Aula 06 3 numeros indices

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AULA 06 (PARTE 03) 
NÚMEROS ÍNDICES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS CONTÁBEIS 
Disciplina: MÉTODOS QUANTITATIVOS VOLTADOS PARA 
PESQUISA EM CONTABILIDADE 
 
Professor: ALAN CARTER KULLACK 
 
167 
 
NÚMEROS ÍNDICE 
 
Definição: 
 São métodos quantitativos que auxiliam os administradores, 
economistas, contadores entre outros profissionais, há comparar, compreender 
e analisar determinadas variáveis relacionadas entre si com as suas variações. 
 
 OBS: Essas variações são mudanças significativas relacionadas aos preços 
 dos produtos comercializados, do volume físico do próprio produto, da 
 matéria-prima, entre outros. 
 
 
UTILIZAÇÃO DOS NÚMEROS ÍNDICES 
Em geral, os números índices são largamente usados na análise da elevação 
ou diminuição de variáveis quantitativas, dentre elas podemos citar: 
 
a) Variação ocorrida durante um certo período(tempo); 
b) Variação entre localizações geográficas; 
c) Variação entre categorias (pessoas, produtos, etc) 
 
 OBS:A importância dos números-índices é de extrema relevância para os 
 administradores e contadores, pois quando a moeda(Real) sofre uma 
 desvalorização constante e o processo de desenvolvimento econômico 
 acarreta em mudanças continuas nos hábitos dos consumidores, isso 
 provoca grandes modificações qualitativas e quantitativas na 
 composição da produção nacional e de cada empresa individualmente. 
 Devido a estes fatos, estes profissionais devem ficar atentos a essas 
 oscilações financeira e comportamentais, as quais serão fundamentais 
 em tomadas de decisões no processo administrativo e contábil de uma 
 empresa. 
 
168 
 
OBS2: Fora dos problemas gerados por alterações nos preços dos produtos, os 
 números-índices são úteis também em outras áreas de atuação da 
 empresa como, por exemplo, no campo da pesquisa de mercado. Neste 
 caso, podem ser utilizados nas mensurações do potencial de mercado, 
 na análise da lucratividade por produto, por canais de distribuição etc. 
 Em síntese, os números-índices são sempre úteis quando realizamos 
 análises comparativas. 
 
 
CLASSIFICAÇÃO DOS NÚMEROS ÍNDICES 
Basicamente podemos dividir os números índices em três categorias: 
 Números Índices Simples; 
 Número Índices Relativos; 
 Número Índices de Ligação. 
 
NÚMEROS ÍNDICES SIMPLES (NIS) 
Definição: 
 São os números que avaliam a variação de um único item ou 
variável em comparação a um valor base, o qual é definido pelo pesquisador 
podendo abranger períodos(tempo),lugares ou qualquer outra situação que 
necessite de comparação. 
 
FÓRMULA: 
 I = Vn . 100 onde: 
 Vo 
 
 
 
 I = Índice de variação; 
Vn = Valor Nominal; 
Vo = Valor Base. 
169 
 
NÚMEROS ÍNDICES RELATIVOS (NIR) 
Definição: 
 Avalia a variação relativa de um único item ou variável em 
comparação à media de valores. Essa média é oriunda dos valores observados 
pelo pesquisador. 
 
OBS: Através do NIR, podemos analisar a elevação ou queda de um 
 determinado valor, referente a média pré-estabelecida. Além disso, 
 podemos fundamentar essa comparação em valores percentuais. 
 
FÓRMULA: 
 Ir = Vn . 100% onde: 
 Vm 
 
 
NÚMEROS ÍNDICES DE LIGAÇÃO (NIL) 
 
Definição: 
 Determina as variações entre os períodos consecutivos,isto é, são 
os valores encontrados, através de comparações feitas pela divisão de um 
período pelo período anterior com o período atual. 
 
OBS: Essa comparação é feita entre dois valores consecutivos, sendo 
 expresso o seu estudo em dados percentuais. 
 
FÓRMULA: 
 IL = Vat . 100 % - 100% 
 Van 
 
 
 Ir = Índice de relativo; 
Vn = Valor Nominal; 
Vm = Valor Médio. 
 IL = Índice de ligação; 
Van = Valor anterior do período; 
Vat = Valor atual do período. 
170 
 
 
MUDANÇA DE BASE 
 
A mudança de base de um Número Índice é a troca de um período para outro. 
Um dos objetivos de tal mudança pode ser o de tornar o período base mais 
recente. E isto proporciona uma medida mais corrente de variação. Outro 
objetivo pode ser o de tornar comparáveis duas séries com bases diferentes. O 
processo para a mudança de base é bastante simples, dada uma série de 
Números Índices na base antiga. Exige apenas que todos os números da série 
sejam divididos pelo Número Índice do novo período base. 
 
Exemplo: 
Nesta tabela, apenas um dos valores da segunda linha será igual a 100. Este 
ano será, portanto, chamado ano base ! Todos os demais índices de preços 
podem ser imediatamente “comparados” de forma percentual ao preço do ano 
base, uma vez que este último é igual a 100 ! 
Veja: 
Ano 2001 2002 2003 2004 2005 2006 
Índice 75 88 92 100 110 122 
 
 Aqui, nosso ano base é 2004, pois é o único que traz o índice igual a 
100! Se quisermos comparar o que houve com o preço desse produto no ano 
de 2005, diremos sem dificuldades que ocorreu um aumento de 10%. 
 
Para mudar a base dessa tabela,ou melhor dizendo,queremos que o ano base 
deixe de ser 2004 e passe a ser o ano base de 2001. Para isso, o ano base de 
2001 deverá assumir o valor de 100. Com isso, devemos dividir o índice do ano 
de 2001(75) pelo ano base (100), obtendo o valor de 0,75. Para completar a 
mudança, devemos dividir o índice de 2001(75) pelo próprio valor 
encontrado(0,75), transformando ele no valor base 100. 
 
 
171 
 
Veja: 
 
100
75
100
75
100
75
75
75,0
75













 x
 
 
 O que nos resta agora é apenas saber que, a mesma operação que foi 
realizada com o índice da nova base será também feita com todos os outros 
índices da tabela! Ou seja, não vai mudar só o índice do ano-base: mudará 
toda a tabela! E a operação será a mesma: dividir por 0,75. Teremos, portanto: 
 
Ano 2001 2002 2003 2004 2005 2006 
Índice 100 88_ 
0,75 
 92_ 
0,75 
100 
0,75 
110 
0,75 
122 
0,75 
 
 Chegaríamos a: 
Ano 2001 2002 2003 2004 2005 2006 
Índice 100 117,3 122,7 133,3 146,7 162,7 
 
 Esta é nossa nova tabela, cuja nova base é o ano de 2001! 
 
CONSTRUÇÃO DE NÚMEROS ÍNDICES 
 
Para construirmos um número índice, devemos encontrar o período base, o 
qual denotaremos como o valor de 100. Devido a isso, obtemos um parâmetro 
qualquer número que encontrarmos entre as variáveis de estudo na base 100, 
isto significa que não houve variação em relação a base.Se o valor for maior 
do que 100,refere-se a um aumento em relação a base e caso contrário, existe 
uma diminuição em relação a própria base. 
Resumidamente, temos: 
 
172 
 
 NI > 100 = Aumento referente ao valor base; 
 NI = 100 = Sem alteração ao valor base; 
 NI < 100 = Diminuição referente ao valor base; 
Onde: NI = Número Índice 
Exemplo: 
Suponha que você esteja analisando o faturamento de uma empresa, conformedados abaixo: 
 
ANO FATURAMENTO ANUAL EM REAIS 
2005 R$ 1.234.321,00 
2006 R$ 2.345.678,00 
2007 R$ 3.456.809,00 
2008 R$ 3.312.090,00 
2009 R$ 3.211.601,00 
2010 R$ 4.567.011,00 
2011 R$ 5.299.181,00 
2012 R$ 6.459.222,00 
2013 R$ 5.878.477,00 
2014 R$ 4.990.670,00 
 
Nessa tabela, se seu objetivo for mostrar a evolução do faturamento, porém a 
apresentação dos valores em si não é tão importante. É muito mais útil a 
apresentação de uma tabela com números índices, com a mesma evolução da 
sequência original, tornando a interpretação dos valores muito mais fácil. Para 
a construção do número índice, você pode escolher arbitrariamente um valor 
qualquer da tabela. Poderia ser o ano de 2007 porque, a partir desse ano, o 
faturamento cresceu muito. Porém, poderia ser escolhido outro ano qualquer 
que se denomina ano-base e, como vimos, deve ser representado por 100. 
 
 
 
173 
 
Escolhido o ano de 2009 como base, teríamos para o ano de 2005: 
 
 3. 211. 601,00 (valor de 2009 que é a base)..................100 
 
 1 .234. 321,00 (valor de 2005, que será ........................ x 
 
 Temos, então: 
 x = 1. 234. 321 
 3.211.601 
Portanto: 
O número índice 38,43, é menor que 100%, significando que o valor de 2005 é 
61,57 % menor que o valor de 2009 (100% – 38,43%). 
 
ÍNDICE DE PREÇOS 
Definição: 
 É a média ponderada de preços de bens e serviços, referente a um 
ano base, sendo que os ponderadores são as quantidades relativas aos 
próprios bens e serviços. 
Exemplo: IPC (Índice de preço ao Consumidor) 
 IPI (Índice de Produção Industrial) 
OBS: Este índice é utilizado para a verificação da variação geral dos 
 preços praticados na economia. 
ANO PORCENTAGEM RELATIVA 
2005 38,43 % 
2006 73,04 % 
2007 107,64 % 
2008 103,13 % 
2009 100,00 % 
2010 142,20 % 
2011 165,00 % 
2012 200,84 % 
2013 183,04 % 
2014 155,40 % 
= 0,3843 x 100% = 38,43% 
 
Assim, os números índices 
referentes aos valores dos 
faturamentos seriam como os da 
tabela ao lado, cujo cálculo 
resume-se a dividir os valores, 
ano a ano pelo valor de 2009, 
eleito como ano base e com 
faturamento de R$ 3.211.601,00. 
174 
 
INDÍCES ESPECIAIS DE PREÇO 
 
Definição: 
 São índices do tipo agregativo, pois as suas ponderações são 
executadas pelas quantidades do período base ou do período atual ou de 
outras formas. 
Esses índices são basicamente classificados em: 
 
 Índice de Laspeyres 
 Índice de Paasche. 
 
O ÍNDICE DE PREÇO DE LASPEYRES (IPL) 
 
Definição: 
 Refere-se a uma média ponderada de relativos, tendo os fatores de 
ponderação calculados a partir de preços e de quantidades da época básica. 
 
OBS: O índice de preços de Laspeyres ,retrata um conjunto de mercadorias 
 em um determinado período, as quais estão submetidas em uma média 
 aritmética ponderada ,referente aos preços relativos destas. Os fatores 
 de ponderação são os valores monetários de cada mercadoria vendidas 
 na época básica. 
 
 
FÓRMULA 
 
 IPL = ∑ pi.qo X 100 onde: 
 ∑ po.qo 
 
 
 
 
po = Preço inicial; 
pi= Preço atual; 
qo = Quantidade inicial 
175 
 
O ÍNDICE DE PREÇO DE PAASCHE(IPP) 
 
Definição: 
 É o índice agregativo de preços, ponderado pela quantidade 
 consumida no período atual. 
 
OBS: O índice de Paasche pode ser considerado como uma média ponderada 
 de relativos, cujos os pesos são representados pelo produto dos preços 
 no ano base e multiplicado pela quantidade na época. 
 
FÓRMULA: 
 
 IPP = ∑pi.qi x 100 onde: 
 ∑po. qi 
 
 
 
 
ÍNDICE LASPEYRES X ÍNDICE PAASCHE 
 
Quando utilizamos os índices Laspeyres ou o índice Paasche,muitas vezes não 
percebemos que estes índices possuem as suas vantagens e desvantagens. 
Com isso, observe o quadro a seguir e faça uma análise destas comparações. 
 
LASPEYRES PAASCHE 
Usa as quantidades do período base Usa quantidades do período corrente 
Pode ficar desatualizado Está sempre atualizado 
Tende a exagerar aumentos de 
preços 
Tende a mascarar aumentos de 
preços 
Fonte:<http://www.mspc.eng.br/matm/indices01.shtml> 
 
 
 
po = Preço inicial; 
pi= Preço atual; 
qo = Quantidade inicial; 
qi = Quantidade atual 
176 
 
 
SÍNTESE DA AULA 
 
 Números Índices são usados para indicar variações relativas em 
quantidades, preços e valores de um artigo (ou artigos) durante certo 
período de tempo ou entre diferentes lugares. 
 
 Um Número Índice simples avalia a variação relativa de um único item ou 
variável econômica entre dois períodos de tempo. 
 
 O número de Índice Relativo, é o número índice mais simples. 
Relacionando-se o preço de um produto numa época chamada época atual 
ou época dada, com o de uma época chamada básica ou simplesmente 
base, teremos um relativo de preço. 
 
 O Número de Índice de Ligação é a comparação é feita entre dois valores 
consecutivos. 
 
 O Índice de Laspeyres constitui uma média ponderada de relativos, sendo 
os fatores de ponderação determinados a partir de preços e de 
quantidades da época básica, por conseguinte, no Índice de Laspeyres, a 
base de ponderação é a época básica, por isso a denominação método da 
época básica. 
 
 No Índice agregativo proposto por Paasche, a ponderação é feita em 
função dos preços e quantidades do período atual. Entretanto, uma 
desvantagem dos pesos do período atual é que eles devem ser revistos 
cada ano 
 
 
 
 
177 
 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
 
 
01) Calcular os índices relativos na tabela abaixo, considerando o ano de 
2000 como base: 
 
 ANO 1999 2000 2001 2002 2003 
 
VALOR EXPORTADO 
(MILHÕES DE R$) 
 
50 
 
40 
 
35 
 
48 
 
51 
 
 
02) Em 2002, o preço de um produto era 35% mais baixo que em 2003 e, 
em 2004, 30% maior que em 2003. Qual o índice de preço de 2002 
(base) para 2004? 
 
a) 100 % 
b) 125% 
c) 150% 
d) 200% 
e) 225% 
 
03) O preço de um produto, em 2003 (data-base) era R$ 1.200,00. Em 2004 
esse mesmo produto foi vendido por R$ 1.100,00. Qual o índice relativo 
de preço e qual a variação percentual de preço respectivamente ? 
 
a) 91,67% e 8,33% 
b) 92,45% e 7,52% 
c) 78,00% e 8,33 % 
d) 92,45% e 6,29% 
e) 91,67% e 7,52% 
 
 
 
178 
 
 
04) (AFTN/94) Considere a estrutura de preços e de quantidades relativa a 
um conjunto de quatro bens, transcrita a seguir: 
 
Anos ANO 0 (BASE) ANO 1 ANO 2 ANO 3 
Bens Preços Quantidade Preços Quantidade Preços Quantidade Preços Quantidade 
B1 5 5 8 5 10 10 12 10 
B2 10 5 12 10 15 5 20 10 
B3 15 10 18 10 20 5 20 5 
B4 20 10 22 5 25 10 30 5 
 
4.1) Os índices de quantidade de Paasche, correspondentes aos quatro anos, 
 são iguais, respectivamente a: 
 
a) 100,0; 90,8; 92,3; 86,4 
b) 100,0; 90,0; 91,3; 86,4 
c) 100,0; 90,0; 91,3; 83,4 
d) 100,0; 90,8; 91,3; 82,2 
e) 100,0; 90,6; 91,3; 86,4 
 
4.2) Os índices de preços de Laspeyres correspondentes aos quatro anos são 
 iguais, respectivamente, a: 
 
a) 100,0; 117,7; 135,3; 155,3 
b) 100,0; 112,6;128,7; 142,0 
c) 100,0; 112,6; 132,5; 146,1 
d) 100,0; 117,7; 132,5; 146,1 
e) 100,0; 117,7; 133,3; 155,3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
179 
 
GABARITO 
 
01- ( 125% ; 100% ; 87,5% ; 120% ; 127,5% ) 
 
02- D 
 
03- A 
 
04 
       
       
900,0
500
450
2210181012585
2251810121085
.
.






xxxx
xxxx
pq
pq
Pa
no
nn
 
 
Sendo 0,900 x 100% = 90% 
 
e 
       
       
864,0
660
570
30102010205125
30520520101210
.
.






xxxx
xxxx
pq
pq
Pa
no
nn
 
 
 Sendo 0,8664 x 100% = 86,64% 
 
Portanto,temos que o exercício 4.1 é a letra B 
 
 
 
 
        
       
353,1
425
575
1020101551055
10251020515510
.
.






xxxx
xxxx
qp
qp
La
oo
on 
 
Sendo 1,353 x 100% = 135,30 % 
 
Portanto, temos que o exercício 4.2 é a letra A