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1 MECÂNICA DOS SÓLIDOS I (RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I) Bibliografia: Ferdinand Beer, E. Russel Johnston – Resistência dos Materiais Timoshenko – Mecânica dos Sólidos William Nash – Resistência dos Materiais Vladimir Arrivabene – Resistência dos Materiais Professor: Eduardo Moura Lima Versão 01/02/2015 2 Cap I: Conceitos Fundamentais Exercícios relacionados: Capítulo 1 da Lista de Exercícios 1. Definição de Resistência dos Materiais: A Resistência dos Materiais (Mecânica dos Sólidos) é a ciência que estuda os materiais quanto à sua rigidez e resistência, quando de seu uso nas estruturas. Para dimensionarmos qualquer tipo de estrutura, não levamos em consideração somente a Mecânica, e sim, principalmente, a Resistência do Material a ser empregado. Mecânica materiais rígidos (ideais) Resistência dos Materiais materiais deformáveis (reais) Real Ideal Hipóteses simplificadoras Coeficiente de segurança 3 2. Hipóteses Simplificadoras: a. Continuidade: os materiais serão considerados maciços, não se levando em consideração a descontinuidade da matéria. b. Homogeneidade: os materiais terão propriedades idênticas em todos os pontos. c. Isotropia: os materiais terão propriedades idênticas em todas as direções. 3. Princípios Fundamentais: a. Superposição de cargas: o efeito da ação conjunta em um só corpo é igual ao somatório dos efeitos das ações parciais. b. Saint-Vennant: é possível substituir um sistema de forças por outro, estaticamente equivalente, significando maior simplificação nos cálculos. 4. Tipos de Carregamento: a. Carga concentrada: b. Carga uniformemente distribuída: c. Carga momento: F L q | M 4 5. Tipos de Apoios: a. 1º gênero (Charriot): b. 2º gênero (Rótula): OU c. 3º gênero (Engaste): F V F V H F H V H F V M 5 6. Classificação dos Esforços: Ativos – Dados Exteriores Reativos – Calculados pelas equações de Equilíbrio dos Corpos (ΣFX , ΣFY , ΣMP) Solicitantes – são os esforços atuantes em cada ponto do corpo. Dependem dos Interiores esforços exteriores (são calculados). Resistentes – são os maiores esforços que podem ocorrer nos pontos. Dependem do material (são buscados em tabelas). Condição de estabilidade: Esforços solicitantes ≤ Esforços resistentes para todos os pontos 6 7. Cálculo dos Esforços Solicitantes (na seção reta S): Corpo em equilíbrio Forças F1 , F2 , F3 ...... F8 – esforços exteriores (ativos ou reativos) O corpo é separado em duas partes, na seção S: F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 S F1 F2 F3 S F4 F5 F6 F7 F8 S R R R V CG G 7 R = resultante das forças F1 , F2 e F3 OU F4 , F5 , F6 , F7 e F8 (tanto faz, pois o corpo está equilibrado) Ação da carga R (no bloco da direita): Observação: O detalhamento das cargas, na figura, será apenas representado no bloco da direita. No bloco da esquerda, a ação será exatamente igual na direção, com sentido contrário. Faremos a decomposição da força R em 3 direções ortogonais: Q1 , Q2 e N. Vista de A Vista de B S F4 F5 F6 F7 F8 R Q1 Q2 N Vista A Vista B CG G CG G Q1 Q2 X N N Q1 X Q2 8 Q1 e Q2 - esforços cortantes (forças paralelas à seção) N – esforço normal (forças perpendiculares à seção) Ação do momento V (no bloco da direita): Observação: O detalhamento das cargas, na figura, será apenas representado no bloco da direita. No bloco da esquerda, a ação será exatamente igual na direção, com sentido contrário. Faremos a decomposição do momento M em 3 direções ortogonais: M1 , M2 e T. Vista de A Vista de B Vista A Vista B F4 F5 F6 F7 F8 V S CG G M1 M2 T CGT M1 M2 T X M1 M2 9 M1 e M2 - momentos fletores (giro de uma seção em torno de um eixo colocado no plano da própria seção) T – momento torçor (giro de uma seção em torno de um eixo perpendicular à seção). Conclusão: Os esforços solicitantes são: Esforço Normal Esforço Cortante Momento Fletor Momento Torçor Como calculá-los? Para calcular os esforços solicitantes em uma determinada seção: Selecionar a partir de que lado da seção os esforços serão calculados (como o corpo está equilibrado, o cálculo feito por um lado será igual ao feito pelo outro lado) Para cada carga existente no lado escolhido, calcular o valor do esforço solicitante na seção (N, Q, M ou T), atribuindo-lhe um sinal conforme a convenção de sinais a seguir. O somatório dos valores calculados será o valor do esforço solicitante na seção. 10 Convenção de Sinais + - N: Q: M: T: 11 Cap II: Isostática Exercícios relacionados: Capítulo 1 da Lista de Exercícios Objetivo: Traçado dos diagramas dos esforços solicitantes (N, Q, M e T) Faremos o estudo em cima de 3 carregamentos simples. Os resultados encontrados serão generalizados para carregamentos mais complexos. Observação: Para simplificação do estudo, inicialmente colocaremos todas as cargas em um plano vertical (plano solicitante), que estará passando sobre o eixo da barra. Assim, estaremos eliminando os momentos torçores, que serão estudados num capítulo à parte (Torção Simples): 1. Carga concentrada: Σ FX = 0 HB = 0 Σ FY = 0 VA + VB = PΣ MB = 0 VA . (a + b) = P.b VA = P.b / (a + b) VB = P.a / (a + b) MS = VA . x equação da reta Conclusões: Todos os diagramas começam e terminam em ZERO P VA VB HB a b DEC DMF + - VA - VB + VA . a = VB .b | x S P 12 a. Em trechos sem carga: DEC é constante DMF é reta qualquer b. Carga concentrada = P provoca: No DEC: descontinuidade (“degrau”) = P No DMF: discordância (“bico”) 2. Carga uniformemente distribuída: Σ FX = 0 HB = 0 Σ FY = 0 VA + VB = qL Σ MB = 0 VA . L = qL2 / 2 VA = VB = qL/2 QS = qL/2 – qx reta MS = qL/2. X – qx2 / 2 parábola 2º grau máximo: dM/dx = qL/2 – qx = 0 Q = dM/dx x = L/2 Mmáx = qL2 / 8 Conclusões: c. Em trechos de carga uniformemente distribuída: DEC é reta qualquer DMF é parábola do 2º grau, com fmédio = qL2 / 8 d. Q = dM/dx | S x q VA VB HB L DEC DMF qL/2 - qL/2 + - + 13 3. Carga momento: Σ FX = 0 HB = 0 Σ FY = 0 VA + VB = 0 Σ MB = 0 VA . (a + b) – M = 0 VA = M /(a + b) = - VB Conclusões: e. Em trechos de carga momento M: DEC não se altera DMF apresenta descontinuidade (“degrau”) = M | M a b VA VB DEC VA + DMF - + VA . a -VB. b M 14 Cap III: Solicitação Axial (Tração e Compressão) Exercícios relacionados: Capítulo 2 da Lista de Exercícios N – força estática 1. Deformações lineares: Longitudinal: ε = ΔL/L deformação unitária longitudinal Transversal : ε’= Δa/a = Δb/b = ..... deformação unitária transversal ε x ε’ : ε’ = -μ ε (equação empírica), onde μ – é o coeficiente de Poisson do material (tabelado) 2. Deformações elásticas x Deformações plásticas (ou residuais) N N L a b Si N N Sf L + ΔL a - Δa b - Δb A B C D Def.total – BD Def.plástica – BC Def.elástica - CD 15 3. Tensões: σ = FN / S (tensão normal) (letra grega sigma) τ = FT / S (tensão tangencial) (letra grega tau) 4. Relação entre σ e ε: Do ensaio de tração: Nos instantes 1, 2 etc: N1 σ1 e ΔL1 ε1 N2 σ2 e ΔL2 ε2 Equação da reta: σ = E ε (lei de Hooke), onde E = tg θ E módulo de elasticidade longitudinal do material (ou Young) Veremos o estudo do gráfico completo no item 9. 5. Cálculo de ΔL: σ = E ε ε = ΔL/L N/S = E ΔL/L ΔL = NL / ES σ = N/S FT - força tangencial S FN - força normal σ ε reta θ F 16 6. Deformações superficiais: εS = ΔS / Si = (Sf - Si ) / Si = = ((a + Δa)(b + Δb) - ab) / ab = (ab + a Δb + b Δa + Δa. Δb – ab) / ab = = (a Δb + b Δa) / ab = Δb/b + Δa/a = ε’ + ε’ = 2 ε’ = -2 µ ε εS = ΔS / S = -2 µ ε 7. Deformações volumétricas: εV = ΔV / V = (1 - 2 µ) ε 8. Potencial elástico acumulado (Energia de deformação) Como estamos trabalhando com força estática, o trabalho executado pela força que deforma uma barra, na solicitação axial (Potencial elástico acumulado ou Energia de deformação) é: W = N.ΔL / 2 Si Sf a b a + Δa b + Δb 0 F F d d Força dinâmica Força estática W = F . d W =(F . d) / 2 17 9. Diagrama de tensões (σ) x deformações (ε) Trecho 0-1: retilíneo σ = E ε (lei de Hooke) σ em 1 : limite de proporcionalidade (σP) Trecho 0-2: até 2, existem somente deformações elásticas. A partir de 2, começam a surgir as deformações plásticas σ em 2 : limite de elasticidade (σE) σE ≈ σP Trecho 3-4: patamar de escoamento σ em 3 : limite de escoamento superior (σS) σ em 4 : limite de escoamento inferior (σi) Em 5: início da da ruptura σ em 5 : limite de resistência (σR) σ ε X X X X X X 1 0 2 3 4 5 18 10. Barras rotuladas: Em ambos os casos, há um alinhamento da barra ou do fio com a força. Tanto o fio como a barra só recebem esforços normais. Assim sendo, podemos afirmar que, no caso abaixo, todas as barras só recebem esforços normais (as forças atuam apenas nos nós das barras). F F Fio Barra Não pode 19 11. Efeito da temperatura: A barra de comprimento L, engastada entre duas paredes, recebe um aquecimento de ΔT. Quais as reações que surgem nas paredes? Dados: E, L, ΔT, S e α (coeficiente de dilatação linear do material) Caso não houvesse a parede à direita, a barra sofreria uma dilatação de ΔL T = L. α . ΔT. Como existe a parede, ela exerce uma força sobre a barra que seria responsável pela deformação da barra dilatada, fazendo-a voltar ao seu tamanho original: ΔL (pela ação da força) = N (L + ΔL T ) / ES = ΔL T = L. α . ΔT N = E.S. α . ΔT L N 0 20 Cap IV: Corte Exercícios relacionados: Capítulo 3 da Lista de Exercícios Quando atua somente o esforço cortante, ou quando atua também o momento fletor, mas este pode ser desprezado. M e Q 1. Juntas rebitadas: Diâmetro dos rebites: φ a. Corte nos rebites: Força atuante em cada seção de corte: Força total na barra/nºseções de corte Área de corte: πφ2 / 4 2 1 d1 d2 A B C e1 e2 e2 1 2 2 P P/2 P/2 Seções de corte Força de corte 21 Barra 1: τ = (P/12) / (πφ2 / 4 ) ≤ τ Barra 2: τ = (P/2/6) /(πφ2 / 4 ) ≤ τ b. Esmagamento das chapas: Para facilidade nos cálculos, e a favor da segurança (trabalharemos com área menor), a área de esmagamento será a área rebatida no plano (pontilhada na figura – um retângulo). Força atuante em cada seção de esmagamento: Força total na barra / nº seções de esmagamento Área de esmagamento: área rebatida do rebite (ou do furo) na barra Barra 1: σE = (P/6) / (φ.e1 ) ≤ σE1 Barra 2: σE = (P/2/6) / (φ.e2 ) ≤ σE2 c. Tração nas chapas: Força atuante em cada seção tracionada: força atuante na fileira A, B ou C (fileira de rebites) Área sujeita à tração: área útil em cada barra (sem os furos) nas fileiras A, B e C. Vista de cima Furo na chapa Rebite Áreas de esmagamento 22 Barra 1: Seção A: σA = P / ((d1 - φ).e1 ) ≤ σT1 Seção B: σB = (P – P/6) / ((d1 - 2φ).e1 ) ≤ σT1 Seção C: σC = (P – 3P/6) / ((d1 - 3φ).e1 ) ≤ σT1 Há necessidade de se calcular nas 3 seções, pois à medida que a força diminui, a área diminui a área crítica precisa ser calculada Barra 2: Seção C: σC = (P/2) / ((d2 - 3φ).e2 ) ≤ σT2 Nas seções A e B, a força atuante é menor e a seção reta é maior seção C é a crítica d. Arrancamento nas chapas: garantido pelos espaçamentos mínimos entre os rebites. 2. Ligações soldadas: a. Solda de topo: N / S ≤ σT(solda) N N S 23 b. Cordão de solda: Carga centrada: F1 = F2 = F/2 (F/2)/(mL) = (F/2)/(t√ଶ ଶ .L) ≤ τ Lnec ≥ F / (t√2. τ) Ltotal = 2 Lnec Carga não centrada: N N t t m Área a ser cisalhada m = t √ଶ ଶ F F1 F2 L L L1 L2 F1 F F2 e1 e2 24 F1 + F2 = F F1 = ( F. e2 ) / (e1 + e2 ) F1 . (e1 + e2 ) = F. e2 F2 = ( F. e1 ) / (e1 + e2 ) τ = F / (t√ଶ ଶ .L) L = F / (t√ଶ ଶ . τ ) L1 + L2 = L τ = F1 / (t √ଶ ଶ .L1) L1 = F1 / (t √ଶ ଶ . τ ) = (F . e2 ) /((e1 + e2 ) (t √ଶ ଶ . τ ) L1 = (L. e2 ) / (e1 + e2 ) τ = F2 / (t √ଶ ଶ .L2) L2 = F2 / (t √ଶ ଶ . τ ) = (F . e1 ) /((e1 + e2 ) (t √ଶ ଶ . τ ) L2 = (L. e1 ) / (e1 + e2 ) 25 Cap V: Geometria das Áreas (Revisão) 1. Momento estático: a. de uma superfície em relação a um eixo: Definição: M x = y dS = y. S M y = x dS = x. S b. de uma superfície composta em relação a um eixo: M x (total) = M x (seção 1) + M x (seção 2) (S1 + S2 ) . y = S1 . y1 + S2 . y2 y = Σ M x / Σ S y x S X CG x y dS x y ρ Figura 1 y x S1 S2 CG1 x1 y1 CG2 x2 y2 CG x y 26 2. Momento de inércia: a. de uma superfície em relação a um eixo (figura 1): Definição: Jx = y2 dS Jy = x2 dS b. de uma superfície composta em relação a um eixo: Jx (total) = Jx (seção 1) + Jx (seção 2) 3. Momento de inércia polar: a. de uma superfície em relação a um eixo (figura 1): Definição: JP = ρ2 . dS = (x2 + y2 ) dS = = x2 dS + y2 dS = Jx + Jy b. de uma superfície composta em relação a um eixo: JP (total) = JP (seção 1) + JP (seção 2) 4. Translação de eixos: JCG = y2 dS J// = (y + a)2 dS = (y2 + 2 a y + a2 ) dS = = y2 dS + 2a y dS + a2 dS J// = JCG + a2 S Teorema de Steiner S CG XCG X// dS y a 0 27 5. Momento de inércia do retângulo: dS = b.dy Jx1 = y2 dS = y2 b.dy = = b. y2 dy = b.y3 /3 = Jx1 = b.h3 /3 Jx = y2 dS = b.y3 /3 Jx = b.h3 /12 X1 b h dS dy y y h b X dS y y h h h h 0 0 0 0 +h/2 -h/2 +h/2 -h/2 28 Cap VI: Flexão Reta Simples Exercícios relacionados: Capítulo 4 da Lista de Exercícios Todas as cargas estão num plano vertical (Plano Solicitante),que passa pelo eixo da barra. Nenhuma das cargas tem projeção horizontal. A interseção do Plano Solicitante com o plano da seção reta em estudo recebe o nome de Eixo Solicitante (ES). Conceituação: Observe que o tipo de carregamento definido só implica na existência de Q e M (não existem N nem T) Flexão Simples Plano das Cargas (Solicitante) CG Plano Neutro Eixo da barra a a' b c b' c' Vista B Vista A Vista de B Eixo Solicitante Seção Reta Linha Neutra CG Figura 1 29 Flexão Simples: somente Q e M A flexão será reta quando o Eixo Solicitante coincidir com um dos 2 eixos centrais principais de inércia da seção: Flexão Reta: ES coincide com um dos 2 eixos centrais principais de inércia Vista de A : aa' – sofreu encurtamento (compressão) bb' – praticamente não sofre variação de tamanho – tensão nula – faz parte de uma região neutra – Plano Neutro cc' – sofreu alongamento (tração) a b c a' b' c' a a' b b' c c' dθ ρ y x x dθ/2 30 Fibra cc’: Y – distância da fibra à LN ρ – raio de giração da região neutra Є = ΔL / L: ΔL = 2.x = 2.y. dθ/2 = y. dθ Є = (y. dθ)/( ρ. dθ) Є = y/ ρ L = ρ. dθ Como σ = E Є (Lei de Hooke) σ = E. y/ ρ Estudo de uma seção S: Condições de equilíbrio da seção S: Σ Fz = 0 σ. dS = 0 (E. y/ ρ). dS = (E / ρ) y.dS = 0 y.dS = 0 momento estático da seção S em relação ao eixo x (LN) ES (y) LN (x) z CG σ.dS dS y x Q M Seção S P (ponto) Figura 2 31 Quando o momento estático de uma seção em relação a um eixo é ZERO, então o eixo passa pelo CG da seção. Como o eixo x é a LN LN passa pelo CG Σ My = 0 σ. dS. x = 0 (E. y/ ρ). dS . x = (E /ρ) xy dS = 0 x.y.dS = 0 o produto de inércia da seção em relação aos eixos x e y é nulo x (LN) e y (ES) são eixos centrais principais de inércia da seção (eixos conjugados da elipse central de inércia da seção) Σ Mx = 0 M - σ. dS. y = 0 (E. y/ ρ). dS . y = (E /ρ) y2 dS = M JLN M = (E /ρ) . JLN σ = E. y/ ρ σ = (M. y) / JLN Com a equação acima, podemos determinar a tensão normal num ponto qualquer P, pertencente a uma seção S (vide figura 2), onde: σ – tensão normal atuante no ponto P, da seção S M – momento fletor atuante na seção S Y – distância do ponto P à LN JLN – momento de inércia da seção S em relação à LN 32 Sinal da tensão σ : No exemplo apresentado na figura 1, observamos que os pontos acima da região neutra são comprimidos, e os que estão abaixo, tracionados. Isto ocorre porque a barra faz uma “barriga” para baixo. A forma que a barra toma pela aplicação da carga é chamada de linha elástica (será estudada no próximo capítulo). Se pudermos observar claramente a elástica, como no exemplo, conseguimos identificar onde ocorrem atração e a compressão. No entanto, nem sempre é simples identificar a elástica. Saberemos a resposta através do momento fletor. Observe que, embora sejam coisas completamente diferentes, as concavidades da elástica e do DMF são semelhantes. Assim, se soubermos o sinal do Momento Fletor, poderemos saber o sinal da tensão normal. M + M - Linha elástica DMF DMF + - C C T T C T C T 33 Diagrama das Tensões Normais (DTN): Analisemos a equação de tensões normais deduzida anteriormente: σ = (M. y) / JLN Estudando as tensões normais nos pontos de uma única seção reta, verificamos que os valores de M e JLN são iguais para todos os pontos, e somente y varia de acordo com o ponto. Então, a equação acima é representada por uma reta, por se tratar de uma função linear. Por isso, o diagrama que representa a distribuição das tensões normais ao longo de uma seção é representado por uma reta. Os sinais + ou – dependerão do sinal do Momento Fletor, conforme analisado no parágrafo anterior. Tensões Normais Máximas numa seção: Sendo os valores de M e JLN iguais para o cálculo das tensões normais em todos os pontos de uma seção, e y sendo variável, observamos que as maiores tensões normais ocorrerão nos pontos mais distantes da LN, como confirma o traçado do DTN, acima. E onde ocorrerão as maiores tensões normais, de tração e compressão, numa estrutura qualquer? Como calcular? Seção reta DTN LN + ou - - ou + 34 Tensões Tangenciais Acabamos de verificar que o momento fletor M é o responsável pelo surgimento de tensões normais em um ponto. Como estamos estudando a flexão reta simples (M e Q), veremos agora o que ocorre pela ação do Q. M2 = M1 + dM σ1 = (M1 . y) / JLN N1 = σ1 . dS = (M1 . y.dS) / JLN σ2 = (M2 . y) / JLN N2 = σ2. .dS= (M2 . y.dS) / JLN = = ((M1 + dM).y.dS) / JLN = (M1 . y.dS) / JLN + (dM.y.dS)/ JLN P N1 N2 N3 dz 2 1 b h y0 dz N2 N1 b h/2 y0 h/2 y0 h/2 y0 h/2 y0 h/2 y0h/2 y0 h/2 y0 N1 35 N2 = N1 + (dM.y.dS)/ JLN N3 = (dM.y.dS)/ JLN τ. bdz = (dM.y.dS)/ JLN τ = N3 / (bdz) τ = ((1 / b. JLN)) . (dM/dz). y.dS τ = (Q M LN ) / (b. JLN ) , onde: τ – tensão tangencial no ponto P de uma seção S Q – esforço cortante na seção S M LN – momento estático, em relação à LN, da área delimitada entre a horizontal que passa no ponto P e a extremidade adjacente b – espessura útil da seção reta na altura do ponto P JLN – momento de inércia da seção S em relação à LN h/2 y0 N3 - surgirá pela ação das fibras abaixo do bloco (força tangencial) h/2 y0 h/2 y0 h/2 y0 36 Diagrama das Tensões Tangenciais na seção (DTT): Seção retangular: τ = (Q M LN ) / (b. JLN ) JLN = (b.h3 ) / 12 M LN = b . (h/2 - y). (y + ((h/2 – y) / 2)) parábola do 2º grau Onde ocorrem as maiores tensões tangenciais nas seções abaixo? E onde ocorrerão as maiores tensões tangenciais numa estrutura qualquer? Como calcular? h b x P y LN DTT LN LN 37 Cap VII: Flexão Reta Simples – Linha Elástica Exercícios relacionados: Capítulo 4 da Lista de Exercícios y – flecha – deslocamento vertical - o deslocamento horizontal é desprezível Θ – rotação Objetivos: Obtenção das equações: y = f(x) – equação da linha elástica y’ = f’ (x) = tg Θ ≈ Θ - equação das rotações x Reta horizontal Reta tangente à elástica Reta normal à elástica Reta vertical y θ θ 38 Є = y/ ρ (do estudo da Flexão Reta Simples) σ = (M. y) / JLN (Idem) σ = E . Є (Lei de Hooke) (M. y) / JLN = E y/ ρ ρ = (E . JLN ) / M Da Matemática: ρ = ((1 + (y’)2 )3/2 ) / y’’ Como y’ = Θ (y’)2 << 1 ρ = 1 / y’’ 1 / y’’ = (E . JLN ) / M E . JLN . y’’ = M (equação diferencial da elástica) 39 Cap VIII: Torção Simples Exercícios relacionados: Capítulo 5 da Lista de Exercícios O estudo que faremos será para peças cilíndricas (ocas ou maciças). Dizemos que a barra está torcida quando as ações exercidas de um lado de uma seção em estudo dão lugar a um conjugado contido no plano da seção. Podemos representá-lo como: Consideramos como positivo quando o vetor “sair” da seção (mão direita). Quando temos apenas ocorrendo o momento torçor na seção, dizemos existir TORÇÃO SIMPLES. Na torção o comportamento das peças depende da forma de sua seção transversal, sendo feito para cada tipo de seção transversal um estudo conveniente. Nosso objetivo será o estudo das peças cujas seções transversais sejam circulares ou coroas circulares. A Resistência dos materiais chega aresultados exatos somente para tais seções. . X 40 Diagrama dos Momentos Torçores (DMT): Traçado a partir dos mesmos conceitos do DEN, DEC e DMF, usando a convenção definida no Capítulo I. Cálculo das tensões nas barras de seção circular: Após o ensaio, observamos que a rede retangular se transforma em rede de paralelogramos. Isto indica que nas seções transversais da barra existem tensões de cisalhamento (tangenciais). Observamos, ainda, que as distâncias entre as circunferências que representam as seções transversais não variam e nem se modifica o comprimento da peça, logo não existe tensão normal. O diâmetro EF gira de φ relativamente á posição E’F’, permanecendo reto. . x E F E F E’ F’ φ x . 41 γ. dz = ρ . dφ γ = (ρ . dφ) / dz Lei de Hooke: σ = E . Є τ = G . γ (por analogia) τ = G . (ρ . dφ) / dz (1) Analisando somente um dos lados da peça: Σ Mz = 0 τ . ρ. dS = MT MT = G . (ρ2 . dφ.dS) / dz = = G. (dφ / dz) ρ2 .dS = G. (dφ / dz). JP dφ / dz = MT / (G. JP ) (2) (1) E (2): τ = G. ρ . MT / (G. JP ) τ = (MT . ρ) / JP De (2): dφ = (MT . dz) / (G. JP ) φ = (MT / (G. JP )) dz φ = (MT .z) / (G. JP ) (radianos) dz γ dφ ρ módulo de elasticidade transversal deformação unitária angular z MT ρ τ dS 42 Diagrama de tensões tangenciais (DTT): DTT JP = (π D4 ) / 32 JP = (π (D4 – d4 )) / 32
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