Matemática - apostila corrigida

Prévia do material em texto

M
at
em
áti
ca
59
Capítulo 01
HABILIDADE(S): (eM13MaT308), (eM13MaT306)
OBJETIVO(S) DE APRENDIZAGEM: (GO-eMMaT308a), (GO-eMMaT308b), 
(GO-eMMaT306b)
Teorema de Pitágoras
O Teorema de Pitágoras relaciona o comprimento 
dos lados do triângulo retângulo. Essa figura geométrica 
é formada por um ângulo interno de 90°, chamado de 
ângulo reto.
O enunciado desse teorema é:
“A soma dos quadrados de seus catetos corresponde 
ao quadrado de sua hipotenusa.”
Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo da 
figura, temos:
PQ² = PO²+ QO²
PQ² = 3² + 4²
PQ² = 9 + 16
PQ² = 25
PQ = 5
Como 1,6 cm no mapa equivalem a 200 m, a distância 
procurada vale:
∆s = 200 m
1,6 cm ∙ 5 cm = 625 m
Atividade de Aprendizagem 
1. Observe o triângulo retângulo abaixo e marque a 
alternativa que corresponde a medida do lado AC
(A) 10 m
(B) 14 m
(C) 24 m
(D) 30 m
(E) 48m
2. (IFPE) Uma escada de 13 metros de comprimento 
está apoiada no topo de um muro de 5 metros de altura, 
conforme a figura abaixo. Determine a distância entre 
o pé da escada e o muro.
(A) 12
(B) 30
(C) 18
(D) 45
(E) 79
3. (IFMT) Mário e seu avô decidiram construir um 
balanço para eles brincarem. De acordo com a figura 
abaixo, qual deverá ser o tamanho da tábua?
(A) 3,5 metros (B) 3,7 metros (C) 3,9 metros
(D) 4,1 metros (E) 4,7 metros
a: Hipotenusa
b: Cateto
c: Cateto
Teorema de Pitágoras: a² = b² + c²
Exemplos
1. um triângulo retângulo que possui catetos medindo 
3,2m e 2,4m e é solicitado que determinemos o valor 
da hipotenusa deste.
Então, considerando que temos os catetos medindo 2,4 
e 3,2 podemos escrever
a² = b² + c²
a² = 3,2² + 2,4²
a² = 10,24 + 5,76
a² = 16
a = 4
Então temos que a hipotenusa deste triângulo retân-
gulo mede 4 metros.
2. Observe as medidas indicadas em um mapa do Par-
que Ibirapuera, região plana da cidade de São Paulo.
De acordo com o mapa, uma caminhada em linha reta 
do Museu Afro Brasil (P) até o Museu de Arte Moderna 
de São Paulo (Q) corresponde a
(A) 400 m (B) 625 m (C) 676 m (D) 484 m (E) 576 m
4. (Unemat – MT) Dois 
móveis, A e B, estão se 
deslocando por duas 
estradas retilíneas que 
se cruzam no ponto P 
(conforme a figura ao 
lado) e formam entre 
elas um ângulo reto.
No exato momento em que o móvel A está a 6 km de 
distância do ponto de cruzamento P, o móvel B está 
exatamente a 8 km de P.
Portanto, a distância (em linha reta) entre A e B é:
(A) 14 km (B) 6 km (C) 8 km (D) 10 km (E) 15 km
60
5. Observe o gráfico abaixo
Considerando, assinale a alternativa que apresenta a 
distância do ponto A ao ponto B.
(A) 56 (B) 21 (C) 20 (D) 15 (E) 10
Capítulo 02
Semelhança de triângulos
Dois triângulos são semelhantes se, e somente se, 
possuem os três ângulos ordenadamente congruentes 
e os lados correspondentes são proporcionais.
A semelhança entre os triângulos ABC e PQR será 
denotada por
∆ABC ~ ∆PQR
Assim temos que,
∆ABC ~ ∆PQR ⟺ {(A^ ) ≡ P^ ; B^ ≡ Q^ e C^ ≡ R^ 
AB
PQ = BC
QR = AC
PR = k
Razão de semelhança
A constante k apresentada na definição é denomi-
nada razão de semelhança. Qualquer razão entre medi-
das lineares (lado, altura e perímetro) resulta em k.
Neste caso temos que
l1
l2
 = k
Onde l1 e um lado do triangulo 1 e l2 e outro lado 
correspondente no triangulo 2.
Observe os triângulos abaixo
Sabendo que os triângulos ABC e PQR são seme-
lhantes, podemos determinar a razão de semelhança 
da seguinte forma:
AB
PQ = 15
3 = 5 BC
QR = 30
6 = 5 AC
PR = 20
4 = 5
razão entre os triângulos ABC e PQR nessa ordem.
Portanto a razão de semelhança de ABC para PQR 
é igual a 5.
Triângulos Semelhantes
Como dito anteriormente, avaliamos e confirma-
mos a semelhança de triângulos quando esses possuem 
lados proporcionais e ângulos congruentes, mas exis-
tem uma série de casos que facilitam essa identificação. 
São os chamados casos de semelhança de triângulos.
Caso Ângulo-Ângulo (AA)
Vamos dizer que dois triângulos são semelhantes se 
dois ângulos de um triângulo são iguais a dois ângulos 
do outro triângulo.
Caso Lado-Ângulo-Lado (LAL)
Dizemos que dois triângulos são semelhantes se dois 
lados são proporcionais e os ângulos entre esses lados 
são congruentes, isto é, iguais.
A condição para que esses dois triângulos sejam 
semelhantes é que a razão entre AB e A’B’ seja igual 
à razão entre os lados AC e A’C’, ou seja, que os lados 
sejam proporcionais. Além disso, o ângulo compreen-
dido entre esses lados deve ser igual: Â = Â.
{ AB
A’B’ = AC
A’C’ Â ≡ Â’ ↔ ABC~A’B’C’
Caso Lado-Lado-Lado (LLL)
Dois triângulos são ditos semelhantes se os três 
lados do primeiro triângulo são ordenadamente pro-
porcionais aos lados do segundo triângulo.
Atividade de Aprendizagem
1. (Unesp SP) A sombra de um prédio, num terreno 
plano, numa determinada hora do dia, mede 15m. 
Nesse mesmo instante, próximo ao prédio, a sombra 
de um poste de altura 5m mede 3m.
M
at
em
áti
ca
61
A altura do prédio, em metros, é
(A) 25 (B) 29 (C) 30 (D) 45 (E) 75
2. (ETEC SP) Sem dispor de uma trena de comprimento 
suficiente, um pedreiro determinou a medida do des-
nível (d) de um terreno, valendo-se da propriedade da 
propagação retilínea da luz. 
Observou que, em de- 
terminado momento 
do dia, um muro verti-
cal de 1,5 m de altura, 
construído na parte 
alta do terreno, proje- 
tava uma sombra de 
0,4 m sobre a parte 
superior do terreno, 
que era plana e hori-
zontal. No mesmo 
instante, o desnível do terreno projetava sobre a parte 
mais baixa, igualmente horizontal, uma sombra de 1,6 
m, conforme a figura.
Com suas observações, foi capaz de deduzir correta-
mente que o desnível do terreno era de
(A) 6,0 m (B) 8,0 m (C) 10,0 m (D) 12,0 m (E) 14,0 m
3. (IFPE) Ivo é estudante do Campus Garanhuns e, certo 
dia, utilizando uma trena, constatou que o totem do 
campus projetava uma sombra de 6 m. Com a ajuda de 
um amigo, conseguiu constatar que sua própria sombra, 
no mesmo horário, media 2,85 m. Conforme o esquema 
mostrado na figura abaixo e sabendo que Ivo mede 1,90 
m, calcule a altura do totem.
(A) 8 metros (B) 4 metros (C) 3,8 metros
(D) 3,15 metros (E) 5 metros
4. (IFSP) Na figura, o triângulo ABC representa a vista 
superior de um dos tanques de um piscicultor. Para 
melhor aproveitamento, esse tanque será separado em 
duas partes por uma rede. A partir do ponto D, perten-
cente ao lado , será passazda essa rede até o ponto 
E, pertencente ao lado , de modo que os segmentos 
 e sejam paralelos entre si.
Na figura, tem-se que
• a medida do segmento 
é de 40 m;
• a medida do segmento 
é de 33 m; e
• a medida do segmento 
é de 12 m.
Assim sendo, o comprimento da rede do ponto D ao 
ponto E é, em metros, aproximadamente,
(A) 8,6 (B) 9,4 (E) 10,7 (D) 14,5 (E) 17,3
5. Os triângulos ABC e AED, representados na figura 
a seguir,são semelhantes, sendo os ângulos D e C 
congruentes.
Se BC = 16 cm, AC = 20 cm, 
AD = 10 cm e AE = 10,4 cm, 
o perímetro do quadrilátero 
BCED, em centímetros, é:
(A) 32,6
(B) 36,4
(C) 40,8
(D) 42,6
(E) 44,4
Capítulo 03
Lei dos Senos
A Lei dos Senos afirma que, em um triângulo qual-
quer inscrito em uma circunferência de raio R, a razão 
entre qualquer um de seus lados e o ângulo oposto 
a esse lado é igual ao dobro do raio R. Portanto esse 
teorema nos mostra que, em um mesmo triângulo, a 
razão entre o valor de um lado e o seno de seu ângulo 
oposto é sempre constante.
Temos que,
I. a
sen(A^ )
 = 2 ∙ R
II. a
sen(B^ )
 = 2 ∙ R
III. a
sen(C^ )
 = 2 ∙ R
Logo, a
sen(A^ )
 = a
sen(B^ )
 = a
sen(C^ )
 = 2 ∙ R
Consideremos o triângulo a seguir
62
4. A figura mostra, um trecho de um rio onde se deseja 
construir uma ponte AB. De um ponto P, a 100m de B, 
mediu-se o ângulo = 45° e do ponto A, mediu-se 
o ângulo PÂB = 30°. Calcular o comprimento da ponte.
(A) 100√2 m (B) 50√2 m (C)100√3 m
(D) 10√2 m (E) 5√2 m
5. (UFJF MG) Uma praça circular de raio R foi construída 
a partir da planta a seguir:
Os segmentos , e simbolizam ciclovias constru-
ídas no interior da praça, sendo que . De acordo com a 
planta e as informações dadas, é CORRETO afirmar que 
a medida de R é igual a:
(A) m
3
3160 (B) m
3
38080 (C) m
3
38016
(D) m
3
38 (E) m
3
3
Capítulo 04
LEI DOS COSSENOS
A lei dos cossenos, é aplicada em triângulos não 
retângulos para encontrar a medida de lados desco-
nhecidos utilizando o cosseno de um dos ângulos do 
triângulo.
Vamos determinar a distância entre os pontos A e 
C, sabendo que √2 = 1,41
Com isso temos
AC
sen 45° = AB
sen 30°
x
√2
2
 = 6
1
2
x
√2
 = 61
x = 6√2
x = 6 ∙ 1,41
x = 8,46
Portanto a distância entre os pontos A e C é de 
8,46 cm. 
Exemplo
1. José comprou recentemente um terreno com a forma 
do triângulo ABC apresentado abaixo e tem o desejo de 
construir um muro ao redor dele.
Sabendo-se que 
AC = 100 m e consi-
derando √2 = 1,41, 
vamos determinar a 
medida do labo BC
BC
sen 45° = AC
sen 30°
BC
√2
2
 = 100
1
2
BC
√2
 = 100
1
BC = 100√2
BC = 100 ∙ 1,41
BC = 141
Atividade de Aprendizagem
1. (FGV) A figura ilustra as medidas que um topógrafo 
tomou para calcular a distância do ponto A a um barco 
ancorado no mar.
sen 62° = 0,88; cos 62° = 0,47
sen 70° = 0,94; cos 70° = 0,34
Use os dados obtidos pelo topógrafo e marque a alter-
nativa que corresponde a distância, aproximada, do 
ponto A ao barco. 
(A) 46,7 m (B) 48 m (C) 52,5 m (D) 60 m (E) 63,6 m
2. Observe a figura abaixo. Marque a alternativa que 
corresponde a distância, aproximada, entre o ponto A 
e o ponto B. (considerar: √2 = 1,41 e √3 = 1,73)
(A) 150 metros
(B) 175 metros
(C) 189 metros
(D) 212 metros
(E) 250 metros
3. Observe o triângulo a seguir. Marque a alternativa 
que corresponde a medida, aproximada, do lado AB.
(A) 2,3 
(B) 2,1 
(C) 1,9 
(D) 1,4 
(E) 1,7
M
at
em
áti
ca
63
A Lei dos cossenos é dada por:
a² = b² + c² - 2 ∙ b ∙ c ∙ cos(α)
Considere o triângulo a seguir 
Vamos determinar a medida do segmento BC
Note que BC é o lado oposto ao ângulo de . Apli-
cando a Lei dos cossenos temos,
a² = b² + c² - 2 ∙ b ∙ c ∙ cos (α)
(BC)² = 5² + 8² - 2 ∙ 5 ∙ 8 ∙ cos 60°
Lembre-se que o cos 60° é igual à ½.
(BC)² = 25 + 64 - 40
(BC)² = 49
BC = 7
Agora perceba o processo em um exemplo que pos-
sui um contexto: 
Na representação gráfica fornecida, um observador 
posicionado no ponto A tem a capacidade de observar 
dois marcos, um localizado no ponto B e outro no ponto 
C, sob um ângulo cujo cosseno é 0,4. As distâncias entre 
o observador e os pontos B e C são, respectivamente, 
400 m e 500 m. Dadas essas condições, determine a 
distância entre os marcos B e C.
Note que BC é o lado oposto ao ângulo A, cujo cos-
seno é igual a 0,4. Aplicando a Lei dos cossenos temos,
a² = b² + c² - 2 ∙ b ∙ c ∙ cos(α)
(BC)² = 500² + 400² - 2 ∙ 500 ∙ 400 ∙ cos(A)
Lembre-se que o cos(A) é igual à 0,4.
(BC)² = 250000 + 160000 - 160000
(BC)² = 250000
√BC = √250000
BC = 500
Portanto a distância entre os pontos B e C é de 500 
metros.
Atividade de Aprendizagem
1. (Unemat MT) A cidade de Brasília (DF) foi projetada 
e seu mapa foi todo desenhado para ter o formato de 
um avião. Já Triangolândia foi projetada no formato de 
um triângulo, conforme a figura abaixo.
Qual é a medida da distância x?
(A) 6 km (B) 5,5 km (C) 5 km (D) 7 km (E) 8 km
2. (Acafe SC) Deseja-se medir a distância entre duas 
cidades B e C sobre um mapa, sem escala.
Sabe-se que AB = 60km e AC = 110km, onde A é uma 
cidade conhecida, como mostra a figura a seguir.
Assim, a distância aproximada entre B e C, em km, é:
(A) 90 km
(B) 100,2 km
(C) 95,4 km
(D) 48,9 km
(E) 70 km
3. Observe o triangulo a seguir
Marque a alternativa que corresponde a medida, apro-
ximada, do terceiro lado do triângulo.
(A) 2 cm (B) 4,2 cm (C) 5 cm (D) 7,2 cm (E) 8 cm
4. (UFTM MG) Na figura estão posicionadas as cidades 
vizinhas A, B e C, que são ligadas por estradas em linha 
reta. Sabe-se que, seguindo por essas estradas, a dis-
tância entre A e C é de 24 km, e entre A e B é de 36 km.
Nesse caso, pode-se concluir que a distância, em km, 
entre B e C é igual a
(A) 8√17 (B) 12√19 (C) 12√23 (D) 20√15 (E) 20√13
5. (UNISC RS) Os irmãos André, Paulo e Vitor moram 
em casas localizadas na mesma fazenda. Sabe-se que 
64
a casa de André dista 500 m da casa de Paulo e 800 m 
da casa de Vitor, e que o ângulo formado entre essas 
direções é 60°.
Observando, no 
esquema ao 
lado, a planta da 
situação apre-
sentada, pode-se 
concluir que a 
distância entre a 
casa de Paulo e 
a casa de Vitor 
é de
(A) 600 m. (B) 1300 m. (C) 700 m.
(D) 900 m. (E) 800 m.
Capítulo 05
Circunferência
É a reunião de todos os pontos em um plano que 
possuem a mesma distância de um ponto específico 
nesse plano, denominado Centro.
Onde:
• π (pi) é um número irracional, com aproximações 
aceitáveis para diversas aplicações de 3 ou 3,14.
• r é a medida do raio da circunferência. O raio é um 
segmento que liga o centro a um ponto qualquer na 
circunferência.
Podemos então pensar situações como determinar 
o comprimento de uma circunferência de raio igual a 
2 cm, usando π = 3
Temos a medida do raio e uma aproximação para o 
valor de π, logo a medida do comprimento da circun-
ferência é igual a
C = 2 ∙ π ∙ r → C = 2 ∙ 3 ∙ 2 → C = 12 cm
Atividade de Aprendizagem
1. (PUC RJ) A roda de um carro tem 30 cm de raio. 
Depois de a roda completar uma volta, o carro terá se 
deslocado aproximadamente: (Usando π = 3,14)
(A) 60 cm (B) 120 cm
(C) 180 cm (D) 188 cm
(E) 198 cm
2. Uma pista de atletismo tem a forma circular e seu 
diâmetro mede 80 m. Um atleta treinando nessa pista 
deseja correr 10 Km diariamente. Determine o número 
mínimo de voltas completas que ele deve dar nessa 
pista, a cada dia.
(A) 10 (B) 20 (C) 30 (D) 40 (E) 50
3. (UEPB) Um ciclista de uma prova de resistência deve 
percorrer 502,4 km sobre uma pista circular de raio 200 
m. O número de voltas que ele deve dar é:
(Considere π = 3,14)
(A) 300 (B) 350 (C) 400 (D) 450 (E) 500
4. (ENEM MEC) Um homem, determinado a melhorar sua 
saúde, resolveu andar diariamente numa praça circular 
que há em frente à sua casa. Todos os dias ele dá exata-
mente 15 voltas em torno da praça, que tem 50 m de raio.
Qual é a distância percorrida por esse homem em sua 
caminhada diária? (Use 3 como aproximação para π).
(A) 0,30 km (B) 0,75 km
(C) 1,50 km (D) 2,25 km
(E) 4,50 km
5. (UniNorte AM) A figura representa o esboço do cami-
nho percorrido por uma pessoa para se deslocar do 
ponto P até o ponto R.
Qualquer segmento 
com uma extremidade no 
centro e a outra em um 
ponto da circunferência é 
chamado de RAIO.
O é o centro da 
circunferência
OA é o raio da 
circunferência
Corda e diâmetro
Corda é o segmento cujas extremidades pertencem 
à circunferência.
O diâmetro é uma corda que atravessa o centro de 
uma circunferência.
Perceba que a medida do diâmetro é igual ao dobro 
da média do raio, ou seja, d = 2r.
Comprimento da circunferência
Para calcular o comprimento de uma circunferên-
cia, multiplicamos o diâmetro da circunferência pelo 
número π (pi).
Fórmula do comprimento da circunferência é 
dada por,
C = d ∙ π
Como d = 2r, então
C = 2 ∙ π ∙ r
M
at
em
áti
ca
65
Sabe-se que
• a curva PQ é um arco de circunferência de raio 1,6km.
• o segmento QR representa um trecho retilíneo do 
caminho, medindo 2,8km.
Considerando π = 3, podemos afirmar que a distância 
percorrida por essa pessoa é de:
(A) 1,2 km (B) 2,8 km (C) 3,0 km
(D) 4,0 km (E) 45 km
Capítulo 06
Unidades de medida de um ângulo
Grau
Ao dividirmos um círculo completo em 360 partes 
iguais, independentemente do comprimento de seus 
lados, cada segmento representará uma fração desse 
ângulo eserá designado como 1 grau, identificado pela 
notação 1°. O grau é subdividido em 60 minutos (60’), 
e cada um desses minutos é, por sua vez, subdividido 
em 60 segundos (60”). Assim, o ângulo de 1°pode ser 
subdividido em 3600”. 
Logo, a medida do ângulo de volta inteira é 360°.
Radiano
Esta unidade de medida de ângulos, e de arcos, tem 
como símbolo 1 rad. Dizemos que um arco mede 1 rad 
se o seu comprimento for igual ao raio da circunferência 
onde este arco está definido.
Um ângulo em radianos é dado por
θ = l
r rad
l: comprimento do arco
r: medida do raio da circunferência
Então, a medida do ângulo ou arco de uma volta será 
igual 2π rad a pois, como já sabemos, o comprimento da 
circunferência inteira é obtido pela expressão C = 2πr.
Podemos então buscar então, algo como transfor-
mar 12° em radianos.
Temos
180° - π rad 12° - x
Note que,
180° ∙ x = 12° ∙ π → x = 12° ∙ π
180° → x = π
15 rad
Outro questionamento valido seria quantos graus 
mede, um arco de 0,75 rad. Usando π = 3
Temos: 180° - π rad x - 0,75 rad
Note que, 
180° ∙ 0,75 = π ∙ x → 135 = π ∙ x → x = 135
π
Substituindo o valor de π, temos
x = 135
3 → x = 45°
Outro exemplo seria algo como:
1. caminhando 100 metros pelo contorno de uma praça 
circular, uma pessoa descreve um arco de 144°. Dessa 
maneira, podemos afirmar corretamente que a dimen-
são do raio da circunferência da praça é, em metros, 
igual a
(A) 125π (B) 175
π (C) 125
π (D) 250
π (E) 250π
Temos então
Um ângulo em radianos é definido por
θ = l
r rad
Inicialmente iremos converter 144°, para radianos.
180° - π rad 144° - x
Note que,
180° ∙ x = 144° ∙ π → x = 144° ∙ π
180° → x = 4π
5 rad
Vamos substituir o ângulo de 4π
5 na equação θ = l
r rad
4π
5 = 100
r → 4π ∙ r = 5 ∙ 100 →
4πr = 500 → r = 500
4π → r = 125
π
Alternativa correta: C
Atividade de Aprendizagem
1. Considere o arco θ = 5π
3 rad, e igual a
(A) 60° (B) 90° (C) 120° (D) 180° (E) 300°
2. Observe o ângulo a seguir: 30°
A medida desse ângulo em radianos é
(A) π3 (B) π4 (C) π6 (D) π8 (E) π
10
3. Observe o ângulo a seguir: 2π
5 rad
A medida desse ângulo em graus é
(A) 30° (B) 45° (C) 65° (D) 70° (E) 72°
4. Tales, um aluno do Curso de Matemática, depois de 
terminar o semestre com êxito, resolveu viajar para a 
Europa. Em Londres, Tales andou na London Eye, para 
contemplar a cidade. Esta roda gigante de 135 metros de 
diâmetro está localizada à beira do rio Tâmisa. Suas 32 
cabines envidraçadas foram fixadas à borda da roda com 
espaçamentos iguais entre si. Então, a medida do arco for-
mado por cinco cabines consecutivas é igual, em metros, a
(A) π (B) π (C) π (D) π (E) π
66
5. (Fac. de Ciências da Saúde de Barretos SP) Um hos-
pital possui, em seu pátio interno, um jardim de forma 
circular com 6 m de diâmetro e centro O, utilizado pelos 
pacientes, que caminham ao seu redor acompanhados 
dos enfermeiros. A figura ilustra a situação.
Sinal do Seno e do cosseno
• O seno é positivo no 1º e 2º quadrante.
• O seno é negativo no 3º e 4º quadrante.
• O cosseno é positivo no 1º e 4º quadrante.
• O cosseno é negativo no 2º e 3º quadrante.
Simetrias no plano cartesiano
O plano cartesiano possui três simetrias:
Um paciente desloca-se do 
ponto A ao ponto B, onde 
para e descansa. Sabendo 
que o comprimento do 
arco AB, percorrido pelo 
paciente, é de 3,75 m, e 
considerando π = 3, o valor 
do ângulo α, correspon-
dente a esse arco, é
(A) 78° (B) 75° (C) 85° (D) 71°
Capítulo 07
Ciclo Trigonométrico
O ciclo trigonométrico é uma circunferência cujo raio 
é igual a 1, sendo o centro situado na origem (0, 0) do 
sistema de coordenadas cartesianas no plano.
I. Uma em rela-
ção ao eixo das 
abscissas;
II. Uma em rela-
ção ao eixo das 
ordenadas;
III. Uma em relação 
à origem do plano 
cartesiano.
Simetrias aplicadas no ciclo trigonométrico
Atividade de Aprendizagem 
1. Complete as medidas dos arcos trigonométricos 
correspondentes.
2. Calcule o valor do sen 150o
3. Calcule o valor de cos 135o
4. Calcule o valor de cos 120o
5. Calcule o valor de sen 120o
Podemos associar um 
ponto (x, y) sobre a circun-
ferência e a esse ponto 
arcos, medidos a partir 
da intersecção (0, 1) do 
semieixo positivo Ox, 
denominado origem do 
ciclo.
A partir do ponto (0, 1), é possível percorrer arcos 
na circunferência, seguindo a orientação estabelecida 
pela convenção:
Sentido anti-horário: positivo
Sentido horário: negativo
No triângulo retângulo OPP1, o ângulo x é agudo 
e os valores de:
sen x = 
PP1
1 ⟹ PP1 = sen x
e
cos x = 
OP1
1 ⟹ OP1 = cos x.
Pelo Teorema de Pitágoras, no triângulo OPP1, tem-
-se que: sen²x + cos²x = 1