PF 2013.1 - Prof. Sérgio

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Abstract.
PROVA FINAL DE A´LGEBRA LINEAR III
Data: 09-08-2013
Prof.: Se´rgio Luiz Silva
In´ıcio: 14h20min
Te´rmino: 17h00min
1) Consideremos as bases de R3 dadas por
β = {(3, 1, 2), (2,−1, 3), (0,−2,−2)} e γ = { (1, 1, 0) , (1, 0, 1) , (0, 1, 1) }.
Encontre, justificando, [ I ]βγ , a matriz de mudanc¸a de coordenadas da base β para a base γ (valor 2,0 pontos).
2) Encontre, justificando, os valores de k para os quais o sistema x + ky + z = 0kx + y + z = 0
x + y + kz = 0
e´ SPD ou SPI (valor 2,0 pontos)
3) Seja T : R2 → R2 a transformac¸a˜o linear definida por T (x, y) = (2x+ y,−3x− 2y), (x, y) ∈ R2. Determine,
justificando, T−1(x, y) para qualquer (x, y) ∈ R2 (valor 2,0 pontos).
4) Sejam T : R3 → R2 e L: R2 → R3 as transformac¸o˜es lineares definidas por T (x, y, z) = (x − z, y + z),
(x, y, z) ∈ R3, e L(x, y) = (x−y, x+y, y−x), (x, y) ∈ R2. Determine, justificando, a matriz de T ◦L em relac¸a˜o
a` base γ = { (1, 1) , (−1, 1) } (valor 2,0 pontos).
5) Dizemos que duas matrizes quadradas reais de ordem n ≥ 2, A e B, sa˜o congruentes quando existe uma
matriz invert´ıvel C tal que B = C.A.Ct. Assuma que se A e´ sime´trica e L1, L2, . . . , Lm e´ uma sequeˆncia
de operac¸o˜es elementares por linhas, representadas pelas matrizes E1, E2, . . . , Em respectivamente, tal que
(Em . . . E2.E1).A e´ triangular superior enta˜o Em . . . E2.E1 e´ invert´ıvel e
(Em . . . E2.E1).A.(Em . . . E2.E1)
t
e´ uma matriz diagonal. Aqui, Em . . . E2.E1 representa o produto das matrizes Em, . . . , E2, E1. Para a matriz
A =
−1 2 −12 3 −2
−1 −2 4
 , encontre uma matriz invert´ıvel C, de ordem 3, tal que C.A.Ct seja diagonal (valor
2,0 pontos).