Exercício de Geometria Analítica e Álgebra Linear - Com explicações Passo-à-passo

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Questão 1 – A parábola cuja equação é dada por x²=10y, possui a diretriz dada por: 
 
No caso da parábola, precisamos observar o termo que está elevado ao quadrado, 
neste caso o x. Este termo representa o eixo que é paralelo à diretriz da parábola. 
 
Como x é paralelo à diretriz, vamos trabalhar inicialmente só com as coordenadas em 
y. 
 
Eixo paralelo à diretriz = x 
 
Como a diretriz é paralela à x, a concavidade (em formato de C) pode ser para cima ou 
para baixo, vai depender do valor de p. Se p é positivo, a concavidade é voltada para 
cima (as pernas do C), se p for negativo, é voltada para baixo. 
 
A fómula da parábola é x²=2py, ou y²=2px. Sendo assim, x²=10y, 10=2p, 10/2=5, 
 
p=5 – concavidade para cima 
 
Como estamos trabalhando com as coordenadas em y, o foco (F) será F=(0,p/2), neste 
caso 
 
F=(x, 5/2) 
 
O valor da diretriz será sempre o inverso do valor do foco F. Novamente, como 
estamos vendo o foco em y a diretriz será 
 
y=-p/2 
 
 
 
Questão 2 – A equação da parábola cujo vértice é V(0,0) e foco é F(-3,0) e dada por: 
 
Como o vértice V=(0, 0), sabemos que a parábola está no centro do plano. 
 
Como o foco F=(-3,0), sabemos que estamos trabalhando com as coordenadas em x. 
Significando que a diretriz será paralela à y. Seguindo o que expliquei no exercício 
anterior, a fórmula só pode começar com y². 
 
O foco F é composto por (p/2, y), assim sei que o valor de p será 
 
p=-3*2 = -6 – por p ser negativo, a concavidade é voltada para a esquerda 
 
A fórmula da parábola é y²=2px, assim 
 
y²=2(p)(x) 
 
 
 
Questão 3 – Ao conjunto de pontos do plano eqüidistantes de um ponto fixo (foco) e 
de uma reta (diretriz), que não contam o ponto, damos o nome de: 
 
Só há um tipo de cônica que possui diretriz, já explicada nas questões acima. 
 
 
 
 
Questão 4 - A respeito das afirmações: (com três afirmações diferentes) 
 
I – x² significa que a diretriz é paralela à x. Conforme p temos o sentido da concavidade 
(explicado na 1ª questão); 
 
II – No caso das cônicas, sempre que temos uma equação que o sinal de um termo é 
diferente do outro temos uma hipérbole (se forem os dois positivos têm-se uma 
elipse). 
Para saber qual o termo com o eixo real (x ou y) temos que desenvolver essa equação 
um pouco mais. 
Pra começar, o valor depois do sinal = tem que ser sempre 1, assim sendo 
 
3x²-y²+3=0 -> 3x²-y²=-3 - agora deve-se dividir tudo pelo valor depois da vírgula 
para obter +1 (-3/-3=1) 
 
Antes de dividir temos que ver os números que multiplicam x e y 
 
x²/(-3/3) -> -x²/1 
y²/(-3/-1) -> y²/3 
 
Que fica 
 
(y²/3)-(x²/1)=1 
 
O eixo real da hipérbole sempre é paralelo ao termo positivo. 
 
III – Vamos desenvolver um pouco essa equação. 
 
4x²+9y²-24x+18y+9=0 -> 4x²-24x+9y²+18y+9=0 – pra facilitar vamos colocar os termos 
x e y todos no mesmo nível, dividindo os valor multiplicando-os pelos valores que 
multiplacam x² e y² 
 
4(x²-6x)+9(y²+2y)+9=0 – aqui temos dois termos (x²-6x) e (y²+2y), vamos utilizar a 
técnica do trinômio do quadrado perfeito para fatorá-los. Funciona assim 
 
1º - x²-6x – o x² irá virar só x; multiplicamos o valor antes do x², ou seja 1, pela metade 
do valor antes do x, neste caso 6, então, 6/2=3, como antes era x²-6x, irá ficar (x-3)² – 
se o valor de -6x fosse positivo teríamos (x+3)². Por último elevamos ao quadrado o 
outro número dentro do parênteses (x-3), assim, -3²=9. No final temos 
 
(x-3)²-9 – o número que foi elevado ao quadrado, o 3, sempre fica negativo 
 
Fazemos o mesmo processo com o (y²+2y), 2/2=1, 1²=1, então temos 
 
(y+1)²-1 
 
Agora a expressão ficou 
 
4[(x-3)²-9]+9[(y+1)²-1]+9=0 -> 4(x-3²)+9(y+1)²-36-9+9=0 -> 4(x-3)²+9(y+1)²=36 
 
Dividindo tudo por 36 -> 36/4=9=3² – 36/9=4=2² -> [(x-3)²/3²]+[(y+1)¹/2²]=1 
 
Como os dois termos são positivos, temos certeza que trata-se de uma elipse. 
A fórmula da elipse fora do centro é (x-h)² e (y-k)², sendo o h e k as coordenadas x,y do 
centro, C=(h, k). 
 
 
 
Questão 5 – Os traços de uma hiperbolóide de uma folha com os planos cartesianos 
nos fornecem as seguntes cônicas: 
 
A hipérbole de uma folha fornece um desenho parecido com o de um túnel no qual as 
duas extremidades vão se abrindo infinitamente. Agora pense, cortando um túnel 
exatamente no meio, na perpendicular, qual o desenho que você obtêm? 0 
Se você cortar ele na longitudinal, você obtêm qual desenho? > < 
 
 
 
Questão 6 – Podemos afirmar que a excentricidade da hipérbole cuja equação é dada 
por (y²/100)-(x²/64)=1 vale: 
 
Na hipérbole o eixo real, isto é a, está sempre junto do termo positivo, neste caso y, 
independente dele ser o maior número ou não (note a diferença com a elipse onde a é 
sempre o maior número). Neste caso c deverá ser sempre maior que a. 
 
Para resolver a equação temos de simplificá-la primeiro 
 
(y²/100)-(x²/64)=1 -> (y²/10²)-(x²/8²)=1 
 
Assim temos que 
 
a=10 b=8 c²=a²+b²=100+64=164 - c=√164 – fatorando – c=2*√41 
 
A excentricidade é sempre dada pela fórmula e=c/a, independente de ser hipérbole ou 
elipse, a diferença é que na primeira ela será sempre maior que 1 e na segundo menor 
que 1 (se o valor der diferente desta regra tem algo errado na tua conta). Assim 
 
e=c/a – não se esqueça de simplificar a fração (/2) 
 
 
 
Questão 7 – As equações (I, II e III) representam as seguintes quádricas, 
respectivimanete: 
 
Para diferenciar as fórmulas da quádricas tem um truque simples, esconda um dos 
termos que está elevado ao quadrado e analise os outros dois de cada vez. Assim, 
 
Três sinais positivos = se você utilizar o truque verá que temos duas elipses, portando 
só pode ser um elipsóide. 
 
Dois sinais positivos e um negativo = escondendo o termo negativo temos uma elipse, 
escondendo qualquer um dos positivos teremos duas hipérboles (lembram o que eu 
falei numa questão anterior sobre o túnel?), ou seja será uma hiperbolóide de uma 
folha. 
 
Dois sinais negativos e um positivo = escondendo qualquer um dois sinais negativos 
teremos uma hipérbole, portando duas no total. Se escondermos o termo positivo não 
tem como resolver a equação, significando que a quádrica não aparece nesse plano. 
Assim têm-se uma hiperbolóide de duas folhas. 
 
Dois termos elevados ao quadrado e um normal = se escondermos qualquer um dos 
termos elevados ao quadrado termos uma parábola, ou seja, trata-se de um 
parabolóide. 
 
 
 
Questão 8 – Podemos afirmar que a trajetória das órbitas dos planetas ao redos do Sol 
é uma: 
 
Os planetas GIRAM ao redor do Sol. Sem mais comentários. 
 
Obs: Quem responder reta nesta está além de qualquer ajuda... 
 
 
 
Questão 9 – Sabendo que o eixo maior de uma elipse mede 10 e os focos são dados 
por F¹(2,-1) e F²(2,5), podemos concluir que sua equação é dada por: 
 
Essa tem que prestar bastante atenção. Vamos lá... 
 
Numa elipse, o eixo maior é sempre em a, sendo 2a igual ao comprimento do eixo 
maior. Se o eixo mede 10, temos que 
 
2ª=10 -> a=5 
 
Ao observar os focos F¹=(2,-1) e F²=(2,5), vemos que os valores de x ficam inalterados, 
assim concluímos que o eixo maior da elipse é paralelo com y, que o centro da elipse é 
fora do centro do plano, conclui-se ainda que o a distância dos focos é 6 (-1-5=-6 ou só 
6), sendo essa distância igual 2c 
 
2c=6 -> c=3 
 
Sendo assim o centro C=(2, 2) – -1+3=2 e 5-3=2. 
Só falta calcular b 
 
b²=a²-c² -> 25-9=16 -> b=4 
 
Juntando tudo e transformando na equação normal temos 
 
[(x-2)²/4²]+[(y-2)²/5²]=1– lembrem que a vai embaixo de y pois o eixo maior é paralelo 
à este 
 
Como 4²=16 e 5²=25, inicialmente vamos multiplicar estes dois valores (25*16=400). Se 
multiplicarmos a equação toda por 400 (vou fazer cada termo separado pra melhor 
entendimento) 
 
400[(x-2)²/16] = 400(x-2)²/16 (400/16=25) -> 25(x-2)² 
400[(y-2)²/25] = 400(y-2)²/25 (400/25=16 -> 16(y-2)² 
400*1=400 
 
Então 
 
25(x-2)²+16(y-2)²=400 – lembram do trinômio do quadrado perfeito que expliquei 
antes, aqui faremos o processo inverso, muito cuidado pois é meio complicado e fácil 
de se perder. Um termo por vez 
 
(x-2)² - Sabemos que 2 é metade do valor original que multiplica x, então 4x, o -2 que 
aparece na equação deve ser elevado ao quadrado (-2²=4), e x será elevado ao 
quadrado também, assim 
 
x²-4x+4 – notem que como antes tínhamos (x-2)² o sinal se mantém para o 4x 
 
(y-2)² - aqui temos o mesmo caso do anterior 
 
y²-4x+4 – no processo que fizemos antes o valor sozinho era sempre negativo, aqui 
sempre teremos um número positivo 
 
Agora nossa equação ficou 
 
25(x²-4x+4)+16(y²-4x+4)=400 – agora é só multiplicar os valores, não se esqueça que a 
equação deve ser =0 
 
 
 
Questão 10 – Marque a alternativa que identifica a quádrica cuja equação é dada por 
16x²+9y²-z²=144 e que especifica corretamente o eixo a qual essa superfície se 
encontra ao longo. 
 
Para resolver esta, veja a explicação da questão 7. Complementando a resposta, o 
termo negativo desta quádrica indica o seu eixo principal. 
 
Obs: lembrem-se que o valor após o = deve ser sempre 1, então a equação deve ser 
dividida para tal (mudando completamente a equação caso esta número seja 
negativo).