Web aula 1 matematica financeira

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CONJUNTOS NUMÉRICOS
Sendo estas a composição do conjunto numérico, trazemos as composições:
NÚMEROS NATURAIS (N)
O Conjunto dos Números Naturais é composto de todos os números inteiros positivos, incluindo o zero. Sempre são representados pela letra maiúscula N.
Como exemplo de dos conjuntos naturais, temos:
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, …} incluindo o zero.
Quando quisermos excluir o zero, colocamos um asterisco (*) após a letra representativa N:
N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, …}
NÚMEROS INTEIROS (Z)
O Conjunto dos Números Inteiros é composto de todos os números que pertencem ao conjunto dos Naturais, acrescidos dos números negativos. Sempre são representados pela letra Z:
Z = {… -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …}
O conjunto dos inteiros possui alguns subconjuntos, eles são:
Inteiros não negativos (Z+)
São todos os números inteiros positivos. Sendo assim, este conjunto é igual ao conjunto dos números naturais.
São representados por Z+:
Z+ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …}
Inteiros não positivos (Z-)
São todos os números inteiros negativos. São representados por Z-:
Z- = {…, -5, -4, -3, -2, -1, 0}
Inteiros não negativos e não-nulos  (Z*+)
É o conjunto Z+ retirando o zero (e não esqueça de colocar o asterisco) representados por Z*+:
Z*+ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …}
Z*+ = N*
Inteiros não positivos e não nulos (Z*-)
São todos os números do conjunto Z- excluindo o zero. São representados por Z*-.
Z*- = {… -4, -3, -2, -1}
NÚMEROS RACIONAIS (Q)
O Conjunto dos Números Racionais é composto de todos os números inteiros (Z), números decimais finitos (por exemplo, 743,8432) e os números decimais infinitos periódicos (que repete uma sequência de algarismos da parte decimal infinitamente), como “12,050505…”, são também denominados de dízimas periódicas.
Os racionais são representados pela letra Q.
NÚMEROS IRRACIONAIS (I)
O Conjunto dos Números Irracionais é composto dos números decimais infinitos não-periódicos. Eles não podem ser representados por meio de uma fração. Sempre são representados pela letra I. Por exemplo, de número irracional é o número PI (3,14159265 …).
NÚMEROS REAIS (R)
O Conjunto dos Números Reais é composto por todos os conjuntos citados anteriormente (união do conjunto dos racionais com os irracionais).
Sempre são representados pela letra R.
VAMOS ESTUDAR POTÊNCIA!!!
Caro aluno, a potenciação, cujo conceito será amplamente aplicado na matemática financeira e na contabilidade, representa a multiplicação de fatores iguais, ou seja, o número multiplicado por ele mesmo. Na composição da potenciação temos o número (a) e o expoente (b) ab, significando o expoente quantas vezes o número será multiplicado.
PROPRIEDADES DAS POTÊNCIAS
As potências utilizam a propriedade distributiva para a multiplicação e para a divisão.
Exemplo:
a) ( 7  x  2 ) 3 =  73  x  23  =  343 x  8 = 2744
b) ( 3 x  2 ) 2 =  32  x  22  = 9  x  4 = 36
RAZÕES E PROPORÇÕES
Razão
É o resultado da comparação entre duas grandezas. A razão do número a para o número b(diferente de zero) é o quociente de a por b:
a ou a:b (lemos a para b) ou 3 ou 3:5 (três para cinco)
b                                         5
Os números a e b são termos da razão; a é chamado antecedente e b é chamado consequente da razão.
Exemplos:
a) A razão de 20 para 5 é: 20/5 = 4
b) A razão de 3 para 12 é: 3 =  1
                                      12     4
c) A razão entre 5 e 1 é:
                              2      5   = 5 *   2   = 10
                                      1             1
                                      2
Proporção
A igualdade entre duas razões se denomina proporção.
Ex: 16  = 20  os extremos são o 16 e o 5 e os meios o 20 e o 4.
       4       5
Propriedade Fundamental
“Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos”.
Assim, neste exemplo 16  = 20  
                                 4        5
Lido “Dezesseis está para quatro assim como Vinte está para cinco”, 20 * 4 = 16 * 5, por este motivo é uma proporção.
Exemplo:
a) Calcule o valor de x na proporção:   x   = 15
                                                        6        5
Solução:
5 * x = 15 * 6  →  5x  = 90  →  x = 90 / 5 →  x = 18.
ANÁLISE DE INVESTIMENTOS
Pode-se definir Investimento como sendo uma aplicação hoje para a obtenção de uma série de benefícios futuros. O objetivo será trazer retorno adequado aos donos do capital. Serão envolvidos cenários econômicos e políticos de longo prazo.
O cálculo do Valor Presente Líquido – VPL [se refere ao] valor do dinheiro no tempo. Portanto, todas as entradas e saídas de caixa são tratadas no tempo presente. O VPL de um investimento é igual ao valor presente do fluxo de caixa líquido do projeto em análise, descontado pelo custo médio ponderado de capital.
A Taxa Interna de Retorno – TIR é a taxa “i” que se iguala as entradas de caixa ao valor a ser investido em um projeto. Em outras palavras, é a taxa que iguala o VPL de um projeto a zero (LUNELLI, 2013, grifo do autor).
JUROS SIMPLES
O dinheiro que pensamos depositar no banco chamamos de Capital, que nada mais é que o Valor Presente da negociação. Juro é o prêmio que se paga por um capital emprestado. Ou seja, Juros é uma determinada compensação financeira que se recebe ou se paga quando emprestamos, ou recebemos determinados valores por um tempo pré-estabelecido (CRESPO 2009).
A capitalização dos juros pode ser de duas maneiras, a de Juros Simples e a de Juros Compostos.
JUROS SIMPLES: é aquele calculado unicamente sobre o capital inicial.
JUROS COMPOSTOS: é aquele que será calculado a cada intervalo de tempo que será a cada intervalo acrescido a partir do saldo no início de correspondente intervalo. Ou seja: o juro de cada intervalo de tempo é incorporado ao capital inicial e passa a render juros também (APOSTILA..., 2009).
Os juros podem ser calculados pela seguinte fórmula:
 
Sendo:
J = juro
C = capital
i = taxa
t = tempo ou n=tempo
Quanto ao tempo, nesta fórmula ele é medido em anos. Quando a informação for baseada em meses, a fórmula acima será alterada no denominador de 100 para 1200. Para dias, a fórmula acima será alterada no denominador de 100 para 36000.
No livro da disciplina utiliza-se a fórmula J = C.i.n , neste caso, a taxa deverá sempre estar na forma centesimal.
Exemplo:
Neste primeiro exemplo observe que temos um tempo em ano, mês e dias e vamos transformar tudo em dias.
Calcule os juros produzidos por R$ 70.000,00 quando aplicados à taxa de 6% ao ano durante 4 anos.
J = ?
C = 70.000
I = 6% a.a. = 006
t = 4a
Observe que o tempo foi dado em anos.
Pela fórmula, teremos:
J = C.i.t
J = 70.000 x 0,06 x 4
J = R$ 16.800,00
Exemplo:
Neste exemplo vamos trabalhar com alteração na fórmula, pois o exercício dará a taxa de juros em anos e o tempo em meses, assim sendo, vamos alterar o denominador da fórmula de 100 para 1200, conforme mencionado no escopo da explicação.
Calcular o juro simples de um capital de R$ 8.000,00 aplicado à taxa de juros de 5% a.a. pelo prazo de 9 meses.
J = ?
C = 8.000
I = 5% a.a.
t = 9 meses
Pela fórmula, teremos:
J = C.i.t / 1200
J = 8.000 x 5 x 9 meses / 1200
J = 40.000 x 9 meses / 1200
J = 360.000 / 1200
J = R$ 300,00
Exemplo:
Neste exemplo vamos trabalhar com alteração na fórmula para dias, pois o exercício dará a taxa de juros em anos e o tempo em dias, assim sendo, vamos alterar o denominador da fórmula de 100 para 36000, conforme mencionado no escopo da explicação.
Vamos calcular o juro simples de um capital de R$ 5.000,00 aplicado à taxa de juros de 7% a.a. pelo prazo de 100 dias.
J=?
C=5.000
I=7% a.a.
t = 100 dias
Pela fórmula teremos:
J=C.i.t/ 36.000
J=5.000 x 7 x 100 dias  / 36.000
J=35.000 x 100 dias  / 36.000
J = 3.500.000 / 36.000
J = R$ 97,22
APROFUNDANDO CONHECIMENTO!!!
Você notou que quando nos referenciamos a taxa de juros sempre é mencionada a qual período corresponde, por exemplo: 3% a.a, 2% a.t. ou 1% a.m.
E você sabe o que cada especificação desta representa?a.a. → ao ano           (1 ano => 360 dias)
a.s. → ao semestre   (1 semestre => 180 dias)
a.t.  → ao trimestre   (1 trimestre => 90 dias)
a.m. → ao mês          (1 mês => 30 dias)
Mas ainda pode-se representar o número 1% na sua forma decimal, observe:
1% a.t = 0,01 a.t., ou seja, 1 dividido por 100.
5% a.t = 0,05 a.t., ou seja, 5 dividido por 100.
10% a.t = 0,10 a.t., ou seja, 10 dividido por 100.
Notem que pela fórmula J =  podemos achar o Capital aplicado, o tempo ou ainda a taxa, não somente os juros. Para tanto, você aluno deverá prestar muita atenção no enunciado do problema.
Exemplo
Aplicou-se a importância de R$ 3.000,00 pelo prazo de 240 dias, à taxa de 12% a.a., Qual o valor do juro a receber?
J = C.i.t / 36000
J = 3.000. 12. 240 dias / 36000 → J = R$ 240,00
Exemplo
Qual o tempo necessário para que R$ 600.000,00, a 5 % a.a, rendam R$ 90.000,00 de juros simples
J = C.i.t / 100
t = J / Ci
t = 90.000/600.000 . 0,05 =  => t = 3 anos
MONTANTE SIMPLES
Montante ou valor nominal é o capital inicial aplicado (valor atual) e somado com o valor dos juros produzidos no período de aplicação.
Se temos R$2.000,00 aplicados e, após 6 meses, tenhamos R$ 100,00 de juros, o montante agora será de R$ 2.100,00.
Montante = Capital Principal + Juros
Montante = Capital Principal + (Juros = C.i.t / 100). Lembre-se que J = C.i.t / 100
Então:
Montante = Capital Principal + (C.i.t / 100)          
Exemplo:
Que montante receberá um aplicador que tinha investido R$ 28.000,00 durante 15 meses, à taxa de 3% ao mês?
Solução:
M = ?          C= 28.000,00      i = 3      t = 15
M = 28.000 + (28.000 x 3 x 15 / 100) =
M = 28.000 + (28.000 x 3 x 15 / 100) =
M = 28.000 + 12.600 = 40.600
Fonte: Mozer (2013).
Sugestão: Refaça os exercícios sobre juros simples utilizando a fórmula utilizada no livro da disciplina, lembrando que para esta tarefa sua taxa deverá estar na forma centesimal.
J = C.i.n
Ex.: taxa de 3% a.m → forma centesimal 3/100 → 0,03
DESCONTO SIMPLES
Desconto é a quantia a ser abatida do valor nominal, isto é, a diferença entre o valor nominal e o valor atual.
Imagine que, na data de hoje, você achou uma liquidação imperdível e efetuou uma determinada compra de roupas, mas como você não dispunha deste dinheiro todo no momento, você pediu uma fatura com vencimento para daqui a 30 dias no valor de R$ 250,00. Mas dez dias após a compra você acaba por receber um dinheiro que não estava esperando. Então decide saldar a dívida da compra de roupas e se dirige à loja. Chegando lá, o Senhor José, que é o responsável pelo caixa, verifica sua fatura que terá vencimento somente daqui a 20 dias e comenta que com a liquidação da dívida você obterá um desconto de 5% sobre o valor de R$ 250,00, sendo ele então R$ 12,50.
Logo, a diferença entre o Valor Nominal da dívida de R$ 250,00 e o valor do desconto R$ 12,50 será considerado o valor Antecipado da fatura de R$ 237,50.
Concluímos que o Desconto é a operação inversa ao Montante.
Montante é o valor do Capital Principal mais o valor dos juros, gerando um valor futuro, e o desconto caracteriza-se em diminuir um valor de uma quantia futura (Valor Nominal).
Fonte: Mozer (2013).
Quando a operação é com Desconto Simples, deve-se saber que existem dois tipos de descontos:
Desconto Racional (ou também chamado “por dentro”) e Desconto Comercial (ou chamado de “por fora”) → utilizado no comércio de modo geral e operações financeiras.
Definimos:
N = Valor Nominal do título → É o valor de fato do título que aparece no documento (promissória, cheque, etc...).
A = Valor Atual comercial → Valor da liquidação, ou seja, valor no ato da liquidação.
Desconto → Caracteriza-se pela diferença (-) entre o Valor Nominal do título e o Valor atual do título (Valor liquidado).
d = Desconto comercial → Para efetuar este de desconto cálculo utiliza-se o valor Nominal e o valor Atual do título, é o desconto.
i = a taxa de desconto
t = tempo
Fórmula para o Cálculo do Desconto por Fora:
D = Desconto por dentro → É basicamente o inverso do Desconto por fora, pois neste calcula-se o desconto sobre o valor atual e soma-se a ele (valor atual) o valor obtido (desconto), desta forma, determina-se o Valor Nominal.
Exemplo:
Qual é o desconto por fora de um título de R$ 10.500,00 descontado 5 meses antes do vencimento a uma taxa de 30% ao ano?
Solução:                  
d = N.i.t / 1200
N = 10.500,00            i = 30% ao ano          t = 5 meses antes
d = 10.500 x 30 x 5 / 1200     => d = R$ 1.312,50
Exemplo
Determine o valor do desconto por dentro de um título de R$ 2.000,00, com vencimento para 3 meses, sabendo que a taxa é de 2,5 % ao mês.
d = N.i.t / 1200+ i.t
N= 2000,00         i =2,5 a.m        t= 3 meses
d= 2000.2,5. 3/ 100+2.5.3         d = 139,53