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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
Professor: Jônison Lucas dos Santos Carvalho
Discente:
Unidade 1
Lista 1 (Equações Diferenciais 1 - MAT0155 - T04 - 2024.2)
1. Classifique as equações diferenciais dizendo a ordem e se são lineares ou não-lineares.
a) (1−x)y ′′−4x y ′+5y = cos x
b) y y ′+2y = 1+x2
c) x3 y (4) −x2 y ′′+4x y ′−3y = 0
d)
d y
d x
=
√
1+
(
d 2 y
d x2
)2
e) (senx)y ′′′− (cos x)y ′ = 2
2. Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. Observação: c1 e c2 são con-
stantes.
a) 2y ′+ y = 0; y = e−x/2
b) y ′−2y = e3x ; y = e3x +10e2x
c) y ′ = 25+ y2; y = 5tg(5x)
d) y ′+ y = senx; y = 1
2
senx − 1
2
cos x +10e−x
e) x2d y +2x yd x = 0; y =− 1
x2
f) y = 2x y ′+ y(y ′)2; y = c1
(
x + 1
4
c1
)
1
g) x y ′′+2y ′ = 0; y = c1 + c2x−1
3. Encontre os valores de m para que y = emx seja solução da equação diferencial
y ′′−5y ′+6y = 0.
4. Encontre os valores de m para que y = xm seja solução da equação diferencial
x2 y ′′− y = 0.
5. Mostre que y1 = 2x +2 e y2 =−x2
2
são ambas soluções de
y = x y ′+ (y ′)2
2
.
As funções c1 y1 e c2 y2, com c1 e c2 constantes arbitrárias são soluções? A soma y1 + y2 é também
solução?
6. Resolva a equação diferencial dada por separação de variável.
a)
d y
d x
= sen(5x)
b) d x +e3x d y = 0
c) (x +1)
d y
d x
= x +6
d) x y ′ = 4y
e)
dS
dr
= kS (k é constante)
f)
dP
d t
= P −P 2
g)
d y
d x
= senx
(
cos(2y)−cos2 y
)
7. Encontre soluções para a equação diferencial dada que passe pelos pontos indicados
d y
d x
− y2 =−9 (0,0), (0,3), (
1
3
,1)
8. Determine se a função f (x, y) = x3+2x y2−y4/x é homogênea e indique o seu grau de homogeneidade,
se for possível.
9. Resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada.
a) (x − y)d x +xd y = 0
2
b) xd x + (y −2x)d y = 0
c) (y2 + y x)d x −x2d y = 0
10. Resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada sujeita à condição inicial
dada.
a) x y2 d y
d x
= y3 −x3, y(1) = 2
b) (x + ye y/x )d x −xe y/x d y = 0, y(1) = 0
11. Suponha que M(x, y)d x +N (x, y)d y = 0 seja uma equação homogênea. Mostre que a equação pode
ser escrita na forma alternativa d y/d x =G(x/y).
12. Verifique se a equação dada é exata. Se for, resolva.
a) (2x −1)d x + (3y +7)d y = 0
b) (5x +4y)d x + (4x −8y3)d y = 0
13. Determine o valor de k para que a equação diferencial a seguir seja exata.
(y3 +kx y4 −2x)d x + (3x y2 +20x2 y3)d y = 0.
14. Resolva a equação diferencial dada, verificando que a função µ(x, y) = x y seja um fator de integração
(−x ysenx +2y cos x
)
d x +2x cos xd y = 0.
15. Mostre que qualquer equação separável de primeira ordem na forma h(y)d y − g (x)d x = 0 é exata.
16. Encontre a solução geral para a equação diferencial dada. Especifique um intervalo no qual a solução
geral é definida.
a)
d y
d x
= 5y
b) 3
d y
d x
+12y = 4
c) 3
d y
d x
+ y = e3x
d) x2 y ′+x y = 1
e) (x +4y2)d y +2yd x = 0
f) (1+ex )
d y
d x
+ex y = 0
3
g)
d y
d x
+ y = 1−e−2x
ex +e−x
h) cos2 x senx d y + (y cos3 x −1)d x = 0
17. Resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial dada.
a) y ′+ (tgx)y = cos2 x, y(0) =−1
b) x(x −2)y ′+2y = 0, y(3) = 6
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