Cálculo numérico

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MATERIAL DIDÁTICO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A REALIDADE DOS SISTEMAS DE EQUAÇÕES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. ANTONIO ROBERTO GONÇALVES 
Aprendizagem de Conceitos 
 
 Se você precisa encontrar o volume de um silo de milho, a distância 
percorrida por um carro com uma velocidade de 60 km/h no asfalto ou o valor do seu 
contracheque você pode obter a resposta com a ajuda de uma única equação. 
 No entanto há problemas ou situações que você pode precisar de duas, três 
ou mais equações na resolução para a incógnita que você possui. Quando você 
precisa de mais de uma equação para a resolução de um problema, você utiliza o 
que é chamado de sistema de equações. 
 Para se ter uma idéia do valor de um sistema de equações, vamos considerar 
uma situação simples que envolve a necessidade de duas equações. Esta situação 
envolve o Senhor Roberto, que precisa alugar um carro por um dia. Veja o problema 
e o dilema do Sr. Roberto. 
 
Figura 01: Agência de Locação 
 
 O Sr. Roberto pretende alugar um carro para uma viagem que terá que fazer 
no final de semana. A agência de locação de carros oferece ao Sr. Roberto dois 
planos de locação: 
Plano A: R$ 50,00 por dia com quilometragem ilimitada. 
Plano B: R$ 20,00 por dia mais R$ 0,50 por quilômetro rodado. 
Qual dos planos o Sr. Roberto deve optar? 
 Para ter certeza do melhor plano e fazer uma escolha inteligente, o Sr. 
Roberto utiliza um pouco de álgebra e os conhecimentos sobre sistema de equações 
que aprendeu nas aulas de matemática. Para fazer isso, ele representa cada plano 
de locação por uma equação, que lhe dá o custo por dia. 
Plano A: Custo por dia – R$ 50,00 logo P1 = 50 
Plano B: Custo por dia, mais adicional por quilometragem percorrida. P2 = 20 + 
0,50.k onde k é a quantidade de quilometro percorrido. 
De posse das equações o Sr. Roberto construiu uma tabela parcial de valores, para 
cada equação. 
P1 = 50 P2 = 20 + 0,50.k 
k P k P 
1 50,00 1 20,50 
2 50,00 2 21,00 
10 50,00 10 25,00 
20 50,00 20 30,00 
50 50,00 50 45,00 
60 50,00 60 50,00 
70 50,00 70 55,00 
100 50,00 100 70,00 
 
 Se você verificar os valores nas duas tabelas cuidadosamente, verá que o par 
ordenado (60, 50) é comum a ambas. Isto significa que quando k = 60 e P = 50 
tornam ambas as equações verdadeiras, então o par ordenado (60, 50) é a solução 
para este par de equações. 
 Para a maioria dos sistemas de equações, você pode não encontrar o par 
ordenado comum a ambas simplesmente observando uma tabela de valores, no 
entanto, você pode sempre colocar as equações em um gráfico (utilizando a tabela 
de valores) e encontrar o par ordenado comum desta forma. 
 
Figura 02: Representação gráfica de um sistema de duas equações 
Atividade de Estudo. 
1) Você pode dizer através do gráfico onde é o ponto em que não se ganha nem 
perde nada? Ou seja, você pode dizer quanto o Sr. Roberto deve dirigir o carro 
alugado antes que o Plano B comece a custar mais que o Plano A? 
2) Se o Sr. Roberto sabe que a distância que terá que percorrer é de 120 km, 
quanto ele terá economizado escolhendo o Plano A ao invés do Plano B? 
3) Se a distância percorrida for de apenas 40 quilômetros, qual plano o Sr. Roberto 
deve escolher? 
 Neste simples exemplo, a informação que ajudou o Sr. Roberto a escolher o 
melhor plano foi obtida pela expressão dos detalhes de cada plano colocados na 
forma de uma equação e pela colocação em gráfico das duas equações. Mas há 
outras formas de se resolver sistemas de equações. São: 
• Gráfico das duas equações, para encontrar pontos de interseção; 
• Substituição, para reduzir duas equações com duas incógnitas em equações com 
uma incógnita; 
• Adição ou subtração, para reduzir duas equações com duas incógnitas em uma 
equação com uma incógnita; 
• Método dos determinantes (Regra de Cramer)1. 
 Neste trabalho nos limitaremos aos sistemas de equações com duas 
incógnitas. 
 
Resolução de Sistemas de Equações através do Gráfico 
 Quando duas equações lineares colocadas no gráfico, três situações podem 
acontecer: 
• Se as duas retas tiverem coeficientes angulares diferentes, as duas retas se 
interceptarão, são chamadas de restas concorrentes; 
• Se as duas retas tiverem coeficientes angulares iguais, as duas retas não se 
interceptarão, são chamadas retas paralelas; 
• Se as duas restas tiverem coeficientes angulares e coeficientes lineares que 
obedeçam a uma mesma proporção, então essas restas serão coincidentes e 
terão infinitos pontos de interseção. 
 Vejamos em seguida estas três situações: 
 
1
 O Método dos Determinantes não será bordado neste trabalho. 
Retas Concorrentes Retas Paralelas Retas Coincidentes 
 
Figura 3: Posições de Retas 
 
1) Caso de duas Retas Concorrentes. 
 Quando é pedido para colocar no gráfico duas equações como 


=−
=+
62
10
yx
yx
 é 
geralmente uma boa idéia representar as duas equações na forma reduzida da 
equação da reta y = ax + b. Portanto x + y = 10 se torna y = - x + 10 e x – 2y = 6 se 
torna y = 0,5x + 3 . 
 De posse das equações reduzida utilizamos um software para traçar os 
gráficos e encontrar o ponto de interseção das retas. Use o laboratório de 
informática da escola para gerar os gráficos, conforme figura 4. Recomendamos o 
uso de softwares livres como: 
 Winplot: http://math.exeter.edu/rparris/winplot.html 
Geogebra: http://www.professores.uff.br/hjbortol/geogebra/geogebra.overview.html 
ou Speeq http://superdownloads.uol.com.br/download/11/speq/ 
 
Figura 4: Representação gráfica de um sistema de duas retas concorrentes 
 
 Como o coeficiente angular da primeira equação é – 1 e da segunda equação 
é 0,5 então os gráficos se interceptam em exatamente um ponto. Neste caso o ponto 
é P (4, 5), tornando verdadeiro o fato de que x = 4 e y = 5 é solução de ambas as 
equações. 
 Sistemas de equações que possuem uma única solução são chamados de 
sistemas possíveis e determinados. 
 
2) Caso de duas Retas Coincidentes. 
 Na seguinte situação você encontrará um sistema de equações que possui 
uma solução que não será única. Consideremos este sistema 


=+
=+
54
1028
yx
yx
, quando 
você transforma a equação 8x + 2y = 10 na forma reduzida fica y = 5 – 4x, fazendo o 
mesmo procedimento com a segunda equação 4x + y = 5 fica y = 5 – 4x , a mesma 
equação. Portanto as duas equações 4x + y = 5 e 8x + 2y = 10, representa a mesma 
reta, assim sendo, o mesmo gráfico. Veja o gráfico da figura 5. 
 
 
Figura 5: Representação gráfica de um sistema de duas retas coincidentes 
 
 Como o coeficiente angular é – 4 e o coeficiente linear é 5 em ambas as 
equações, então os gráficos se interceptam em vários pontos. Neste caso os pontos 
P (1, 1), X ( 2, -3), etc. tornam verdadeiro o fato de que x = 2 e y = -3 , x = 1 e y = 1 
são solução de ambas as equações. 
 
 
 
» Quantos pontos de interseção os dois gráficos da figura 5 têm? 
Para 
Pensar 
 Sistemas de equações que possuem várias soluções são chamados de 
sistemas possíveis e indeterminados. 
 
3) Caso de duas Retas Paralelas. 
 A terceira possibilidade ocorre quando nós temos um sistema de equações 
como 


=−
=−
123
63
xy
xy
. Transformando as duas equações na forma reduzida, elas se 
tornam y = 3x + 12 e y = 3x + 6. 
 È interessante notar que o coeficiente angular de ambas as equações é 3, 
portanto as retas devem ser paralelas. As restas e interceptam alguma vez? 
 Quando as equações são colocadas no gráfico se torna evidente que as retas 
não possuem pontos em comum. Portanto este sistema de equações não possui 
nenhuma solução, como mostra a figura 6. 
 
 
Figura 6: Representação gráfica de um sistema de duas retasparalelas 
 
 Sistemas de equações que não possuem solução são chamados de sistemas 
indeterminado ou impossível. As duas linhas não se interceptam para formar um par 
ordenado comum que esteja em ambas as retas. 
 
Atividade de Estudo. 
1. Aproveitando a chegada do verão Vinícius pretende abrir uma barraca de sucos 
nas proximidades da rodovia que leva às praias. Vinícius estima que seu 
estabelecimento tenha custo diário de R$ 600,00 e que cada copo de 300 ml 
terá um custo de R$ 0,60 para o feitio. Já que cada copo de suco será vendido 
por R$ 1,50 responda as seguintes questões. 
 
Figura 7: Barraca de sucos 
 
a) Escreva a equação do custo total do fornecimento do suco; 
b) Escreva a equação do lucro real; 
c) Faça o gráfico das duas equações em um mesmo sistema cartesiano utilizando o 
computador; 
d) Por que o gráfico do lucro passa pelo ponto (0, 0)? 
e) Quais deverão ser os possíveis custos iniciais? 
f) Qual seria o par ordenado onde Vinícius não terá lucro nem prejuízo? 
g) Se Vinícius vender 200 copos por dia, quanto ele terá de lucro ou prejuízo? 
h) Se Vinícius vender 300 copos por dia, quanto ele terá de lucro ou prejuízo? 
i) Quantos copos devem ser vendidos por dia para se obter um lucro de 
R$ 450,00? 
j) Se os custos no feitio tiverem uma aumento de R$ 0,40, quantos copos devem 
ser vendidos por dia para se obter um lucro de R$ 300,00? 
 
2. Utilizando o computador e um software livre faça os gráficos das equações 
abaixo e encontre o ponto de interseção (par ordenado) que satisfaça a ambas. 
a) 


=+−
=+−
075
150050
yn
yn
 
b) 


=+
=+
4049
3237
ab
ab
 
c) 


+=
+=
hy
hy
006,150,4
0018,011
 
 
Resolução de Sistemas de Equações por Substituição 
 Um segundo método para se resolver sistemas de equações é por 
substituição. A resolução de sistemas de equação por substituição supõe que haja 
pelos menos um par ordenado que faça as duas equações verdadeiras. Você pode 
solucionar este sistema utilizando o método do gráfico, mas você pode encontrar 
esse ponto em comum, sem o gráfico, utilizando álgebra. Este método consiste em 
isolar em uma das equações tanto o x como o y e substituí-lo na outra equação. 
Para resolver sistemas de equações pelo método da substituição devemos seguir os 
seguintes passos: 
1º - Isolar uma das incógnitas x ou y de uma das equações. (a dica é isolar sempre a 
incógnita que apresenta coeficiente 1) 
2º - Substituir esse valor na segunda equação e encontrar o valor para a incógnita 
restante. 
3º - De posse do valor de uma das incógnitas, retornar na equação primeira e 
encontrar o valor da outra incógnita. 
 Os valores encontrados será a solução do sistema, ou seja, o ponto onde as 
retas se interceptarão. 
 Vamos usar este método para o sistema de equação 


=+−
=−
1843
102
yx
yx
 
 
 
 
» Qual equação nós devemos escolher para isolar uma das incógnitas? 
» Por que não é interessante isolar o y em nenhuma das equações? 
 
Isolando o x na primeira equação fica: 
Equação 1 Equação 2 
x – 2y = 10 
x = 2y + 10 
. 
. 
. 
x = 2(-24)+ 10 
x = - 48 + 10 
x = - 38 
- 3 x +4y = 18 
 
- 3(2y + 10) + 4y = 18 
- 6y – 30 + 4y = 18 
- 2y = 18 + 30 
- 2y = 48 (-1) 
2y = - 48 
y = - 48 : 2 
y = -24 
 
Para 
Pensar 
 Encontrado os valores das incógnitas temos o par ordenado ( -38, -24) como 
solução do sistema de equação. 
» Verifique se os valores encontrados satisfazem as duas equações substituindo os 
valores encontrados nas equações. 
» Utilize o computador, faça o gráfico das equações e verifique as respostas. 
» Tente resolver o mesmo sistema isolando a incógnita y. 
 
 Quando supomos que há uma solução para um sistema de equação, quando 
na verdade na há, ocorrem fatos estranhos. Por exemplo, se usarmos o método da 
adição para o sistema de equação 


=+
=+
5
4
yx
yx
 de imediato já notamos que há algo 
estranho, pois como pode x + y = 4 e o mesmo x mais o mesmo y ser igual a 5. 
 Aplicando o método da substituição encontramos que 4 = - 5 que é uma 
informação incorreta. Isso acontece pelo fato que quando colocamos as duas 
equações na sua forma reduzida y = ax + b vemos que ambas possuem o mesmo 
coeficiente angular, ou seja, as retas são paralelas. 
 
Atividade de Estudo 
No sistema equações 


=+
=+
732
1563
yx
yx
: 
a) Isole x e y em cada equação, examine os quatros resultados e decida qual deles 
leva à substituição da incógnita “mais fácil”; 
b) Resolva o sistema por substituição; 
c) Confira a sua solução resolvendo graficamente. 
 
Resolução de Sistemas de Equações por Adição 
 Um terceiro método de resolução de sistemas de equações é através de 
adição /subtração, também chamado de resolução por eliminação. 
 Para resolver pelo método da adição temos que adicionar os termos x, y e o 
termo independente das duas equações e verificar se uma das incógnitas 
“desapareceu”, caso isso convenientemente ocorra basta calcular o valor da 
incógnita restante e em seguida substituir o valor em quaisquer das equações 
originais. Não ocorrendo o fato de uma das incógnitas “desaparecerem”, antes de 
fazer a adição das equações temos que utilizar um artifício, multiplicar todos os 
termos de uma, ou as duas equações, para que uma das incógnitas se anule. 
 A seguir daremos um exemplo das duas situações acima. 
» Resolver o sistema de equações 


=−
=+
143
105
yx
yx
 utilizando o método da adição. 
1º passo: Somar termo a termo as equações
2408
143
105
=+
=−
=+
yx
yx
yx
 
2º passo: Calcular o valor da incógnita restante. 8x = 24, logo x = 3 
3º passo: Substituir este valor de x em quaisquer das equações originais para 
encontrar o valor correspondente de y. 
5x + y = 10 
5.3 + y = 10 
15 + y = 10 
y = 10 – 15 
y = - 5 
Portanto a solução para este sistema de equação é x = 3 e y = - 5 
 
Agora um exemplo que a simples soma não elimina uma das incógnitas. Veja este 
sistema de equações: 


→=−
→=+
Bequaçãoyx
Aequaçãoyx
1352
1023
 
 Note que os termos de y possuem sinais opostos, se os coeficientes fossem 
os mesmos eles se cancelariam ao fazer a adição, como estão eles não se 
cancelam. Mas se multiplicar todos os termos da equação A por 5 e todos os termos 
da equação B por 2 fica: 
( )



→=−
→=+
)2(1352
51023
yx
yx
 


=−
=+
26104
501015
yx
yx
 
 Agora quando as equações são adicionadas, você obtém: 
4
19
76
7619
26104
501015
=
=
=
=−
=+
x
x
x
yx
yx
 
Substituindo o valor de x = 4 em qualquer das equações, obtemos: 
3x + 2y = 10 
3 . 4 + 2y = 10 
12 + 2y = 10 
2y = 10 – 12 
2y = - 2 
y = - 2 : 2 
y = - 1 
 Substitua os valores de x e y nas equações originais para verificar se esta 
solução satisfaz às duas equações. 
 Na verdade todos os sistemas de equação podem ser resolvidos por adição, é 
um método mais prático, necessitando apenas de uma habilidade de percepção de 
qual equação multiplicar e por quanto multiplicar. 
 
 
 
No sistema 


=+
=−
482
3052
yx
yx
 responda: 
a) Se quisermos eliminar a incógnita y por quanto teremos que multiplicar as 
equações A e B? 
b) Se quisermos eliminar a incógnita x por quanto teremos que multiplicar as 
equações A e B? 
c) Qual das opções obtidas nos itens a e b é “mais fácil”? 
d) Poderíamos utilizar a subtração de equações para eliminar uma das incógnitas? 
Como ficaria? 
e) Existe alguma semelhança entre o resultado obtido no item b e no item d? 
f) Encontre o par ordenado que torne as sentenças verdadeiras. 
 
Atividade de Estudo 
 Agora que já temostrês métodos para resolver sistemas de equações, vamos 
examinar situações reais onde sistemas de equações são utilizados. 
 
1. A companhia de Brinquedos Enairam faz triciclos e motos. Os triciclos usam cada 
um três rodas, e as motos duas rodas. Se a companhia Enairam precisa entregar 
Para 
Pensar 
500 veículos entre motos e triciclos e possui somente 1200 rodas disponíveis no 
estoque, quantos veículos de cada modelo ela poderá fazer? 
 
Figura 8: Triciclo 
 
2. A Transportadora Ruas precisa mover 140 toneladas de mercadorias. Fazem 
parte de seu quadro de funcionários 18 motoristas qualificados e dois tipos de 
caminhões. Um tipo pode transportar 25 toneladas e o outro tipo pode transportar 
somente 15 toneladas. Devido a uma exigência do seguro caminhões de 25 
toneladas de capacidade devem ter dois motoristas na cabine durante o 
transporte. Caminhões com capacidade de 15 toneladas precisam de apenas um 
motorista na cabine. Determine quanto caminhão de cada tipo devem ser usados 
para mover a terra em uma viagem utilizando todos os motoristas disponíveis. 
 
Figura 9: Transportadora Ruas 
 
3. Você deve determinar a relação de preços para os assentos de um concerto no 
Teatro Jzaneydy. Você decidiu vender ingressos para dois tipos de lugares: um 
tipo será vendido por R$ 5,00 cada, e o outro tipo por R$ 8,00 cada. Há no teatro 
um total de 1.500 lugares e espera-se que toda a capacidade seja vendida. 
Quantos lugares dos dois tipos devem ser vendidos para obter uma arrecadação 
de R$ 10.500,00. 
 
4. Um vendedor de carros lucra R$ 500,00 para cada carro básico vendido e lucro 
R$ 1.000,00 pra cada carro esporte vendido. O vendedor tem como meta vender 
quatro carros básicos para cada carro esporte vendido e necessita ainda lucrar 
R$ 3.000,00 por semana para cobrir seus custos. Quantos carros básicos e 
quantos carros esporte o vendedor deve vender por semana? 
 
Figura 11: Carro esporte e carro básico 
 
Resumo 
 Em muitas situações, a solução de um problema não pode ser encontrada 
utilizando-se apenas de uma equação. Em diversos problemas são encontradas 
mais de uma equação e mais de uma variável, quando isso acontece, um sistema de 
equações é utilizado para representar a situação e resolvê-la. 
Para resolver um sistema de equações podemos utilizar três métodos: 
���� Método gráfico. 
 Quando o gráfico das duas equações se encontrarem, o ponto de interseção 
(x, y) dá os valores desconhecido que será solução do sistema. 
���� Método da substituição. 
 Utilizando o método da substituição, primeiramente devemos isolar uma das 
incógnitas, para depois substituir seu valor na outra equação. O par de incógnitas 
(x, y) que faz as duas equações tornarem verdadeiras é a solução do sistema. É 
aconselhável utilizar este método quando um dos coeficientes for igual a 1. 
���� Método da adição. 
 O método da adição consiste em primeiramente multiplicar uma ou as duas 
equações por um valor de modo que ao efetuar a adição das equações uma das 
incógnitas desapareça, possibilitando desse modo encontrar a outra. O par de 
incógnitas (x, y) que faz as duas equações verdadeiras é a solução do sistema. É 
aconselhável utilizar este método quando todos os coeficientes das incógnitas forem 
diferentes de um. 
 
∗∗∗∗ Para pesquisar 
 Existe um outro método que não foi abordado neste trabalho denominado 
método dos determinantes; por entendermos que o método dos determinantes é 
aplicável para sistemas lineares de três equações e três incógnitas, mas ele pode 
ser usado em sistemas de duas equações e duas incógnitas. Por isso sugerimos 
uma pesquisa e a resolução do problema abaixo pelo método dos determinantes. 
 
» Um pecuarista tem em sua fazenda 100 cabeças de bois e cavalos. Cada boi 
utiliza um chip de identificação que custa R$ 25,00 e cada chip colocado nos 
cavalos custa R$ 20,00. Quantas cabeças de cada animal têm esse pecuarista 
em sua fazenda se o valor pago para colocar os chips foi de R$ 2.350,00? 
 
Atividade de Laboratório 
 Use os conceitos matemáticos aprendidos para trabalhar a atividade seguinte. 
 
Atividade 1 – Separação de uma mistura. 
Objetivo Resolver uma situação problema utilizando sistema de equações 
Materiais � Caixa de parafusos de 4 ou 5 tamanhos diferentes. 
Dependendo da quantidade de grupos que serão formados. 
� Caixa de porcas de parafusos de 4 ou 5 tamanhos diferentes. 
Dependendo da quantidade de grupos que serão formados. 
� 7 copos plástico, capacidade de 300 ml 
� Balança de precisão digital. 
Enunciado do 
problema 
 
Figura 12: 
Parafuso 
 
O empacotamento dos itens deve ser feito por peso ou contagem. 
Suponha que você possui uma mistura de dois itens diferentes. 
Porcas e Parafusos. Você conhece a contagem total e o peso total 
da mistura, mas você não sabe quantos de cada uma estão 
presentes. Nesta atividade vamos descobrir o peso de cada porca 
e de cada parafuso e determinar quantos de cada item há na 
mistura sem contar tudo. 
Procedimento » Divida a sala em 7 grupos de quatro ou cinco alunos 
» Coloque um número aleatório de porcas e parafusos em um 
copo (sempre do mesmo tipo), no entanto você precisa saber o 
número total de objetos no copo; 
» Entregue os copos com os parafusos e porcas para os grupos 
» Primeiramente peça os grupos para determinar o peso de uma 
porca e o peso de um parafuso, utilize a balança digital para 
isso. Registre os resultados em uma folha de dados. 
» Utilizando a balança de precisão, determine o peso total do 
copo com as porcas e parafusos. Registre esse peso total na 
sua folha de dados. 
» Pese um copo vazio e registre esse valor na folha de dados 
Cálculos a) Fazendo x o número de porcas e y o número de parafusos 
escreva uma equação para o número total de itens no copo. 
b) Você sabe também o peso de cada porca e de cada parafuso 
através de suas medições. Escreva uma equação para o peso 
total das porcas e parafusos. 
c) Do passo anterior, você deve ter duas equações com duas 
incógnitas: x porcas e y parafusos. Resolva estas equações 
utilizando um dos métodos estudados. 
d) Verifique a sua solução substituindo os valores nas equações 
originais. 
e) Examine a solução obtida no item c. Você sabe que deve obter 
números inteiros de porcas e parafusos, não valores 
fracionários. A sua solução matemática resultou em números 
inteiros? Se não, por que isso aconteceu? Refaça os cálculos e 
talvez as medições de peso. 
f) Agora conte as porcas e parafusos no copo. Compare com sua 
solução do sistema para x e y acima. Os valores são iguais? Se 
o número verdadeiro de porcas e parafusos forem diferentes 
dos obtidos na solução do sistema, tente explicar a razão. 
Optativo Utilize o laboratório de informática e um software livre para traçar 
os gráficos das equações e determine o ponto de interseção. O 
valor encontrado no gráfico é o mesmo que você encontrou nos 
passos acima? 
 
 
BIBLIOGRAFIA CONSULTADA. 
GUELLI, Oscar. Matemática: uma aventura do pensamento. São Paulo: Ática, 
1998. 
PAIVA, Manoel. Matemática: volume único. 1. ed. São Paulo: Moderna. 1999.