximidades do ponto de aplicação da barra e assumirá um valor médio, como suposto, 
somente para pontos ligeiramente distantes dos pontos de aplicação da carga. A Figura 2.7(b) 
ilustra como a tensão atinge picos na seção 𝑎 − 𝑎, quase atinge um valor médio na seção 𝑏 − 𝑏 e 
finalmente alcança o valor médio na seção 𝑐 − 𝑐. 
 
Figura 2.7 – Perfil de distribuição de tensão normal ao longo de uma barra sob carregamento axial 
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Como regra geral, pode-se considerar que a tensão estará livre dos efeitos da deformação 
localizada, ou seja, assumirá um valor médio, a uma distância de no mínimo igual a maior dimensão 
da seção carregada. Essa regra baseia-se em análises experimentais e análises conduzidas pela 
teoria da elasticidade. 
O fato de a tensão e a deformação comportarem-se dessa maneira recebe a denominação de 
princípio de Saint-Venant, uma vez que foi observado pela primeira vez pelo cientista francês 
Barré de Saint-Venant em 1855. Em suma, esse princípio afirma que a tensão e a deformação 
produzidas em pontos suficientemente distantes da região de aplicação da carga serão iguais à 
tensão e à deformação produzidas por quaisquer carregamentos aplicados que terão a mesma 
resultante estaticamente equivalente e que sejam aplicados ao corpo dentro da mesma região, 
como mostrado na Figura 2.7(c). 
Essas distribuições de tensão complexas não surgem somente sob carregamento 
concentrado, mas também aparecem em regiões em que a área da seção transversal do elemento 
sofre alguma mudança. Como exemplo, considere a barra mostrada na Figura 2.8(a), que está 
submetida a uma carga axial 𝑃. Podemos observar que as linhas de grade sofrem deflexão e 
assumem um padrão irregular de deformação nas proximidades do furo. A tensão máxima ocorre 
na seção 𝑎 − 𝑎 que passa pela menor área de seção transversal da barra. Nessa seção, a forma 
real da distribuição da tensão normal é aquela mostrada na Figura 2.8(b). Entretanto, na prática de 
engenharia essa distribuição real de tensão não precisa ser determinada, em vez disso, basta 
conhecer o valor máximo nas seções críticas de modo que o elemento seja projetado para suportá-
la. 
 
Figura 2.8 – (a) barra com furo sob carregamento axial, (b) distribuição real de tensão na região de 
menor área de seção transversal e (c) distribuição de tensão média 
 
Para determinarmos o valor máximo da tensão, dispomos de gráficos desenvolvidos a partir 
de observações experimentais ou técnicas matemáticas avançadas que estabelecem um fator de 
concentração de tensão, 𝑲, que pode ser definido como a razão entre a tensão máxima e a tensão 
média que agem na menor área de seção transversal do elemento, isto é: 
 
𝑲 =
𝝈𝒎á𝒙
𝝈𝒎é𝒅
 (2.10) 
 
Em que: 
𝐾 = fator de concentração de tensão que depende somente da geometria da descontinuidade; 
𝜎𝑚é𝑑 = tensão normal média obtida na menor área de seção da descontinuidade; 
𝜎𝑚á𝑥 = tensão normal máxima obtida na menor área de seção da descontinuidade. 
 
Contanto que o valor de 𝐾 seja determinado através das cartas de concentração de tensão e 
a tensão normal média seja calculada por 𝜎𝑚é𝑑 = 𝑃/𝐴, em que 𝐴 é a menor área de seção 
transversal, então, pela Equação 2.10 pode-se determinar a tensão normal máxima, 𝜎𝑚á𝑥. 
As Figuras 2.9 e 2.10 são cartas de concentração de tensão típicas para barras sob 
carregamento axial. Notem que o valor de 𝐾 independe das propriedades do material, em vez disso, 
depende somente da geometria da barra e do tipo específico de descontinuidade. À medida que o 
valor do raio, 𝑟, da descontinuidade diminui, a concentração de tensão aumenta. 
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Figura 2.9 – Carta de concentração de tensão para elemento estrutural sob carga axial com 
diferentes áreas de seção transversal 
Adaptado de: HIBBELER, 2011 p. 161 
 
 
Figura 2.10 – Carta de concentração de tensão para elemento estrutural sob carga axial com furo 
Adaptado de: HIBBELER, 2011 p. 161 
 
 
 
 
 
 
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EXEMPLO 2.12) Se a tensão normal admissível para a barra for 𝜎𝑎𝑑𝑚 = 120 𝑀𝑃𝑎, determine a força 
axial máxima 𝑃 que pode ser aplicada à barra. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercícios 
 
2.27) Determine a máxima tensão normal desenvolvida na barra quando é submetida a uma carga 
𝑃 = 8 𝑘𝑁. 
 
2.28) A distribuição de tensão resultante ao longo da seção AB para a barra é mostrada na figura. 
Por essa distribuição, determine o valor aproximado da força axial resultante 𝑃 aplicada à barra. 
Além disso, qual é o fator de concentração de tensão para essa geometria? 
 
 
RESPOSTAS 
 
2.1) 𝛿𝐶/𝐴 = −0,318 𝑚𝑚 
2.2) 𝛿𝐷/𝐴 = −0,449 𝑚𝑚 
2.3) 𝛿𝐶/𝐴 = −0,772 𝑚𝑚 
2.4) 𝛿𝐴 = 1,96 𝑚𝑚 ↓ 
2.5) 𝛿𝐴 = 0,529 𝑚𝑚 
2.6) 𝛿𝐴 = 0,88 𝑚𝑚 
2.7) 𝛿 = 0,67 𝑚𝑚 
2.8) 𝛿𝐴𝐵 = −2,11 𝑚𝑚 𝛿𝐴𝐷 = −2,03 𝑚𝑚 
2.9) 𝛿𝐵 = 1,59 𝑚𝑚 𝛿𝐴 = 6,14 𝑚𝑚 
2.10) 𝜎𝑎ç𝑜 = 24,32 𝑀𝑃𝑎 𝜎𝑐𝑜𝑛𝑐 = 3,53 𝑀𝑃𝑎 
2.11) 𝑑𝑎ç𝑜 = 44,95 𝑚𝑚 
2.12) 𝜎𝐴𝐵 = 134 𝑀𝑃𝑎 𝜎𝐴𝐷 = 55,0 𝑀𝑃𝑎 𝜎𝐵𝐶 = 80,4 𝑀𝑃𝑎 
2.13) 𝜎𝑎ç𝑜 = 5,335 𝑀𝑃𝑎 𝜎𝑙𝑎𝑡 = 2,8 𝑀𝑃𝑎 
2.14) 𝛿𝐴 = 0,536 𝑚𝑚 ↓ 
2.15) 𝜃 ≈ 0,02 × 10−3 𝑟𝑎𝑑 ≈ 1,15 × 10−3° 
2.16) 𝑃𝑚𝑎𝑥 = 1800 𝑁 
2.17) 𝑤 = 45,9 𝑘𝑁/𝑚 
2.18) 𝐿′ = 139,056 𝑚 
2.19) (a) ∆𝑇 = 37,5 ℃ (b) 𝜎 = 509,1 𝑘𝑃𝑎 
2.20) (a) 𝐹 = 51,78 𝑘𝑁 𝜎𝐴𝐶 = 26,37 𝑀𝑃𝑎 (b) 𝐹 = 31,24 𝑘𝑁 𝜎𝐴𝐶 = 15,91 𝑀𝑃𝑎 
2.21) 𝜎 = 134,4 𝑀𝑃𝑎 
2.22) 𝐹 = 2,442 𝑘𝑁 
2.23) 𝛿 = 8,64 𝑚𝑚 𝐹 = 76,80 𝑘𝑁 
2.24) 𝐹 = 4,2 𝑘𝑁 
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2.25) 𝑃 = 188 𝑘𝑁 
2.26) 𝜎𝐴𝐵 = 45,3 𝑀𝑃𝑎 𝜎𝐶𝐷 = 65,2 𝑀𝑃𝑎 
2.27) 𝜎 = 88,3 𝑀𝑃𝑎 
2.28) 𝑃 = 19 𝑘𝑁 𝜎𝑚é𝑑 = 23,75 𝑀𝑃𝑎 𝐾 = 1,25 
 
REFERÊNCIAS 
 
CALLISTER, W. D. Jr. Ciência e engenharia dos materiais: uma introdução. 8 ed. Rio 
de Janeiro: LTC, 2013. 
 
BEER el al. Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática. 9. ed. Porto Alegre: AMGM, 
2012. 
 
BEER, F. P; et al. Mecânica dos Materiais. 5. ed. Porto Alegre: AMGH, 2012. 
 
BEER, F. P; JOHNSTON, R. E. Resistência dos Materiais. 3. ed. São Paulo: Pearson 
Makron Books, 1995. 
 
GERE, J. M; GOODINO, B. J. Mecânica dos Materiais: Tradução da 7ª edição norte-
americana. 7. ed. São Paulo: CengageLearning, 2010. 
 
HIBBELER, R. C. Resistência dos materiais. 10. ed. São Paulo: Pearson Education do 
Brasil, 2018. 
 
HIBBELER, R. C. Resistência dos materiais. 7. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 
2010. 
 
ROY, R; CRAIG, Jr. Mecânica dos Materiais. 2. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2003. 
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APÊNCIDE A – PROPRIEDADES DE ALGUNS MATERIAIS 
 
 
Materiais 
Massa 
específica, 𝝆 
(𝒌𝒈/𝒎𝟑) 
Módulo de 
elasticidade 
longitudinal, 𝑬 
(𝑮𝑷𝒂) 
Módulo de 
elasticidade 
transversal, 𝑮 
(𝑮𝑷𝒂) 
Tensão de escoamento, 𝝈𝒆 (𝑴𝑷𝒂) 
Coeficiente 
de Poisson, ν 
Coeficiente de 
dilação térmica, 
𝜶 (𝟏𝟎−𝟔 ℃−𝟏) 
Tração Compr. Cisalh. 
Metálicos 
Ligas de 
alumínio 
forjadas 
2014-T6 2790 73,1 27 414 414 172 0,35 23 
6061-T6 2710 68,9 26 255 255 131 0,35 24 
Ligas de ferro 
fundido 
Cinzento ASTM 2 7190 67,0 27 - - - 0,28 12 
Maleável ASTM A-197 7280 172 68 - - - 0,28 12 
Ligas de cobre 
Latão vermelho 
C83400 
8740 101 37 70 70 - 0,35 18 
Bronze C86100 8830 103 38 345 345 - 0,34 17 
Liga de 
magnésio 
Am 1004-T61 1830 44,7 18 152 152 - 0,3 26 
Ligas de aço 
Estrutural A36 7850 200 75 250 250 - 0,32 12 
Inoxidável 304 7860 193 75 207 207 - 0,27 17 
Ferramenta L2 8160 200 75 703 703 - 0,32 12 
Liga de titânio TI-6AL-4V 4430 120 44 924 924 - 0,36 9,4 
Não metálicos 
Concreto 
Baixa resistência 2380 22,1 - - - 12 0,15 11 
Alta resistência 2380 29 - - - 38 0,15 11 
Polímero 
reforçado 
Kevlar 49 1450 131 - - - - 0,34 - 
Vidro 30% 1450 72,4 - - - - 0,34 - 
Madeira 
estrutural 
Abeto Douglas 470 13,1 - - - - 0,29 - 
Espruce branco 3600 9,65 - - - - 0,31 - 
Fonte: HIBBELER, 2018, p. 754.