Aula 1 e 2 UFMS CALCULO

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Conjuntos Numéricos
(a) Conjunto dos Números Naturais (N)
• Definimos o conjunto dos números naturais como:
N = {0, 1, 2, . . . }
• Também definimos o conjunto dos números naturais positivos:
N∗ = {1, 2, . . . }
(b) Conjunto dos Números Inteiros (Z)
• Definimos o conjunto dos números inteiros como:
Z = {. . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . . }
• O conjunto dos números inteiros não nulos:
Z∗ = {. . . ,−3,−2,−1, 1, 2, 3, . . . }
• O conjunto dos números inteiros não negativos:
Z+ = {0, 1, 2, . . . }
• O conjunto dos números inteiros não positivos:
Z− = {. . . ,−3,−2,−1, 0}
• O conjunto dos números inteiros positivos:
Z∗
+ = {1, 2, 3, . . . }
• O conjunto dos números inteiros negativos:
Z∗
− = {. . . ,−3,−2,−1}
(c) Conjunto dos Números Racionais (Q)
• Definimos o conjunto dos números racionais como:
Q =
{a
b
| a ∈ Z, b ∈ Z∗
}
• No conjunto dos números racionais, destacamos:
– O conjunto dos números racionais não negativos: Q+
– O conjunto dos números racionais não positivos: Q−
– O conjunto dos números racionais não nulos: Q∗
• Todo número racional pode ser representado como um número decimal finito ou uma dízima
periódica.
• Note que: N ⊂ Z ⊂ Q.
• Operações com Números Racionais: Sejam a
b e c
d dois racionais quaisquer.
– Igualdade:
a
b
=
c
d
⇐⇒ a · d = b · c.
3
– Adição:
a
b
+
c
d
=
ad+ bc
bd
.
– Multiplicação:
a
b
· c
d
=
a · c
b · d
.
– Divisão:
a
b
÷ c
d
=
a
b
· d
c
, se
c
d
̸= 0.
• Relação de Ordem nos Números Racionais:
– Sejam r, s ∈ Q. Dizemos que r é estritamente menor que s (ou que s é estritamente maior
que r) e escrevemos r −1, pois, nesse caso, x + 1 > 0 e o sentido da desigualdade se
mantém ao multiplicar ambos os lados por x+ 1.
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Módulo de um Número Real
Definição 1 Seja x um número real; definimos o módulo (ou valor absoluto) de x por:
|x| =
{
x, se x ≥ 0
−x, se x 0. Resolver a equação
|x| = a.
Solução: Dado que |x| ≥ 0 e a > 0, segue que
|x| = a ⇐⇒ |x|2 = a2.
Como |x|2 = x2, então,
|x| = a ⇐⇒ x2 = a2 ⇐⇒ (x− a)(x+ a) = 0 ⇐⇒ x = a ou x = −a.
Portanto,
|x| = a ⇐⇒ x = a ou x = −a.
■
Exemplo 10 Resolver a equação:
|3x+ 2| = 5.
Solução: Sabemos que:
|x| = a ⇐⇒ x = a ou x = −a.
9
Então,
|3x+ 2| = 5 ⇐⇒

3x+ 2 = 5
ou
3x+ 2 = −5
⇐⇒

x = 1
ou
x = −7
3
.
Assim,
|3x+ 2| = 5 ⇐⇒ x = 1 ou x = −7
3
.
■
Exemplo 11 Se r > 0. Mostre que
|x| 0).
Solução: Do Exemplo 11, temos que
|x− p|então
|xy| = |x||y|.
■
10
Observação 5 Note que, para todo x ∈ R, segue que
x ≤ |x| e − x ≤ |x|.
Teorema 1 (Desigualdade triangular) Quaisquer que sejam os reais x e y, mostre que
|x+ y| ≤ |x|+ |y|.
Demostração: Consideremos os seguintes casos:
• Se x+ y ≥ 0, então
|x+ y| = x+ y ≤ |x|+ |y|.
• Se x+ y 3
Solução:
|x| > 3 ⇒ x 3
■
(h) |x+ 3| > 1
Solução:
|x+ 3| > 1 ⇒ x+ 3 1 ⇒ x −2
■
(i) |2x− 3| > 3
Solução:
|2x− 3| > 3 ⇒ 2x− 3 3
Portanto,
2x 6 ⇒ x > 3
■
(j) |2x− 1| 
1
3
Daí, a Solução é
1
3
 3
d) |2x− 1| x
h) |x− 3| 1
4. Suponha r > 0. Prove:
|x| > r ⇔ x r
5. Elimine o módulo.
a) |x+ 1|+ |x|
b) |x− 2| − |x+ 1|
c) |2x− 1|+ |x− 2|
d) |x|+ |x− 1|+ |x− 2|
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