Aula01_conjuntos

Prévia do material em texto

1
Matemática Discreta
Teoria dos Conjuntos
Prof. Ms. Regis C. Bueno
Conjuntos
� Pode-se dizer que a Teoria dos Conjuntos é
em grande parte trabalho de um único 
matemático: Georg Cantor (1845-1918).
2
Conjuntos : Computação
É de fundamental importância para várias áreas da
ciência da computação:
– Teoria dos Números
– Banco de Dados
– Orientação a Objetos (teoria)
– Linguagens Formais
– Outros
Conjuntos
� Definição: Os objetos de um conjunto são chamados 
de elementos ou membros do conjunto. Dizemos que 
um conjunto A contem seus elementos.
� “coleção não-ordenada de objetos”.
� Elemento: é um dos componentes de um conjunto
3
� Notação:
A = {violeta, verde, castanho}
B = {1,2,3,4,5}
� a∈A para denotar que a é um elementos de A
� a∈A para denotar que a é um elementos de A
Pertinência: é a característica associada a um elemento que faz 
parte de um conjunto. 
Ex: 1∈B, violeta∈A, branco∈A, 10∈B
Conjuntos
Descrevendo conjuntos
� Listando seus elementos: V = {a, e, i, o, u}
� Definindo uma propriedade: V = {x | x é vogal} 
S = {x | x é um inteiro positivo par}
� Definição recursiva:
(1) 2 ∈ A 
(2) Se x ∈ A então (x + 2) ∈ A
4
Descrevendo conjuntos
� Diagrama de Venn (John Venn (1881)):
– Um conjunto U, universo, que contem todos os 
objetos sob consideração: circulos;
– Dentro do retângulo: círculos (ou outras figuras 
geométricas) que representam conjuntos;
– Pontos são usados para representar elementos 
particulares do conjuntos.
Diagramas de Venn
. 1
. 2
. 3
Conjunto A Conjunto B
5
Exercícios
1) Descreva cada um dos conjuntos a seguir listando
seus elementos
(a) {x | x é um inteiro e 3<x<=7}
(b) {x | x é um mês com exatamento 30 dias}
(c) {x | x é a capital do Brasil}
Conjuntos Especiais
Conjunto vazio: é um conjunto que não possui 
elementos. 
O conjunto vazio é representado por { } ou 
Conjunto universo: É um conjunto que contém todos os 
elementos do contexto no qual estamos trabalhando e 
também contém todos os conjuntos desse contexto. 
O conjunto universo é representado por uma letra U.
6
Conjuntos Pré-estabelecidos
Naturais, Inteiros, Racionais, Reais, Complexos
Conjuntos Pré-estabelecidos
� Naturais: 
N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} 
� Inteiros: (ex: imagem)
Z = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,...} 
Z* = {..., -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4,...} 
Z+ = {0, 1, 2, 3, 4,...} 
Z- = {..., -4, -3, -2, -1, 0} 
7
Conjuntos Pré-estabelecidos
� Racionais:
Q = {m/n : m e n ∈ Z, n | zero}
� Reais: 
R = Q U I 
O número e : 2,718... (muito importante em matemática 
avançada).
Números Radiciais: raiz quadrada, cubica, …
•
O número ¶ : 3,141592653... •
Conjuntos Pré-estabelecidos
� Complexos
x = R[-1] = 
8
Conjuntos Pré-estabelecidos
Exercícios
2) Descreva cada um dos conjuntos a seguir listando
seus elementos:
(a) A = {x | (∃y)(y ∈ {0,1,2} e x=y3}
(b) B = {x | x ∈ N e (∃y)(y ∈N e x<=y}
(c) C = {x | x ∈ N e (∀y)(y ∈N � x<=y}
(d) D = {x | x ∈ N e (∀y)(y ∈{2,3,4,5}� x>=y}
(e) E = {x | (∃y)(∃z)(y ∈{1,2} e z ∈{2,3} e x=y+z}
9
SubConjuntos
� Subconjuntos: quando todos os elementos de um 
conjunto A qualquer pertencem a um outro conjunto 
B, diz-se, então, que A é um subconjunto de B, ou 
seja A B. 
Observações:
� Todo o conjunto A é subconjunto dele próprio, ou seja 
A A; 
� O conjunto vazio, por convenção, é subconjunto de 
qualquer conjunto, ou seja A
⊂
⊂
⊂
⊂
União, Intersecção, Diferença e 
Produto Carteseano entre conjuntos
União
10
União, Intersecção, Diferença e 
Produto Carteseano entre conjuntos
Intersecção
União, Intersecção, Diferença e 
Produto Carteseano entre conjuntos
Diferença
11
União, Intersecção, Diferença e 
Produto Carteseano entre conjuntos
Produto Carteseano: dados os conjuntos A e B, chama-se peoduto
cartesiano A com B, ao conjunto AxB, formado por todos os pares 
ordenados (x,y), onde x é elemento de A e y é elemento de B, ou seja 
OBS: Número de subconjuntos de um conjunto: se um conjunto A possuir n
elementos, então existirão 2n subconjuntos de A. 
Identidade envolvendo Conjuntos
12
Exemplos de Prova
� Prove que:
� Mostre que:
Exercícios Fixação
(1) Conceitue conjuntos e subconjuntos e dê uma definição matemática
(2) Seja S = {2,5,17,27}. Quais das seguintes afirmações são verdadeiras:
(a) 5 ∈ S; (b) 2+5 ∈ S; (c) S∈S; (d) ∈ S
(3) Dado uma descrição do conjunto A, sendo A={2,4,8,…}, você acha
que 16 ∈ A?
(4) Demonstre que:
(1) (A B) (A B’) = A
(2) A (B A’) = B A
(3) A B A
(5) Encontre um exemplo de dois conjuntos A e B de forma que:
∪ ∩ ∪
∩ ∪ ∩
∩ ⊆
13
Exercícios
(6) Determine se cada uma das sentenças abaixo é verdadeira ou falsa.
(a) x ∈ {x}
(b) {x} {x} 
(c) {x} ∈ {x}
(d) {x} ∈ {{x}}
(e) ∈ {x}
(f) ∈ {{x}}
⊆
Exercícios
(7) Sejam R = {1,3,pi,4,1,9,10}, S={{1}, 3, 9, 10}, U = {{1,3,pi},1} e 
T = {1,3,pi}. Quais das afirmações são verdadeiras e porque:
(a) S R
(b) 1 ∈ R
(c) 1 ∈ S
(d) 1 U
(e) {1} T
(f) {1} S
⊆
⊆
⊆
⊆