derivadas parciais - apostila

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CENTRO UNIVERSITÁRIO ANHANGUERA DE NITERÓI – UNIAN 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 
CÁLCULO III –Derivadas Parciais – resumo - Notas de aula 
Prof.: Adilson G. Principe 
 
4. Derivadas Parciais 
Se é uma função de duas variáveis, suas derivadas parciais são as funções e y definidas 
por: 
 
 ( ) 
 
 ( ) ( )
 
 
 
 ( ) 
 
 ( ) ( )
 
 
 
Se ( ), escrevemos: 
 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 
 
 
 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 
 
 
Notações de derivadas parciais: 
Se z = f(x,y), escrevemos : 
fx(x,y) = fx = 
 
 
 
 ( )
 
 
 
 
 assim como em relação a variável y 
Resumindo: Para calcularmos as derivadas parciais, tudo o que temos a fazer é nos lembrarmos 
que a derivada parcial com relação a x é a derivada ordinária da função g de uma única variável 
obtida mantendo-se fixo o valor de y. Então temos a seguinte regra: 
 
Regras para determinar as derivadas parciais 
 
1. Para determinar , trate como uma constante e derive ( ) com relação a . 
2. Para determinar , trate como uma constante e derive ( ) com relação a . 
 
Exemplo: 
Se ( ) , encontre ( ) e ( ). 
 
 ( ) 
 
 
 
 ( ) 
 
 
Interpretação das Derivadas Parciais 
 
Se ( ) , então o ponto ( ) está em Ao fixar , estamos restringindo 
nossa atenção à curva na qual o plano vertical intersecciona ( é o corte de no 
plano ) 
 
 
 
Exemplo: 
 
Se ( ) , determine ( ) e ( ) e interprete esses números como 
inclinações. 
 
 ( ) 
 
 
 ( ) 
 
 
 
5. Funções de Mais de Duas Variáveis 
 
 ( ) 
 
 ( ) ( )
 
 
 
Exemplo: 
Determine se ( ) 
 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. Derivadas de Ordem Superior 
 
Se é uma função de duas variáveis, suas derivadas e são funções de duas 
variáveis, de modo que podemos considerar novamente suas derivadas parciais 
( ) ( ) ( ) ( ) , chamadas derivadas parciais de segunda ordem de 
Se ( ), usamos: 
( ) 
 
 
(
 
 
) 
 
 
 
 
 
 
 
( ) 
 
 
(
 
 
) 
 
 
 
 
 
 
 
( ) 
 
 
(
 
 
) 
 
 
 
 
 
 
( ) 
 
 
(
 
 
) 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
Determine as derivadas parciais de ( ) . 
 
 ( ) 
 e ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe que Isso não é só concidência. As derivadas parciais mistas são 
iguais para a maioria das funções que encontramos na prática. 
 
7. Teorema de Clairaut 
 
Suponha que seja definida em uma bola aberta que contenha o ponto ( ) se as 
funções forem ambas continuas em então: 
 
 ( ) ( ) 
 
Obs.: Derivadas parciais de ordem 3 ou maior também podem ser definidas. 
 
 ( ) 
 
 
(
 
 
) 
 
 
 
 
logo: 
 
 
Exemplo: 
Calcule se ( ) ( ) 
 
 ( ) 
 ( ) 
 ( ) 
 ( ) ( ) 
 
EXERCICIOS: 
I – Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções: 
 
1. f(x,y) = y5 – 3xy 
2. f(x,t) = e-tcosπx 
3. z = ( ) 
4. f(x,y) = 
 
 
 
5. f(x,y) = 
 
 
 
6. g(u,v) = ( ) 
7. w = sen 
8. f(x,y,z) = xz – 5x2y3z4 
9. w = ln(x + 2y + 3z) 
10. f(x,y) = x4y3 + 8x2y 
11. f(x,y) = sen(
 
 
) 
II – Determine as derivadas parciais indicadas: 
1. f(x,y) = x4y2 – x3y ; fx,y,z , fx,y,x 
2. f(x,y,z) = 
 
 ; fx,y,z