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INTRODUÇÃO E A PRIMEIRA LISTA DE EXERCÍCIOS 
 
 
INTRODUÇÃO 
 
Os livros de cálculo costumam conter um capítulo ou um apêndice dedicado a explicações de 
fatos básicos da matemática e que, em geral, são abordados no Ensino Médio das escolas 
brasileiras. O entendimento desses conceitos, e o uso correto deles em diversas situações, são 
condições necessárias para que o aluno da disciplina Cálculo Diferencial e Integral I possa 
compreender conceitos específicos da disciplina, como o de derivada e integral, e possa aplicar 
esses conceitos na resolução de situações- problema relevantes. 
 
Por outro lado, percebe-se que, na maioria das vezes que o estudante apresenta dificuldades em 
resolver um problema de aplicação de limite, derivada ou integral, essa dificuldade não reside 
no entendimento dos conceitos específicos do cálculo diferencial e integral, mas sim na 
modelagem do problema, no seu equacionamento, na manipulação de expressões algébricas, ou 
na utilização de fatos elementares de trigonometria ou de geometria plana. 
 
Por essas razões, é extremamente importante que todos os estudantes da disciplina identifiquem 
suas próprias dificuldades com esses fatos elementares da matemática e se esforcem para 
superá-las ao longo do curso. Para auxiliar os estudantes nesse ponto, listamos uma relação de 
conceitos matemáticos que serão utilizados com muita freqüência durante o curso e cujo 
entendimento deve ser priorizado pelos estudantes. 
 
1. Números 
Operações com frações e números reais. Potenciação e radiciação. Raiz quadrada. 
Intervalos. Desigualdades. Valor absoluto. Reta numérica. Equações polinomiais. 
 
2. Álgebra Elementar. 
Produtos notáveis e fatoração. Operações com polinômios: soma, subtração, divisão. Raízes 
e igualdade de polinômios. Cálculo da decomposição de uma fração em soma de frações 
parciais. 
 
3. Geometria Analítica. 
Coordenadas de pontos no plano cartesiano. Distância entre pontos. Simetrias. Retas: 
equações, paralelismo e perpendicularidade. Equações da circunferência. Equação e gráfico 
de parábolas. Elipse dada pela sua equação reduzida. Hipérbole de equação 
x
y 1= . 
Translação de gráficos. 
 
4. Funções e gráficos. 
Definição de função, domínio e imagem. Determinação de domínio e imagem de funções 
reais. Funções pares e ímpares. Funções crescentes e decrescentes. Operações e 
composições de funções. Função exponencial. Função logarítmica. A exponencial e o 
logaritmo natural. Aplicações de exponencial e logaritmo. Funções trigonométricas: seno, 
cosseno, tangente. As funções que definem a parte superior, inferior e lateral de uma 
circunferência. 
 
5. Trigonometria 
Trigonometria nos triângulos. Lei dos senos e dos cossenos. O círculo trigonométrico. 
Graus versus radianos. Identidades trigonométricas. Aplicações de trigonometria. 
 
 
 
 2
 
 
 
ESTRATÉGIAS DE ESTUDO 
 
Apresentamos também as seguintes estratégias de estudo para essa parte inicial da disciplina 
Cálculo Diferencial e Integral I. 
 
(a) É extremamente importante que você possua algum livro de cálculo durante todo o semestre 
letivo. Então providencie um livro, fazendo um empréstimo na biblioteca ou com algum 
amigo, comprando o livro ou de outra forma qualquer. 
 
(b) Identifique as seções do seu livro que tratam dos conteúdos listados acima e LEIA essas 
seções, dando especial atenção para as definições, para as propriedades e para os exemplos 
resolvidos no livro. 
 
(c) Não acumule dúvidas. Assim que possível, durante o seu estudo, procure o seu professor ou 
os monitores para esclarecimentos de todas as suas dúvidas. 
 
(d) Resolva os exercícios do livro e compare suas soluções com as de outros alunos do curso. 
Caso você tenha dúvidas sobre algum exercício, procure o seu professor. 
 
(e) Resolva todos os exercícios listados a seguir. 
 
 
A lista de exercício a seguir aborda praticamente todos os conteúdos listados anteriormente. 
Esses exercícios devem ser obrigatoriamente resolvidos por todos os alunos das Turmas 
Especiais de Cálculo Diferencial e Integral I. 
 3
 
LISTA 1 
 
1. Calcule a área do retângulo de dimensões 
70
3 e 
48
7 . 
2. Considere o pentágono ABCDE de lados 
20
21;12;
6
7
=== CDBCAB ; 
527 == EAeDE . 
a) Calcule o perímetro desse pentágono. 
b) Qual é o menor lado? 
3. Dê contra-exemplos para mostrar que as afirmações a seguir são falsas. 
a) 
b
d
c
d
bc
d
+=
+
, para quaisquer números reais a, b, c, com 0,0 ≠≠ bc e . 
b) 
0≠+ bc
baba +=+ , para quaisquer números reais não-negativos a, b. 
c) aa =2 , para qualquer número real a. 
d) ayx
x
yax
+=
+2 , para qualquer 0≠x . 
4. Se | a | = 2, quais são os possíveis valores para a? Represente na reta numérica o conjunto 
de todos os valores de a que satisfazem à igualdade dada. 
5. Em cada caso a seguir, determine todos os valores de x que satisfazem a relação dada e, 
também, represente na reta numérica todos esses valores de x: 
a) | x − 3 | = 2 b) | x − 3 | < 2 c) | x − 3 | > 2 
6. Determine todas as raízes reais de cada equação a seguir: 
a) (2x − 3)(4x2 − 9)(x2 + 9) = 0; 
b) x3 − 5x2 +6x = 0; 
c) (x2 − 4x + 3)2 = 1. 
d) x(x − 7)2 = 50x. 
7. Determine, se possível, os valores de A, B e C para que 
1
12
23 +
+
+=
+
+
x
CBx
x
A
xx
x , para todo x 
real. 
8. Determine, se possível, os valores de A, B e C para que 
1)1(
1
2222
2
+
+
+=
+
−−
x
CBx
x
A
xx
xx , para 
todo x real. 
9. Determine a para que a distância entre os pontos P = (a, 3) e Q = (5, 6) seja igual a 4. 
 
10. Para dar uma interpretação para o exercício 9, responda às seguintes perguntas: 
a) Que figura fica caracterizada pelos pontos da forma P = (a, 3)? 
b) Que figura fica caracterizada pelos pontos cuja distância a Q = (5, 6) é igual a 4? 
c) Utilizando os itens (a) e (b), dê uma interpretação para o exercício 9. 
 
Respostas: 2) b) CD 6) a) 
2
3
± b) 0, 2, 3 c) 2, 22± d) 0, 257 ± 
 7) A =1, B = -1, C = 2 8) Não tem solução. 
 
 
 
 
 
 
 4
11. Determine os pontos sobre a reta de equação y = 2x − 3 cujas distâncias ao ponto 
Q = (4, 5) sejam iguais a 
2
57 . 
12. Determine o centro e o raio da circunferência de equação . 
Explicite y em função de x e identifique a figura que cada uma dessas funções representa? 
036422 =−+−+ yxyx
 
13. Determine a equação da reta tangente à circunferência de equação no ponto Q 
de abscissa 3 sobre essa circunferência e que está no quarto quadrante. 
2522 =+ yx
 
14. Analise a resolução da equação e diga o que está errado. 
Sol. . Cancelando o x obtemos . Daí , o que 
nos fornece as raízes 
xxxx 2)3( 2 −=−
xxxx 2)3( 2 −=− 2)3( 2 −=− xx 0232 =+− xx
2
13±
=x , isto é, 1 e 2. 
15. Simplifique: 
a) 
22
22
−−
−
xx
xx b) 
h
h 25)5( 2 −+ c) 
16
8
4
3
−
−
x
x 
 
16. Resolva as desigualdades: 
a) b) −4x + 7 > 0 c) 012102 2 <−+− xx 0
32
2
2 ≤−−
−
xx
x
 
d) 0
)1(
2.2)1(2
22
2
≥
−
−−
x
xxxx e) 2x x> + f) 
2
34
1
2
+
+
≥
+
−
x
x
x
x 
g) 
2
1sen ≥x , no intervalo [0, π2 ] h) 
2
2sen
2
1
≤≤ x , no intervalo [0, π2 ] 
 
17. Determine o valor de x no triângulo abaixo. 
 
18. Seja , calcule f(0), f(1) e f(2). 
⎩
⎨
⎧
>
≤−
=
1,
1,1
)( 2 xsex
xsex
xf
 
19. Esboce o gráfico de y = |x − 2| + |x + 6|. 
 
 
Respostas: 11) ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ 12,
2
15 e ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ − 2,
2
1 12) centro ( )3,2 − e raio 4. 
13) .6
4
3
+= xy 16) c ) 21 ≤<− x e ) x > 2 g ) 
6
7
6
π
≤≤
π x 
h) 
46
π
≤≤
π x ou .
6
7
4
3 π
≤≤
π x 17) .14=x 18) ( ) ;10 =f ( ) ;01 =f ( ) .42 =f
 5
20. Encontre o domínio de cada função a seguir: 
a) 
26
)3(ln)(
xx
xxf
−
−
= b) ttth −+= 4)( . 
 
21. Expresse a área de um retângulo em função de um de seus lados sabendo que ele tem 
perímetro igual a 20 cm. 
 
22. Expresse o perímetro de um retângulo em função de um de seus lados sabendo que ele tem 
área igual a 16 cm2. 
 
23. Uma caixa sem tampa deve ser construídade um pedaço retangular de papelão que tem 
dimensões 12 cm por 20 cm. Devem-se cortar quadrados de lados x em cada canto do 
papelão e depois dobrá-los. Expresse o volume da caixa em função de x. 
 
24. Um quadrado está inscrito em um círculo de raio r. Expresse o lado do quadrado em função 
de r. 
25. Determine as coordenadas do ponto da circunferência 2 2 1x y+ = que está mais próximo 
do ponto . (4 , 3)P =
 
26. Ache o ponto do eixo que é eqüidistante de y (5 , 5)− e . (1 ,1)
 
27. Determine todas as retas que passam pelo ponto (2,3)P = e que são tangentes a 
circunferência de equação . 2 2 4x y+ =
 
28. Os pontos , e (2 , 2)A = (6 ,14)B = (10 , 6)C = são vértices de um triângulo retângulo? 
Se sim, qual desses pontos é o vértice de ângulo reto? 
 
29. Usando a expressão: área = metade da base vezes a altura, determine a área do triângulo 
retângulo de vértices , (6 , 7)A = − (11 , 3)B = − e (2 , 2)C = − . 
 
30. Determine a equação da reta em cada situação a seguir. 
a) A reta passa pelos pontos A = (1, 3) e B = (−2, 7); 
b) A reta passa pelo ponto C = (−4, 1) e é paralela à reta de equação 3x − 4y = 1; 
c) A reta passa pelo ponto C = (3, 1) e é perpendicular à reta de equação 2x + 6y = 1. 
 
Respostas: 20) a) b) .63 << x .40 << t 21) ( )llA −= 10 para 0 < l< 10. 
22) ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +=
l
lP 162 para . 23) ∞<< l0 ( )( )xxxV −−= 6104 para 0 < x < 6. 
 24) 2rl = . 25) ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
5
3,
5
4 26) ( )4,0 − 27) 
6
13
12
5
+= xy e . 2=x
28) Sim; C. 29)
2
41 . 30) a) 
3
13
3
4
+−= xy b) 4
4
3
+= xy c) 83 −= xy 
 
 
 6
 
 
 
 
D C
A B
 
 
31. Na figura ao lado, é um paralelogramo, as coordenadas 
do ponto C são ( e os lados e estão contidos, 
respectivamente, nas retas de equações 
ABCD
6 ,10) AB AD
14
2
xy = + e 
. Determine as coordenadas dos pontos , 4 2−y x= A B e . D
 
 
 
 
32. O triângulo isósceles ABC tem como vértices da base os pontos (4 , 0)A = e . 
Determine as coordenadas do vértice sabendo que ele está sobre a reta de equação 
. 
(0 , 6)B =
C
4y x= −
33. O número R de respirações por minuto que uma pessoa executa é uma função do primeiro 
 grau da pressão P do dióxido de carbono ( CO 2 ) contido nos pulmões. Quando a pressão 
 do CO 2 é de 41 unidades, o número de respirações por minuto é de 13,8; quando a pressão 
 aumenta para 50 unidades o número de respirações passa para 19,2 por minuto. 
 a ) Escreva R como função de P. 
 b ) Ache o número de respirações por minuto quando a pressão do CO 2 for de 45 
 unidades. 
34. Simplifique a expressão até encontrar um número inteiro: . 2log 7 724 log (8+ )
2
2ax bx c x x x+ + + − += ⋅35. Suponha que a equação 8 4 seja válida para todo número real 
2 3 5 5 8 x , em 
que , b e são números reais. Determine o valor dessas constantes , b e . a c a c
36. Sabendo que xx 2sen1calcule,
2
−π<<
π . 
37. Resolva as equações: 
(a) 3x + 3− x = 1 (b) 5x – 5− x = 3 . 
 
38. Sem utilizar calculadora, calcule a área do triângulo ABC , sabendo que , 10AB cm=
3BC c= m e . o75ˆ =CBA
Respostas: 31) ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛=
7
114,
7
32A , ( )16,8=B , ( )10,6=C , ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛=
7
22,
7
18D 32) ( 13,17 )
33) a) R = 0,6 P - 10,8 b) 16,2. 34) 70. 35) 
3
5
=a , 
3
5
=b e 6=c . 
36) .cos x− 37) a ) não tem solução real. b ) .
5ln
2
133ln ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ +
=x 
38) ( ) 2cm13
4
215 . +
 
 7
39. Desintegração radioativa: os átomos de uma substância radioativa possuem a tendência 
natural a se desintegrarem, emitindo partículas e transformando-se em outra substância não 
radioativa. Assim sendo, com o passar do tempo, a quantidade de substância original 
diminui aumentando, conseqüentemente, a massa da nova substância transformada. Além 
disso, pode-se demonstrar que se no instante de tempo 0t = a quantidade de matéria 
radioativa é igual a 0M , então no instante de tempo a quantidade dessa matéria será 
igual a 
0t ≥
0( )
ktM t M e−= , sendo uma constante positiva que depende da matéria radioativa 
considerada. Em geral, para o cálculo dessa constante k , é informado o tempo de meia vida 
da substância radioativa: esse é o tempo para que metade da substância radioativa se 
desintegre. 
k
a). Mostre que as constantes e , de uma mesma substância radioativa, estão 
relacionados pela expressão: 
k mt
ln 2
m
k
t
= . 
b) A meia-vida de uma substância radioativa é um ano. Quanto tempo levará para que num 
corpo puro de 10 gramas desse material reste apenas um grama? 
c) Uma amostra de tório reduz-se a 
4
3
 de sua quantidade inicial depois de 33.600 anos. 
Qual é a meia-vida do tório? 
 
40. Lei de resfriamento de Newton: essa lei afirma que em um ambiente com temperatura 
constante, a temperatura de um objeto no instante t varia de acordo com a expressão: 
, sendo 
( )T t
( ) ktT t A Ce−− = A a temperatura do meio, C a diferença de temperatura entre o 
objeto e o meio no instante e uma constante positiva. 0=t k
 
a) Num certo dia, a temperatura ambiente é de 30 graus. A água que fervia numa panela, 5 
minutos depois de apagado o fogo tem a temperatura de 65 graus. Quanto tempo depois de 
apagado o fogo a água atingirá a temperatura de 38 graus? 
 
b) O corpo de uma vítima de assassinato foi descoberto às 23 horas. O médico da polícia 
chegou às 23:30 h e imediatamente tomou a temperatura do cadáver que era de 34,8 graus. 
Uma hora mais tarde ele tomou a temperatura outra vez e encontrou 34,1 graus. A 
temperatura do quarto era mantida constante a 20 graus. Use a lei do resfriamento de 
Newton para estimar a hora em se deu a morte. 
Admita que a temperatura normal de uma pessoa viva é de 36,5 graus. 
 
 
 
 
Respostas: 
39) b) 3,310log
2ln
10ln
2 ≈= anos. c ) 5,956.80
3
4ln
2ln600.33 ≈
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
× anos. 
40) a) .min6,15
2ln
4
35ln5
≈
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
 b) 24,2
1,14
8,14ln
8,14
5,16ln
≈
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
horas antes das 23:30 h, ou seja, 
aproximadamente às 21:15 h. 
 
 
 8
 
 
41. Utilizando um teodolito e uma trena um topógrafo fez as 
medidas de ângulos e distâncias indicadas na figura ao lado. 
Calcule a altura da torre indicada nessa figura. 
 
 
 
 
 
42. Para saber o comprimento de uma ponte que será construída 
sobre um rio, um engenheiro instalou o teodolito no ponto B a 
uma distância de 30 metros do ponto A, situado na margem do 
rio. Depois, mediu os ângulos e , 
conforme a figura. Com base nas medidas feitas pelo engenheiro, 
determine o comprimento AC da ponte. 
o105CÂB = o30AB̂C =
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respostas: 41) 
( ) ( )
( ) ( ) m7,957,12,8723tg35tg
35tg23tg
oo
oo
≈+×
−
. 
42) .m215 
 
- Cálculo 1: Lista de exerćıcios extra 1 -
1. Resolver as inequações:
(a) x(x− 1) > 0 {x ∈ R/x < 0 ou x > 1};
(b) (x− 1)(x + 2) < 0 {x ∈ R/− 2 < x < 1};
(c) x2 − 2 ≥ x {x ∈ R/x ≤ −1 ou x ≥ 2};
(d) x2(x− 1) ≥ 0 {x ∈ R/x = 0 ou x ≥ 1};
(e) x2 + 2x + 4 > 0 R;
(f) x4 < x2 {x ∈ R/− 1 < x < 1 e x 6= 0};
(g) x3 + 1 < x2 + x {x ∈ R/x < −1}.
2. Determine os valores de x para os quais cada uma das expressões seguintes são números
reais:
(a)
√
4− x2 {x ∈ R/− 2 ≤ x ≤ 2};
(b)
√
x2 − 9 {x ∈ R/x ≤ −3 ou x ≥ 3};
(c) 1√
4−3x {x ∈ R/x < 4/3};
(d) 1√
x2−x−12 {x ∈ R/x < −3 ou x > 4}.
3. Determine os valores de x para os quais cada uma das expressões seguintes é positiva:
(a) x
x2+4
R∗+;
(b) x
x2−4 {x ∈ R/− 2 < x < 0 ou x > 2};
(c) x+1
x−3 {x ∈ R/x < −1 ou x > 3};
(d) x
2−1
x2−3x {x ∈ R/x < −1 ou 0 < x < 1 ou x > 3}.
4. Determine os valores de x que satisfazem:
(a) |x| = 5 x = ±5;
(b) |x + 4| = 3 x = −1 ou x = −7;
(c) |x− 2| = 4 x = −2 ou x = 6;
(d) |x + 1| = |x− 2| x = 1/2;
(e) |x + 1| = |2x− 2| x = 3 ou x = 1/3;
(f) |x− 3| ≤ 5 {x ∈ R/− 2 ≤ x ≤ 8}.
(g) |x + 4| ≥ 1 {x ∈ R/x > −3 ou x < −5}.
1
5. Usando valor absoluto, escreva expressõespara os seguintes conjuntos:
(a) o conjunto dos pontos cuja distância a 1 é menor do que ou igual a 4 |x− 1| ≤ 4;
(b) o conjunto dos pontos cuja distância a -5 é menor do que 2 |x + 5| < 2;
(c) o conjunto dos pontos cuja distância a 6 é maior do que 3 |x− 6| > 3.
6. Mostre que os dois conjuntos abaixo são iguais e os escreva na forma de intervalos:
A = {x : x < 4} e B = {x : |x− 2| < |x− 6|}.
B = {x : x2 − 4x + 4 < x2 − 12x + 36} = {x : 8x < 32} = {x : x < 4} = A
A = B = (−∞, 4)
7. Encontre o domı́nio das seguintes funções:
(a) 1
x2+4
R;
(b)
√
(x− 1)(x + 2) {x ∈ R/x ≤ −2 ou x ≥ 1};
(c)
√
3− 2x− x2 {x ∈ R/− 3 ≤ x ≤ 1};
(d)
√
3x−4
x+2
{x ∈ R/x < −2 ou x ≥ 4/3}.
8. Se f(x) = 4x− 3, mostre que f(2x) = 2f(x) + 3.
9. Quais os domı́nios de f(x) = 1
x−8 e g(x) = x
3? Determine o domı́nio de h(x) = f(g(x)).
D(f) = R− {8}, D(g) = R e D(h) = R− {2}
10. Se f(x) = 1− x, mostre que f(f(x)) = x.
11. Se f(x) = ax+b
x−a , mostre que f(f(x)) = x.
12. Se f(x) = ax, mostre que f(x) + f(1 − x) = f(1). Verifique também que f(x1 + x2) =
f(x1) + f(x2), para todos x1, x2 ∈ R.
13. Caracterize as seguintes funções como sobrejetora, injetora, bijetora, ou nenhuma delas:
(a) f : R→ R, f(x) = 3x + 5 bijetora;
(b) g : R→ R, g(x) = x2 − 9 nenhuma delas;
(c) h : A → A, h(x) = x2 + 4, A = {x ∈ R/x ≥ 4} injetora;
(d) ϕ : {x ∈ R/x ≥ 0} → R, ϕ(x) = 5
3
x2 injetora.
14. Determine se as seguintes funções são pares, ı́mpares ou nenhuma delas:
(a) f(x) = 2x5 + 3x2 nenhuma delas;
(b) g(x) = 3− x2 + 2x4 par;
(c) h(x) = 1− x nenhuma delas;
(d) ϕ(x) = x + x3 ı́mpar.
2
15. Suponha f(x) uma função ı́mpar e g(x) uma função par.
(a) Podemos falar algo sobre a paridade de Q(x) = f(x)
g(x)
e P (x) = f(x)g(x)?
(b) Sabendo que sen(x) é função ı́mpar e cos(x) é par, o que podemos falar sobre tg(x)?
Resposta: Todas Ímpares.
16. Resolva as seguintes equações:
Respostas
(a) 2x = 16 {4}
(b) 4x =
(
1
2
)x2−x {−1, 0}
(c) (3x)x+3 = 9x+6 {3,−4}
(d) 2.5x + 3.5x+1 = 17 {0}
(e) 2.6x + 3.6x−1 − 4.6x−1 = 11 {1}
(f) 9|x| − 4.3|x| + 3 = 0 {−1, 0, 1}
17. Resolva as inequações:
Respostas
(a) 73x−2 < 49 S = {x ∈ R|x < 4
3
}
(b) 8
x
3
+ 2
3 ≤ 32x−2 S = {x ∈ R|x ≥ 3}
(c)
(
5
3
)x2+10 ≥ (5
3
)7x
S = {x ∈ R|x ≤ 2 ou x ≥ 5}
(d)
3
√
2x+1 < 16 S = {x ∈ R|x < 11}
18. Dadas as funções f(x) =
(
1
3
)x2+7
e g(x) =
(
1
3
)5x+1
, determine x real de modo que se
tenha:
Respostas
(a) f(x) = g(x) x = 2 ou x = 3
(b) f(x) > g(x) 2 < x < 3
19. Resolva o seguinte sistema
{
8x.4y = 1
4
4x.2−y = 2.
Resposta: x = 0, y = −1
20. Dado o sistema
{
5x−y = 1
125
3x+y = 243.
, calcule o valor de (xy)3. Resposta: 64
21. Resolva a equação ((1024x)x)x = 21,25 Resposta: {1
2
}
22. Seja f(x) = 3x− 9x
4
uma função de variável real. Determine o conjunto que contém todos
os valores reais de x para os quais f(x) = f(x− 1). Resposta: S = {1}
23. Resolva o seguinte sistema
{
2x + 3y = 11
2x − 3y = 5. Resposta: x = 3, y = 1
24. Uma população de bactérias no instante t é dada pela função f(t) = C.4kt, em que t é
dado em minutos. Experimentalmente, verifica-se que e a população depois de 1 minuto
era de 64 bactérias e depois de 3 minutos, de 256. Determine a população inicial (isto é,
quando t = 0). Resposta: 32
3
25. Utilize deslocamento para fazer um esboço do gráfico das seguintes funções e determine
o domı́nio das mesmas:
a) f(x) = ex−2 + 1 b) f(x) = ln(x− 1) c) f(x) = ex+1 − 2 d) f(x) = ln(x+2)− 3
e) f(x) = |lnx− 1| f) f(x) = |lnx| − 1 g) f(x) = |ln(x+2)− 3|
26. Determine o domı́nio das funções
a) f(x) = log4
(
x− 1
2
)
b) y = log6−x(x
2 − 7x + 12) R: a) (1
2
, +∞) b) (3, 4)
27. Resolva as seguintes inequações:
a) log3
(
x
3
− 1
2
) ≥ −2 b) log4(x + 3) + log4(x− 9) > 3 c) log5 x > log25(2x + 35)
R: a) [11
6
, +∞) b) (13, +∞) c) (7, +∞)
28. Determine os valores (x, y) que são soluções do sistema
{
3x+y = 81
log3 x + log3 y = 1.
R: (1, 3) ou (3, 1)
29. Determine o intervalo em que a função f(x) =
√
log2
(
log 1
2
x
)
está definida. R: (0, 1/2)
30. Resolva log10 x + 2. logx 10 = 3 R: {10, 100}
31. Sejam a e b números reais positivos, tais que 1
2
log2 a− 2 log2 b = 2. Determine o valor da
razão
√
a
b2
R: 1
32. Determine o conjunto das soluções da equação log2(x
2 − 1) = logx2−1 2
R: {x ∈ R/x = ±√3 ou x = ±3/2}
33. É dada a função f definida por f(x) = log2 x− log4(x− 3)
(a) Determine os valores de x para os quais f(x) ≤ 2 R: ∅
(b) Determine os valores de x para os quais f(x) > 2 R: (3, +∞)
34. Resolva a equação log3 x = 1 + logx 9. R: {1/3, 9}
35. Se log2(2−
√
2) = a, qual será o valor de log2(2 +
√
2).
(DICA: analise o produto (2−√2)(2 +√2)) R: 1− a
36. Resolva a equação 10loga(x
2−3x+2) = 6loga 10, em que a = 10. R: {−1, 4}
37. Converta para radianos:
a) 900 b) 3000 c) 1350 d) 2400 e) 2600 R: a) π/2 b) 5π/3 c) 3π/4 d) 4π/3 e) 13π/9
38. Faça um esboço do gráfico das seguintes funções:
a) f(x) = sen(−x) b) f(x) = cos(−x) c) f(x) = cos(x + π) d) f(x) = tg(x− π
2
)
39. Determine para quais valores reais de p existe x tal que:
a) senx = 7p+3
5
b) senx = p
2−10p+12
12
c) senx = 1
1−p d) senx = |p− 1| e) senx = 8−5pp−3
R: a) [−8/7, 2/7] b) [0, 4] ∪ [6, 10] c) (−∞, 0] ∪ [2, +∞) d) [0, 2] e) [5/4, 11/6]
4
40. Determine
a) cos (π
2
− x), sendo que senx = 2
3
b) sen(π
2
− x), sendo que cos x = 1
5
R: a) 2/3 b) 1/5
41. Determine o domı́nio de f(x) = tg(− x
3
). R: {x ∈ R/x 6= 3
2
(2n + 1)π, n = 0, 1, 2, · · ·}
42. Na função f(x) = tg(mx), determine o valor de m tal que o peŕıodo da função seja π.
R: m = 1
43. Determine o que se pede em cada caso:
(a) cotgx, sendo senx = −
√
3
2
e cos = 1
2
; R: −1/√3
(b) tgx, sendo cotgx = 3; R: 1/3
(c) secx, sendo cosx = 2
3
; R: 3/2
(d) cosx, sendo secx = −5; R: −1/5
(e) secx, sendo cosx = −
√
5
3
; R: −3/√5
(f) cosx, sendo secx =
√
7; R: 1/
√
7
(g) cossecx, sendo senx = −
√
7
8
; R: −8/√7
(h) senx, sendo cossecx = −10. R: −1/10
44. Determine o valor de m, e qual o quadrante do arco x, de modo que se tenha:
a) senx = m+1
3
e cos x = m
√
5
3
R: m = 1, I
b) cos x =
√
7m
2
e senx = −3m
2
R: m = ±1/2, II ou IV
45. Verifique as seguintes identidades:
(a)secx + cotgx = (cscx)(cos x + tgx) (b)sec2x + csc2x = sec2x.csc2x
(c)sen2(x) = 1−cos(2x)
2
(d) cos2(x) = 1+cos(2x)
2
46. Determine o peŕıodo das seguintes funções e esboce seus gráficos:
a) f(x) = sen(7x) b) f(x) = cos(x
4
) c) f(x) = tg(πx)
R: a) T = 2π/7 b) T = 8π c) T = 1
47. Verifique as seguintes igualdades:
(a)senx = sen(π − x) (b) cos x = − cos(π − x) (c)tgx = −tg(π − x)
(d)cotgx = −cotg(π − x) (e)secx = −sec(π − x) (f)cossecx = cossec(π − x)
48. Verifique a paridade das seguintes funções:
a) f(x) = xn em que n ∈ N b) f(x) = tgx c) secx
R: a) par, se n par e ı́mpar se n ı́mpar b) ı́mpar c) par
49. Mostre que tg(2a) = 2tga
1−tg2a , com a 6= π4 + kπ.
50. Resolva a equação sen2x− 7senx = −6. R: x = π
2
± 2nπ, n = 0, 1, 2, · · ·
5
- Cálculo 1 - Limites -
1. Calcule, se existirem, os seguintes limites:
(a) lim
x→1
(x3 − 3); (h) lim
x→ 32
√
8t3 − 27
4t2 − 9
;
(b) lim
x→2
√
x4 − 8; (i) lim
x→3
2x3 − 5x2 − 2x− 3
4x3 − 13x2 + 4x− 3
;
(c) lim
x→2
√
x3 + 2x+ 3
x2 + 5
; (j) lim
y→−3
√
y2 − 9
2y2 + 7y + 3
;
(d) lim
x→−3
x2 − 9
x+ 3
; (k) lim
h→5
h√
5 + h−
√
5
;
(e) lim
x→ 13
3x2 − x
3x− 1
; (l) lim
h→0
√
3 + 3h−
√
3
h
;
(f) lim
x→3
x3 − 27
x− 3
; (m) lim
x→2
x4 − 16
x− 2
;
(g) lim
x→0
√
x+ 3−
√
3
x
; (n) lim
x→1
x− 1
x2 − 1
.
2. Faça o esboço do gráfico de f(x) =
 |x| se x < 46 se x = 4−4x+ 20 se x > 4 e observe no gráfico o valor de limx→4 f(x). Há alguma diferença
entre lim
x→4
f(x) e f(4)?
3. Seja f a função definida por f(x) =
{
2x− 1 se x ̸= 2
1 se x = 2
(a) Encontre lim
x→2
f(x) e verifique que lim
x→2
f(x) ̸= f(2).
(b) Faça um esboço do gráfico de f .
4. Seja f a função definida por f(x) =
{
x2 − 9 se x ̸= −3
4 se x = −3
(a) Encontre lim
x→−3
f(x) e verifique que lim
x→−3
f(x) ̸= f(3)
(b) Faça um esboço do gráficode f .
5. Determine o valor de lim
h→0
f(x+ h)− f(x)
h
quando
a) f(x) = x b) f(x) = x2 c) f(x) = x3.
6. Nos ı́tens a seguir, calcule os limites laterais pedidos e verifique se o limite (bilateral) existe. Caso exista dê seu valor.
(a) f(x) = |x|x , lim
x→0+
f(x), lim
x→0−
f(x), lim
x→0
f(x).
(b) f(x) =
 2 se x < 1−1 se x = 1−3 se x > 1 ; limx→1+ f(x), limx→1− f(x), limx→1 f(x)
(c) f(r) =
 2r + 3 se r < 12 se r = 1
7− 2r se r > 1
; lim
r→1+
f(r), lim
r→1−
f(r), lim
r→1
f(r)
(d) g(x) =
 2 + x
2 se x < −2
0 se x = −2
11− x2 se x > −2
; lim
x→−2+
f(x), lim
x→−2−
f(x), lim
x→−2
f(x)
7. Dada f(x) = |x|+xx . Existe limx→0
f(x)?
8. Dada f(x) = |x
2+x|
x . Verifique se existem os limites abaixo e, caso existam, determine seus valores:
a) lim
x→−1
f(x) b) lim
x→0
f(x).
- Gabarito -
1. Calcule, se existirem, os seguintes limites:
(a) lim
x→1
(x3 − 3) = −2; (h) lim
x→ 32
√
8t3 − 27
4t2 − 9
=
√
9
2
;
(b) lim
x→2
√
x4 − 8 = 2
√
2; (i) lim
x→3
2x3 − 5x2 − 2x− 3
4x3 − 13x2 + 4x− 3
=
11
17
;
(c) lim
x→2
√
x3 + 2x+ 3
x2 + 5
=
√
5
3
; (j) lim
y→−3
√
y2 − 9
2y2 + 7y + 3
=
√
6
5
;
(d) lim
x→−3
x2 − 9
x+ 3
= −6; (k) lim
h→5
h√
5 + h−
√
5
=
√
10 +
√
5;
(e) lim
x→ 13
3x2 − x
3x− 1
=
1
3
; (l) lim
h→0
√
3 + 3h−
√
3
h
=
√
3
2
;
(f) lim
x→3
x3 − 27
x− 3
= 27; (m) lim
x→2
x4 − 16
x− 2
= 32;
(g) lim
x→0
√
x+ 3−
√
3
x
=
√
3
6
; (n) lim
x→1
x− 1
x2 − 1
=
1
2
.
2. f(x) =
 |x| se x < 46 se x = 4−4x+ 20 se x > 4 limx→4 f(x) = 4 ̸= f(4) = 6
3. f(x) =
{
2x− 1 se x ̸= 2
1 se x = 2
lim
x→2
f(x) = 3 ̸= f(2) = 1.
4. f(x) =
{
x2 − 9 se x ̸= −3
4 se x = −3 limx→−3 f(x) = 0 ̸= f(−3) = 4.
(a) Figura ex.2 (b) Figura ex.3 (c) Figura ex.4
5. a) 1 b) 2x c) 3x2.
6. (a) lim
x→0+
f(x) = 1, lim
x→0−
f(x) = −1, @ lim
x→0
f(x).
(b) lim
x→1+
f(x) = −3, lim
x→1−
f(x) = 2, @ lim
x→1
f(x)
(c) lim
r→1+
f(r) = lim
r→1−
f(r) = 5, lim
r→1
f(r) = 5
(d) lim
x→−2+
f(x) = 5, lim
x→−2−
f(x) = 6, @ lim
x→−2
f(x)
7. @ lim
x→0
f(x), pois lim
x→0+
f(x) = 2 e lim
x→0−
f(x) = 0.
8. a) lim
x→−1
f(x) = 0 b) lim
x→0+
f(x) = 1, lim
x→0−
f(x) = −1, @ lim
x→0
f(x).
- Cálculo 1 - Limites - Lista 2
1. Determine, caso existam, os seguintes limites:
a) lim
x→0+
(3−
√
x) b) lim
x→2+
√
x2 − 4 c) lim
x→−5
x− 5
|x− 5|
d) lim
x→5
x− 5
|x− 5|
e) lim
x→2−
1√
2− x
f) lim
x→−2
1√
2− x
g) lim
x→−2
2− x√
x− 2
h) lim
x→3
√
x−
√
3
x− 3
i) lim
x→9
√
x− 3√
x2 − 9x
j) lim
x→5
1
y −
1
5
y − 5
k) lim
x→0+
(
1
x
− 1
x2
)
l) lim
x→+∞
(x3 − x2 − x+ 1)
m) lim
x→−∞
(x3 − x2 − x+ 1) n) lim
x→−∞
(−2x6 − x3 − 12x2 + 1) o) lim
x→+∞
2x2 + x+ 1
x3 + 2x2 − 25
p) lim
x→+∞
x7 + 2x+ 1
5x3 − 2x2 − 900
q) lim
x→+∞
1
1− x
r) lim
x→+∞
2x2 + x− 21
x3 − 2x2 + 9
s) lim
x→−∞
√
x2 + 4
x+ 4
t) lim
x→−∞
(
√
x2 + 1− x)
u) lim
x→+∞
(
√
x2 + x− x) v) lim
x→+∞
x4 − 24
2− x
w) lim
x→2+
(
1
x− 2
− 3
x2 − 4
)
x) lim
x→0+
√
3 + x2
x
y) lim
x→0
|x|
x2
z) lim
x→+∞
√
x2 + 4
x+ 4
α) lim
x→−∞
√
x2 + 9
x+ 6
β) lim
x→−∞
(
√
x2 + x− x4)
γ) lim
x→5
x+ 2
x− 4
δ) lim
x→2
2x2 − 5x+ 2
5x2 − 7x− 6
ϵ) lim
t→0
√
a2 + bt− a
t
ε) lim
x→2
z − 4
z2 − 2z − 8
ζ) lim
x→0
2
|x|
η) lim
x→−∞
√
2x2 − 7
x+ 3
θ) lim
x→5
1
x −
1
5
x− 5
ϑ) lim
x→−∞
5x2 + 8x− 3
7x3 − 4x− 17
2. Sejam f(x) =
{
x2 + 3 se x ≤ 1
x+ 1 se x > 1.
e g(x) =
{
x2 se x ≤ 1
2 se x > 1.
(a) Existe lim
x→1
f(x)?
(b) Encontre uma expressão para f(x).g(x) e mostre que existe lim
x→1
(
f(x).g(x)
)
3. Considere a função definida por: f(x) =
 2x+ 2 , x < 0x2 , 0 ≤ x < 2
1 , x ≥ 2
a) Faça o gráfico da função f .
b) Determine: lim
x→0−
f(x) lim
x→0+
f(x) lim
x→0
f(x) lim
x→2−
f(x) lim
x→2−
f(x) lim
x→2
f(x)
4. Calcule lim
h→0
f(x+ h)− f(x)
h
, quando: a) f(x) = senx b) f(x) = cosx c) f(x) = 1x .
5. Sabendo-se que lim
x→0
senx
x
= 1 e que cosx = 1− sen2(x2 ), calcule: a) limx→0
sen(2x)
5x
b) lim
x→0
1− cosx
x
.
6. Sabendo-se que as desigualdades 1 − x
2
6
<
xsen(x)
2− 2cos(x)
< 1 valem para todos os valores de x próximos de zero, calcule
lim
x→0
xsen(x)
2− 2cos(x)
.
7. Mostre que se |f(x)| ≤M e lim
x→a
g(x) = 0 então lim
x→a
(
f(x).g(x)
)
= 0
8. Use o item anterior para mostrar que lim
x→+∞
senx
x
= 0.
9. Encontre as asśıntotas verticais e/ou horizontais das seguintes funções:
(a) f(x) = xx2−9 ; (b) g(x) =
1
x−1 ; (c) h(x) =
x+3
x+2 ;
(d) ψ(x) = x
4+1
x2 ; (e) ϕ(x) =
x2−x+1
x−1 ; (f) φ(x) = x
3 + 3x .
10. Observando o gráfico das funções exponenciais conclua que
lim
x→+∞
ax =
{
+∞, se a > 1
0, se 0 < a < 1
e lim
x→−∞
ax =
{
0, se a > 1
+∞, se 0 < a < 1
11. Calcule os seguintes limites:
(a) lim
x→+∞
(
3
2
)x
(b) lim
x→+∞
(
1
2
)x
(c) lim
x→+∞
(2x − 2−x) (d) lim
x→−∞
(2x − 2−x) (e) lim
x→+∞
(2x − 3x).
12. Seja f(x) =
 −x− 1 se x ≤ −1x2 − 1 se − 1 < x ≤ 1
2 se x > 1
f é cont́ınua em x = 1? Em x = −1? Em x = 2? Em x = −3?
13. Seja f(x) =
{
2x+ 3 se x ≤ 4
7 + 16x se x > 4
f é cont́ınua em x = 4?
14. Seja f(x) =
{
3
x−1 se x ̸= 1
3 se x = 1
f é cont́ınua em x = 1?
15. Encontre os pontos x, caso existam, nos quais f é descont́ınua e dê as razões para esta posśıvel descontinuidade:
(a) f(x) = 3
√
x− 8;
(b) f(x) = x+2x2−4 ;
(c) f(x) = 1x +
x−1
x2−1
(d) f(x) = x
2+9
|x|+3
16. Verifique se as funções a seguir são cont́ınuas nos pontos indicados. Caso não sejam, determine as razões da descontinuidade.
(a) f(x) = |x+ 1| − 3 em x = −1;
(b) f(x) = xx2−1 em x = −2 e em x = 1;
(c) f(x) =
{
−x− 2 se x ̸= 3
−5 se x = 3 em x = 3.
17. Encontre um valor para a constante k, se posśıvel, para que a função seja cont́ınua para todo x ∈ R.
(a) f(x) =
{
7x− 2 se x ≤ 1
kx2 se x > 1
(b) f(x) =
{
kx2 se x ≤ 2
2x+ k se x > 2
18. Encontre os valores das constantes k e m, se posśıvel, que para que seja cont́ınua para todo x ∈ R a função
f(x) =
 x
2 + 5, se x > 2,
m(x+ 1) + k, se − 1 < x ≤ 2,
2x3 + x+ 7, se x ≤ −1.
19. Dê exemplo de duas funções f e g descont́ınuas em um certo ponto x = c tal que f + g seja cont́ınua neste ponto.
20. É verdade que uma função cont́ınua que nunca é zero em um intervalo nunca muda de sinal nesse intervalo? Justifique sua
resposta.
21. Utilize o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que a equação x3 + x2 − 2x+ 1 = 0 possui pelo menos uma solução
no intervalo [−1, 1].
22. Mostre que, se p(x) é um polinômio de grau ı́mpar, então e equação p(x) = 0 possui pelo menos uma solução real.
23. (Contração de Lorentz) De acordo com a teoria da relatividade, o comprimento de um objeto, por exemplo, de um foguete,
parece a um observador depender da velocidade com que o objeto se desloca em relação a esse observador. Se ele medir o
comprimento L0 do foguete em repouso e em seguida com a velocidade v, o comprimento parecerá ser L = L0
√
1− v2c2 , sendo
c a velocidade da luz no vácuo. O que acontece com L à medida que v aumenta? Calcule lim
v→c−
L. Por que é necessário tomar
o limite lateral à esquerda?
- Cálculo 1 - Limites - Gabarito Lista 2
1. a) 3 b) 0 c)-1 d)@ e) +∞ f) 12 g) @ h)
√
3
6 i) 0 j)−
1
25 k) −∞ l) +∞ m) −∞ n) −∞
o) 0+ p)+∞ q) 0− r) 0+ s)-1 t) +∞ u) 12 v) −∞ w) +∞ x) +∞ y) +∞ z) 1
α)− 1 β) −∞ γ) 7 δ) 313 ϵ)
b
|a|+a ε)
1
4 ζ) 7 η) −
√
2 θ) − 125 ϑ) 0
−
2. (a) Não, pois lim
x→1−
f(x) = 4 e lim
x→1+
f(x) = 2.
(b) f(x)g(x) =
{
x4 + 3x2 se x ≤ 1
2x+ 2 se x > 1.
lim
x→1
(
f(x).g(x)
)
= 4
3. a)
b) lim
x→0−
f(x) = 2 lim
x→0+
f(x) = 0 @ lim
x→0
f(x) lim
x→2−
f(x) = 4 lim
x→2+
f(x) = 1 @ lim
x→2
f(x).
4. a) cosx b) −senx c) f(x) = − 1x2 .
5. a) 2/5 b) 0.
6. lim
x→0
xsen(x)
2− 2cos(x)
= 1.
7. −Mg(x) ≤ f(x).g(x) ≤ Mg(x) ⇒ lim
x→0
−Mg(x) ≤ lim
x→0
f(x).g(x) ≤ lim
x→0
Mg(x) ⇒ −M lim
x→0
g(x) ≤ lim
x→0
f(x).g(x) ≤
M lim
x→0
g(x) ⇒ 0 ≤ lim
x→0
f(x).g(x) ≤ 0 ⇒ lim
x→0
f(x).g(x) = 0.
8. |senx| ≤ 1 e lim
x→+∞
1
x
= 0 ⇒ lim
x→+∞
senx
x
= 0 .
9. (a) Asśıntotas verticais: x = 3 e x = −3, Asśıntota horizontal: y = 0;
(b) Asśıntota vertical: x = 1, Asśıntota horizontal:y = 0;
(c) Asśıntota vertical: x = −2, Asśıntota horizontal: y = 1;
(d) Asśıntota vertical: x = 0;
(e) Asśıntota vertical: x = 1;
(f) Asśıntota vertical: x = 0.
10.
lim
x→+∞
ax =
{
+∞, se a > 1
0, se 0 < a < 1
e lim
x→−∞
ax =
{
0, se a > 1
+∞, se 0 < a < 1
11. (a) +∞ (b) 0 (c) +∞ (d) −∞ (e) −∞
12. f não é cont́ınua em x = 1, pois lim
x→1+
f(x) = 2 e lim
x→1−
f(x) = 0, logo @ lim
x→1
f(x). Em x = −1, x = 2 e x = −3 ela é cont́ınua,
já que lim
x→−1
f(x) = f(−1) = 0, lim
x→2
f(2) = 2, lim
x→−3
f(x) = f(−3) = 2.
13. Sim, pois lim
x→4
f(x) = f(4) = 11.
14. Não, pois @ lim
x→1
f(x).
15. (a) Cont́ınua em R; (b) Descont́ınua em x = ±2, pois @f(2) e f(−2); (c) Descont́ınua em x = 0 e x = ±1, pois @f(0),
f(−1) e f(1); (d) Cont́ınua em R.
16. (a) Cont́ınua em x = −1; (b) Cont́ınua em x = −2 e descont́ınua em x = 1 pois @f(1); (c) Cont́ınua em x = 3.
17. (a) 5 (b) 4/3
18. k = 4 e m = 5/3.
19. f(x) =
{
0 se x < 0
1 se x ≥ 0. e g(x) =
{
1 se x ≤ 0
0 se x > 0.
20. Sim, pois, pelo teorema do valor intermediário, se ela mudasse de sinal então o zero deveria ser também imagem da função.
21. f(x) = x3 −x2 − 2x+1 = 0 ⇒ f(1) = −1 e f(−1) = 1, logo, pelo Teorema do Valor Intermediário, existe x0 ∈ [−1, 1] tal que
f(x0) = 0.
22. Se p(x) é um polinômio de grau ı́mpar, então vai sempre existir um x0 ∈ R para o qual p(x0) e p(−x0) têm sinais opostos.
Logo, pelo Teorema do Valor Intermediário, existe c ∈ [−x0, x0] tal que p(c) = 0.
23. À medida que v aumenta L diminui. lim
v→c−
L = 0. O limite lateral à esquerda é necessário já que a função não está definida
para v > c.
- Cálculo 1: Lista de exerćıcios - Taxas Relacionadas
1. Um tanque tem a forma de um cone invertido, tendo uma altura de 16 m e uma base com raio de 4 m. A água está
fluindo dentro do tanque a uma vazão de 2 m3/min. Quão rápido se elevará o ńıvel de água quando a água estiver
com 5 m de profundidade?
R: 32/(25π)m/min
2. Um tanque de água tem a forma de um cone circular invertido com base de raio 2 m e altura igual a 4 m. Se água está
sendo bombeada dentro do tanque a uma taxa de 2 m3/min, encontre a taxa na qual o ńıvel de água está elevando
quando a água está a 3 m de profundidade.
R: 8/(9π)m/min
3. Uma escada de 3 m de comprimento está apoiada em uma parede. Se a base da escada desliza, afastando-se da parede
a uma taxa de 1 m/s, quão rápido o topo da escada escorrega para baixo quando a base está a 1 m da parede?
R: −√2/4m/s
4. Um homem anda a 1 m/s e um holofote o acompanha a 10 m do caminho. A que taxa o holofote está girando quando
o homem está a 15 m do ponto mais próximo da luz?
R: 2/65rad/s
5. A Lei de Boyle estabelece que quando uma amostra de gás está a uma temperatura constante, a pressão P e o volume
V satisfazem a equação PV = C, em que C é uma constante. Suponha que em um certo instante o volume é 600 m3, a
pressão é 150 kPa e a pressão cresce a uma taxa de 20 kPa/min. A que taxa está decrescendo o volume nesse instante?
R: −80m3/min
6. Quando o ar expande adiabaticamente (sem troca de energia térmica), sua pressão P e o volume V estão relacionados
pela equação PV 1,4 = C, em que C é uma constante. Suponha que em um certo instante o volume é 400 cm3, a pressão
é 80 kPa e a pressão cresce a uma taxa de 10 kPa/min. A que taxa está decrescendo o volume nesse instante?
R: −35, 7cm3/min
7. Uma queimadura na pele de uma pessoa tem a forma de um ćırculo. Se o raio da queimadura está decrescendo a uma
taxa de 0,05 cm por dia quando ele é 1 cm, qual a taxa de decréscimo da área da queimadura nesse instante?
R: −π/10cm2/dia
8. Suponha que numa farmácia P seja o preço da caixa de um determinado remédio, x o número de milhares de caixas
desse remédio ofertadas diariamente, sendo a equação de oferta Px − 20P − 3x + 105 = 0. Se a oferta diária está
decrescendo a uma taxa de 250 caixas do remédio por dia, em que taxa os preços estão variando quando a oferta diária
é de 5000 caixas?
R: −0, 05reais/dia
9. O carro A está indo para o oeste a 50 Km/h e o carro B está indo para norte a 60 Km/h. Ambos estão dirigindo para
a interseção de duas ruas. A que taxa os carros estão se aproximando um do outro quando o carro A está a 0,3 Km e
o carro B está a 0,4 Km da interseção?
R: Os carros se aproximam um do outro a uma taxa de 78Km/h.
10. Um quadrado se expande de modo que seu lado varia à razão de 6 cm/s. Determine a taxa de variação da área do
quadrado no instante em o lado meça 10 cm.
R: 120cm2/s
11. O raio de uma bola cresce à razão 3 cm/s. Determine a taxa de variação do volume da bola no instante em que o raio
é 8 cm.
R: 768πcm3/s
12. Uma escada de 5 m de comprimento se apóia em uma parede vertical. A extremidade inferior da escada se afasta da
parede a uma razão de 0,8 m/s. Quão rapidamente está descendo a extremidade superior da escada no instante em
que a extremidade inferior estiver a 3 m da parede?
R: -0,6 m/s
13. Um homem anda ao longo de uma estrada reta a uma velocidade de 2 m/s. Um farol giratório que está a 6 m da
estrada focaliza o homem. A que taxa o farol está girando, quando o homem estiver a 4 m do ponto do caminho mais
próximo do farol?
R: 3/13 rad/s
14. Dois carros partem de um mesmo ponto. Um viaja para o sul a 60 km/h, e o outro para oeste a 25 km/h. A que taxa
está aumentando a distância entre os carros duas horas depois da partida?
R: 65m/s
15. O volume de um cubo está aumentando à taxa de 2 cm3 por segundo. Com que taxa estará variando a área de uma
de suas faces quando sua aresta tiver 20 cm?
R: 15cm2/s
1
As listas de exercícios podem ser encontradas nos seguintes endereços: 
www.mat.ufmg.br/calculoI ou na pasta J18, no xerox (sala1036) 
 
 
TERCEIRA LISTA DE EXERCÍCIOS 
 
 
1. Derive: 
 a) y = 3x6 + 9x – 3 b) y = 9
5
−
x c) 
x
xy 9107 6 −= 
 d) 
xx
xxy
4
7 2 5+= 
 
2. Calcule ( )
h
h
h
66
0
99lim −+
→
. 
 
3. Calcule o 
h
h
h
cos1lim
0
−
→
. 
4. Calcule 
3
3lim
20002000
3 −
−
→ x
x
x
. Como esse limite se relaciona com uma derivada? 
 
5. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de xxy −= 3
5
 , no ponto de abscissa 
 
 x = 64. 
 
6. Determine a equação da reta r tangente ao gráfico de y = x2 + 3x + 1 e que é paralela à reta 
de equação y = 4x + 7. 
7. Determine as tangentes horizontais ao gráfico de 56
2
5
3
23
++−= xxxy . 
8. Mostre que a reta de equação y = −x é tangente à curva de equação y = x3 − 6x2 + 8x. 
Encontre o ponto de tangência. 
 
 
Respostas: 
 1) a) .918 5 += x
dx
dy b) .
9
5
9
14
x
dx
dy
−= c) .
2
9
7
60
37 xxdx
dy
+= 
 d) .
2
45
7
9
11
7 2
x
x
dx
dy
−= 2) . 3) 0. 596×
4) Esse limite é igual a 19993
2000
32000×==xdx
dx . 5) 
3
2060
48
1277
−= xy . 
6) .
4
34 += xy 7) 
3
29
=y em 2=x e 
2
19
=y em 3=x . 8) . ( )3,3 −
 
 
http://www.mat.ufmg.br/calculoI
9. Considere a função dada por . 
a) Encontre uma relação entre a, b e c para que f seja contínua em x = 1. 
b) Determine os valores de a, b e c para que f seja derivável em x = 1. 
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
>++
=
<−
=
1
12
13
)(
2 xsecbxx
xse
xseax
xf
10. Derive: 
 a) y = e–2x+5 b) y = 
xcos
1
. 
 c) . Qual é o domínio dessa função? Qual é o domínio da derivada y’? ))(ln(sen xy −=
 d) e) 74 )935( −+−= xxy )721(e 323
4
++−= + x
x
xy x 
 f) g) h) y = ln(−x) 
 i) j) k ) y = ln(cosx) 
9542 )324()13( +++−= xxxxy xxey −=
( )( xy senlntge= ) xy lne=
11. Mostre que h(t) = | t − 3| não é derivável em t = 3. 
12. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de )
2
3cos()
2
(sen xxy π+π= no ponto de 
abscissa x = 1. 
13. Seja 3
2 )(2)(
x
xhxxf += . Se h é derivável, h(1) = −2 e h’(1) = 10, calcule f’(1). 
14. Suponha que h(x) seja uma função derivável e que f(x) = h(x5). Determine f’(x).15. Em cada caso, verifique se a derivada existe. Em caso afirmativo escreva a expressão de 
f’(x). 
a) 
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
≠⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
00
01sen
)(
xse
xse
x
x
xf b) 
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
≠⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
00
01sen
)(
2
xse
xse
x
x
xf 
 Respostas: 9) a ) .1;1 =+= cba b ) .4;3;1 =−== cba 
10) a) .e2 52 +−−= x
dx
dy b ) xx
x
x
dx
dy tgsec
cos
sen
2 == . c) 
( )( )
x
x
dx
dy −
=
lncos , para x<0. 
d) ( ) ( .3209357 364 +−−+−= xxx
dx
dy ) 
 e) .128424912e 2
342623 4 ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ++++−= +
x
xxxx
dx
dy x 
 f) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) .13324220932413324 428549532 +−+++++++−−= xxxxxxxxxx
dx
dy 
 g) ( ) .e1 xx
dx
dy −−= h) .1
xdx
dy
= i ) ( ) ( )( ) ( )( )xxxg
dx
dy senlntg2 esenlnseccot= 
 j) .1=
dx
dy k) .tg x
dx
dy
−= 12) 
2
23
2
3 −π
−
π
= xy . 13) 6. 14) f’(x) = 5x4h’(x5). 
15) a ) ( ) ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛=′
xxx
xf 1cos11sen se 0≠x . A derivada não existe em . 0=x
 b ) ( ) 01cos1sen2 ≠⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛=′ xse
xx
xxf e ( ) 00 =′f . 
16. Um avião, à velocidade constante de 500 km/h, voa horizontalmente a uma altitude de 
2.000 metros e passa diretamente sobre uma estação de radar. Encontre a taxa segundo a 
qual a distância do avião até a estação está crescendo quando ele está a 4.000 metros da 
estação. 
17. Uma luz situa-se no topo de um poste de 15 m. Um homem com 1,80 m de altura afasta-se 
desse poste com uma velocidade de 3 m/s. Quando o homem estiver a 40 m do poste, 
determine: 
a) a taxa de variação do comprimento de sua sombra. 
b) a velocidade do topo de sua sombra. 
18. Dois carros partem de um mesmo ponto. Um viaja para o sul a 60 km/h, e o outro para 
oeste a 25 km/h. A que taxa está aumentando a distância entre os carros duas horas depois 
da partida? 
19. A altura de um triângulo cresce a uma taxa de 1 cm/min, enquanto sua área cresce a uma 
taxa de 2 cm2/min. A que taxa estará variando a base desse triângulo quando sua altura for 
10 cm e sua área 100 cm2 ? 
20. Ao meio-dia, um navio A está 100 km a oeste do navio B. O navio A está navegando para o 
sul a 35 km/h, e o navio B está indo para o norte a 25 km/h. Quão rápido estará variando a 
distância entre eles às 4 horas da tarde? 
21. O volume de um cubo está aumentando à taxa de 2 cm3 por segundo. Com que taxa estará 
variando a área de uma de suas faces quando sua aresta tiver 20 cm? 
22. Uma partícula está se movendo ao longo do gráfico da função ( )f x = x . Quando a 
partícula passa pelo ponto (4 , 2), sua coordenada está crescendo a taxa de 3 cm/s. Quão 
rápido está variando a distância dessa partícula à origem, nesse instante? 
x
23. Um papagaio (pipa) a 100 metros acima do solo move-se horizontalmente a uma velocidade 
de 3 metros por segundo. A que taxa estará decrescendo o ângulo entre a linha e a 
horizontal depois de terem sido soltos 200 metros de linha? 
24. Dois lados de um triângulo medem 4 m e 5 m, e o ângulo entre eles está crescendo a uma 
taxa de 0,06 radianos por segundo. 
a) Encontre a taxa segundo a qual estará variando o comprimento do terceiro lado desse 
triângulo quando o ângulo entre os lados de comprimento fixo for / 3π . 
b) Encontre a taxa segundo a qual a área desse triângulo estará crescendo quando o ângulo 
entre os lados de comprimento fixo for / 3π . 
25. Um farol está localizado em uma ilha, e a distância entre ele e o ponto mais próximo P em 
uma praia reta no continente é de 3 km. Sua luz faz quatro revoluções por minuto. Quão 
rápido estará se movendo o feixe de luz ao longo da praia quando ele estiver a 1 km do 
ponto P? 
 
 
 Respostas: 
16) 3250 km/h. 17) a ) 
22
9 m/s; b ) 
22
75 m/s. 18) 65 km/h. 19) -1,6 cm/min. 
20) 
13
720 km/h. 21) 
15
1 cm2/s. 22) 
54
27 cm/s. 23) R ) 
400
3
− rad/s. 
24) a ) 
7
6,0 m/s; b ) 0,3 m2/s. 25) π
3
80 km/min. 
 
 
 
26. Um velocista corre em uma pista circular de raio 100 m, a uma velocidade constante de 7 
m/s. Seu amigo está em pé a uma distância de 200 m do centro da pista. Quão rápido estará 
variando a distância entre eles quando a distância entre eles for de 200 m? 
 
27. Encontre os pontos P e Q, sobre a parábola 21y x= − , de forma que o triângulo ABC 
formado pelo eixo x e pelas retas tangentes a parábola em P e Q seja eqüilátero. 
 
 
 
 
 
28. A figura mostra um círculo de raio 1 inscrito na parábola de equação . Determine as 
coordenadas do centro desse círculo. 
2y x=
 
 
 
 
 Respostas: 
26)
4
157
− m/s. 27) ⎟⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−=
4
1,
2
3P e ⎟⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
4
1,
2
3Q . 28) ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
4
5,0 . 
 
 
 
29. A figura mostra uma roda giratória de 40 cm de raio e uma barra de conexão AP de 
 comprimento fixo 1,2 m. O pino P pode escorregar para frente e para trás ao longo do eixo x 
 à medida que a roda gira no sentido anti-horário a uma taxa de 360 revoluções por minuto. 
 Encontre uma expressão para a velocidade do pino P em termos do ângulo θ, indicado na 
 figura. 
 
 
30. Um bote é puxado em direção ao ancoradouro por uma corda que está atada à sua proa e 
que passa por uma polia sobre o ancoradouro, que está 1 m mais alto do que a proa desse 
bote. Se a corda for puxada a uma taxa de 1 m/s, quão rápido o bote aproxima-se do 
ancoradouro, quando ele estiver a 8 m dele? 
 
31. A curva seguinte é a representação geométrica da equação . 232 2xxy +=
 
-2 -1 1 2
-2
-1
1
2
 
 Ache a equação da reta tangente a essa curva no ponto ( )1,1− . 
 
 
 
 Respostas: 29) 
8cos
sen8coscos
288
2
2
+θ
θ⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ +θ+θ
−=
dt
dx m/s. 30) 
8
65 m/s. 
 31) .
2
1
2
+−=
xy 
 
 
 
- Cálculo 1: Lista de exerćıcios 4 - Derivadas
1. Para cada função f dada, calcule a derivada indicada:
(a) f(x) = −6x5 + 3x4 − 5x− 2, d
25y
dx25 ;
(b) f(x) = senx, d
37y
dx37 ;
(c) f(x) = 1x ,
dny
dxn ;
2. Determine a derivada de ordem n de y = lnx.
3. Derive:
(a) y = arctan(arcsenx);
(b) y = ln(secx+ tgx);
(c) y = xx;
(d) y = arcsen(
√
1− x2);
(e) y = arcsen(e2x − 1).
4. Determine para quais valores de x cada função a seguir está definida:
a) y = arcsen(2x+ 1) b) y = arccos(ex5) c) y = arctg(3x+ 2)
5. Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de cada função a seguir:
a) y = 3x4 − 16x3 + 18x2 b) y = x3 − 3x2 + 1.
6. Determine os pontos cŕıticos de cada função a seguir:
a) y = x3 + x2 − x b) f(x) = x+1x2+x+1 c) y = x
2/3 d) y = x2/5
7. Determine, se existirem, os valores máximos e mı́nimos de cada função a seguir, no intervalo indicado:
a) y = x3 − 3x+ 1, [0, 3] b) y = (x2 − 1)3, [−1, 2] c) g(t) = t
√
4− t2, [−1, 2]
d) y = x− 2senx,
[
−π2 ,
π
2
]
, e) y = e
x−e−x
2 , (−∞,+∞) f) y = x
3 − 3x+ 1, na reta.
Respostas:
1. (a) d
25y
dx25 = 0; (b)
d37y
dx37 = cosx, (c)
dny
dxn =
(−1)nn!
xn+1
2. d
n ln x
dxn =
(−1)n−1(n−1)!
xn
3. (a) y′ = 1
(1+arcsen2x)
√
1−x2 ;
(b) y′ = secx;
(c) y′ = xx(1 + lnx);
(d) y′ = − x|x|√1−x2
(e) y′ = 2e
2x√
1−(e2x−1)2
4. (a) − 1 ≤ x ≤ 0; (b) ln 4 ≤ x ≤ ln 6, (c) −∞ < x < +∞
5. (a) Cresce para 0 < x < 1 e 3 < x < +∞, decresce para −∞ < x < 0 e 1 < x < 3.
(b) Cresce para −∞ < x < 0 e 2 < x < +∞, decresce para 0 < x < 2.
6. (a) x = −1 e x = 1/3; (b) x = −2 e x = 0; (c) x = 0; (d) x = 0.
7. (a) Máximo: y = 19 em x = 3; Mı́nimo: y = −1 em x = 1;
(b) Máximo: y = 27 em x = 2; Mı́nimo: y = −1 em x = 0;
(c) Máximo: g = 2 em t =
√
2; Mı́nimo: g = −
√
3 em t = −1;
(d) Máximo: y =
√
3− π3 em x = −
π
3 ; Mı́nimo: y = −
√
3 + π3 em x =
π
3 ;
(e) Não tem máximo nem mı́nimo em −∞ < x < ∞;
(f) Não tem máximo nem mı́nimo em −∞ < x < ∞.
- Cálculo 1: Lista de exerćıcios - Otimização
1. Encontre o ponto sobre a resta y = 4x+ 7 que está mais próximo da origem.
R: (-28/17,7/17)
2. Se r(x) é a receita provenienteda venda de x ı́tens, c(x) é o custo da produção de x ı́tens e p(x) = r(x)−c(x) é o
lucro sobre a venda de x ı́tens, então, o retorno (receita), o custo e o lucro marginais provenientes desse ńıvel de
produção (x ı́tens) são dados, respectivamente por drdx ,
dc
dx ,
dp
dx . Suponha que r(x) = 9x, c(x) = x
3 − 6x2 + 15x,
em que x representa milhares de unidades. Há um ńıvel de produção que maximize o lucro? Se houver, qual é?
Há um ńıvel de produção que minimize o custo?
R: Sim: x = 2 +
√
2 mil unidades ou x = 2−
√
2 mil unidades. Não.
3. Calcule a quantidade de medicamento à qual o organismo é mais senśıvel determinando o valor de M ̸= 0 que
maximiza a derivada dR/dM , sendo
R = M2
(
C
2
− M
3
)
e C uma constante.
R: M = C/2
4. Quando tossimos, a traquéia se contrai e aumenta a velocidade do ar que passa. Isso levanta questões sobre o
quanto deveria se contrair para maximizar a velocidade e se ela realmente se contrai tanto assim quando tossimos.
Considerando algumas hipóteses razoáveis sobre a elasticidade da parede da traquéia e de como a velocidade
do ar próximo às paredes é reduzida pelo atrito, a velocidade média v do fluxo de ar pode ser modelada pela
equação
v = c(r0 − r)r2cm/s,
r0
2
≤ r ≤ r0,
em que r0 é o raio, em cent́ımetros, da traquéia em repouso e c é uma constante positiva, cujo valor depende, em
parte, do comprimento da traquéia. Demonstre que v é a maior quando r = 2/3r0, ou seja, quando a traquéia
está cerca de 33% contráıda.
5. Quando o estanho metálico é mantido abaixo de 13, 2oC, lentamente se torna quebradiço e acaba por se esfarelar,
tornando-se um pó cinza. Um catalisador para uma reação qúımica é uma substância que aumenta a velocidade
da reação sem sofrer nenhuma mudança permanente. Uma reação autocataĺıtica é aquela em que o produto é
o catalisador de sua própria formação. Quando tanto a substância original quanto o produto catalisador são
abundantes, a reação ocorre mais rapidamente. Em alguns casos, é razoável admitir que a velocidade de reação
v = dx/dt é proporcional tanto à quantidade de substância original quanto à quantidade de produto. Ou seja,
v pode ser expressa por
v = kx(a− x) = kax− kx2,
sendo x a quantidade de produto, a é a quantidade de substância no ińıcio e k é uma constante positiva. Com
que valor de x a velocidade v apresenta um máximo? Qual o valor máximo de v?
R: x = a/2 e v = ka2/4
6. Um observatório será constrúıdo na forma de um cilindro circular reto com uma abóboda esférica como cobertura.
Se o custo da construção da abóboda será duas vezes mais caro que na parede do cilindro quais deverão ser as
proporções mais econômicas do observatório supondo que o volume é fixo?
R: r0 = [3V/(8π)]
1/3 e h = 4[V/(9π)]1/3 − 1/3[3V/π]1/3.
7. Uma pulga, ao saltar, teve sua posição no espaço descrita em função do tempo pela expressão h(t) = 4t − 5t2,
sendo h a altura atingida, em metros e t em segundos. Em que instante a pulga atinge a altura máxima do solo?
R: 0,4 segundos.
8. O produto de dois números positivos é 200. Determine esses números sabendo que a soma deles tem o menor
valor posśıvel.
R: 10
√
2 e 10
√
2.
9. Determine dois números cuja soma seja 45 e cujo produto seja máximo.
R: 45/2 e 45/2.
1
10. Encontre o ponto da reta de equação y = 3x+ 4 mais próximo do ponto (1, 2). Qual é a distância mı́nima?
R: (-1,7;-1,1) e a distância é
√
8, 1.
11. Uma área retangular de 1080m2 será cercada e dividida, também por meio de cercas, conforme a figura:
Cada metro de cerca externa custa R$9,00 e cada metro da cerca usada nas divisões internas custa R$6,00.
Encontre as dimensões da região retangular que minimizarão o custo total.
R: 36m e 30 m.
12. Determine as dimensões do retângulo de maior área posśıvel que pode ser inscrito na elipse de equação x
2
9 +
y2
4 = 1.
Qual é a área desse retângulo?
R: 3
√
2 e 2
√
2, com área igual a 12.
13. A área do piso de uma loja retangular é 315m2. De suas quatro paredes de mesma altura, as três laterais devem
ser de tijolos e a da frente de vidro. O metro quadrado da parede de vidro custa o dobro do preço do metro
quadrado da parede de tijolos. Quais as dimensões da loja que minimizarão o custo total do material usado
nessas quatro paredes?
R:
√
210m e 315√
210
m.
14. Um arame de 20 cm de comprimento deve ser cortado em dois pedaços, um para formar um quadrado e outro
para formar um triângulo equilátero. Como se deve cortar o arame para que a soma das áreas do quadrado e do
triângulo seja: a) máxima? b) mı́nima?
R: (a) usar todo o arame para o quadrado. (b) usar 80
√
3
9+4
√
3
cm para o quadrado e 180
9+4
√
3
cm para o triângulo.
15. Um cartaz deve ter uma área de 600 cm2 para a mensagem a ser impressa; as margens no topo e na base devem
cada uma 7,5 cm e de 5 cm nas margens laterais. Determine as dimensões do cartaz para que seja mı́nima as
quantidade de papel usada.
R: largura: 30 cm e altura 45 cm.
16. Dentre todos os triângulos isósceles de peŕımetro fixo, mostre que o de maior área é o equilátero.
17. Uma pessoa está no ponto A da margem de um rio e deseja chegar ao ponto B na margem oposta, fazendo o
percurso indicado na figura abaixo. Sabendo que pode se deslocar na margem a uma velocidade de 10 m/s e na
água a uma velocidade de 5 m/s, determine o ângulo α de modo que ela vá de A até B no menor tempo posśıvel.
Sabe-se que a distância entre A e B’ é 500 m e a largura do rio é 300 m.
R: α = π/3.
2
	INTRODUÇÃO E A PRIMEIRA LISTA DE EXERCÍCIOS
	INTRODUÇÃO
	ESTRATÉGIAS DE ESTUDO