USF_EAD_Métodos_quantitativos_Completo (1)

Prévia do material em texto

FLÁVIA CRISTINA FRANCO DE LIMA ROSA
JEFFERSON TADEU DE GODOI PEREIRA
MÉTODOS QUANTITATIVOS
2024
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Jefferson Tadeu de Godoi Pereira
Flávia Cristina Franco de Lima Rosa
PRESIDENTE 
Frei Thiago Alexandre Hayakawa, OFM
DIRETOR GERAL 
Jorge Apóstolos Siarcos 
REITOR 
Frei Gilberto Gonçalves Garcia, OFM 
VICE-REITOR 
Frei Thiago Alexandre Hayakawa, OFM
PRÓ-REITOR DE ADMINISTRAÇÃO E PLANEJAMENTO 
Adriel de Moura Cabral 
PRÓ-REITOR DE ENSINO, PESQUISA E EXTENSÃO 
Dilnei Giseli Lorenzi 
COORDENADOR DO NÚCLEO DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA - NEAD 
Franklin Portela Correia
CENTRO DE INOVAÇÃO E SOLUÇÕES EDUCACIONAIS - CISE
Franklin Portela Correia
CURADORIA TÉCNICA
Murillo Preto Cardoso Junior
DESIGNER INSTRUCIONAL 
Benedito José de Carvalho
 REVISÃO ORTOGRÁFICA
Karina Novais
PROJETO GRÁFICO
Centro de Inovação e Soluções Educacionais - CISE
CAPA
Centro de Inovação e Soluções Educacionais - CISE
DIAGRAMADORES
Andréa Ercília Calegari
© 2024 Universidade São Francisco
Avenida São Francisco de Assis, 218
CEP 12916-900 – Bragança Paulista/SP
CASA NOSSA SENHORA DA PAZ – AÇÃO SOCIAL FRANCISCANA, PROVÍNCIA 
FRANCISCANA DA IMACULADA CONCEIÇÃO DO BRASIL – 
ORDEM DOS FRADES MENORES
OS AUTORES
JEFFERSON TADEU DE GODOI PEREIRA
Possui graduação em Matemática pela Universidade São Francisco (2009), graduação 
em Tecnologia em gestão financeira pela Faculdade de Tecnologia de Bragança Paulis-
ta (2014) e mestrado em Educação pela Universidade São Francisco (2019). Atualmen-
te é professor convidado da Universidade São Francisco e professor de educação bási-
ca - SECRETARIA DA EDUCAÇÃO DO ESTADO DE SÃO PAULO. Tem experiência na 
área de Educação, com ênfase em Educação matemática, atuando principalmente nos 
seguintes temas: educação matemática, ensino fundamental, pensamento algébrico, 
análise de discurso e vozes.
FLÁVIA CRISTINA FRANCO DE LIMA ROSA
Possui graduação em Matemática e mestrado em Engenharia e Ciência de Materiais 
pela Universidade São Francisco. Atualmente é professora de Ensino Superior da Uni-
versidade São Francisco nos cursos de Graduação Presencial, Programa de Educação 
a Distância (PED) e coordenadora dos Programas de Nivelamento da USF. Possui ex-
periência na área de exatas, ministrando várias disciplinas em diversos cursos, princi-
palmente nas Engenharias. Atuou também como professora no Ensino Fundamental e 
no Ensino Médio, além da autoria de materiais didáticos.
SUMÁRIO
UNIDADE 01: ESTATÍSTICA DESCRITIVA ............................................................6
1. Estatística descritiva ............................................................................................6
2. Organização dos dados em tabelas ....................................................................9
3. Representação em gráficos ................................................................................14
4. Principais medidas de Estatística Descritiva .......................................................18
UNIDADE 02: PROBABILIDADE E DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE ....44
1. Conceitos iniciais .................................................................................................44
2. Cálculo de Probabilidades ...................................................................................48
3. Probabilidade Condicional ...................................................................................60
4. Distribuição de probabilidades ............................................................................61
UNIDADE 03: NOÇÕES DE AMOSTRAGEM ........................................................80
1. Vantagens e desvantagens da Amostragem .......................................................81
2. Tamanho da Amostra...........................................................................................85
3. Estimativas por intervalo e Teste de Hipóteses ...................................................91
UNIDADE 04: CORRELAÇÃO E REGRESSÃO ....................................................104
1. Correlação ...........................................................................................................105
2. Regressão ...........................................................................................................112
1
1
Estatística Descritiva UNIDADE 1
ESTATÍSTICA DESCRITIVA
INTRODUÇÃO
De modo geral, a condução de estudos a partir do método científico traz a necessidade 
de se analisar quantitativamente fenômenos que não podem ser predeterminados de-
terministicamente, ou seja, situações em que não há uma fórmula matemática que seja 
capaz de prever o que vai acontecer no futuro.
Nessas situações, a utilização dos chamados Métodos Quantitativos se faz funda-
mental para produzir evidências científicas de que as hipóteses levantadas pela pesqui-
sa são verdadeiras ou não. 
1. ESTATÍSTICA DESCRITIVA
A Estatística se divide em duas partes: descritiva e inferencial. Na estatística descritiva 
é possível fazer o levantamento, a organização, a classificação e a descrição dos da-
dos, seja em gráficos ou em tabelas. Já na estatística inferencial, também conhecida 
como estatística indutiva, é possível estabelecer, por meio de estudos com dados, a 
formulação de hipóteses, analisar sua veracidade e, em seguida, obter conclusões ge-
neralizando para toda a população.
A estatística descritiva também nos fornece um resumo sobre a amostra e as análises 
e observações que foram realizadas, o que pode ser suficiente ou servir de base para 
um estudo mais profundo.
Para isso será necessário definirmos dois conceitos:
I. POPULAÇÃO
Refere-se a todos os elementos ou indivíduos de um conjunto que estamos interessados 
em estudar alguma característica. A população pode ser classificada de duas formas:
Compreendemos com Métodos Quantitativos as ferramentas produzidas pela Probabilidade 
e pela Estatística.
ATENÇÃO
2
1
U
ni
ve
rs
id
ad
e 
S
ão
 F
ra
nc
is
co
Métodos quantitativos
IMPORTANTE
EXEMPLO
Na grande maioria das vezes é impossível conduzir um estudo estatístico a partir da popula-
ção. Tal impossibilidade se instaura frente ao tempo que seria necessário para se desenvol-
ver tal procedimento; e também no custo financeiro para tal tarefa. Dessa forma, observe o 
segundo conceito.
 ` Variáveis qualitativas nominais: estado civil, nacionalidade.
 ` Variáveis qualitativas ordinais: grau de escolaridade.
 ` Variáveis quantitativas discretas: número de filhos, quantidade de livros.
 ` Variáveis quantitativas contínuas: idades.
 ` Finita: contagem limitada de elementos.
 ` Infinita: possui um número ilimitado de elementos, ou seja, impossível ou difícil de determinar.
 ` Qualitativas: expressam uma característica.
 ` Quantitativas: expressam uma quantidade.
Os dados qualitativos se subdividem em:
 ` Nominais: não há uma ordem estabelecida entre as possibilidades.
 ` Ordinais: há uma ordem estabelecida entre as opções. 
Os dados quantitativos podem ser:
 ` Contínuos: admitem qualquer valor de número real.
 ` Discretos: admitem apenas valores numéricos inteiros. 
II. AMOSTRA
Conjunto de elementos extraídos da população, ou seja, parte dos elementos da popu-
lação (subconjunto).
Em um estudo estatístico, cada uma das características observadas é chamada de va-
riável. São exemplos de variáveis: idade, estado civil, grau de escolaridade.
As variáveis (ou dados) podem ser classificadas em:
3
1
Estatística Descritiva
A representação da variável também pode ser classificada a partir do seu nível 
de mensuração:
Observe a tabela a seguir. A partir dele serão apresentados os diferentes níveis 
de mensuração.
Tabela 01. Dados coletados sobre a preferência de dez consumidores em relação a três produtos 
fabricados por uma determinada empresa
Tabela 02. Preferência por produtos de uma determinada empresa
Fonte: elaborada pelos autores.
ESCOLHA DO PRODUTO ESCOLARIDADE RENDA FAMILIAR (R$)
Produto A. Fundamental 1.200 
Produto C Médio 1.350
Produto C Médio 2.000daremos enfoque na distribui-
ção binomial, e na distribuição de variável aleatória contínua, será abordada a distribui-
ção normal.
Na distribuição de probabilidades, temos:
 ` Duração média de uma lâmpada;
 ` Ocorrência de 3 peças defeituosas num lote com 15 peças;
 ` Ocorrência de exatamente 1 cara no lançamento de 7 moedas.
 ` Variável aleatória: associa cada elemento do espaço amostral a um número real.
 ` Variável aleatória discreta
 ` Variável aleatória contínua
São exemplos de variáveis aleatórias discretas: o número de clientes e o número de 
vezes que uma moeda é lançada para cima.
Já as variáveis aleatórias contínuas são aquelas geralmente obtidas através de uma 
medição (tempo que um operário gasta em uma tarefa, diâmetros médios de parafusos 
etc.). Assim, pode-se definir como variável aleatória contínua aquela que pode assumir 
todos os valores possíveis dentro de um intervalo de números reais.
Logo, a distribuição de probabilidade é uma função que tem por objetivo determinar 
probabilidade de eventos e/ou proposições.
Existem várias formas e maneiras de determinar uma distribuição de probabilidades, 
uma delas é pela função densidade de probabilidade, que por meio de sua integração é 
possível obter a probabilidade de um evento.
Seguem alguns exemplos em que podem ser utilizadas as distribuições de probabilidade:
 ` Aleatória discreta – exemplo: distribuição binomial
 ` Aleatória contínua – exemplo: distribuição normal
Tipos de distribuição de probabilidades:
4.1 DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL
Para a utilização da distribuição binomial de probabilidades, é necessário que em cada 
ensaio (experimento) sejam admitidas apenas duas possibilidades: a ocorrência ou a 
63
2
Métodos quantitativos
U
ni
ve
rs
id
ad
e 
S
ão
 F
ra
nc
is
co
 ` No experimento, deve-se contar com um número fixo de provas;
 ` As provas devem ser independentes, ou seja, a probabilidade de ocorrência de uma não 
implica na probabilidade da outra;
 ` Todos os resultados de cada prova devem ser enquadrados em duas classes: sucesso ou 
fracasso, e suas respectivas probabilidades devem permanecer constantes em cada prova.
Para determinar a probabilidade, aplicaremos a fórmula:
( ) , . .y n y
n yP x y C p q −= =
Onde:
 y → número de sucessos (quantidade de vezes que deverá ocorrer o que desejamos);
 n → número total de tentativas e/ou observações;
 p → probabilidade de sucesso;
 q → probabilidade de fracasso;
( ),
!
! !n y
nC
y n y
= →
− combinação de n em y (quantidade de combinações que podem ocorrer 
os sucessos e fracassos).
Importante: Observe que 1q p= − .
3
não ocorrência de um determinado evento, conhecidos como a probabilidade de suces-
so (p) e a probabilidade de fracasso (q).
Independentemente da ordem em que ocorram, se desejamos saber a probabilidade 
da ocorrência de n sucessos, então podemos dizer que a variável aleatória n admite 
distribuição binomial de probabilidades.
Observações:
64
Probabilidade e Distribuições de Probabilidade
2
Exemplo 20
Sabe-se que em uma linha de produção há 10% de probabilidade de se encontrar peças 
defeituosas e deverão ser realizadas inspeções em 12 peças. Determine a probabilidade de 
se encontrar:
a) Exatamente uma peça com defeito;
b) Nenhuma peça com defeito;
c) No máximo duas peças com defeito.
Resolução:
Para este problema, temos que a probabilidade de sucesso é a chance de encontrar uma 
peça defeituosa, ou seja, p = 10% = 0,1 e q = 90% = 0,9. Como contamos com 12 peças para 
inspeção, n = 12.
a) Exatamente uma peça com defeito – deve-se calcular a combinatória para 12n = e 1y = .
( ) ( ), 12,1
! 12! 
! ! 1! 12 1 !n y
nC C
y n y
= → =
− −
12,1
12!
1!11!
C =
Observação: 12! (lê-se como 12 fatorial) deve ser calculado como:
12! 12.11.10.9.8.7.6.5.4.3.2.1 479001600= =
Para facilitar, vamos calcular a combinatória eliminando os elementos:
12,1
12.11!
1!11!
C =
12,1
12
1!
C =
Sabe-se que 1! 1= , portanto:
12,1
12 12
1
C = =
65
2
Métodos quantitativos
U
ni
ve
rs
id
ad
e 
S
ão
 F
ra
nc
is
co
Substituindo na fórmula de distribuição binomial:
12n = 1y = 0,10p = 1 0,1 0,9q = − = 12,1 12C =
 ( ) 1 12 11 12.0,1 .0,9P x −= =
 ( ) 111 12.0,1.0,9 0,3766 37,66%P x ou= = ≅
Atenção:
1. Utilize seis casas decimais nos arredondamentos parciais (no meio do
desenvolvimento do exercício);
2. São suficientes duas casas decimais na resposta final em porcentagem.
b) Nenhuma peça com defeito 0→ =y
 
( ) ( ), 12,0
! 12! 
! ! 0! 12 0 !n y
nC C
y n y
= → =
− −
 12,0
12!
0!12!
C =
Sabe-se que 0! 1= , portanto:
 12,0
12! 1
12!
C = =
Observação: 
12!
12!
 é igual a 1, pois todo número dividido por ele mesmo é igual a 1.
12n = 0y = 0,10p = 1 0,1 0,9q = − = 12,0 1C =
 ( ) 0 12 00 1.0,1 .0,9P x −= =
 ( ) 120 1.1.0,9 0,2824 28,24%P x ou= = ≅
c) No máximo duas peças com defeito. Deve-se calcular a soma de todas as probabilidades 
menores ou iguais a 2.
66
Probabilidade e Distribuições de Probabilidade
2
 ( ) ( ) ( ) ( )2 0 1 2P x P x P x P x≤ = = + = + =
 ( )0 0,2824P x = ≅
 ( )1 0,3766P x = ≅
Falta calcular ( )2P x = , para isso:
 
( ) ( ), 12,2
! 12! 
! ! 2! 12 2 !n y
nC C
y n y
= → =
− −
 12,2 12,2
12! 12.11.10! 
2!10! 2!10!
C C= → =
 12,2
12.11 132 66
2.1 2
C = = =
Substituir na fórmula de distribuição binomial:
12n = 2y = 0,10p = 1 0,1 0,9q = − = 12,0 66C =
 ( ) , . .y n y
n yP x y C p q −= =
 ( ) 2 12 22 66.0,1 .0,9P x −= =
 ( ) 2 102 66.0,1 .0,9 0,2301 23,01%P x ou= = ≅
Logo,
 ( ) ( ) ( ) ( )2 0 1 2P x P x P x P x≤ = = + = + =
 ( )2 0,2824 0,3766 0,2301 0,8891 88,91%P x ou≤ ≅ + + ≅
67
2
Métodos quantitativos
U
ni
ve
rs
id
ad
e 
S
ão
 F
ra
nc
is
co
A sentença “no máximo duas peças com defeito” significa que podemos ter duas peças com 
defeito, uma peça com defeito ou ainda nenhuma peça com defeito. Logo, podemos interpre-
tar como a probabilidade de ser menor ou igual a 2, isto é:
( ) ( ) ( ) ( )2 0 1 2P x P x P x P x≤ = = + = + =
Exemplo 21
( ) ( ), 10,0
! 10! 
! ! 0! 10 0 !n y
nC C
y n y
= → =
− −
10,0
10! 10! 1
0!10! 10!
C = = =
( ) ( ) 0 10 0
, . . 0 1.0,05 .0,95y n y
n yP x y C p q P x− −= = → = =
( ) 100 1.1.0,95 0,5987 59,87%P x ou= = ≅
Sabe-se que 5% das garrafas plásticas de uma determinada marca são defeituosas. Consi-
derando uma amostra de 10 garrafas plásticas desta marca, escolhidas ao acaso, encontre 
a probabilidade de que:
a) Nenhuma delas apresente defeito;
b) Exatamente três delas apresentem defeito;
c) Uma ou duas apresentem defeito;
d) No máximo três delas apresentem defeito.
Resolução:
Para este problema, temos que a probabilidade de sucesso é a probabilidade de se encontrar 
uma garrafa plástica que apresente defeito, ou seja, defeituosa. Assim, p = 5% = 0,05 e q = 
95% = 0,95. Como contamos com uma amostra de 10 garrafas plásticas, n = 10.
a) Nenhuma delas apresente defeito;
b) Exatamente três delas apresentem defeito;
10,3
10! 10.9.8.7!
3!7! 3!7!
C = =
( ) ( ), 10,3
! 10! 
! ! 3! 10 3 !n y
nC C
y n y
= → =
− −
IMPORTANTE
68
Probabilidade e Distribuições de Probabilidade
2
c) Uma ou duas apresentem defeito;
( ) ( )1 2P x P x= + =
( )10,1
10! 10!
1! 10 1 ! 1!9!
C = =
−
10,1
10.9!
1!9!
C =
10,1
10 10
1!
C = =
( ) ( ) 1 10 1
, . . 1 10.0,05 .0,95 y n y
n yP x y C p q P x− −= = → = = →
( ) 1 91 10.0,05 .0,95 0,3151P x = = ≅
( )10,2
10! 10!
1! 10 2 ! 1!8!
C = =
−
10,2
10.9.8!
2!8!
C =
10,2
90 90 45
2! 2
C = = =
( ) ( ) 2 10 2
, . . 2 45.0,05 .0,95 y n y
n yP x y C p q P x− −= = → = = →
( ) 2 82 45.0,05 .0,95 0,0746P x = = ≅
Logo, ( ) ( )1 2 0,3151 0,0746 0,3897 38,97%P x P x ou= + = = + = .
10,3
10.9.8 720 120
3.2.1 6
C = = =
( ) ( ) 3 10 3
, . . 2 120.0,05 .0,95y n y
n yP x y C p q P x− −= = → = =
( ) 3 72 120.0,05 .0,95 0,0105 1 ,05%P x ou= = ≅
69
2
Métodos quantitativos
U
ni
ve
rs
id
ad
e 
S
ão
 F
ra
nc
is
co
Exemplo 22
As balas de goma BG são vendidas em pacotes sortidos com as balas nas cores amarela, 
vermelha, verde e laranja.A empresa fabricante afirma que 20% das balas de goma BG são 
amarelas. Determine:
a) A probabilidade de que, em 20 balas de goma BG escolhidas aleatoriamente, exatamen-
te 3 sejam da cor amarela.
b) A probabilidade de que, em 15 balas de goma BG escolhidas aleatoriamente, exatamen-
te 10 não sejam da cor amarela.
Resolução:
a) Desejamos encontrar exatamente três balas amarelas, logo, a probabilidade de “sucesso” 
é a probabilidade de ser da cor amarela. Então, p = 20% = 0,2 e q = 80% = 0,8 e n = 20.
( ) , . .y n y
n yP x y C p q −= =
( ) 3 20 3
20,33 .0, 2 .0,8P x C −= =
( ) 3 173 1140.0,2 .0,8 0,2054P x = = ≅
b) Desejamos encontrar exatamente 10 balas que não sejam amarelas, logo, a probabili-
dade de “sucesso” é a probabilidade de não ser da cor amarela. Então, p = 80% = 0,8 e 
q = 20% = 0,2 e n = 15.
( ) , . .y n y
n yP x y C p q −= =
( ) 10 15 10
15,1010 .0,8 .0,2P x C −= =
( ) 10 510 3003.0,8 .0,2 0,1032 1 0,32%P x ou= = ≅
d) No máximo três delas apresentem defeito.
( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 0 1 2 3P x P x P x P x P x≤ = = + = + = + =
( )3 0,5987 0,3151 0,0746 0,0105 0,9989 99,89%P x ou≤ ≅ + + + ≅
70
Probabilidade e Distribuições de Probabilidade
2
Exemplo 23
II. Distribuição normal
A distribuição normal é uma das ferramentas mais utilizadas no cálculo de probabilida-
des, também conhecida como modelo gaussiano, por ter sido criada pelo matemático 
Carl Friedrich Gauss.
É possível determinar a probabilidade pela distribuição normal, com a utilização de 
parâmetros como média e desvio-padrão. Seu gráfico tem a forma de sino, cuja área 
é igual a 100%. Além disso, a média divide a curva ao meio e também é seu eixo de 
simetria, por isso a tabela fornece áreas acima de valores não negativos.
Quando uma variável aleatória possui distribuição normal com média igual a zero e 
desvio-padrão igual a um, é conhecida como distribuição normal padrão ou distribuição 
normal reduzida.
Na maioria dos casos, temos uma distribuição normal com média diferente de 0 e desvio-
-padrão diferente de 1. Daí devemos reduzi-la a uma variável Z, por meio da fórmula padrão:
xZ µ
σ
−
=
Onde:
 µ → média populacional
 σ → desvio-padrão populacional
Com isso, a distribuição passa a ter média 0 e desvio-padrão 1. E por ser muito utiliza-
da, existe uma tabela no final do livro com os valores resultantes de suas integrais das 
funções densidades.
Vamos supor que a carga de ruptura de uma corda utilizada em cintos de segurança tem 
distribuição normal com média de 20 kN e desvio-padrão de 0,8 kN.
a) Qual a porcentagem de cordas que apresentam carga de ruptura superior a 19,2 kN?
b) Qual a porcentagem de cordas que apresentam carga de ruptura entre 17,44 e 19,2 kN?
c) Qual é a porcentagem de cabos que apresentam carga de ruptura menor que 17,44 kN?
Resolução:
a) Como esta situação não nos dá uma distribuição normal padrão, aquela que possui 
0µ = e 1σ = , deve-se converter a variável x em variável z por meio da seguinte 
fórmula:
4
71
2
Métodos quantitativos
U
ni
ve
rs
id
ad
e 
S
ão
 F
ra
nc
is
co
xZ µ
σ
−
=
Para encontrar ( 19,2)P x > , utiliza-se 19,2x = . Substituindo na fórmula 20µ = e 
0,8σ =
19,2 20 1,00
0,8
xZ Zµ
σ
− −
= → = = −
A partir do valor Z calculado, deve-se consultar a tabela de distribuição normal, a qual segue:
Tabela 02. Distribuição normal padrão
Distribuição normal Padronizada (z)
ÁREA OU PROBABILIDADES PARA A 
DISTRIBUIÇÃO NORMAL - PADRÃO ACUMULADA*
0,5 z
z .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09 
0.0 0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.5359 
0.1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.5753 
0.2 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.6141 
0.3 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6406 0.6443 0.6480 0.6517 
0.4 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844 0.6879 
0.5 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.7190 0.7224 
0.6 0.7257 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422 0.7454 0.7486 0.7517 0.7549
0.7 0.7580 0.7611 0.7642 0.7673 0.7704 0.7734 0.7764 0.7794 0.7823 0.7852 
0.8 0.7881 0.7910 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078 0.8106 0.8133 
0.9 0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.8340 0.8365 0.8389 
1.0 0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577 0.8599 0.8621 
1.1 0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.8729 0.8749 0.8770 0.8790 0.8810 0.8830 
1.2 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.8980 0.8997 0.9015 
1.3 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.9177 
1.4 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.9306 0.9319 
1.5 0.9332 0.9345 0.9357 0.9370 0.9382 0.9394 0.9406 0.9418 0.9429 0.9441 
1.6 0.9452 0.9463 0.9474 0.9484 0.9495 0.9505 0.9515 0.9525 0.9535 0.9545 
1.7 0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9599 0.9608 0.9616 0.9625 0.9633 
72
Probabilidade e Distribuições de Probabilidade
2
Fonte: elaborada pelos autores.
As probabilidades em uma distribuição normal, correspondem à área que se forma sob a 
chamada curva normal, a qual está representada no canto superior direito da tabela.
Para cada possível valor de z , a tabela indica a área de que forma para Z z − .
Sabe-se que a curva normal é simétrica, ou seja, para calcular 
( ) ( )1,00 1,00P z P z> − = − =
IMPORTANTE
1.8 0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 0.9699 0.9706 
1.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9761 0.9767 
2.0 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.9817 
2.1 0.9821 0.9826 0.9830 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.9850 0.9854 0.9857 
2.2 0.9861 0.9864 0.9868 0.9871 0.9875 0.9878 0.9881 0.9884 0.9887 0.9890 
2.3 0.9893 0.9896 0.9898 0.9901 0.9904 0.9906 0.9909 0.9911 0.9913 0.9916 
2.4 0.9918 0.9920 0.9922 0.9925 0.9927 0.9929 0.9931 0.9932 0.9934 0.9936 
2.5 0.9938 0.9940 0.9941 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948 0.9949 0.9951 0.9952 
2.6 0.9953 0.9955 0.9956 0.9957 0.9959 0.9960 0.9961 0.9962 0.9963 0.9964 
2.7 0.9965 0.9966 0.9967 0.9968 0.9969 0.9970 0.9971 0.9972 0.9973 0.9974 
2.8 0.9974 0.9975 0.9976 0.9977 0.9977 0.9978 0.9979 0.9979 0.9980 0.9981 
2.9 0.9981 0.9982 0.9982 0.9983 0.9984 0.9984 0.9985 0.9985 0.9986 0.9986 
3.0 0.9987 0.9987 0.9987 0.9988 0.9988 0.9989 0.9989 0.9989 0.9990 0.9990 
3.1 0.9990 0.9991 0.9991 0.9991 0.9992 0.9992 0.9992 0.9992 0.9993 0.9993 
3.2 0.9993 0.9993 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9995 0.9995 0.9995 
73
2
Métodos quantitativos
U
ni
ve
rs
id
ad
e 
S
ão
 F
ra
nc
is
co
1. Sempre arredondar o valor de Z com duas casas decimais para utilizar a Tabela 
de Distribuição Normal Padronizada apresentada.
2. Lembre-se que a tabela sempre fornecerá as probabilidades para ( )P Z z , deve-se utilizar a propriedade dos eventos complementares.
3. Para encontrar o valor na tabela, devemos observar que a parte inteira e a pri-
meira casa decimal, no caso 1,0, estão representadas na borda esquerda da tabela, 
e a segunda casa decimal (nesse caso, 0,00) está representada na borda superior 
da tabela. Assim, ligando linha e coluna cujos valores foram encontrados, obtemos 
o valor igual a 0,8413.
b) Qual a porcentagem de cordas que apresentam carga de ruptura entre 
17,44 e 19,2 kN?
Precisamos calcular ( )17,44 19,2P xapresentam carga de ruptura entre 17,44 e 19,2 kN é 
igual a 15,8%.
c) Qual é a porcentagem de cabos que apresentam carga de ruptura menor que 17,44 kN?
Precisamos calcular: ( )17,44P x .
Figura 06. Distribuição normal para 50µ = e 4σ = , para 55x 
56,5 50 1,62 0,9474
4
xZ tabelaµ
σ
− −
= = = → →
( )56,5 1 0,9474 0,0526 5,26%P x > = − = =
5550
56,550
77
2
Métodos quantitativos
U
ni
ve
rs
id
ad
e 
S
ão
 F
ra
nc
is
co
 ` Quando o valor calculado de Z for negativo, procure o valor em módulo na tabela, ou seja, o 
valor absoluto (positivo), e subtraia do 1, como no item a do exercício 3.
 ` Quando interpretamos o exercício e utilizamos ( )P x … para obter o resultado final, 
precisamos subtrair o resultado do 1, como no item c do exercício 3.
 ` Quando interpretamos o exercício e utilizamos ( )P x…amostragem é considerada aleatória ou probabilística quando cada ele-
mento da população tem associado a ele uma probabilidade conhecida de 
ser incluída na amostra. Da mesma forma, é dada como não probabilística 
se não leva em consideração a probabilidade de ser incluída na amostra.
A escolha dos elementos da amostra é realizada de forma aleatória, o que possibilita o 
cálculo de probabilidades na seleção. É esse fator que permite a utilização de técnicas 
clássicas de tomada de decisão.
Custo: o levantamento e a obtenção de informações em uma amostra são mais baixos do 
que em toda a população;
Tempo: as informações que tratam dos dados coletados estarão prontas (disponíveis) em 
um período mais curto. Com uma quantidade menor de dados, menor o tempo a ser gasto 
com a coleta e apuração desses dados;
Precisão: por meio de uma amostra bem selecionada, pode-se obter resultados mais apura-
dos e com maior precisão; 
Diminuição de erros: quanto menor a quantidade a ser analisada, maior atenção disponibi-
lizada aos casos individuais.
 ` Quando a quantidade de elementos pertencentes à população é muito pequena, não se 
justifica o custo e o tempo dispensados para se obter uma amostra;
 ` Se a característica ou a variável a ser analisada é de fácil observação, pode ser que não 
compense a realização de um plano de amostragem, ou pode ser que essas informações 
já estejam presentes em estudos (pesquisas) anteriores.
82
Noções de Amostragem
3
Os principais tipos de amostragem aleatória são:
 ` Amostragem aleatória simples;
 ` Amostragem sistemática;
 ` Amostragem estratificada;
 ` Amostragem por conglomerados.
Amostragem Aleatória Simples
Também conhecida como amostragem casual, ocasional, acidental ou randômica, con-
siste em um processo de seleção fácil e muito usual caracterizado pelo fato de que 
todos os elementos da população (conjunto em estudo) têm a mesma probabilidade 
de serem escolhidos. Quando há reposição do elemento extraído para composição da 
amostra, dizemos que o sorteio é feito com reposição, caso contrário, será denominado 
sem reposição (quando um elemento já foi sorteado para a composição da amostra, 
não pode ser escolhido novamente).
Um dos procedimentos que pode ser adotado para determinar os elementos da amostra 
é o sorteio. Nesse caso, é necessário um rol ou relação (lista) com todos os elementos da 
população de estudo, numerar os elementos, determinar o número de elementos a serem 
selecionados e realizar o sorteio por meio de um mecanismo, com o sorteio da loteria.
É possível também a utilização de tabelas com números aleatórios. Além disso, dis-
pomos de ferramentas como calculadoras científicas e programas específicos para a 
realização da seleção de amostras aleatórias, cujos números aleatórios podem ser obti-
dos com uma função geradora de números aleatórios. Na maioria das calculadoras que 
Figura 02. Seleção de Amostra
Fonte: 123RF.
Amostra (cada 3)
POPULAÇÃO
83
3
Métodos quantitativos
U
ni
ve
rs
id
ad
e 
S
ão
 F
ra
nc
is
co
Exemplo 01
Exemplo 02
Em uma empresa são fabricadas 20 peças automotivas. Deseja-se selecionar uma destas pe-
ças para análise, para verificar se está dentro dos padrões de conformidades. Nomeadas (iden-
tificadas) as peças de 1 a 20, pede-se para realizar um sorteio para verificar qual peça será 
utilizada. Com base nesta situação, analise a chance de cada uma destas peças ser sorteada.
RESOLUÇÃO
Observe que a chance de cada peça ser escolhida para compor a amostra é de 1 em 20. Ou 
seja, a probabilidade de cada peça automotiva ser selecionada é 
1
20
.
Amostragem Sistemática
A amostragem sistemática ou sequencial trata de uma variação da amostragem aleató-
ria simples e de fácil execução. É comum ser utilizada quando a população está orde-
nada, como em ordem alfabética ou em ordem numérica, para peças em um processo 
contínuo de produção.
Para obter o conjunto amostral pela amostragem sistemática, é necessária a utilização de 
uma lista ordenada ou a relação de todos os elementos da população. Cada elemento da 
população deverá ser numerado, e define-se o tamanho n da amostra para que seja pos-
sível definir o passo (intervalo) de seleção das amostras (chamaremos este resultado de 
k). Concluídas estas etapas, se o primeiro elemento selecionado for a , os demais serão 
 a k+ , 2a k+ , 3a k+ , e assim sucessivamente, como em uma progressão aritmética.
Em uma linha de produção, devem ser selecionadas 10 amostras de uma
determinada máquina que produz 40 peças em um dia. Escolhendo como primeiro elemento 
da amostra a peça de ordem 2, defina quais deverão ser a outras peças que compõem uma 
amostra sistemática para esta situação.
RESOLUÇÃO
Para realizar a amostragem sistemática nesta máquina em um dia, devemos dividir 40 (total de 
peças da máquina em um dia) por 10 (tamanho da amostra desejada). O resultado encontrado 
é 4 (intervalo ou passo das amostras que deverão ser selecionadas). Ou seja, suponha que 
seja escolhida inicialmente a peça de ordem 2 da máquina, as demais que comporão a amostra 
serão de ordem 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30, 34 e 38 (totalizando assim as 10 amostras desejadas).
apresentam esta função, podemos identificá-la na tecla indicada como rand ou random.
Observe que se fosse escolhida a peça de ordem 1 teríamos o seguinte conjunto amos-
tral: peças de ordem 1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33 e 37.
Esquematizando o exemplo apresentado, temos:
84
Noções de Amostragem
3
Pode-se ainda utilizar a amostragem sistemática, por exemplo, para realizar um ques-
tionário com os clientes de um determinado banco que usarão um caixa eletrônico es-
pecífico em um dia. Inicialmente, não sabemos a quantidade de clientes que utilizarão 
esse caixa eletrônico. Mas podemos estabelecer a seguinte regra: a cada cinco clientes 
que entrarem no banco para utilização desse caixa eletrônico, um deles responderá 
a pesquisa. Assim, pode-se selecionar a amostra da seguinte forma: entrevistar o 5º 
cliente, o 10º cliente, o 15º cliente, …, prosseguindo até o final do dia.
Amostragem Estratificada
A amostragem estratificada é comumente utilizada quando a população é formada por 
subgrupos distintos (chamados estratos) ou que possuem diferentes opiniões acer-
ca do estudo a ser realizado. Vamos supor que fumantes e não fumantes tenham opini-
ões diferentes a respeito de uma nova lei proibitiva da nicotina. Em uma população que 
conta com 30% de indivíduos fumantes e 70% de indivíduos não fumantes, deverá ser 
mantida a proporção entre os estratos (que são formados por indivíduos fumantes e não 
fumantes). Suponha que desejamos uma amostra com 20 elementos dessa população, 
então deveremos selecionar 6 indivíduos fumantes (30% de 20 = 0,3 . 20 = 6) e 14 indi-
víduos não fumantes (70% de 20 = 0,7 . 20 = 14).
Há também a amostragem estratificada uniforme, que pode ser realizada quando o 
interesse no estudo se refere à obtenção de estimativas separadas para cada estrato, 
por exemplo, renda salarial (baixa, média e alta). Ou seja, a quantidade de amostras 
selecionadas em cada estrato é a mesma.
Amostragem por conglomerados
Segundo Arango (2009), a amostragem por conglomerados (também conhecida como 
amostragem por área) consiste em efetuar subdivisões da população total (estes 
Figura 03. Esquema resolução – Exemplo 02
Fonte: elaborada pelos autores.
Retirar 10 amostras (de forma sistemática) de uma máquina: 
n = 10 peças 
 ` Essa máquina produz 40 peças em 1 dia: 
 ` Dividir 40 (total de peças da máquina em um dia) por 10 (tamanho da amostra desejada) 
para encontrar o intervalo: 
 ` Intervalo: k = 40/10 = 4: 
 ` Peça escolhida inicialmente: a = 2: 
 ` A amostra será composta pelas peças de ordem = 2 + 4 = 6: 6 + 4 =10. e assim por diante. 
formando o grupo 2.6. 10. 14. 18. 22. 26. 30. 34 e 38: 
No caso de ter sido escolhida a peça de ordem 1 (a = 1) para iniciar, teríamos: 1. 5.9. 13. 
17.21. 25. 29. 33 e 37. 
85
3
Métodos quantitativos
U
ni
ve
rs
id
ad
e 
S
ão
 Fra
nc
is
co
subgrupos são chamados de conglomerados). Por exemplo, podemos subdividir áreas 
geográficas em quarteirões, bairros ou ruas, e para a composição da amostra, utilizam-
se todos os indivíduos de alguns desses conglomerados.
Neste tipo de amostragem, há a vantagem da praticidade de pesquisas mais rápidas 
com custos menores, porém ela é considerada menos representativa.
Amostragem não probabilística
Amostragem não probabilística é aquela em que a probabilidade de um indivíduo ou 
elemento ser incluído na amostra não é conhecida. Esse tipo de amostragem tem pro-
pensão a ser tendenciosa e não é assumida como representativa de alguma população.
Dois dos procedimentos de seleção de amostras não probabilísticas usados com fre-
quência são:
 ` Amostragem por cotas.
 ` Amostragem por julgamento.
Figura 04. Amostragem por 
conglomerados
Fo
nt
e:
 1
23
R
F
Importante: A escolha pelo processo de amostragem depende de vários fato-
res, como tempo, custo e precisão, entre outros. Por isso, é necessário pesar os 
custos e benefícios de cada um para escolher o melhor processo. 
Na prática, os pesquisadores com frequência combinam dois ou mais 
tipos de amostragem.
2. TAMANHO DA AMOSTRA
Quando se inicia uma pesquisa é necessário determinar o tamanho da amostra a ser 
utilizada. Sabe-se que, quanto maior for o tamanho da amostra, maior será a precisão 
86
Noções de Amostragem
3
das estimativas dos resultados. No entanto, o custo acaba sendo maior. Assim, pode-
mos determinar o tamanho da amostra se especificarmos o nível de precisão desejado 
no estudo.
Para o cálculo do dimensionamento da amostra, utilizamos a seguinte fórmula:
2
1
2
 . z
n
e
α σ − 
 
 
 
=  
 
 
Onde: 
 σ → desvio-padrão populacional.
 e → erro máximo, distância considerada tolerável entre o valor populacional e o amostral.
 α → probabilidade de que a distância seja maior do que a determinada.
2
 zα → valor crítico, baseado no nível de confiança. Este valor será encontrado com o 
auxílio da Tabela de Distribuição Normal Padronizada apresentada no exemplo a seguir
Exemplo 03
Suponhamos que será realizada uma pesquisa com usuários de certo xampu contra caspa 
para se determinar o nível de satisfação dos usuários. Esse nível de satisfação pode ser 
medido em uma escala que vai de 0 a 10 pontos, e o desvio-padrão é de 2,5 pontos. Assim, 
qual deveria ser o tamanho da amostra (n) de usuários a serem entrevistados para que o erro 
máximo seja de 0,2 pontos e que o nível de confiança seja de 92,81%?
RESOLUÇÃO
Para se encontrar qual deve ser o tamanho da amostra, utiliza-se:
2
1
2
 . z
n
e
α σ − 
 
 
 
=  
 
 
Sabe-se que:
1 NCα = −
Onde NC é o nível de confiança. Sendo assim:
1 0,9281 0,0719α = − =
Necessita-se encontrar o valor de 
2
zα , ou seja:
87
3
Métodos quantitativos
U
ni
ve
rs
id
ad
e 
S
ão
 F
ra
nc
is
co
( ) ( )1 0,03595 0,96410,07191
2
z z z− − 
 
= =
Busca-se no corpo da tabela o valor z que retorna como área 0,9641. 
Figura 05. Distribuição normal padrão
ÁREAS OU PROBABILIDADES PARA A DISTRIBUIÇÃO NORMAL 
- PADRÃO ACUMULADA 
Distribuição Normal Padronizada (z)
z ,00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09
0.0 0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.5359
0.1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.5753 
0.2 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.6141 
0.3 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6406 0.6443 0.6480 0.6517 
0.4 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844 0.6879 
0.5 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.7190 0.7224 
0.6 0.7257 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422 0.7454 0.7486 0.7517 0.7549 
0.7 0.7580 0.7611 0.7642 0.7673 0.7704 0.7734 0.7764 0.7794 0.7823 0.7852 
0.8 0.7881 0.7910 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078 0.8106 0.8133 
0.9 0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.8340 0.8365 0.8389 
1.0 0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577 0.8599 0.8621 
1.1 0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.8729 0.8749 0.8770 0.8790 0.8810 0.8830 
1.2 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.8980 0.8997 0.9015 
1.3 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.9177 
1.4 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.9306 0.9319 
1.5 0.9332 0.9345 0.9357 0.9370 0.9382 0.9394 0.9406 0.9418 0.9429 0.9441 
1.6 0.9452 0.9463 0.9474 0.9484 0.9495 0.9505 0.9515 0.9525 0.9535 0.9545 
1.7 0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9599 0.9608 0.9616 0.9625 0.9633 
1.8 0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 0.9699 0.9706 
1.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9761 0.9767 
2.0 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.9817 
2.1 0.9821 0.9826 0.9830 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.9850 0.9854 0.9857 
2.2 0.9861 0.9864 0.9868 0.9871 0.9875 0.9878 0.9881 0.9884 0.9887 0.9890 
2.3 0.9893 0.9896 0.9898 0.9901 0.9904 0.9906 0.9909 0.9911 0.9913 0.9916
2.4 0.9918 0.9920 0.9922 0.9925 0.9927 0.9929 0.9931 0.9932 0.9934 0.9936 
2.5 0.9938 0.9940 0.9941 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948 0.9949 0.9951 0.9952 
2.6 0.9953 0.9955 0.9956 0.9957 0.9959 0.9960 0.9961 0.9962 0.9963 0.9964 
2.7 0.9965 0.9966 0.9967 0.9968 0.9969 0.9970 0.9971 0.9972 0.9973 0.9974 
2.8 0.9974 0.9975 0.9976 0.9977 0.9977 0.9978 0.9979 0.9979 0.9980 0.9981 
2.9 0.9981 0.9982 0.9982 0.9983 0.9984 0.9984 0.9985 0.9985 0.9986 0.9986 
0.5 z
88
Noções de Amostragem
3
3.0 0.9987 0.9987 0.9987 0.9988 0.9988 0.9989 0.9989 0.9989 0.9990 0.9990 
3.1 0.9990 0.9991 0.9991 0.9991 0.9992 0.9992 0.9992 0.9992 0.9993 0.9993 
3.2 0.9993 0.9993 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9995 0.9995 0.9995 
3.3 0.9995 0.9995 0.9995 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9997 
3.4 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9998 
3.5 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 
Fonte: elaborada pelos autores.
( )0,9641 1,80z =
Como 0,2e = , 2,5σ = e ( )0,9641 1,80z = , substituindo na fórmula:
2
21
2
 . 
1,8 . 2,5 
0, 2
z
n n
e
α σ − 
 
 
   
= → =   
  
 
( )222,5 506,25 507n = = ≅
Arredonda-se o tamanho da amostra para cima, número inteiro. Logo, serão necessá-
rios 507 usuários para responder o questionário.
OBSERVAÇÕES
01. Para determinar o valor de α, basta subtrair de 100% o valor do NC (nível de confiança);
02. Usar arredondamento com 4 casas decimais para procurar o valor de 
1
2
 z α − 
 
na Tabela 
de Distribuição Normal Padronizada.
Observe que este valor é de “dentro para fora”, ou seja, localize 0,9641 e verifique o valor 
correspondente na primeira coluna e linha superiores, formando 1,80 = 1,8. Quando este 
valor não constar na tabela, utilizar o valor mais próximo;
03. O número final deverá ser arredondado para um número inteiro. Atenção: utilize arredon-
damento para cima.
Exemplo 04
Para determinar o comprimento médio real de cabos elétricos em um rolo padrão comer-
cializado em todo país, nos quais o desvio-padrão conhecido do comprimento de todos os 
cabos elétricos deste tipo é de 3 metros, será necessário verificar o tamanho da amostra na 
realização do estudo. Ao nível de 95% de confiança, e adotando erro máximo de 0,15 metros, 
determinar o tamanho da amostra necessário para realização do estudo.
89
3
Métodos quantitativos
U
ni
ve
rs
id
ad
e 
S
ão
 F
ra
nc
is
co
Exemplo 05
RESOLUÇÃO
NC (nível de confiança) = 95% -> α = 5% .
( ) ( )1 0,025 0,97500,051
2
 z z z− − 
 
= =
Encontrando a área 0,9750 na tabela:
( )0,9750 1,96z =
Como ( )0,9750 1,96z = , 0,15e = e 3σ = , pode-se calcular:
2
21
2
 . 
1,96 . 3 
0,15
z
n n
e
α σ − 
 
 
   
= → =   
  
 
( )
2
25,88 39,2 1536,64 1537
0,15
n n 
= → = = ≅ 
 
Logo,serão necessárias 1.537 amostras (rolos padrão) para a realização desse estudo.
Encontre os valores críticos 
1
2
z α − 
 
 com base nos níveis de confiança dados a seguir.
a. NC = 99%
b. NC = 90%
c. NC = 88%
d. NC = 91%
e. NC = 98%
f. NC = 97%
RESOLUÇÃO
a. NC (nível de confiança) = 99% -> α = = 1% 0,01.
( ) ( )1 0,005 0,99500,011
2
 2,575z z z− − 
 
→ → =
Observação: como 0,9950 está exatamente no meio de 0,9949 e 0,9951, faremos uma 
interpolação dos valores críticos da tabela. Na tabela, 0,9949 corresponde a 2,57 e 0,9951 
corresponde a 2,58.
90
Noções de Amostragem
3
2,57 2,58 2,575
2
+
=
a. NC (nível de confiança) = 90% -> α = = 10% 0,1.
( ) ( )1 0,05 0,95000,101
2
 1,645z z z− − 
 
→ → =
Observação: como 0,9500 está exatamente no meio de 0,9495 e 0,9505, faremos uma inter-
polação dos valores críticos da tabela.
Na tabela, 0,9495 corresponde a 1,64 e 0,9505 corresponde a 1,65.
1,64 1,65 1,645
2
+
=
b. NC (nível de confiança) = 88% -> α = = 12% 0,12.
( ) ( )1 0,06 0,94000,121
2
 1,555z z z− − 
 
→ → =
Observação: como 0,9400 está exatamente no meio de 0,9394 e 0,9406, faremos uma in-
terpolação dos valores críticos da tabela. Na tabela, 0,9394 corresponde a 1,55 e 0,9406 
corresponde a 1,56.
( )1,55 1,56
1,555
2
+
=
c. NC (nível de confiança) = 91% -> = α = 9%
( ) ( )1 0,0,45 0,95500,091
2
 1,70z z z− − 
 
→ → =
Observação: como 0,9559 está mais próximo de 0,9554 do que de 0,9545, usamos 0,9554, 
que corresponde a 1,70 na tabela.
d. NC (nível de confiança) = 98% -> α = 2%
( ) ( )1 0,01 0,99000,021
2
 2,33z z z− − 
 
→ → =
Observação: como 0,9900 está mais próximo de 0,9901 do que de 0,9898, usamos 0,9901, 
que corresponde a 2,33 na tabela.
e. NC (nível de confiança) = 97% -> α = 3%
( ) ( )1 0,015 0,98500,031
2
 2,17z z z− − 
 
→ → =
Observação: como aparece o 0,9850 na tabela, basta usar o valor correspondente a ele, que é 2,17.
91
3
Métodos quantitativos
U
ni
ve
rs
id
ad
e 
S
ão
 F
ra
nc
is
co
3. ESTIMATIVAS POR INTERVALO E TESTE DE HIPÓTESES
Veremos agora dois conceitos muito importantes em estatística, conhecidos como in-
tervalo de confiança e teste de hipóteses, e suas aplicabilidades no cotidiano.
Segundo Arango (2009), a estimativa é uma tentativa de avaliar algum dado des-
conhecido. Ao adotar a estimativa, temos duas características importantes que não 
devem ser esquecidas:
a. A estimativa é uma aproximação do verdadeiro dado (valor real);
b. A estimativa sempre conterá um componente de erro (margem de erro).
Uma estimativa é classificada como pontual quando tem por base um único ponto (ou 
valor), sendo que estas estimativas são pouco confiáveis exatamente por se basearem 
em apenas um valor. Daí a importância de definir um intervalo de valores prováveis 
para a estimativa. Este intervalo de valores é conhecido como intervalo de confiança.
Intervalo de Confiança
Os intervalos de confiança (IC) podem ser utilizados para medir a confiabilidade de 
uma estimativa, ou seja, o quanto os resultados de uma determinada pesquisa são 
confiáveis. Assim, uma pesquisa que contemple um IC pequeno é mais confiável do que 
aquela em que o IC é maior.
Pode-se interpretar o intervalo de confiança como um intervalo que contém os valores 
prováveis (possíveis) que o parâmetro em estudo pode assumir. Logo, a amplitude des-
te intervalo está relacionada à incerteza que temos a respeito do parâmetro estudado.
Devemos ainda assumir que os valores são amostrados de forma independente e alea-
tória de uma população com distribuição normal.
Intervalo de Confiança para Média Populacional
Temos dois casos quando pretendemos determinar o intervalo de confiança para a 
média populacional:
a. Quando o desvio-padrão populacional é conhecido
Quando o desvio-padrão populacional é conhecido e pretendemos determinar o inter-
valo de confiança para a verdadeira média populacional (µ) associado a um dado grau 
de confiança, devemos realizar o cálculo a seguir:
1
2
.IC x z
nα
σ
 − 
 
 
= ±  
 
Em que: 
 x → média amostral (encontrada por meio dos valores da amostra).
92
Noções de Amostragem
3
1
2
 z α − 
 
→ valor crítico, baseado no nível de confiança (valor que será encontrado na 
tabela de distribuição normal, assim como em tamanho de amostra).
σ → desvio-padrão populacional.
 n → tamanho da amostra utilizada (quantidade de elementos da amostra).
Considerando os dados normalmente distribuídos, x = 25, n = 100 e σ = 2 . Determine um 
intervalo de confiança de 90% para a média amostral.
RESOLUÇÃO
NC (nível de confiança) = 90% -> α = 10%
( )0,95000,11 1
2 2
1,645z z zα   − −   
   
= = =
 (consultar valor z na tabela de distribuição normal padrão)
1
2
2. 25 1,645
100
IC x z IC
nα
σ
 − 
 
   
= ± → = ±       
3,29 3,2925 25
10100
IC IC   = ± → = ±     
( )25 0,329IC = ±
( )24,671;25,329IC =
Atenção
01. Primeiro realize a multiplicação do valor de z pelo valor do desvio-padrão σ e depois a 
divisão pela raiz quadrada do número de amostras n ;
02. Para encontrar o valor do limite inferior do intervalo, subtraia da média o valor encontrado 
em 1. E para encontrar o valor do limite superior do intervalo, adicione o valor encontrado em 
1 ao valor da média.
Exemplo 06
Exemplo 07
Tempo médio de vida útil de lâmpadas fluorescentes compactas: tendo como base uma 
amostra aleatória de 100 lâmpadas que apresentaram média aritmética de 5.980 horas, e 
que o desvio-padrão populacional conhecido é igual a 250 horas, determinar um intervalo de 
confiança de 95% para o verdadeiro valor da média populacional.
RESOLUÇÃO
n = 100 amostras
93
3
Métodos quantitativos
U
ni
ve
rs
id
ad
e 
S
ão
 F
ra
nc
is
co
x = 5980 horas
σ = 250 horas
NC (nível de confiança) = 95% -> α = 5.
( )0,97500,051 1
2 2
1,96z z zα   − −   
   
= = = (consultar valor z na tabela de distribuição normal padrão)
Assim:
250 4905980 1,96. 5980
100 100
IC IC   
= ± → = ±   
   
( )4905980 5980 49
10
IC IC = ± → = ± 
 
( )5931;6029IC =
Logo, com base na amostra selecionada, o intervalo de confiança de 95% para a verdadeira 
média (vida útil das lâmpadas), em horas, é IC = (5931; 6029).
Observações:
1. 5.931 é o limite inferior do intervalo;
2. 6.029 é o limite superior do intervalo;
3. Para calcular o valor de 1
2
z α − 
 
 ` Usar arredondamento de quatro casas decimais e procurar dentro da tabela de distribui-
ção normal padrão.
 ` O valor encontrado será 1,96.
 ` O procedimento é o mesmo que o utilizado em tamanho de amostra.
a. Desvio-padrão populacional desconhecido
Quando o desvio-padrão populacional (σ) não for conhecido, o que ocorre em 
boa parte dos estudos, a solução é substituir σ por s (estimativa pontual derivada 
da amostra). A distribuição deixa de ser a normal padrão, mas pode se aproximar dela 
para valores de tamanho de amostra grandes. No entanto, para valores de tamanho de 
amostra pequenos (geralmente menor do que 30), seria muito grande o erro pela aplica-
ção da distribuição normal no estudo, portanto, é melhor adotar uma nova metodologia: 
a distribuição t de Student.
94
Noções de Amostragem
3
A distribuição t de Student é derivada da distribuição normal e depende de um parâme-
tro v, que é um número inteiro e positivo conhecido como número de graus de liberdade. 
O cálculo da probabilidade da t de Student pode ser encontrado com o auxílio de um 
software ou por meio de uma tabela de probabilidade (apresentada na sequência).
O cálculo do intervalo de confiança com desvio-padrão populacional desconhecido será 
realizado pela fórmula:
1
2
. sIC x t
nα − 
 
 
= ±  
 
Em que: 
 x → média amostral (encontrada por meio dos valores da amostra)
1
2
 t α − 
 
→ valor crítico t da distribuição t de Student com 1n − graus de liberdade.
s → desvio-padrão amostral.
 n → tamanho da amostrautilizada (quantidade de elementos da amostra).
Exemplo 08
Construa um intervalo com 90% de confiança para os dados de temperatura (ºC) abaixo.
Figura 06. Dados exemplo 08
RESOLUÇÃO
22,73x ≅
0,81s ≅
Observação: os valores x e s foram calculados a partir dos dados da amostra.
Para um nível de confiança NC = 90% 1 0,9 0,1α→ = − = e gl=(n – 1) = 6 graus de 
liberdade,
temos:
( ) ( )1 0,05 0,950,11 1
2 2
t t t tα −   − −   
   
= = =
Fonte: elaborada pelos autores
23,2 23,0 22,0 22,5 21,9 24,2 22,3
95
3
Métodos quantitativos
U
ni
ve
rs
id
ad
e 
S
ão
 F
ra
nc
is
co
Encontra-se o valor crítico para 0,95 e 6gl = :
Figura 07. Distribuição T de Student
Fonte: elaborada pelos autores.
A tabela informa o valor crítico t p em função do número de graus de liberdade v (linha) e de 
p (coluna).
Para um certo v fixado, se 0,5p (teste unilateral)
0 0:H µ µ≥ e 1 0:H µ µ σ = 25 gramas
Tamanho da amostra -> n = 45 amostras
998,5 1000 25
45
calc calc
xz z
n
µ
σ
− −
= → =
1,5 1,5 25 3,73
45
calc calcz z− −
= → =
1,5 0, 40
3,73calcz −
= ≅ −
3º) Determinar o nível de significância (α ).
É a probabilidade máxima de rejeitar 0H , quando ela for verdadeira. Os valores mais co-
muns usados para o nível de significância são 1%, 5% e 10%. 
Voltando ao exemplo 09
Para este exemplo, adotaremos α = 5%.
4º) Determinação da região crítica (RC).
A área de região crítica é igual ao nível de significância α. A região crítica também determina 
onde 0H será rejeitada. Os extremos dessa região serão dados pelos valores encontrados 
na Tabela de Distribuição Normal.
A seguir, serão mostradas as regiões críticas conforme os testes a serem utilizados.
Teste bilateral
0 0:H µ µ= e 1 0:H µ µ≠
Região de rejeição
1
2
calcz z α − 
 
98
Noções de Amostragem
3
Teste unilateral à esquerda
0 0:H µ µ≥ e 1 0:H µ µ
calcz zα> 
Figura 10. Região de rejeição para 0 0 :H µ µ≤ e 1 0:H µ µ>
Fonte: elaborada pelos autores.
2
α
2
α
0
α
0
α
99
3
Métodos quantitativos
U
ni
ve
rs
id
ad
e 
S
ão
 F
ra
nc
is
co
Voltando ao exemplo 09
Como no exemplo anterior o teste a ser realizado é o bilateral, temos:
0,05 0,025
2 2
α
= =
( ) 0,9751 0,025 1,96z z− = =
Observação: consultar valor de z na tabela de distribuição normal padrão.
Figura 11. Região de rejeição para 0 0 :H µ µ= e 1 0:H µ µ≠ , para 0,05α =
Fonte: elaborada pelos autores.
Note que o valor de -1,96 é o valor simétrico de 1,96 no gráfico. Se o valor calculado de calcz 
for maior que 1,96 ou menor que -1,96, rejeita-se H0.
Mas se estiver entre -1,96 e 1,96, aceita-se 0H .
5º) Regra de decisão.
Aceitar ou rejeitar 0H . Ao rejeitar a hipótese nula, há uma forte evidência de sua falsidade. Ao 
aceitar, entendemos que não houve evidência amostral significativa para permitir sua rejeição.
Observe que, no exemplo, o valor de z calculado é igual a -0,40, logo, aceita-se 0H , pois 
-1,96tipo de parafuso de aço com 
tensão admissível à tração de 1200 kgf/cm² suporta uma carga de pelo menos 350 kgf. Um 
possível comprador, interessado em uma grande quantidade desse produto, decidiu fazer 
ensaios de carga com 20 desses parafusos, e obteve média amostral de 347,8 kgf. Verifique 
a informação da empresa fabricante do produto com nível de significância igual a 1% e su-
pondo que o desvio-padrão amostral da carga seja igual a 12 kgf.
RESOLUÇÃO
0 : 350 H kgfµ ≥ 
1 : 350 H kgfµ -2,539), aceitamos 
0H . Ou seja, ficamos na região de aceitação.
Assim, podemos tomar a decisão de que a carga média é de pelo menos 350 kgf, ao nível de 
significância de 1%. Portanto, não há indícios de que a afirmação da empresa fabricante em 
relação à qualidade de seu produto esteja incorreta.
CONCLUSÃO
Nesta unidade, estudamos a necessidade de se adotar a utilização de amostras para a 
realização de estudos, além de algumas das técnicas pelas quais é possível obter estas 
amostras. Vimos também qual deverá ser o tamanho ideal da amostra baseado em um 
determinado nível de confiança.
Após, passamos a estudar dois conceitos de grande utilidade em estatística: intervalo 
de confiança e teste de hipóteses, bem como suas aplicações no cotidiano.
Lembre-se de que são ferramentas que podem auxiliar você a se tornar um futuro pro-
fissional nas áreas de gestão e qualidade.
Ao final desta unidade, você deverá ser capaz de identificar e aplicar os conceitos de 
intervalo de confiança e de teste de hipóteses para ajudar na tomada de decisões.
102
Noções de Amostragem
3
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
ARANGO, H. G. Bioestatística teórica e computacional. 3. ed. Rio de Janeiro: Guanabara Koogan, 2009.
LUIZ, R. R.; COSTA, A. J. L.; NADANOVSKY, P. Epidemiologia e bioestatística em odontologia. Ed. rev. e 
ampl. São Paulo: Atheneu, 2008.
103
3
Métodos quantitativos
U
ni
ve
rs
id
ad
e 
S
ão
 F
ra
nc
is
co
104
Correlação e Regressão
4
UNIDADE 4
CORRELAÇÃO E REGRESSÃO
INTRODUÇÃO
Nesta unidade, estudaremos a existência ou não de relação entre duas grandezas (vari-
áveis), e no caso da existência de relação entre ambas, vamos apresentar a determina-
ção de um modelo matemático para predizer o valor de uma variável através de outra.
Figura 01. Relação entre duas variáveis – plano cartesiano
Fo
nt
e:
 1
23
R
F.
Com frequência nos deparamos com situações em que é necessário determinar uma 
variável em termos de outra(s) variável(is). Por exemplo, nos cálculos da quantidade de 
combustível consumido (litros) em relação à quantidade de quilômetros percorridos, ou 
a quantidade de peças fabricadas em relação ao número de horas de utilização de uma 
determinada máquina.
Assim, iniciamos o estudo sobre correlação e regressão.
A correlação mede o grau de relação existente entre os pares de variáveis envolvidos 
em um problema, e a regressão tem por objetivo estabelecer uma equação matemática 
(função) que descreve o relacionamento entre as variáveis.
105
4
Métodos quantitativos
U
ni
ve
rs
id
ad
e 
S
ão
 F
ra
nc
is
co
Nesta unidade, daremos ênfase apenas à correlação e regressão linear com duas variáveis.
1. CORRELAÇÃO
Em estatística, quando existe o relacionamento entre duas variáveis, este é conhecido 
como correlação. 
Segundo Triola (1999), existe uma correlação entre duas variáveis quando uma delas 
está, de alguma forma, relacionada com a outra.
Quando utilizamos amostras e adotamos métodos para formular inferências sobre a 
população, supomos que a amostra de dados – pares de variáveis (x, y) – é aleatória e 
tem distribuição normal.
É possível verificar se existe correlação entre as variáveis pelo diagrama de dispersão 
(gráfico dos dados emparelhados). Porém, na maioria dos casos a correlação se torna 
subjetiva, por se basear apenas na percepção da existência de um padrão.
Observe as Figuras 01 e 02 a seguir:
Figura 02. Exemplos de diagramas de dispersão com correlação
Fonte: elaborada pelos autores.
106
Correlação e Regressão
4
Figura 03. Exemplos de diagramas de dispersão sem correlação
Na Figura 02, temos:
a. Correlação positiva entre os valores de x e y;
b. Correlação negativa entre os valores de x e y;
c. Forte correlação positiva entre os valores de x e y;
d. Correlação positiva perfeita entre os valores de x e y.
Na Figura 03, observamos que
a. Existe correlação entre os valores de x e y, mas não correlação linear;
b. Não há correlação entre os valores de x e y.
Fonte: elaborada pelos autores.
Exemplo 1
Em uma prensa de sinterização foram realizadas várias medições de temperatura versus 
tempo do produto para a realização da prensagem no momento exato. Os pares são indica-
dos na imagem a seguir.
Figura 04. Relação tempo e temperatura
O diagrama de dispersão referente aos dados apresentados de temperatura e tempo é re-
presentado a seguir.
Fonte: elaborada pelos autores.
x - tempo (seg.) 0,5 0,7 1,0 2,0 5,0 10,0
y - temperatura (como °C) 10 15 25 100 200 500
107
4
Métodos quantitativos
U
ni
ve
rs
id
ad
e 
S
ão
 F
ra
nc
is
co
Investigue a possível correlação entre as variáveis tempo e temperatura.
Como os métodos dos diagramas de dispersão tendem a ser subjetivos, faz-se necessária a 
adoção de técnicas e métodos com maiores precisões. Para isso, utilizaremos o coeficiente 
de correlação linear para verificar a existência de correlação entre as grandezas.
( ) ( )2 22 2
. .
. . .
n xy x yr
n x x n y y
∑ −∑ ∑
=
   ∑ − ∑ ∑ − ∑   
O coeficiente de correlação linear (r) mede o grau de relação entre os valores das variáveis x 
e y. Pode-se obter seu valor com a fórmula a seguir.
Onde: 
 r → coeficiente de correlação linear.
 n → quantidade de pares ordenados envolvidos no problema.
 x∑ → somatório de todos os valores de x .
 y∑ → somatório de todos os valores de .y
 xy∑ → somatório de todos os produtos de valores de x com os respectivos valores de y .
2 x∑ → somatório de todos os valores de x depois se serem elevados ao quadrado.
2 y∑ → somatório de todos os valores de y depois se serem elevados ao quadrado.
Observações:
O coeficiente de correlação (r) também é conhecido como coeficiente de correlação momen-
to-produto de Pearson, em homenagem a Karl Pearson (1857-1936).
Figura 05. Diagrama de dispersão – relação tempo e temperatura
Fonte: elaborada pelos autores.
108
Correlação e Regressão
4
Não confundir 
2x∑ com ( )2x∑ , assim como, 
2y∑ com ( )2y∑
Em 
2x∑ , eleva-se cada valor de x ao quadrado e depois realizar o somatório. Já em ( )2x∑ , 
realiza-se o somatório de todos os valores de x , e este somatório elevar ao quadrado.
RESOLUÇÃO
Retomando o exemplo 01, pode-se construir a tabela a seguir com os somatórios necessá-
rios para se calcular o coeficiente de correlação:
Tabela 01. Somatórios coeficiente de correlação – exemplo 01
 x - TEMPO y - TEMPERATURA 2x 2y .x y
0,5 10 0,25 100 5
0,7 15 0,49 225 10,5
1 25 1 625 25
2 100 4 10000 200
5 200 25 40000 1000
10 500 100 250000 5000
∑ 19,2 850 130,74 300950 6240,5
Fonte: elaborada pelos autores.
Sendo assim: 
19,2x∑ = 850y∑ = 
2 130,74x∑ = 
2 300950y∑ = 6240,5xy∑ =
Substituindo na fórmula, sabendo que 6n =
( ) ( )2 22 2
. .
. . .
n xy x yr
n x x n y y
∑ −∑ ∑
=
   ∑ − ∑ ∑ − ∑  
( ) ( )2 2
6.6240,5 19,2.850
6.130,74 19,2 . 6.300950 850
r −
=
   − −   
[ ] [ ]
37443 16320
784,44 368,64 . 1805700 722500
r −
=
− −
[ ] [ ]
21123
415,8 . 1083200
r =
109
4
Métodos quantitativos
U
ni
ve
rs
id
ad
e 
S
ão
 F
ra
nc
is
co
21123
450394560
r =
21123 0,9953
21222,50127
r = ≅
Observações:
01. Quanto mais próximo o valor calculado de r estiver de 1 ou de -1, mais perfeita será a 
correlação, ou seja, melhor o grau de relacionamento entre as variáveis x e y.
02. Os valores de r deverão pertencer ao intervalo [-1; 1].
03. Arredondar o valor final de r com 3 casas decimais para poder comparar com os dados 
da Tabela de Valores Críticos a seguir.
04. Não use arredondamentos no meio dos exercícios para não haver a ocorrência de erros. 
Se necessário, utilize a memória da calculadora.
Interpretando o coeficiente de correlação linear
Segundo Triola (1999), se o módulo do valor calculado de r exceder o valor consultado na 
Tabela de Valores Críticos do Coeficiente de Correlação de Pearson, apresentada a seguir, 
pode-se concluir que há correlação linear significativa. Em caso contrário, se o valor não 
exceder o valor da tabela, não haverá evidência suficiente para apoiar a existência de uma 
correlação linear significativa.
Para realizar esta comparação entre o valor calculado e os valores da Tabela de Valores Crí-
ticos, define-se um nível de significância α , o qual simboliza a chance de obtermos uma 
falsa correlação entre as variáveis estudadas, por meio do Coeficiente de Correlação Linear.
Tabela 02. Valores Críticos do Coeficiente de Correlação de Pearson 
n = 0.05 = 0,01
4 0.950 0.999 
5 0.878 0.959 
6 0.811 0.917 
7 0.754 0.875 
8 0.707 0.834 
9 0.666 0.798 
10 0.632 0.765 
11 0.602 0.735 
12 0.576 0.708 
13 0.553 0.684 
14 0.532 0.661 
15 0.514 0.641 
16 0.497 0.623 
110
Correlação e Regressão
4
17 0.482 0.606 
18 0.468 0.590 
19 0.456 0.575 
20 0.444 0.561 
25 0.396 0.505 
30 0.361 0.463 
35 0.335 0.430 
40 0.312 0.402 
45 0.294 0.378 
50 0.279 0.361 
60 0.254 0.330 
70 0.236 0.305 
80 0.220 0.286 
90 0.207 0.269 
100 0.196 0.256 
Fonte: Triola (1999, p. 364).
Retomando o exemplo 01, utilizando 5%α = , sabendo que 6n = , encontra-se o valor crí-
tico (tabela) 0,811. Como o 0,9953r ≅ , pode-se concluir que 0,811r > , assim, pode-se 
afirmar que há uma correlação linear positiva entre as variáveis estudadas.
Exemplo 2
Suponhamos que foram realizados alguns experimentos, e a quantidade de peças fabricadas 
foi registrada em vários momentos no decorrer de algumas horas de funcionamento de uma 
determinada máquina. Descubra se existe correlação entre as variáveis observadas, utilizan-
do o Coeficiente de Correlação de Pearson, com 5%α = .
Fonte: elaborada pelos autores.
Figura 06. Dados variáveis – exemplo 02
Figura 07. Diagrama de dispersão – dados exemplo 02
Fonte: elaborada pelos autores.
Nº de horas 1 2 3 4 5 6
Nº de peças 50 99 151 202 251 298
350
300
250
200
150
100
50
0
0 2 4 6 8
111
4
Métodos quantitativos
U
ni
ve
rs
id
ad
e 
S
ão
 F
ra
nc
is
co
RESOLUÇÃO
Visualmente, parece haver correlação entre as variáveis número de horas e número de peças 
produzidas. Para ter certeza, faremos o cálculo do coeficiente de correlação a seguir.
Note que n = 6 , pois existem 6 valores emparelhados de x e y. E, adotando x como o número 
de horas e y como o número de peças produzidas pela máquina, e que α = 5% , temos:
Tabela 03. Somatórios – exemplo 02
X - TEMPO Y - TEMPERATURA 2x 2y .x y
1 50 1 2500 50
2 99 4 9801 198
3 151 9 22801 453
4 202 16 40804 808
5 251 25 63001 1255
6 298 36 88804 1788
∑ 21 1051 91 227711 4552
Fonte: elaborada pelos autores.
Assim: 
21x∑ = 1051y∑ = 
2 91x∑ = 
2 227711y∑ = 4552xy∑ =
Substituindo na fórmula, sabendo que 6n =
( ) ( )2 22 2
. .
. . .
n xy x yr
n x x n y y
∑ −∑ ∑
=
   ∑ − ∑ ∑ − ∑   
( ) ( )2 2
6.4552 21.1051
6.91 21 . 6.227711 1051
r −
=
   − −   
[ ] [ ]
27312 22071
546 441 . 1366266 1104601
r −
=
− −
5241
105.261665
r =
5241
27474825
r =
112
Correlação e Regressão
4
2. REGRESSÃO
Até aqui, estudamos dados emparelhados com a intenção de verificar se há ou não 
correlação linear significativa entre eles. Agora podemos descrever essa relação tra-
çando o gráfico e determinando a equação da reta que representa a relação. Esta reta 
é conhecida como reta de regressão (ou reta de melhor ajuste ou reta de mínimos 
quadrados) e sua equação é a equação de regressão.
Segundo Triola (1999), dada uma coleção de dados amostrais, a equação de regressão 
é dada por 0 1ŷ b b x= + , e descreve a relação entre as variáveis, onde 0b e 1b podem 
ser calculados com as fórmulas:
( )1 22
. .
.
n xy x yb
n x x
∑ −∑ ∑
=
∑ − ∑
( )
2
0 22
. .y x x xyb
n x x
∑ ∑ −∑ ∑
=
∑ − ∑
Onde ŷ representa o valor projetado para a variável y em x , fazendo uso da reta de 
regressão linear.
Segundo Triola (1999), a equação 0 1ŷ b b x= + expressa uma relação entre x e y, onde 
a variável x é conhecida como variável independente ou variável preditora, e a variável 
y é conhecida como variável dependente ou variável resposta. E, ainda, o coeficiente 1b 
representa a inclinação da reta e é conhecido como coeficiente angular, e o coeficien-
te 0b representa o intercepto y, conhecido também como coeficiente linear.
5241 0,9999
5241,643349
r = ≅
Utilizando 5%α = , sabendo que 6n = , encontra-se o valor crítico (tabela) 0,811. Como 
o 0,9999r ≅ , pode-se concluir que 0,811r > , logo, pode-se afirmar que há uma corre-
lação linear positiva entre as variáveis estudadas.
Exemplo 3
Retomando os dados do exemplo 02:
Figura 08. Variável horas – peças
Fonte: elaborada pelos autores.
Nº de horas 1 2 3 4 5 6
Nº de peças 50 99 151 202 251 298
113
4
Métodos quantitativos
U
ni
ve
rs
id
ad
e 
S
ão
 F
ra
nc
is
co
Calcule os coeficientes da reta de regressão linear.
RESOLUÇÃO
Para isso, utiliza-se a mesma tabela de somatórios elaborada para o cálculo do Coeficiente 
de Correlação de Pearson:
Tabela 04. Somatórios – reta de regressão – exemplo 03
X - TEMPO Y - TEMPERATURA 2x 2y .x y
1 50 1 2500 50
2 99 4 9801 198
3 151 9 22801 453
4 202 16 40804 808
5 251 25 63001 1255
6 298 36 88804 1788
∑ 21 1051 91 227711 4552
Fonte: elaborada pelos autores.
Substituindo nas fórmulas:
Coeficiente angular 1b :
( )1 22
. .
.
n xy x yb
n x x
∑ −∑ ∑
=
∑ − ∑
( )1 2
6.4552 21.1051
6.91 21
b −
=
−
1
27312 22071
546 441
b −
=
−
1
5241 49,9143
105
b = ≅
Coeficiente linear 0b :
( )0 2
1051.91 21.4552
6.91 21
b −
=
−
114
Correlação e Regressão
4
0
95641 95592
546 441
b −
=
−
0
49 0,4667
105
b = ≅
Logo, a reta de regressão será 0,4667 49,914ˆ 3y x= + . E podemos estimar que, 
se a máquina trabalhar por 8 horas ininterruptas, produzirá em torno de 400 peças, pois 
0,4667 49,9143.8 400ŷ = + ≅ .
Observações:
01. Para fazer os arredondamentos finais dos coeficientes, utilize três casas decimais. Não 
utilize arredondamentos no meio do desenvolvimento dos exercícios.
02. Lembre-se de que tanto o coeficiente de correlação quanto a regressão, estudados 
nesta unidade, referem-se a relações lineares.
03. Existem calculadoras científicas e softwares que nos fornecem os resultados dos cál-
culos do coeficiente de correlação (r) e dos coeficientes angular e linear das retas, 
como o Excel.
No gráfico a seguir, estão indicados os pares de dados e a reta de regressão referentes ao 
problema anterior.
Figura 09. Diagrama de dispersão – exemplo 03
Fonte: elaborada pelos autores.
Exemplo 4
Para os dados apresentados a seguir:
I. Construa o diagrama de dispersão;
350
300
250
200
150
100
50
0
0 1 2 3
y = 49,914x + 0,4667
N
º d
e 
pe
ça
s
Nº de horas x Nº de peças
Horas
4 5 6 7
115
4
Métodos quantitativos
U
ni
ve
rs
id
ad
e 
S
ão
 F
ra
nc
is
co
II. Calcule o valor do coeficiente r e determine se há correlação linear significativa entre os 
valoresde x e y, considerando o nível de significância α = 5%;
III. Se existir correção linear entre os dados, obtenha a regra de regressão.
Figura 10. Dados item a – exemplo 04
RESOLUÇÃO
ITEM A
I. Diagrama de dispersão
Fonte: elaborada pelos autores.
Fonte: elaborada pelos autores.
Fonte: elaborada pelos autores.
Fonte: elaborada pelos autores.
Fonte: elaborada pelos autores.
Figura 11. Dados item b – exemplo 04
Figura 12. Dados item c – exemplo 04
Figura 13. Dados item c – exemplo 04
Figura 14. Diagrama de dispersão – item a – exemplo 04
a)
b)
c)
d)
x 2 3 4 5 6
y 8 10 14 12 13
x 10 11 12 13 15
y 19 20 23 26 29
x 2 4 6 8 10
y 8 10 6 2 13
x 1 3 4 5 7 6
y 9 7,1 5,9 5 3,2 3,8
16
(Valores de x e y)
14
12
10
8
6
4
2
0
0 1 2 3 4 5 6 7
116
Correlação e Regressão
4
I. Coeficiente de Correlação Linear
Tabela 05. Somatórios – reta de regressão – exemplo 04 – item a
X Y 2x 2y .x y
2 8 4 64 16
3 10 9 100 30
4 14 16 196 56
5 12 25 144 60
6 13 36 169 78
∑ 20 57 90 673 240
Fonte: elaborada pelos autores.
Substituindo na fórmula:
( ) ( )2 22 2
. .
. . .
n xy x yr
n x x n y y
∑ −∑ ∑
=
   ∑ − ∑ ∑ − ∑   
( ) ( )2 2
5.240 20.57
5.90 20 . 5.673 57
r −
=
   − −   
[ ] [ ]
1200 1140
450 400 . 3365 3249
r −
=
− −
60
50.116
r =
60
5800
r =
60 0,7878
76,15773
r = ≅
Como 5n = , adotando 5%α = , encontra-se o valor crítico 0,878. Como 0,7878r ≅ , 
pode-se afirmar que 0,878r , então, estas variáveis possuem correlação.
I. Reta de regressão linear
Fazendo uso dos mesmos somatórios do Coeficiente de Correlação de Pearson, substituindo 
nas fórmulas:
Coeficiente angular
( )1 22
. .
.
n xy x yb
n x x
∑ −∑ ∑
=
∑ − ∑
( )1 2
5.1459 61.117
5.759 61
b −
=
−
1
7298 7137
3795 3721
b −
=
−
1
158 2,1351
74
b = ≅
Coeficiente linear
( )
2
0 22
. .y x x xyb
n x x
∑ ∑ −∑ ∑
=
∑ − ∑
( )0 2
117.759 61.1459
5.759 61
b −
=
−
0
88803 88999
3795 3721
b −
=
−
0
196 2,6486
74
b −
= ≅ −
A reta de regressão será 6ˆ 2,648 2,1351y x= − + .
ITEM C
I. Diagrama de dispersão 
119
4
Métodos quantitativos
U
ni
ve
rs
id
ad
e 
S
ão
 F
ra
nc
is
co
Fonte: elaborada pelos autores.
II. Coeficiente de Correlação Linear
Tabela 07. Somatórios – reta de regressão – exemplo 04 – item c
X Y 2x 2y .x y
2 8 4 64 16
4 10 16 100 40
6 6 36 36 36
8 2 64 4 16
10 13 100 169 130
∑ 30 39 220 373 238
Fonte: elaborada pelos autores.
( ) ( )2 22 2
. .
. . .
n xy x yr
n x x n y y
∑ −∑ ∑
=
   ∑ − ∑ ∑ − ∑   
( ) ( )2 2
5.238 30.39
5.220 30 . 5.373 39
r −
=
   − −   
[ ] [ ]
1190 1170
1100 900 . 1865 1521
r −
=
− −
20
200.344
r =
20
68800
r =
Figura 16. Diagrama de dispersão – item c – exemplo 04
(Valores de x e y)
0
0
2
4
6
8
10
12
14
2 4 6 8 10 12
120
Correlação e Regressão
4
20 0,0762
265,297541
r = ≅
Como 5n = , adotando 5%α = , encontra-se o valor crítico 0,878. Como 0,0762r ≅ , 
pode-se afirmar que | | 0,878r , sendo assim estas variáveis possuem correlação.
III. Reta de Regressão Linear
Fazendo uso dos mesmos somatórios do Coeficiente de Correlação de Pearson, substituindo 
nas fórmulas:
Coeficiente angular
( )1 22
. .
.
n xy x yb
n x x
∑ −∑ ∑
=
∑ − ∑
( )1 2
6.124,1 26.34
6.136 26
b −
=
−
1
744,6 884
816 676
b −
=
−
122
Correlação e Regressão
4
1
139,4 0,9957
140
b −
= ≅ −
Coeficiente linear
( )
2
0 22
. .y x x xyb
n x x
∑ ∑ −∑ ∑
=
∑ − ∑
( )0 2
34.136 26.124,1
6.136 26
b −
=
−
0
4624 3226,6
816 676
b −
=
−
0
1397,4 9,9814
140
b = ≅
I. A reta de regressão será 4ˆ 9,981 0,9957y x= − .
Exemplo 5
Foi realizada uma pesquisa para determinar a quantidade e o preço recebido com a venda 
das unidades de um determinado produto em 10 diferentes locais em um dia. Os resultados 
estão apresentados na tabela a seguir:
Tabela 09. Dados Exemplo 05
Fonte: elaborada pelos autores.
a. Apresente o diagrama de dispersão;
b. Verifique se há correlação linear entre as grandezas x e y (use a= 1%);
c. Encontre a reta de regressão 0 1ŷ b b x= + .
Local 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Quantidade (x) 2 4 5 7 8 9 2 1 3 3
Preço em reais (y) 7,90 16,00 19,80 28,10 32,10 36,00 8,00 4,05 12,00 12,05
123
4
Métodos quantitativos
U
ni
ve
rs
id
ad
e 
S
ão
 F
ra
nc
is
co
Fonte: elaborada pelos autores.
Tabela 10. Somatórios – reta de regressão – exemplo 05
X - QUANTIDADE Y - PREÇO EM REAIS 2x 2y .x y
2 7,9 4 62,41 15,8
4 16 16 256 64
5 19,8 25 392,04 99
7 28,1 49 789,61 196,7
8 32,1 64 1030,41 256,8
9 36 81 1296 324
2 8 4 64 16
1 4,05 1 16,4025 4,05
3 12 9 144 36
3 12,05 9 145,2025 36,15
∑ 44 176 262 4196,075 1048,5
Fonte: elaborada pelos autores.
( ) ( )2 22 2
. .
. . .
n xy x yr
n x x n y y
∑ −∑ ∑
=
   ∑ − ∑ ∑ − ∑   
Figura 18. Diagrama de dispersão – exemplo 05
RESOLUÇÃO
a)
b)
600
500
400
300
200
100
0
0 2 4 6 8 10 12
124
Correlação e Regressão
4 ( ) ( )2 2
10.1048,5 44.176
10.262 44 . 10.4196,075 176
r −
=
   − −   
2741
684.10984,75
r =
2741
7513,569
r =
2741 1,00
2741,089017
r = ≅
Como 10n = , adotando 1%α = , encontra-se o valor crítico 0,765. Como 1,00r ≅ , po-
de-se afirmar que 0,765r > , sendo assim, estas variáveis possuem correlação.
c) Fazendo uso dos mesmos somatórios do Coeficiente de Correlação de Pearson, substi-
tuindo nas fórmulas:
Coeficiente angular
( )1 22
. .
.
n xy x yb
n x x
∑ −∑ ∑
=
∑ − ∑
( )1 2
10.1048,5 44.176
10.262 44
b −
=
−
1
2741 4,0073
684
b = ≅
Coeficiente linear
( )
2
0 22
. .y x x xyb
n x x
∑ ∑ −∑ ∑
=
∑ − ∑
( )0 2
176.262 44.1048,5
10.262 44
b −
=
−
0
22 0,0322
684
b −
= ≅ −
125
4
Métodos quantitativos
U
ni
ve
rs
id
ad
e 
S
ão
 F
ra
nc
is
co
A reta de regressão será 2ˆ 0,032 4,0073y x= − + .
Exemplo 6
Em uma prensa de sinterização foram realizadas várias medições de temperatura versus 
tempo do produto para a realização da prensagem no momento exato. Os pares são indica-
dos na tabela a seguir.
Tabela 11. Dados Exemplo 05
Fonte: elaborada pelosProduto A Fundamental 1.050
Produto B Superior 2.300
Produto C Fundamental 980 
Produto B Superior 2.350 
Produto A Médio 1.800 
Produto C Fundamental 800 
Produto C Médio 1.750
PRODUTO QUANTIDADE DE ENTREVISTADOS
A 3
B 2
C 5
Total 10
Produto C Médio
GRAU DE ESCOLARIDADE QUANTIDADE DE ENTREVISTADOS
Fundamental 4
Médio 4
Superior 2
Total 10
No nível nominal (categorias nomeadas), podemos usar a seguinte tabela
Fonte: elaborada pelos autores.
Fonte: elaborada pelos autores.
No nível ordinal, podemos elaborar a tabela a seguir:
Tabela 03. Grau de escolaridade dos entrevistados em uma pesquisa de preferência por produtos
4
1
U
ni
ve
rs
id
ad
e 
S
ão
 F
ra
nc
is
co
Métodos quantitativos
SAIBA MAIS
Fonte: elaborada pelos autores.
RENDA FAMILIAR (R$) QUANTIDADE DE ENTREVISTADOS
800 ⊢1.200 3
1.200 ⊢1.600 2
1.600 ⊢2.000 2
2.000 ⊢2.400 3
TOTAL 10
No nível intervalar temos:
Tabela 04. Renda familiar dos entrevistados
Observe que duas colunas são obrigatórias em todas as tabelas apresentadas, a coluna 
das classes (renda familiar, grau de escolaridade) e a coluna de frequências absolutas 
(número de entrevistados).
Outra consideração importante a ser feita diz respeito à notação adotada na Tabela 3, 
com classes no nível intervalar (800 1200� ), o que significa que o intervalo é de 800 
a 1.200, incluindo o 800 e excluindo o 1.200. Por isso, o número 1.200 se enquadra na 
segunda linha (também conhecida como segunda classe) da tabela. Da mesma forma, 
podemos observar que 1200 1600� significa que estão compreendidos todos os valo-
res entre 1.200 e 1.600, incluindo o 1.200 e excluindo o 1.600.
2. ORGANIZAÇÃO DOS DADOS EM TABELAS
Para organizarmos os dados brutos (obtidos por meio de pesquisas, por exemplo) em 
nível intervalar, dispomos de algumas etapas básicas que deverão ser seguidas. Cada 
etapa será demonstrada, passo a passo, na construção da tabela.
1ª Etapa 
Colocar os dados em ordem crescente (ou decrescente). Esta etapa é conhecida como 
a construção do rol, que nada mais é do que ordenar os dados brutos.
É possível consultar as normas de apresentação tabular em: 
Disponível em: https://biblioteca.ibge.gov.br/visualizacao/livros/liv23907.pdf. Acesso 
em: 8 mar. 2022.
https://biblioteca.ibge.gov.br/visualizacao/livros/liv23907.pdf
5
1
Estatística Descritiva
Figura 01. Idades (em anos) dos funcionários de uma determinada empresa
Figura 02. Rol (ordem crescente)
Fonte: elaborada pelos autores.
Fonte: elaborada pelos autores.
2ª Etapa 
Definição do número de classes (NC). Nesta etapa, é possível identificar quantas clas-
ses (linhas) serão necessárias para a apresentação dos dados (construção da tabela).
Observe que o número de classes deverá sempre ser um número inteiro, então deve-se 
arredondar para o número inteiro mais próximo.
Podemos calcular o número de classes com as fórmulas:
NC n=
Onde n é o número total de elementos ou dados da amostra ou da população.
NC n=
20 4,47 4 NC classes= = …≅
1
39 19 20 24 32
27 28 22 22 33
18 23 29 30 32
37 34 25 26 20
18 19 20 20 22
22 23 24 25 26
27 28 29 30 32
32 33 34 37 39
6
1
U
ni
ve
rs
id
ad
e 
S
ão
 F
ra
nc
is
co
Métodos quantitativos
IMPORTANTE
Como 20 não é um número inteiro e o número de classes da tabela precisa obrigatoriamente 
ser um número inteiro, deve-se realizar o arredondamento.
Para isso, define-se a regra para o arredondamento. Como está se buscando o arredonda-
mento para número inteiro (unidades) deve-se observar o algarismo imediatamente à direita 
do algarismo da unidade. Se este estiver entre 0 e 4, deve-se arredondar para baixo (o que 
foi adotado neste exemplo). Se este algarismo estiver entre 5 e 9, deve arredondar para cima, 
somando-se 1 ao algarismo de arredondamento. Outros exemplos:
10,356 2 10,36arredondar para algarismos após avírgula→ ≅
127,666 1 127,7arredondar para algarismoapós avírgula…→ ≅
28,333 2 28,33arredondar para algarismos após avírgula…→ ≅
Observação: Temos 20 dados brutos no conjunto e foi realizado o arredondamento para o 
número inteiro mais próximo.
3ª Etapa 
Cálculo da amplitude de classes (AC). Devemos saber qual será o intervalo adotado em 
cada classe, portanto, utilizamos a fórmula:
max minx xAC
NC
−
=
Onde:
maxx : maior valor dos elementos que compõem os dados brutos;
minx : menor valor dos elementos que compõem os dados brutos.
A amplitude de classe deverá sempre ser arredondada para cima e deve conter o mes-
mo número de casas decimais dos dados brutos.
Observamos pelo rol que o maior valor é o 39 e o menor valor é o 18. Assim:
2
max minx xAC
NC
−
=
39 18 5,25
4
AC −
= =
7
1
Estatística Descritiva
Como a amplitude de classe deve ser arredondada para cima e conter o mesmo nú-
mero de casas decimais dos dados brutos, utilizaremos a amplitude como 6 anos.
4ª etapa
Construção da tabela. Para a construção da tabela, temos duas colunas obrigató-
rias: classes e frequência absoluta. Além disso, podemos incrementar a tabela com 
as colunas frequência relativa (fr(%)), frequência acumulada (fa) e frequência relativa 
acumulada (fra(%))
Tabela 05. Idades (em anos) de um grupo de funcionários de uma determinada empresa
Tabela 06. Idades (em anos) de um grupo de funcionários de uma determinada empresa
Fonte: elaborada pelos autores.
Fonte: elaborada pelos autores.
IDADES (ANOS) F FR (%) FA FRA(%)
Total
IDADES (ANOS) F FR (%) FA FRA(%)
18 ⊢ 24
24 ⊢ 30
30 ⊢36
36 ⊢42
Total
Para a construção da tabela, observe que foram deixadas 4 linhas que representam as 
4 classes (NC = 4) determinadas na segunda etapa.
Para estabelecer os limites de cada classe, comes com o menor valor encontrado nos 
dados na primeira classe (chamado de limite inferior da primeira classe) e adicionamos 
o valor da amplitude de classe (AC), que neste exemplo é igual a 6 (o resultado obtido 
será o limite superior da primeira classe), então repetimos o resultado na segunda clas-
se (este passará a ser o limite inferior da segunda classe) e novamente adicionamos 
o valor da amplitude de classe (obtendo o limite superior da segunda classe), e assim 
sucessivamente.
Note que o último valor (limite superior da última classe) deverá ser maior ou igual ao 
maior valor apresentado no conjunto dos dados brutos. No caso de o último valor coinci-
dir com o limite superior da última classe, deve-se reelaborar os intervalos das classes, 
somando 1 ao último algarismo de AC.
8
1
U
ni
ve
rs
id
ad
e 
S
ão
 F
ra
nc
is
co
Métodos quantitativos
Tabela 07. Idades (em anos) de um grupo de funcionários de uma determinada empresa
Fonte: elaborada pelos autores.
IDADES (ANOS) F FR (%) FA FRA(%)
18 ⊢ 24 7
24 ⊢ 30 6
30 ⊢36 5
36 ⊢42 2
Total 20
Para contagem da frequência absoluta, devemos contar todos os elementos que per-
tencem ao intervalo da primeira classe, os elementos que pertencem ao intervalo da 
segunda classe e prosseguir da mesma forma até o final.
Assim, na primeira classe (18 24� ) foram contados os números entre 18 e 24 (incluin-
do o 18), e da mesma forma foram contadas as frequências das demais classes.
Para preencher a coluna da frequência relativa, devemos dividir a frequência absoluta de 
cada classe pelo número total de elementos da amostra (ou população) e multiplicar por 
100, obtendo assim o resultado em porcentagem. Podemos utilizar a fórmula a seguir:
.100ffr
n
= 
Para obtenção da frequência relativa da primeira e da segunda classes, os cálculos 
realizados foram, respectivamente:
.100ffr
n
=
7 .100 35%
20
fr = =
6 .100 30%
20
fr = =
Os demais foram encontrados da mesma forma.
3
9
1
Estatística Descritiva
Tabela 08. Idades (em anos) de um grupo de funcionários de uma determinada empresa
Tabela 09. Idades (em anos) de um grupo de funcionários de uma determinada empresa
Fonte: elaborada pelos autores.
Fonte: elaborada pelos autores.
IDADES (ANOS) F FR (%) FA FRA(%)
18 ⊢ 24 7 35
24 ⊢ 30 6 30
30 ⊢36 5 25
36 ⊢42 2 10
Total 20 100
IDADES (ANOS) F FR (%) FA FRA(%)autores.
a. Verifique se há correlação linear entre as grandezas x e y para α = 5%;
b. Encontre a reta de regressão se houver correlação linear entre as grandezas x e y;
c. Estime o tempo para que a temperatura seja igual a 400 °C;
d. Estime o tempo para que a temperatura seja igual a 800 °C;
e. Estime a temperatura em 1,8 segundos;
f. Estime a temperatura em 11 segundos.
RESOLUÇÃO
a. Verifique se há correlação linear entre as grandezas x e y para α = 5%;
Tabela 12. Somatórios – reta de regressão – exemplo 09
X Y 2x 2y .x y
0,5 10 0,25 100 5
0,7 15 0,49 225 10,5
1 25 1 625 25
2 100 4 10000 200
5 200 25 40000 1000
10 500 100 250000 5000
∑ 19,2 850 130,74 300950 6240,5
Fonte: elaborada pelos autores.
( ) ( )2 22 2
. .
. . .
n xy x yr
n x x n y y
∑ −∑ ∑
=
   ∑ − ∑ ∑ − ∑   
x - tempo (seg.) 0,5 0,7 1,0 2,0 5,0 10,0
y - temperatura (°C) 10 15 25 100 200 500
126
Correlação e Regressão
4 ( ) ( )2 2
6.6240,1 19,2.850
6.130,74 19,2 . 6.30950 850
r −
=
   − −   
21123
415,8.1083200
r =
21123
450384560
r =
21123 0,9953
21222,50127
r = ≅
a. Encontre a reta de regressão se houver correlação linear entre as grandezas x e y;
Coeficiente angular
( )1 22
. .
.
n xy x yb
n x x
∑ −∑ ∑
=
∑ − ∑
( )1 2
6.6240,5 19,2.850
6.130,74 19,2
b −
=
−
1
21123 50,8001
415,8
b = ≅
Coeficiente linear
( )
2
0 22
. .y x x xyb
n x x
∑ ∑ −∑ ∑
=
∑ − ∑
( )0 2
850.130,74 19,2.6240,50
6.130,74 19,2
b −
=
−
0
8688,6 20,8961
415,8
b −
= ≅ −
A reta de regressão será 1ˆ 20,896 50,8001y x= − + .
b. Estime o tempo para que a temperatura seja igual a 400 °C;
127
4
Métodos quantitativos
U
ni
ve
rs
id
ad
e 
S
ão
 F
ra
nc
is
co
400 20,8961 50,8001x= − +
50,8001 420,8961x =
420,8961 8,3 
50,8001
x segundos= ≅
c. Estime o tempo para que a temperatura seja igual a 800 °C;
800 20,8961 50,8001x= − +
50,8001 820,8961x =
820,8961 16,1 
50,8001
x segundos= ≅
d. Estime a temperatura em 1,8 segundos;
8ˆ 20,8961 50,8001.1,y = − +
0ˆ 7 ,5y C≅ °
e. Estime a temperatura em 11 segundos.
1ˆ 20,8961 50,8001.1y = − +
7ˆ 53 ,9y C≅ °
CONCLUSÃO
Ao final desta unidade, você deverá ser capaz de identificar se existe ou não relaciona-
mento entre duas variáveis, e em caso afirmativo, estabelecer uma reta de regressão 
(modelo matemático) que represente os dados do problema por meio dos coeficientes 
angular e linear da reta.
128
Correlação e Regressão
4
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS:
AÇÃO LOCAL DE ESTATÍSTICA APLICADA – ALEA. Nomes e datas em estatística: Karl Pearson. 
Disponível em: http://www.alea.pt/index.php?option=com_content&view=article&id=156&Itemid=1228&lang=
pt#karl-pearson-1857-%E2% 80%93-1936. Acesso em: 13 ago. 2017.
DOANE, D. P. Estatística aplicada à administração e economia [recurso eletrônico]. 4. ed. Porto Alegre: 
AMGH, 2014.
MARTINS, G. A.; DOMINGUES, O. Estatística geral e aplicada. 5. ed. rev. e ampl. São Paulo: Atlas, 2014.
MONTGOMERY, D. C.; RUNGER, G. C. Estatística aplicada e probabilidade para engenheiros. 5. ed. Rio 
de Janeiro: LTC, 2012.
REGRESSÃO Linear Simples e Múltipla. ESTGV. Disponível em: http://www.estgv. ipv.pt/PaginasPessoais/
psarabando/ Ambiente%202010-2011/Slides/Regressaoalunos.pdf. Acesso em: 13 ago. 2017.
TRIOLA, M. F. Introdução à estatística. 7. ed. Rio de Janeiro: LTC, 1999.
	Estatística Descritiva
	1. Estatística descritiva
	2. Organização dos dados em tabelas
	3. Representação em gráficos
	4. Principais medidas de Estatística Descritiva
	Probabilidade e Distribuições de Probabilidade
	1. Conceitos iniciais
	2. Cálculo de Probabilidades
	3. Probabilidade Condicional
	4. Distribuição de probabilidades
	Noções de Amostragem
	1. Vantagens e desvantagens da Amostragem
	2. Tamanho da Amostra
	3. Estimativas por intervalo e Teste de Hipóteses
	Correlação e Regressão
	1. Correlação
	2. Regressão18 ⊢ 24 7 35 7 35
24 ⊢ 30 6 30 13 65
30 ⊢36 5 25 18 90
36 ⊢42 2 10 20 100
Total 20 100 - -
Na coluna da frequência acumulada, devemos repetir a frequência da primeira classe, 
e para obter a frequência acumulada da segunda classe, devemos somar a frequência 
absoluta da primeira com a frequência da segunda classe, e assim sucessivamente.
Logo, na primeira classe, repetimos o valor da frequência absoluta na coluna da frequ-
ência acumulada (ou seja, repetimos a frequência 7). Na segunda, somamos o valor 
acumulado na linha anterior (classe anterior) com a frequência da classe em que esta-
mos trabalhando, ou seja, 7 + 6 = 13. E assim sucessivamente.
Procedemos da mesma forma com a coluna da frequência relativa acumulada, usando 
as frequências relativas. Isto é, na primeira classe, repetimos a frequência relativa acu-
mulada (igual a 35), na segunda classe, somamos o valor acumulado na classe anterior 
(primeira classe) e a frequência relativa absoluta da segunda classe (35 + 30 = 65), e 
assim por diante.
Chega-se assim à versão final da tabela:
3. REPRESENTAÇÃO EM GRÁFICOS
Além da representação de dados em tabelas, pode-se representar os dados por 
meio de gráficos. A representação gráfica é uma forma visual de apresentar os dados 
ou compará-los.
Os gráficos geralmente se subdividem em dois grupos: 
10
1
U
ni
ve
rs
id
ad
e 
S
ão
 F
ra
nc
is
co
Métodos quantitativos
Existem vários tipos de gráficos, mas daremos ênfase aos conhecidos como gráfico 
de colunas, gráfico de barras, gráfico de setores (também conhecido como gráfico de 
“pizza”) e o histograma. Os três primeiros fazem parte dos gráficos comparativos, e o 
último, dos gráficos representativos.
Observe os gráficos a seguir.
Gráfico de colunas
O gráfico de colunas é constituído por barras verticais, geralmente retangulares e de 
tamanho proporcional aos valores numéricos que elas representam.
 ` Comparativos. 
 ` Representativos.
Figura 03. Gráfico de colunas
GRÁFICO DE BARRAS
O gráfico de barras é formado por barras horizontais, geralmente retangulares e de 
tamanho proporcional aos valores numéricos que ele representa.
Fonte: elaborada pelos autores.
Produto 
Preferência dos clientes quando aos produtos consumidos
Fr
eq
uê
nc
ia
A
2
5
7
3
B C D
8
7
6
5
4
3
2
1
0
11
1
Estatística Descritiva
Figura 04. Gráfico de barras
Figura 05. Gráfico de setores
Fonte: elaborada pelos autores.
Fonte: elaborada pelos autores.
Preferência dos clientes quando aos produtos consumidos
Pr
od
ut
o
Frequência
Preferência dos clientes quando aos 
produtos consumidos
Gráfico de setor
O gráfico de setores, também conhecido como gráfico de pizza, possui o formato de um 
círculo dividido na quantidade de setores correspondente à quantidade de classes, e cada 
um desses setores compreende um arco correspondente à sua respectiva frequência.
0 1 2
2
3
3
4
D
10%
A
35%
C
25%
B
30%
5
5
6 7
7
D
C
B
A
12
1
U
ni
ve
rs
id
ad
e 
S
ão
 F
ra
nc
is
co
Métodos quantitativos
Figura 06. Histograma
Fonte: elaborada pelos autores.
Idade (em anos) de um grupo de funcionários de uma determinada empresa
Histograma
O Histograma é um gráfico de barras verticais (colunas) formando retângulos. A base de 
cada um desses retângulos representa o intervalo de classes, e a altura corresponde a 
sua respectiva frequência (podendo ser a frequência absoluta ou a frequência relativa).
Observe que foram utilizados os dados da Tabela 8 para a construção do histograma.
Box plot
O box plot, também conhecido como diagrama de caixa, é um gráfico no qual é possível 
indicar os valores da mediana, do primeiro quartil e do terceiro quartil, além dos valores 
máximo, mínimo e outlier (valor atípico do conjunto de dados).
Atenção: Os conceitos de mediana, primeiro quartil e terceiro quartil serão abordados 
no próximo tópico (Medidas de Tendência Central e Separatrizes).
Fr
eq
uê
nc
ia
Idade
0 24 30 36 42
7
6
5
2
13
1
Estatística Descritiva
Figura 07. Representação de um gráfico box plot
Figura 08. Medidas estatísticas
Fonte: www.abgconsultoria.com.br/blog/boxplot-como-interpretar/. Acesso em: 8 mar. 2022.
Fonte: elaborada pelos autores.
OUTLIER
MÁXIMO (Desconsiderando Outliers) 
TERCEIRO QUARTIL
PRIMEIRO QUARTIL
MÍNIMO (Desconsiderando Outliers) 
SEGUNDO QUARTIL (MEDIANA)
4. PRINCIPAIS MEDIDAS DE ESTATÍSTICA DESCRITIVA
Nesta parte, vamos estudar conceitos de medidas da estatística descritiva e, por meio 
de exemplos, vamos entender as aplicabilidades desses conceitos.
Para auxiliar na compreensão do assunto, veja o esquema do que será abordado.
MEDIDAS DE 
TENDÊNCIA CENTRAL 
Média aritmética simples 
Mediana 
Moda
MEDIDAS DE 
DISPERSÃO OU 
VARIABILIDADE 
Amplitude total 
Variância e desvio-padrão 
Coeficiente de variação
SEPARATRIZES
14
1
U
ni
ve
rs
id
ad
e 
S
ão
 F
ra
nc
is
co
Métodos quantitativos
Quando se realiza uma pesquisa para estudar e analisar algum dado, faz-se necessá-
rio o recolhimento e a organização desses dados. No entanto, na maioria dos casos, 
devido à quantidade de dados obtidos para análise ser grande, é também necessário 
obter uma medida (um valor) que expresse (resuma) todos os valores levantados. Daí 
a adoção das medidas de tendência central, que devem representar de algum modo 
o conjunto de dados a ser analisado.
As medidas de tendência central também servem de comparação, como avaliar o de-
sempenho de dois grupos diferentes em relação ao seu grau de satisfação para o lança-
mento de um novo produto, ou mesmo para verificar se um lote de determinado produto 
será aprovado, sabendo que o peso médio do produto deverá ser igual a 500 gramas.
Já as medidas de dispersão descrevem o comportamento dos elementos em relação 
aos valores obtidos com as medidas de tendência central. Por exemplo, em dois lotes 
com 10 peças cada um, verifica-se o peso médio de cada lote para saber em qual dos 
lotes houve menor variabilidade dos dados.
Veremos esses conceitos de medidas de tendência e de dispersão com alguns exemplos 
sobre suas aplicações em situações práticas para facilitar a compreensão do assunto.
4.1 MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
Uma medida de tendência central é um valor central ou valor do meio do conjunto 
de dados.
As medidas de tendência central, também conhecidas como MTCs, nos fornecem uma 
primeira caracterização dos elementos dos conjuntos populacionais ou amostrais.
As medidas de tendência central podem ser classificadas em: 
A média se subdivide em: média aritmética simples, média ponderada, média geométri-
ca e média harmônica. Aqui, trataremos apenas da média aritmética simples.
Observação: Nesta unidade de estudo, faremos o tratamento das medidas de tendên-
cia central para dados brutos e vamos analisar a média em dados agrupados (tabelas 
com nível intervalar).
Média aritmética simples ( )x
A média aritmética simples pode ser obtida com a fórmula:
 ` Média. 
 ` Mediana. 
 ` Moda. 
15
1
Estatística Descritiva
IMPORTANTE
1
n
ii
x
x
n
== ∑
Onde:
1
 
n
i
i
x
=
→∑ representa o somatório dos n elementos da variável ix , a partir do 1º elemento 
da amostra de dados.
 n→ número de elementos da amostra de dados
A letra grega maiúscula sigma ( )∑ sempre será utilizada para indicar o somatório de valores.
Dessa forma, a fórmula da média aritmética simples poderia ser reescrita como:
Ou seja, é o resultado da somatória de todos os elementos que compõem o conjunto de 
dados, dividindo-se pelo total de elementos pertencentes ao conjunto.
Exemplo 1
Encontre a média aritmética simples do conjunto de dados a seguir:
Figura 09. Dados exemplo 1
Fonte: elaborada pelos autores.
1 2 3 nx x x xx
n
+ + +…+
=
4
13 15 14 15 16
17 15 14 13 15
16
1
U
ni
ve
rs
id
ad
e 
S
ão
 F
ra
nc
is
co
Métodos quantitativos
Figura 10. Dados exemplo 3
Figura 11. Dados exemplo 2
Fonte: elaborada pelos autores.
Fonte: elaborada pelos autores.
Resolução:
Resolução: 
1 13 15 14 15 16 17 15 14 13 15 14710 10
n
ii
x
x x
n
= + + + + + + + + +
= → = =∑
14,7x =
Exemplo 2
Calcule a média aritmética simples do seguinte conjunto de dados: Idades (em anos) de 
um grupo de funcionários de uma determinada empresa.
A idade média do grupo de funcionários dessa empresa é de 27 anos.
Exemplo 3
Calcule o peso médio (em kg) de 5 unidades de um certo produto.
1 540 27
20
n
ii
x
x x
n
== → = =∑
39 19 20 24 32
27 28 22 22 33
18 23 29 30 32
37 34 25 26 20
9,9 10 9,8 10,1 10
17
1
Estatística Descritiva
Resolução:
O peso médio dos produtos se refere à média aritmética simples das cinco unidades 
do produto.
O peso médio dos produtos é de 9,96 kg.
Observação: Caso seja necessário arredondar o valor encontrado para a média aritmé-
tica simples, deve-se utilizar o seguinte critério: arredonde o valor calculado para uma 
casa decimal a mais do que os dados brutos.
Exemplo 4
Calcule a média aritmética simples dos seguintes dados:
1 49,8 9,96
5
n
ii
x
x x
n
== → = =∑
Tabela 10. Dados exemplo 4
4,7 5,7 7,9
3,9 4,8 9,8
Fonte: elaborada pelos autores.
Resolução:
Como os dados possuem 1 casa após a vírgula, a média deve ser arredondada para 
duas casas após a vírgula sendo assim: 
Mediana ( Md )
Mediana é a medida de tendência central que divide os dados exatamente ao meio, ou 
seja, é o valor de posição central, desde que os dados estejam em ordem crescente 
ou decrescente.
Para a definição da mediana, os dados devem estar ordenados de forma crescente.
IMPORTANTE
18
1
U
ni
ve
rs
id
ad
e 
S
ão
 F
ra
nc
is
co
Métodos quantitativos
Tabela 11. Dados exemplo 5
Tabela 12. Dados exemplo 5 - resolução
Tabela 13. Dados exemplo 6
3 3 5 5 7 9 12
3 3 5 5 7 9 12
2 2 3 4 5 6 7 7 9 9
Adotamos as seguintes regras para determinação da mediana:
 ` Se a quantidade total de dados no conjunto for ímpar, a mediana será o valor do 
meio (valor central).
Observe o exemplo:
Exemplo 5
Encontre a mediana do conjunto de dados a seguir:
Resolução:
Como se tem 7n = , ou seja, o conjunto de dados é composto de 7 elementos, assim:
Fonte: elaborada pelos autores.
Fonte: elaborada pelos autores.
Fonte: elaborada pelos autores.
O elemento central do conjunto ordenado de forma crescente é 5, portanto:
5Md =
A mediana será 5.
 ` Se a quantidade total de dados no conjunto for par, a mediana será a média arit-
mética simples entre os elementos centrais do conjunto de dados ordenado de 
forma crescente.
Exemplo 6
Encontre a mediana do conjunto de dados a seguir:
19
1
Estatística Descritiva
Resolução:
Como se tem 10n = , ou seja, o conjunto de dados possui 10 elementos, há uma quan-
tidade par de dados. Dessa forma, deve-se identificar os dois elementos centrais do 
conjunto ordenado de forma crescente e calcular a média aritmética simples entre eles.
A mediana será 5,5.
Exemplo 7
Calcule a mediana do seguinte conjunto de dados: Idades (em anos) de um grupo de 
funcionários de uma determinada empresa.
Resolução:
Deve-se ordenar os dados de forma crescente (Rol):
Figura 12. Dados exemplo 7
Figura 13. Dados exemplo 7 – resolução A
Tabela 14. Dados exemplo 6 – resolução
2 2 3 4 5 6 7 7 9 9
Fonte: elaborada pelos autores.
5 6 11 5,5
2 2
Md +
= = =
Fonte: elaborada pelos autores.
Fonte: elaborada pelos autores.
39 19 20 24 32
27 28 22 22 33
18 23 29 30 32
37 34 25 26 20
18 19 20 20 22
22 23 24 25 26
27 28 29 30 32
32 33 34 37 39
20
1
U
ni
ve
rs
id
ad
e 
S
ão
 F
ra
nc
is
co
Métodos quantitativos
Figura 14. Dados exemplo 7 – resolução B
Tabela 15. Dados exemplo 8
Tabela 16. Dados exemplo 8 – resolução A
9,9 10 9,8 10,1 10
9,8 9,9 10 10 10,1
Fonte: elaborada pelos autores.
Fonte: elaborada pelos autores.
Fonte: elaborada pelos autores.
18 19 20 20 22
22 23 24 25 26
27 28 29 30 32
32 33 34 37 39
Como 20n = , tem-se uma quantidade de dados par, devendo-se encontrar os dois 
termos centrais.
A idade mediana do grupo de funcionários dessa empresa é de 26,5 anos.
Exemplo 8
Calcule o peso mediano (em kg) de 5 unidades de um certo produto.
A idade mediana do grupo de funcionários dessa empresa é de 26,5 anos.
Exemplo 8
Calcule o peso mediano (em kg) de 5 unidades de um certo produto.
26 27 26,5
2
Md +
= =
Como 5n = , tem-se uma quantidade de dados par. Dessa forma, deve-se apenas iden-
tificar o elemento central do conjunto:
21
1
Estatística Descritiva
Tabela 17. Dados exemplo 8 – resolução B
w9,8 9,9 10 10 10,1
Fonte: elaborada pelos autores.
10Md =
O peso mediano dos produtos é de 10 kg.
Moda ( )Mo
Moda é o valor mais frequente dentro do conjunto de dados, ou seja, o valor que ocorre 
com maior frequência.
Observação: compreende-se como frequência a quantidade de vezes que um deter-
minado valor ocorre em um conjunto de dados.
Veja os exemplos:
Exemplo 9
Encontre a moda do conjunto de dados a seguir:
Resolução:
Como o número 15 é o mais frequente, ou seja, aparece mais vezes no conjunto de 
dados (frequência igual a 4), a moda dos dados é 15.
Observe que não há necessidade de os dados estarem em ordem crescente, mas se 
preferir, o rol poderá ser construído para auxiliá-lo.
Exemplo 10
Calcule a moda do seguinte conjunto de dados:
Idades (em anos) de um grupo de funcionários de uma determinada empresa.
Figura 15. Dados exemplo 9
Fonte: elaborada pelos autores.
13 15 14 15 16
17 15 14 13 15
22
1
U
ni
ve
rs
id
ad
e 
S
ão
 F
ra
nc
is
co
Métodos quantitativos
Figura 16. Dados exemplo 10
Figura 17. Dados exemplo 10 – resolução
Fonte: elaborada pelos autores.
Fonte: elaborada pelos autores.
Resolução:
Pode-se ordenar os dados de forma crescente para facilitar o processo de encontrar 
a Moda:
Observe que tanto o número 20 como o número 22 aparecem duas vezes cada. Logo, 
o conjunto acima apresenta duas modas (Bimodal), ou seja:
20 22Mo ou Mo= =
Assim, as idades modais do grupo de funcionários dessa empresa são de 20 e 22 anos.
39 19 20 24 31
27 28 22 22 33
18 23 29 30 32
37 34 25 26 20
18 19 20 20 22
22 23 24 25 26
27 28 29 30 31
32 33 34 37 39
23
1
Estatística Descritiva
Exemplo 11
Calcule o peso modal (em kg) de 5 unidades de um certo produto.
Tabela 18. Dados exemplo 11
9,9 10 9,8 10,1 10
Fonte: elaborada pelos autores.
Resolução:
O peso modal dos produtos é igual a 10 kg.
Note que a moda é uma das medidas de tendência central que é fácil de localizar (cal-
cular), no entanto, pode não ser única. Ou seja, se possuir apenas uma moda, podemos 
classificá-la como unimodal, se possuir duas modas, bimodal (Exemplo 2), se possuir 
três ou mais modas, multimodal, e se não houver moda, será chamada de amodal.
Além disso, a moda é uma medida que permite avaliar dados qualitativos, como numa 
pesquisa sobre a preferência por determinados produtos, em que 45 pessoas respon-
deram que preferem o produto A, 50 preferem o produto B e 30 optaram pelo produto C.
Logo, a moda da pesquisa citada é o produto B, que ocorre com maior frequência.
Em alguns casos, as três medidas de tendência central costumam coincidir ou ter valores 
próximos, mas isso nem sempre acontece, devido à distribuição dos dados. Lembre-se de 
que a média aritmética é a única das medidas de tendência central que utiliza todos os dados 
do conjunto para o seu cálculo. Já a mediana utiliza apenas o(s) dado(s) central(is) e a moda, 
os quais ocorrem com maior frequência.
4.2 SEPARATRIZES
As separatrizes dividem o conjunto de dados (desde que estejam em ordem crescente) 
em partes, podendo ser essa divisão em 4, 10 ou 100 partes.
Quando as divisões são realizadas em 4 partes, podemos chamá-las de quartis, 
1 2 3, , Q Q Q e 4Q , que representam, respectivamente 25%, 50%, 75% e 100%. A inter-
pretação, por exemplo, do primeiro quartil ( 1Q ) é de que ela divide o conjunto de dados 
de forma que 25% dos valores serão inferiores ao encontrado e 75% serão superiores 
ao valor encontrado.
Já quando as divisões são feitas em 10 partes, temos os decis, 1 2 10, , ,D D D… , cada 
um correspondendo a 10%.
IMPORTANTE
241
U
ni
ve
rs
id
ad
e 
S
ão
 F
ra
nc
is
co
Métodos quantitativos
Quando o número da ordem não for um número inteiro, deve-se realizar uma interpolação 
(estimativa) para se encontrar um valor mais próximo.
E os percentis, divisão em 100 partes, são representados por 1 2 100, , , P P P… , sendo 1% 
cada um.
Quando nos referimos aos 4Q , 10D e 100P , devemos considerar o último valor, pois é 
o limite de 100%.
Segundo Arango (2009), uma fórmula geral que pode ser utilizada para encontrar a 
ordem que corresponde a uma determinada separatriz é:
( )1 . 1i
iR n
C
= − + com 1,2, , i C= …
Sendo:
 iR → a ordem (posição nos dados ordenados de forma crescente) do número que re-
presenta a i-ésima separatriz.
 i→ separatriz desejada
 C→ número de divisões do conjunto
Etapas para a determinação das separatrizes
1° passo: Encontrar a posição da separatriz no conjunto de dados através da expressão:
2° passo: Com o conjunto de dados organizado de forma crescente, determinar o valor 
localizado na posição indicada no cálculo anterior, esse valor será a separatriz desejada.
Observação: O número de divisões do conjunto é dado da seguinte forma: C = 4 para 
quartis, C = 10 para decis e C = 100 para percentis.
( )1 . 1i
iR n
C
= − +
Exemplo 12 
Seja o conjunto de dados a seguir:
Idades (em anos) de um grupo de 25 funcionários de uma determinada empresa.
5
IMPORTANTE
25
1
Estatística Descritiva
Fonte: elaborada pelos autores.
Fonte: elaborada pelos autores.
Figura 18. Dados exemplo 12
Figura 19. Dados exemplo 12 – resolução A
Determinar o 1º quartil (Q1), o 4º decil (D4) e o 90º percentil (P90).
Resolução:
Elaborar o Rol dos dados:
Para determinar o primeiro quartil, usamos i = 1 e C = 4. E temos que n = 25.
( ) ( )1
11 . 1 25 1 . 1
4i
iR n R
C
= − + → = − +
39 19 20 24 32
27 28 22 22 33
18 23 29 30 32
37 34 25 26 20
35 36 37 38 38
18 19 20 20 22
22 23 24 25 26
27 28 29 30 32
32 33 34 35 36
37 37 38 38 39
26
1
U
ni
ve
rs
id
ad
e 
S
ão
 F
ra
nc
is
co
Métodos quantitativos
Fonte: elaborada pelos autores.
Figura 20. Dados exemplo 12 – resolução B
Então, o primeiro quartil é o elemento que ocupa a sétima posição na ordem crescente, 
ou seja, 1 23Q = . Assim, podemos concluir que 25% dos funcionários dessa empresa 
têm idade inferior a 23 anos, ou ainda que 75% apresentam idade superior a 23 anos.
1
124. 1
4
R = +
18 19 20 20 22
22 23 24 25 26
27 28 29 30 32
32 33 34 35 36
37 37 38 38 39
1 1
24 1 6 1 7
4
R R= + → = + =
Para determinar o quarto decil, usamos i = 4 e C = 10, e temos que n = 25.
( ) ( )4
41 . 1 25 1 . 1
10i
iR n R
C
= − + → = − +
4 4
4 9624. 1 1
10 10
R R= + → = +
4 9,6 1 10,6R = + =
Como encontramos uma ordem (posição) não-inteira, não há como localizarmos de 
forma direta este valor no conjunto de dados. Dessa forma, se fará uso da interpolação:
1º passo: Como encontrou-se o valor 10,6 como ordem de 4D , estima-se que o quarto de-
cil esteja entre a 10ª e a 11ª posição. Encontre os elementos que ocupam essas posições:
27
1
Estatística Descritiva
Fonte: elaborada pelos autores.
Figura 21. Dados exemplo 12 – resolução C
18 19 20 20 22
22 23 24 25 26
27 28 29 30 32
32 33 34 35 36
37 37 38 38 39
10 26x = e 11 27x =
2° passo: Encontre a diferença entre as posições destacadas no 1° passo:
11 10 27 26 1x x− = − =
3° passo: Como encontrou-se o valor 10,6 como ordem de 4D , pegue a parte não-in-
teira do número (neste caso 0,6) e multiplique pela diferença encontrada no 2° passo:
0,6.1 0,6=
4º passo: A partir do valor que ocupa a posição definida pela parte inteira do valor cal-
culado (neste caso 10x ), some com o resultado encontrado do 3° passo:
26 0,6 26,6+ =
Então, o quarto decil é igual a 26,6 anos ( 4 26,6D = ), e isso significa que 40% dos 
funcionários desta empresa apresentam idade inferior a 26,6 anos.
Para determinar o 90º percentil, usamos i = 90 e C = 100, e temos que n = 25.
( ) ( )90
901 . 1 25 1 . 1
100i
iR n R
C
= − + → = − +
90 90
90 216024. 1 1
100 100
R R= + → = +
90 21,6 1 22,6R = + =
28
1
U
ni
ve
rs
id
ad
e 
S
ão
 F
ra
nc
is
co
Métodos quantitativos
Fonte: elaborada pelos autores.
18 19 20 20 22
22 23 24 25 26
27 28 29 30 32
32 33 34 35 36
37 37 38 38 39
Figura 22. Dados exemplo 12 – resolução D
1º passo: Como encontrou-se o valor 22,6 como ordem de 4D , estima-se que o quarto de-
cil esteja entre a 22ª e a 23ª posição. Encontre os elementos que ocupam essas posições:
22 37x = e 23 38x =
2° passo: Encontre a diferença entre as posições destacadas no 1° passo:
23 22 38 37 1x x− = − =
3° passo: Como encontrou-se o valor 22,6 como ordem de 90P , pegue a parte não-in-
teira do número (neste caso 0,6) e multiplique pela diferença encontrada no 2° passo:
 0,6.1 0,6=
4º passo: A partir do valor que ocupa posição definida pela parte inteira do valor calcu-
lado (neste caso 22x ), some com o resultado encontrado do 3° passo:
37 0,6 37,6+ =
Então, o 90º percentil é igual a 37,6 anos, ou seja, P90 = 37,6. Portanto, 90% dos fun-
cionários desta empresa apresentam idade inferior a 37,6 anos.
 4.3 MEDIDAS DE DISPERSÃO OU VARIABILIDADE
As medidas de dispersão (MD) ou de variabilidade podem ser entendidas como a dife-
rença observada no conjunto de dados a serem analisados. Podemos dizer ainda que 
quanto maior for essa diferença, maior será a variabilidade ou a dispersão dos dados do 
29
1
Estatística Descritiva
grupo avaliado. E quanto menor a diferença, menor a dispersão dos dados. Por exem-
plo: poderia ser solicitado a um encarregado de uma empresa um relatório para avaliar 
o desempenho de seus funcionários, ou seja, quais funcionários se mantêm mais cons-
tantes na quantidade de peças produzidas diariamente.
As principais medidas de variabilidade que serão abordadas nesta presente unidade 
são: amplitude total, variância, desvio-padrão e coeficiente de variação.
Amplitude total
A amplitude total é uma medida de dispersão de fácil obtenção e é calculada pela dife-
rença entre o maior e o menor valor do conjunto de dados a serem analisados, ou seja,
max total minA x x= −
A amplitude total não usa todos os dados do conjunto, apenas os dados extremos.
Exemplo 13
Dado o conjunto a seguir, determine o valor da amplitude total.
Resolução:
Nesta unidade de estudo, faremos o tratamento das medidas de dispersão para dados brutos 
e também vamos analisar o desvio em dados agrupados (tabelas com nível intervalar).
Tabela 19. Dados exemplo 13
3 5 6 2 5 4
Fonte: elaborada pelos autores.
Pode-se afirmar que a amplitude total é 4.
Exemplo 14
As temperaturas indicadas a seguir foram registradas em seis momentos diferentes de 
um dia. Determine a amplitude total (variação da temperatura) durante o início e o final 
do registro das temperaturas.
max total minA x x= −
6 2 4totalA = − =
6
ATENÇÃO
30
1
U
ni
ve
rs
id
ad
e 
S
ão
 F
ra
nc
is
co
Métodos quantitativos
Resolução:
24 18 6 totalA C= − = °
Logo, a variação da temperatura no período registrado foi de 6 ºC.
Variância e desvio-padrão
Segundo Díaz e López (2007), a variância é definida como a média das diferenças qua-
dráticas de n valores em relação a sua média aritmética, assim:
( )2
2 1
n
ii
x x
n
σ =
−
= ∑
O valor obtido com o cálculo da variância é sempre positivo e é calculado utilizando 
todos os elementos do conjunto de dados. Porém, suas unidades são as do quadrado 
da variável estudada, o que torna mais fácil a utilização de sua raiz quadrada, que vem 
a ser o desvio-padrão. Então:
Tabela 20. Dados exemplo 12
18ºC 20ºC 21ºC 21ºC 22ºC 24ºC
Fonte: elaborada pelos autores.
( )1
n
ii
x x
n
σ =
−
= ∑
1) Para realizar o cálculo do desvio-padrão, faz-se necessário o cálculo da média 
aritmética simples.
2) Quando se trabalha com amostras, faz-se necessária uma correção amostral na 
fórmula, na qual a divisão não é feita por n, mas sim por n – 1, ou seja:
( )1
1
n
ii
x x
s
n
=
−
=
−
∑
7
IMPORTANTE
31
1
Estatística Descritiva
A correçãoamostral tem efeito sobre os resultados para conjuntos que contenham apro-
ximadamente 30 elementos.
Exemplo 15
Calcule o desvio-padrão populacional para o conjunto de dados a seguir.
Resolução:
1° passo: Calcular a média aritmética simples:
2º passo: Calcular o somatório dos quadrados da diferença de todos os valores do 
conjunto em relação à média.
Tabela 21. Dados exemplo 15
Tabela 22. Dados exemplo 15 – resolução
10 12 12 11 13
Fonte: elaborada pelos autores.
Fonte: elaborada pelos autores.
10 12 12 11 13 58 11,6
5 5
x + + + +
= = =
3° passo: A partir do somatório encontrado, substitua na fórmula do 
desvio-padrão populacional:
( )1
n
ii
x x
n
σ =
−
= ∑
5,2 1,04 1,02
5
σ σ= → = ≅
10 (10-11,6)² = 2,56
12 (12-11,6)² = 0,16
12 (12-11,6)² = 0,16
11 (11-11,6)² = 0,36
13 (13-11,6)² = 1,96
∑ 5,2
ix 2( )ix x−
32
1
U
ni
ve
rs
id
ad
e 
S
ão
 F
ra
nc
is
co
Métodos quantitativos
Observação: O arredondamento do desvio-padrão deve se dar com uma casa a 
mais do que a média aritmética, nesse caso com duas casas decimais. Não adote 
arredondamentos nos cálculos intermediários, somente no final.
Coeficiente de variação
O coeficiente de variação é uma medida de dispersão relativa que serve para comparar 
a variação de diferentes grupos, mesmo que suas unidades sejam diferentes.
.100scv
x
= (8) ou .100cv
x
σ
=
Exemplo 17
Determine o coeficiente de variação para os dados do exemplo no item anterior:
Resolução:
1,02.100 8,79%
11,6
cv cv
x
σ
= → = ≅
Exemplo 18
Deseja-se saber a variabilidade de dois lotes amostrais de diferentes produtos. Os lotes 
estão descritos a seguir:
Fonte: elaborada pelos autores.
Figura 23. Dados exemplo 18
Por meio do desvio-padrão amostral e do coeficiente de variação, determine qual dos 
lotes apresenta menor variabilidade.
Resolução:
Lote 1
Lote 1 - Conteúdo (em gramas) de 5 pacotes de açucar.
Lote 2 - Conteúdo (em mililitros) de 6 frascos de detergente.
499 502 500 500 498 501
1000 999 1002 1000 998
9
33
1
Estatística Descritiva
4999 999,8 
5
x g= =
ix ( )2
ix x−
1000 0,04
999 0,64
1002 4,84
1000 0,04
998 3,24
∑ 8,8
( )1 8,8 
1 5 1
n
ii
x x
s s
n
=
−
= → =
− −
∑
8,8 2, 2 1,48
4
s s= → = ≅
Calculando o coeficiente de variação:
 1,48 .100 0,15%
999,8
scv cv
x
= → = =
Lote 2:
3000 500
6
x ml= =
ix ( )2
ix x−
499 1
502 4
500 0
500 0
498 4
501 1
∑ 10
34
1
U
ni
ve
rs
id
ad
e 
S
ão
 F
ra
nc
is
co
Métodos quantitativos
( )1 10 
1 6 1
n
ii
x x
s s
n
=
−
= → =
− −
∑
10 2 1,41 
5
s s ml= → = ≅
Calculando o coeficiente de variação:
Logo, podemos concluir que o lote que apresenta menor variabilidade é o 1, pois o valor 
do coeficiente de variação é menor.
Média aritmética e desvio-padrão para dados agrupados
A seguir, vamos analisar como é possível calcular a média aritmética e o desvio-padrão 
para dados agrupados (tabela de frequências).
Exemplo 17 
A tabela a seguir indica as idades dos funcionários de uma empresa.
Tabela 23. Número de funcionários por idade
IDADE (EM ANOS) Nº DE FUNCIONÁRIOS
20 2
21 5
23 7
24 6
28 2
Total 22
Fonte: elaborada pelos autores.
Determine a média e o desvio-padrão populacional das idades em anos.
Resolução:
No caso da tabela apresentada, observa-se que há repetição dos valores, ou seja, 2 
funcionários têm 20 anos e 2 dos funcionários têm 28 anos. Logo, as fórmulas para 
cálculo da média e do desvio-padrão populacional são, respectivamente:
1
.n
ii
x f
x
n
== ∑
1,41 .100 0,28%
500
scv cv
x
= → = =
35
1
Estatística Descritiva
Assim:
( )2
1
.
 
n
i
x x f
n
σ =
−
= ∑
Tabela 24. Resolução exemplo 17
Tabela 25. Idades (em anos) dos funcionários de uma empresa
Fonte: elaborada pelos autores.
Fonte: elaborada pelos autores.
Logo:
1
. 506 23 
22
n
ii
x f
x x anos
n
== → = =∑
94 2,1 
22
anosσ = ≅
Exemplo 18
A tabela a seguir indica as idades de um grupo de funcionários de uma determinada empresa.
Idade (anos)
18 24 7
24 30 6
30 36 5
36 42 2
Total 20
f
Idade (anos) Nº Funcionários
20 2 40 (20-23)² = .2=18
21 5 105 (21-23)² = .5 = 20
23 7 161 (23-23)² = .7=0
24 6 144 (24-23)² = .6=6
28 2 56 (28-23)² = .2=50
Total 22 506 94
.ix f
ix f
2( )ix x f− ⋅
36
1
U
ni
ve
rs
id
ad
e 
S
ão
 F
ra
nc
is
co
Métodos quantitativos
Fonte: elaborada pelos autores.
Determine a média e o desvio-padrão amostral das idades em anos.
Resolução:
Na tabela, observa-se que temos uma distribuição de frequências no nível intervalar. Logo, 
as fórmulas para cálculo da média e do desvio-padrão amostral são, respectivamente:
Tabela 26. Resolução exemplo 18
Observe que, para calcular o valor médio ( mx ) da primeira classe, fazemos 18 24 21
2
+
=
. E procedemos da mesma forma para as demais classes. Logo:
1
. 552 27,6 
20
n
mi
x f
x x anos
n
== → = ≅∑
( )2
1
. 712,8 
1 20 1
n
mi
x x f
s s
n
=
−
= → =
− −
∑
712,8 6,1 
19
s anos= ≅
1
.n
mi
x f
x
n
== ∑
( )2
1
.
 
1
n
mi
x x f
s
n
=
−
=
−
∑
Onde mx é o valor médio do intervalo de classe, ou seja, média dos
limites inferior e superior de cada classe.
Assim:
Idade (anos) xi f xm xm . f
18 ⊢ 24 7 21 147 (21- 27,6)² .7 = 304,92
24 ⊢30 6 27 162 (27 - 27,6)² . 6 = 2,16
30 ⊢ 36 5 33 165 (33 - 27,6)² . 5 = 145,8
36 ⊢ 42 2 39 78 (39 - 27,6)² . 2 = 259,92
Total 22 − 552 712,8
2( )mx x f− ⋅
37
1
Estatística Descritiva
CONCLUSÃO
Nesta unidade vimos que vários conceitos da estatística descritiva nos auxiliam a resol-
ver questões ligadas ao cotidiano profissional e também a algumas situações de nosso 
dia a dia, por exemplo, a variação de temperatura.
Ao final desta unidade, você deverá ser capaz de elaborar e interpretar tabelas e grá-
ficos com base nos dados brutos obtidos, além de calcular as medidas de tendência 
central e as medidas de dispersão e de utilizar o coeficiente de variação para analisar a 
variabilidade de um conjunto de dados.
38
1
U
ni
ve
rs
id
ad
e 
S
ão
 F
ra
nc
is
co
Métodos quantitativos
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
ARANGO, H. G. Bioestatística teórica e computacional. 3. ed. Rio de Janeiro: Guanabara Koogan, 2009.
BRASIL. Secretaria de Planejamento, Orçamento e Coordenação. Fundação Instituto Brasileiro de Geogra-
fia e Estatística· IBGE. Centro de Documentação e Disseminação de Informações Normas de Apresenta-
ção Tabular. 3.ª Ed. Rio de Janeiro 1993. Disponível em: https://biblioteca.ibge.gov.br/visualizacao/livros/
liv23907.pdf. Acesso em 29 mar. 2022.
DÍAZ, F. R.; LÓPEZ, F. J. B. Bioestatística. São Paulo: Thomson Learning, 2007.
https://biblioteca.ibge.gov.br/visualizacao/livros/liv23907.pdf
https://biblioteca.ibge.gov.br/visualizacao/livros/liv23907.pdf
44
Probabilidade e Distribuições de Probabilidade
2
UNIDADE 2
PROBABILIDADE E 
DISTRIBUIÇÕES DE 
PROBABILIDADE
INTRODUÇÃO
O estudo da probabilidade teve seu início nos jogos de azar (cartas, roletas, dados etc.) 
e hoje encontramos diversos exemplos em que esse tipo de estudo é citado. A teoria da 
probabilidade permite que se determine a chance de ocorrência de um evento em um 
experimento aleatório.
O uso de probabilidade está relacionado à questão da confiabilidade de eficácia e à 
redução de falhas, por exemplo.
1. CONCEITOS INICIAIS
1.1 DETERMINÍSTICO OU ALEATÓRIO
Os fenômenos podem ser classificados em determinísticos ou aleatórios.
Os fenômenos aleatórios são aqueles que, realizados sob as mesmas condições iniciais, 
podem levar a diferentes resultados, por exemplo, o sorteio dos números em uma loteria.
Os fenômenos determinísticos acontecem sob as mesmas condições iniciais, e é 
possível predizer o resultado final, que é o que ocorre com muitas leis aplicadas à Físi-
ca, por isso a utilização de fórmulas.
Assim, a probabilidade tem como objetivo o estudo de fenômenos aleatórios. Seguem 
algumas definições para o cálculo de probabilidades.
I. Espaço amostral (U)
É o conjunto formado por todos os possíveis resultados (elementos) de um experimento 
aleatório. Também é conhecidocomo conjunto universo. Observe o espaço amostral 
nos exemplos a seguir:
45
2
Métodos quantitativos
U
ni
ve
rs
id
ad
e 
S
ão
 F
ra
nc
is
co
EXEMPLO 3
No lançamento de duas moedas, pode acontecer: cara em 
ambas as moedas, coroa em ambas as moedas, cara na 
primeira e coroa na segunda moeda, ou ainda, coroa na 
primeira e cara na segunda. Logo:
U = {KK, CC, KC, CK} e n(U) = 4.
Observação: Note que foi utilizado K para representar a 
ocorrência da face cara e C para a ocorrência da face coroa.
EXEMPLO 2
No lançamento de uma moeda, pode ocorrer a face cara 
ou a face coroa. Assim, o espaço amostral é dado por:
U = {cara, coroa} e n(U) = 2
Fonte:123RF.
Fonte:123RF.
EXEMPLO 1
No lançamento de um dado podem ocorrer as faces 1, 2, 3, 4, 5 ou 6.
Esse espaço amostral é composto de 6 elementos, n(U) = 6.
Fonte:123RF.
EXEMPLO 4
d) Numa linha de produção, uma peça pode ser considerada 
“perfeita” ou “defeituosa”. Assim, podemos descrever seu es-
paço amostral como:
U = {perfeita, defeituosa}.
Então, n(U) = 2.
Fonte:123RF.
46
Probabilidade e Distribuições de Probabilidade
2
Exemplo 1
Numa linha de produção há 15 peças numeradas de 1 a 15. Determine:
a) O espaço amostral formado pelas 15 peças.
b) O evento A: ocorrência de uma peça com numeração superior a 10.
c) O evento B: ocorrência de uma peça com numeração par.
Resolução:
a) O espaço amostral formado pelas 15 peças. 
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15}
b) O evento A: ocorrência de uma peça com numeração superior a 10. 
A = {11, 12, 13, 14, 15}
c) O evento B: ocorrência de uma peça com numeração par. 
B = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}
Podemos classificar os eventos da seguinte forma:
II. Evento
É um subconjunto do espaço amostral, indicando geralmente o que se deseja que 
ocorra. É comum indicar um evento usando letra maiúscula: A, B, C, …, M, N, …
Figura 01. Espaço amostral com indicação de subconjunto
Fonte: elaborada pelo autor.
Considere o exemplo a seguir.
I. Evento certo
É aquele formado por todos os elementos do espaço amostral.
47
2
Métodos quantitativos
U
ni
ve
rs
id
ad
e 
S
ão
 F
ra
nc
is
co
Exemplo 2
Considere o lançamento de um dado no qual o espaço amostral é constituído por U = {1, 2, 3, 
4, 5, 6} e o evento C: no lançamento de um dado deverá ocorrer uma face voltada para cima 
com numeração menor que 7. Determinar a probabilidade deste evento.
Resolução:
Logo, o evento C será C = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Sua probabilidade será igual a 100%.
II. Evento simples
Também conhecido como evento elementar, é aquele que contém apenas um 
único elemento.
Exemplo 3
Exemplo 4
Evento D: no lançamento simultâneo de dois dados, a ocorrência da soma dos resultados 
deverá ser igual a 2. Determine quais são as possibilidades de ocorrência deste evento.
Resolução:
A única possibilidade de se lançar dois dados e obter a soma dos resultados igual a 2 acon-
tecerá se ambas as faces apresentarem a numeração 1. Logo, evento D = {(1,1)}, onde n(D) 
=1.
Evento vazio: classificado também como evento impossível, é aquele que não apresenta 
nenhum resultado.
Evento E: no lançamento de um dado, a ocorrência de uma face com numeração maior ou 
igual a 7. Determine quais são as possibilidades deste evento ocorrer.
Resolução:
Como no dado não temos nenhuma face com numeração igual ou maior que 7, teremos um 
evento impossível. Logo, E = ø.
Evento complementar: formado pelos elementos que pertencem ao espaço amostral, mas 
não pertencem ao evento desejado.
48
Probabilidade e Distribuições de Probabilidade
2
Exemplo 5
Exemplo 6
Evento F = no lançamento de um dado, a ocorrência de uma face par, isto é, F = {2, 4, 6}. 
Determine as possibilidades de ocorrência deste evento.
Resolução:
Assim, o complementar de F, denotado por F ou por CF , será F = {1, 3, 5}. Observe que
 F F U∪ = (lê-se a união do evento com o seu complementar é igual ao espaço amostral).
No lançamento de um dado, qual a probabilidade de “sair” a face 3 voltada para cima?
Resolução:
Lembre-se de que no dado “normal” só há uma face com o número 3, num
total de 6 faces do dado. Assim, n(A) = 1 e n(U) = 6. Logo:
2. CÁLCULO DE PROBABILIDADES
A definição clássica para o cálculo de probabilidades é: A probabilidade de ocorrência 
do evento A é a razão entre o número de elementos do evento A e o número total de 
elementos do conjunto amostral. Ou seja:
( ) ( )
( )
n A
P A
n U
=
Onde:
( )P A → probabilidade de o evento A ocorrer;
( )n A → número de possibilidades do evento A;
( )n U → número de possibilidades do espaço amostral U.
Observação: A probabilidade é uma grandeza que varia de 0 a 1 (0% a 100%).
( )0 1P A≤ ≤
Veja os exemplos a seguir:
1
49
2
Métodos quantitativos
U
ni
ve
rs
id
ad
e 
S
ão
 F
ra
nc
is
co
Para se expressar a probabilidade em porcentagem, deve-se multiplicar o valor encontrado por 100:
( ) ( )
( ) ( ) 1 0,1667
6
n A
P A P A
n U
= → = ≅
Exemplo 7
No lançamento de um dado, qual a probabilidade de o resultado ser um número ímpar?
Resolução:
Conjunto universo U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e n(U) = 6.
Evento A: a face do dado é um número par A = {1,3, 5} e n(A) = 3
Exemplo 8
Numa linha de produção, há 10 lustres dos quais 2 são defeituosos.
Qual a probabilidade de se escolher um dos lustres:
a) Defeituosos.
b) Não defeituosos.
Resolução:
Observe que foi utilizado D para representar a probabilidade de se escolher um lustre defei-
tuoso e B para um lustre não defeituoso, ou seja, um lustre bom.
E ainda, poderíamos ter realizado o cálculo do item b com o evento complementar. Assim, 
para obter a probabilidade de encontrar um dos lustres que não seja defeituoso, basta fazer 
o total (1 inteiro, que equivale a 100%) menos o que não desejamos que ocorra, isto é, um 
lustre defeituoso. Logo:
a)
b)
( ) ( )
( )
2 0,2 20%
10
n A
P A ou
n U
= = =
( ) ( )
( )
8 0,8 80%
10
n B
P B ou
n U
= = =
( ) ( ) 11 1 1 0,2 0,8 80%
5
P B P D ou= − = − = − =
( ) 0,1667.100 16,67%P A ≅ ≅
( ) ( )
( ) ( ) 3 0,5 50%
6
n A
P A P A ou
n U
= → = =
50
Probabilidade e Distribuições de Probabilidade
2
Exemplo 9
Numa fábrica de velas, há um total de 200 velas, das quais 50 são da cor azul, 80 são da cor 
branca e as demais são vermelhas. Qual a probabilidade de se escolher uma vela que seja 
da cor azul ou da cor vermelha?
Resolução:
Velas da cor azul: 50
Velas da cor vermelha: 70
Logo, a probabilidade de se escolher uma vela da cor azul ou da cor vermelha é:
Observação: note que para calcular 
50 70
200 200
+ , como os denominadores das frações 
são iguais, basta realizar a operação indicada entre os numeradores e manter o valor 
de denominador.
I. Evento união e intersecção
Observe que, nesse caso, usamos a ideia de que os eventos são mutuamente exclusi-
vos, ou seja, são eventos que não ocorrem simultaneamente: ou é da cor azul ou é da 
cor vermelha. Veja a ilustração a seguir:
A representa o conjunto das velas que têm cor azul e B o conjunto das velas que têm 
cor vermelha.
Note que A B∩ =∅ . Então, podemos concluir que:
Figura 02. Diagrama intersecção vazia
Fonte: elaborada pelos autores.
A B
( ) ( ) 50 70 120 0,6 60%
200 200 200
P azul P vermelha ou+ = + = =
( ) ( ) ( )P A B P A P B∪ = +
51
2
Métodos quantitativos
U
ni
ve
rs
id
ad
e 
S
ão
 F
ra
nc
is
co
Exemplo 10
Exemplo 11
Na retirada de uma carta de um baralho com 52 cartas, deseja-se retirar uma carta que seja 
de copas ou ouros. Qual a probabilidade de se retirar uma carta nessas condições?
Resolução:
Lembrete: no baralho de 52 cartas há quatro naipes diferentes (13 cartas de cada naipe, logo, 
há 13 cartas de copas). Não há nenhuma carta que pertença a copas e a ouros. Dessa forma:
Na retirada de uma carta de um baralho com 52 cartas, deseja-se retirar uma carta que seja 
de copas ou dama. Qual a probabilidade de se retirar uma carta nessas condições?
Resolução:
Lembrete: no baralho de 52 cartas há quatro naipes diferentes (13 cartas de cada naipe, logo, 
há 13 cartasde copas) e há quatro damas (uma de cada naipe). Porém, há exatamente uma 
carta que pertence aos dois grupos ao mesmo tempo, que é a dama de copas.
( ) ( ) 13 13 26 0,5 50%
52 52 52
P copas P ouros ou+ = + = =
Figura 03. Diagrama intersecção existente
Observe a ilustração a seguir:
Note que A B∩ não é vazia. Então, podemos concluir que:
Fonte: elaborada pelos autores.
A B
( ) ( ) ( ) 13 4 1 16 0,308 30,8%
52 52 52 52
P copas P dama P copas edama ou+ − = + − = ≅
( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B∪ = + − ∩
52
Probabilidade e Distribuições de Probabilidade
2
Exemplo 12
Exemplo 13
Uma moeda não viciada é lançada para cima duas vezes. Determine a probabilidade de que 
ambos os resultados sejam cara.
Resolução:
No lançamento de uma moeda não viciada, temos apenas duas possibilidades de resultados, 
ou é cara ou é coroa. Ou seja, a probabilidade de sair cara em um lançamento é igual a 1/2. 
Então, devemos ter cara no primeiro
lançamento e cara também no segundo lançamento. Logo:
Observação: para calcular 1 1.
2 2
 deve-se multiplicar o numerador pelo numerador, e o deno-
minador pelo denominador.
Observe que neste exemplo temos eventos independentes, ou seja, quando a probabilidade 
de ocorrer um deles não depende de outros terem ocorrido ou não. No caso de eventos in-
dependentes, temos:
Considere um lote formado por 20 peças, das quais 4 apresentam defeito. Qual a probabilida-
de de serem retiradas, ao acaso, duas peças desse lote, com reposição e que:
a) Ambas sejam defeituosas;
b) Ambas sejam perfeitas (não apresentem nenhum defeito);
c) A primeira seja perfeita e a segunda seja defeituosa (nesta ordem);
d) Exatamente uma delas seja defeituosa;
e) Pelo menos uma seja defeituosa.
Observação: com reposição significa que após retirar a primeira peça, verifica-se se a mes-
ma é defeituosa ou não, depois ela é devolvida ao lote. Sendo assim, o lote sempre continu-
ará com 20 peças (4 com defeitos e 16 sem defeitos).
Seja: ( ) P D → probabilidade de se obter uma peça com defeito; e ( ) P B → a probabili-
dade de se obter uma peça sem defeito.
( ) ( ) ( ).P A B P A P B∩ =
( ) ( ) ( ) 1 1 1 . . 0, 25 25%
2 2 4
P caraecara P cara P cara ou= = = =
53
2
Métodos quantitativos
U
ni
ve
rs
id
ad
e 
S
ão
 F
ra
nc
is
co
Resolução:
( ) ( ) 4 4 16. . 0,04 4%
20 20 400
P D P D ou= = =
( ) ( ) 16 16 256. . 0,64 64%
20 20 400
P B P B ou= = =
( ) ( ) 16 4 64. . 0,16 1 6%
20 20 400
P B P D ou= = =
( ) ( ) ( ) ( ) 16 4 4 16 . .
20 20 20 20
P B e P D ou P D e P B = +
64 64 128 0,32 32%
400 400 400
ou= + = =
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P B e P D ou P D e P B ou P D e P D =
16 4 4 16 4 4 64 64 16 144. . . 0,36 36%
20 20 20 20 20 20 400 400 400 400
ou= + + = + + = =
a)
b)
c)
d)
e)
01. A soma dos resultados dos itens a, b e d é igual a 100%, pois completam todas 
as possibilidades: se ambas apresentarem defeitos, se ambas não apresentarem 
defeitos e se apenas uma apresentar defeito (independente da ordem);
02. A probabilidade do item d poderia ser calculada da seguinte maneira:
O produto pelo fator 2 indica as duas possibilidades de se obter uma peça defeituosa e uma 
peça sem defeito, isto é, ( ) ( ) P B e P D ou ( ) ( ) P D e P B .
03. O cálculo da probabilidade do item e poderia ser realizado por meio dos dados 
daquilo que não desejamos que aconteça, ou seja, ao invés de fazermos todas as 
possibilidades de se obter pelo menos uma peça defeituosa, poderíamos calcular 
a probabilidade de ambas as peças não apresentarem defeito e subtrair do total de 
100% = 1.
16 4 64 128. .2 .2 0,32 32%
20 20 400 400
ou  = = = 
 
161 1 0,64 0,36 36%
25
ou− = − =
IMPORTANTE
54
Probabilidade e Distribuições de Probabilidade
2
Sem reposição significa que após retirar a primeira peça, verifica-se se ela é defeituosa ou 
não, depois não é mais devolvida ao lote. Sendo assim, o lote que continha incialmente 20 
peças passará a ter 19 peças na segunda retirada. No caso do item a, no qual desejamos que 
as duas peças retiradas sejam defeituosas, procedemos da seguinte forma: primeira peça a 
ser retirada -> 4 defeitos no total de 20 peças; e na segunda peça a ser retirada -> 3 defeitos 
no total de 19 peças restantes no lote.
No exemplo anterior, vimos que a probabilidade de se retirar a segunda peça defeituosa 
não depende do resultado da retirada da primeira peça (ou seja, se ela é defeituosa ou 
não). Neste caso, os eventos também são chamados de eventos independentes.
Lembre-se de que os eventos independentes são aqueles em que a ocorrência ou não 
de um não implica na ocorrência do outro.
Exemplo 14
Considere um lote formado por 20 peças, das quais 4 apresentam defeito. Qual a probabilida-
de de serem retiradas, ao acaso, duas peças desse lote, sem reposição, e que:
a) Ambas sejam defeituosas;
b) Ambas sejam perfeitas (não apresentem nenhum defeito);
c) A primeira seja perfeita e a segunda seja defeituosa (nesta ordem);
d) Exatamente uma delas seja defeituosa;
e) Pelo menos uma seja defeituosa.
Resolução:
( ) ( ) 4 3 12. . 0,0316 3,16%
20 19 380
P D P D ou= = ≅
( ) ( ) 16 15 240. . 0,6316 63,16%
20 19 380
P B P B ou= = ≅
( ) ( ) 16 4 64. . 0,1684% 1 6,84%
20 19 380
P B P D ou= = ≅
a)
b)
c)
IMPORTANTE
55
2
Métodos quantitativos
U
ni
ve
rs
id
ad
e 
S
ão
 F
ra
nc
is
co
( ) ( ) ( ) ( ) 16 4 4 16 64 64 128 . .
20 19 20 19 380 380 380
P B e P D ou P D e P B = + = + =d)
e)
0,3368 33,68%ou≅
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P B e P D ou P D e P B ou P D e P D =
16 4 4 16 4 3 64 64 12 140. . . 0,3684 36,84%
20 19 20 19 20 19 380 380 380 380
ou= + + = + + = ≅
Exemplo 15
A probabilidade de uma determinada pessoa do sexo feminino estar viva daqui a 15 anos é 
de 80%, e a probabilidade de uma dada pessoa do sexo masculino estar viva daqui a 15 anos 
é igual a 3/4. Determine:
a) A probabilidade de a pessoa do sexo feminino não estar viva dentro dos próximos 15 anos.
b) A probabilidade de ambas estarem vivas dentro dos próximos 15 anos.
c) A probabilidade de dentro dos próximos 15 anos, o homem estar vivo e a mulher não 
estar viva.
d) Apenas um deles estar vivo dentro dos próximos 15 anos.
e) A probabilidade de que ambos não estejam mortos dentro dos próximos 15 anos.
Resolução:
a) Neste caso, podemos usar o evento complementar, pois ou a pessoa estará viva dentro 
dos próximos 15 anos ou não. Assim, ( ) ( ) 1P M P M+ = , onde:
Evento M: pessoa do sexo feminino estar viva dentro dos próximos 15 anos.
Evento M : pessoa do sexo feminino não estar viva dentro dos próximos 15 anos.
( ) 80% 0,8P M ou=
( )0,8 1P M+ =
( ) 1 0,8 0,2 20%P M ou= − =
Então:
56
Probabilidade e Distribuições de Probabilidade
2
Logo, a probabilidade de a pessoa do sexo feminino não estar viva dentro dos próximos 15 
anos é igual a 20%.
b) Para verificar a probabilidade de ambos estarem vivos dentro dos próximos 15 anos, 
devemos considerar que tanto a mulher quanto o homem estarão vivos. Seja ( )P M a 
probabilidade de a mulher estar vida e ( )P H a probabilidade de o homem estar vivo, 
então ( ) ( ) P M e P H :
Logo, a probabilidade de ambos estarem vivos dentro dos próximos 15 anos é igual a 60%.
c) Para calcular a probabilidade de o homem estar vivo e a mulher não, devemos fazer 
( ) ( ) P H e P M :
Logo, a probabilidade de o homem estar vivo e a mulher não dentro dos próximos 15 anos é 
igual a 15%.
d) Para que apenas um deles esteja vivo, podemos ter o homem vivo e a mulher não, ou a 
mulher viva e o homem não: ( )P H . Então, ( )P H e ( )P M ou ( ) ( ) P M e P H .
( ) ( ) 1P H P H+ =
( ) ( )3 1 0,75 1
4
P H P H+ = → + =
( ) 1 0,75 0,25 25 %P H ou= − =
( ) ( ) ( ) ( ) 3 1 4 3 . .0, 25 0,80.0,25
4 5 5 20
P H e P M ou P M e P H = + = +
0,15 0,20 0,35 35%ou= + =
Logo, a probabilidade de apenas um deles estar vivo dentro dos próximos 15 anos é igual a 35%.
e) Para calcular a probabilidade de que ambos não estejam mortos, devemos fazer a probabi-
lidade de apenas um estarvivo, somada com a probabilidade de ambos estarem vivos, então:
( ) ( ) 3 0,8. 0,8.0,75 0,6 60% 
4
P M e P H ou= = =
( ) ( ) 3 1 3 . 0,15 1 5%
4 5 20
P H e P M ou= = =
57
2
Métodos quantitativos
U
ni
ve
rs
id
ad
e 
S
ão
 F
ra
nc
is
co
IMPORTANTE
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P H e P M ou P M e P H ou P M e P H =
3 1 4 4 3 3 12. .0, 25 . 0,8.0,25
4 5 5 5 4 20 20
+ + = + +
0,15 0, 2 0,6 0,95 95%ou= + + =
Logo, a probabilidade de que ambos não estejam mortos dentro dos próximos 15 anos é 
igual a 95%.
Também podemos calcular o item e pela probabilidade complementar, ou seja, a única con-
dição que não satisfaz “ambos não estejam mortos” é aquele em que ambos estarão mortos 
dentro dos próximos 15 anos. Logo:
( )1 P ambos mortos− =
( ) ( )1 1 0,25.0,2 1 0,05 0,95 95%P H e P M ou− = − = − =
Exemplo 16
Três pessoas, A, B e C, atiram dardos em um alvo. Sabe-se que a probabilidade de A acertar 
o alvo é igual a 1/3, a probabilidade de B acertar o alvo é igual a 2/5 e a probabilidade de C 
errar o alvo é igual a 3/4. Calcule a probabilidade de:
a) C acertar o alvo;
b) As três pessoas acertarem o alvo;
c) Apenas B acertar o alvo;
d) Apenas um deles acertar o alvo;
e) Exatamente dois deles acertem o alvo;
f) No mínimo um deles acertar o alvo.
Resolução:
Para iniciar a resolução do exercício, vamos descrever a probabilidade de acerto e a proba-
bilidade de erro (probabilidade complementar) de cada uma das pessoas:
58
Probabilidade e Distribuições de Probabilidade
2
Probabilidade de A acertar o alvo ( ) 1
3
P A→ =
Probabilidade de A errar o alvo ( ) 1 21
3 3
P A→ = − =
Probabilidade de B acertar o alvo ( ) 2
5
P B→ =
Probabilidade de B errar o alvo ( ) 2 31
5 5
P B→ = − =
Probabilidade de C errar o alvo ( ) 3
4
P C→ =
Probabilidade de C acertar o alvo ( ) 3 11
4 4
P C→ = − =
a) A probabilidade de C acertar o alvo é a probabilidade complementar de C errar o alvo. 
Logo, a probabilidade de C acertar o alvo, P(C) , é igual a 1/4, ou 0,25, ou 25%.
b) Se as três pessoas acertam o alvo, temos que A acerta, B acerta e C também acerta o 
alvo. Então:
( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 . . 0,0333 3,33%
3 5 4 60
P A e P B e P C ou= = ≅
Logo, a probabilidade de as três pessoas acertarem o alvo é igual a 3,33%.
c) Se apenas B deve acertar o alvo, temos que A erra, B acerta e C também erra. Então:
( ) ( ) ( ) 2 2 3 12 . . 0, 2 20%
3 5 4 60
P A e P B e P C ou= = =
Logo, a probabilidade de apenas B acertar o alvo é igual a 20%.
d) Para calcular a probabilidade de apenas um acertar o alvo, devemos pensar que um vai 
acertar e os outros dois deverão errar o alvo. Assim, temos que considerar as três opções: A 
acerta, B e C erram, ou B acerta e A e C erram, ou C acerta e A e B erram. Então:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P A e P B e P C ou P A e P B e P C ou P A e P B e P C =
59
2
Métodos quantitativos
U
ni
ve
rs
id
ad
e 
S
ão
 F
ra
nc
is
co
Exemplo 17
Uma determinada característica genética só é transmitida para uma criança se ambos os pais 
desta criança também apresentarem a mesma característica genética. Sabendo que a proba-
bilidade da mãe apresentar a característica genética é igual a 3/20 e que a probabilidade de o 
pai possuir a mesma característica genética é igual a 3/25, determine a probabilidade de uma 
criança gerada por estes pais nascer com a citada característica genética.
Resolução:
A criança só nasce com a citada característica genética se ambos os pais apresentam a mes-
ma característica, ou seja, se a mãe e o pai possuírem a dada característica. Então, 
1 3 3 2 2 3 2 3 1 9 12 6 27. . . . . . 0, 45 45%
3 5 4 3 5 4 3 5 4 60 60 60 60
ou+ + = + + = =
Logo, a probabilidade de apenas um deles acertar o alvo é igual a 45%.
e) Para calcular a probabilidade de exatamente dois deles acertarem o alvo, devemos pensar 
que um vai errar e os outros dois deverão acertar o alvo. Assim, temos de considerar as três 
opções: A erra e B e C acertam, ou B erra e A e C acertam, ou C erra e A e B acertam. Então,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P A e P B e P C ou P A e P B e P C ou P A e P B e P C
2 2 1 1 3 1 1 2 3 4 3 6 13. . . . . . 0, 2167 21,67%
3 5 4 3 5 4 3 5 4 60 60 60 60
ou+ + = + + = ≅
Logo, a probabilidade de exatamente dois deles acertar o alvo é igual a 21,67%.
f) 1ª maneira:
Para calcular a probabilidade de no mínimo um deles acertar o alvo, devemos pensar que 
um ou mais podem acertar o alvo. Assim, apenas um pode acertar o alvo, exatamente dois 
podem acertam o alvo ou os três podem acertar o alvo. Essas probabilidades já foram calcu-
ladas, respectivamente, nos itens d, e e b. Então:
0,45 0,2167 0,0333 0,7 70%ou= + + =
2ª maneira:
Usando o complementar, a única condição que não satisfaz “no mínimo um deles acertar o 
alvo” é se nenhum deles acertar o alvo, ou seja, todos devem errar o alvo. Então:
Logo, a probabilidade de no mínimo um deles acertar o alvo é igual a 70%.
( ) ( ) ( ) 2 3 3 181 1 . . 1 1 0,3 0,7 70%
3 5 4 60
P A e P B e P C ou− = − = − = − =
60
Probabilidade e Distribuições de Probabilidade
2
Exemplo 18
Suponha que em uma determinada empresa há 300 funcionários, dos quais parte possui 
ensino superior completo e parte não. A distribuição dos funcionários dessa empresa, por 
sexo, é dada a seguir:
Em estatística, associamos:
 ` Ou à união (U) → adição (+).
 ` E à intersecção ( ) ∩ → multiplicação (x).
3. PROBABILIDADE CONDICIONAL
É a probabilidade de ocorrer o evento B, dado que o evento A já ocorreu. Indicamos por:
( ) ( )
( )
|
P A B
P B A
P A
∩
=2
( ) ( ) 3 3 9 . 0,018 1 ,8%
20 25 500
P mãe e P pai ou= = =
considerando ( )P mãe a probabilidade de a mãe apresentar a característica e ( ) P pai a 
probabilidade de o pai possuir a característica, temos:
Logo, a probabilidade de uma criança gerada por estes pais apresentar a citada característi-
ca genética é igual a 1,8%.
Tabela 01. Distribuição de funcionários conforme escolaridade e sexo
Fonte: elaborada pelos autores.
Funcionário
Sexo
Total
Masculino (M) Feminino (F)
Superior completo 90 30 120
Superior incompleto 120 60 180
Total 210 90 300
IMPORTANTE
61
2
Métodos quantitativos
U
ni
ve
rs
id
ad
e 
S
ão
 F
ra
nc
is
co
Um dos funcionários dessa empresa é selecionado ao acaso e verifica-se que é do sexo fe-
minino. Qual a probabilidade de que esse funcionário tenha ensino superior completo?
Resolução:
Supondo o evento A como o funcionário ser do sexo feminino e o evento B possuir ensino 
superior completo, temos:
A partir da tabela pode-se concluir que:
( ) 30 P A B∩ = → funcionários do sexo feminino, com ensino superior;
( ) 90 P A = → funcionários do sexo feminino.
Exemplo 19
Considere um lote formado por 20 peças, das quais 4 apresentam defeito. Qual a probabilida-
de de serem retiradas, ao acaso, 2 dessas peças, uma após a outra, de forma que a segunda 
unidade também seja defeituosa se a primeira for defeituosa?
Resolução:
Se a primeira unidade for defeituosa, ainda existirão 3 peças defeituosas e 16 peças não 
defeituosas, ou seja,
Logo, a probabilidade de a segunda peça retirada ser defeituosa, assim como a primeira, é 
igual a 15,79%.
( ) ( )
( )
3| 0,1579 1 5,79%
19
P A B
P B A ou
P A
∩
= = ≅
4. DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES
Segundo Pinheiro et al. (2012), uma variável aleatória é uma função que associa cada 
elemento de seu espaço amostral a um número real.
Geralmente não é necessário descrever o conjunto amostral ao qual pertence a variável 
aleatória, e sim definir o conjunto de valores reais que ela pode assumir e as respectivas 
probabilidades de assumir tais valores. E ainda, diremos que uma variável aleatória é 
discreta quando o número de valores que ela pode assumir é finito ou enumerável.
( ) 30| 0,3333 33,33%
90
P B A ou= ≅
62
Probabilidade e Distribuições de Probabilidade
2
Existem vários tipos de distribuição de probabilidades, tanto aleatórias discretas quanto 
contínuas. Na distribuição de variável aleatória discreta,