Cálculo II Integral

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TRABALHO DE CÁLCULO II 
 Turma: Engenharia Civil 
 VALOR: 5 Pontos. 
 
 
 
QUESTÃO 1: Calcule o volume do sólido obtido pela revolução da função 
𝑓(𝑥) =
√tan⁡(𝑥)
cos⁡(𝑥)
 no intervalo 0 ≤ 𝑥 ≤
𝜋
4
 em torno do eixo dos x. 
 
QUESTÃO 2: A figura abaixo mostra um carrinho passando por um trecho de uma 
estrada. Entre os pontos PCV e PTV temos uma curva que pode ser modelada 
matematicamente pela parábola 𝑓(𝑥) = 1/2𝑥2, sabendo que a distância horizontal entre 
os dois pontos mencionados é 2 km (0 ≤ 𝑥 ≤ 2) calcule o comprimento do trecho curvo. 
 
QUESTÃO 3: A figura abaixo ilustra uma ponte suspensa por estruturas metálicas em 
forma de arco de parábola descrito pela função 𝑦 = 𝑎𝑥2+c 
 
Os pontos A, B, C, D e E estão no mesmo nível da estrada e a distância entre quaisquer 
dois consecutivos é 25m. Sabendo-se que os elementos de sustentação são todos 
perpendiculares ao plano da estrada e que a altura do elemento central CG é 20m, calcule 
o comprimento do arco da ponte, considerando que quando x=0 m y=20 m. 
 
QUESTÃO 4: Calcule o volume do sólido de revolução limitado entre as curvas y=cosx 
e y=senx no primeiro quadrante. 
QUESTÃO 5: ÁREA ENTRE CURVAS: 
PROBLEMA: obter a área a ser preenchida com telha para este ginásio (como mostrada na 
figura abaixo) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RESOLUÇÃO: 
Considerando um arco de circunferência (x2+y2+Ax+By+C=0) passando pelos pontos 
 (-6,0), (0,4) e (6,0) (veja a figura abaixo) : 
7 m 
20 m 
3 m 
12 m 
 
Temos a seguinte equação para o arco 𝑦 = √
169
4
− 𝑥2 −
5
2
 
Que nos leva a seguinte integral para a área: 
𝐴 = ∫ √
169
4
− 𝑥2𝑑𝑥 − ∫
5
2
6
−6
𝑑𝑥
6
−6
 
PROBLEMA PROPOSTO: Resolva a integral acima (GABARITO: O resultado será: A=34,6862 m2) 
Exercício 6: Seja a região formada por 
xy 
 e 
40  x
. A função gira em torno 
do eixo x para gerar um sólido. Determine o seu volume. 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 7: Determine o volume do sólido obtido com a rotação, em torno do eixo y, 
da região compreendida entre o eixo y e a curva 
y
x
2

 com 
41  y
. 
 
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
y
x