MATEMÁTICA FINANCEIRA

Prévia do material em texto

Matemática 
Financeira 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
José de Arimatéa Dantas 
Mestre em Ciências Contábeis e Financeiras e Administrador de Empresas 
pela PUC-SP. Professor da Universidade Paulista – UNIP desde 1.997. 
Professor de curso de pós graduação à distância do Senac-SP. Consultor 
Financeiro. Especialista em Custos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA FINANCEIRA – José de Arimatéa Dantas 
 
2 
 
Prefácio. 
 
Esta apostila é fruto da experiência em sala de aula durante 13 anos, 
ensinando Matemática Financeira e Administração Financeira para alunos 
de cursos de Administração de Empresas e Ciências Contábeis. 
Não é um material de fórmulas prontas, mas sim que procura fazer com que 
o estudante entenda a lógica dos cálculos financeiros básicos, de tal forma 
que o leve a gerar soluções para as novas situações que se apresentam no 
dia a dia. 
Inclui exemplos de como fazer os cálculos tanto nas calculadoras 
financeiras, quanto nas planilhas de Excel que para a grande maioria das 
pessoas está presente em seus desktops, noteboos ou netbooks, 
colaborando assim para alavancar a utilização desta poderosa ferramenta 
de cálculos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
“Quando você pode medir aquilo de que 
está se falando e expressá-lo em 
números, você conhece alguma coisa 
sobre aquilo; mas quando você não pode 
medi-lo, quando você não pode expressá-
lo em números, seu conhecimento é de 
natureza escassa e insatisfatória.” 
 
Lord Kelvin 
MATEMÁTICA FINANCEIRA – José de Arimatéa Dantas 
 
3 
 
Sumário 
Capítulo 1 – Conceitos. 
1.1 Juro, Capital, Montante, Renda, Prestação e prazo. .................................................................. 4 
1.2 Conceito de Fluxo de Caixa. .................................................................................................... 5 
1.3 Conceitos financeiros nas calculadoras. ................................................................................... 6 
1.4 Conceitos financeiros na planilha Excel. ................................................................................... 7 
Capítulo 2 – Juro Simples e Juro Composto. 
 2.1 Juro Simples. ........................................................................................................................... . 8 
 2.2 Juro Composto. ....................................................................................................................... 9 
 2.3 Capitais Equivalentes. .............................................................................................................. 17 
 2.4 Taxas Equivalentes ................................................................................................................... 21 
2.5 Taxas Nominais e taxas efetivas. .............................................................................................. 28 
Capítulo 3 – Correção Monetária, taxas prefixadas, posfixadas e o conceito de taxa de juro real. ........... 33 
Capítulo 4 – Operações de Descontos. 
 4.1 Desconto Comercial Simples. .................................................................................................... 40 
 4.1.1 Taxa de juro efetiva da operação de desconto. .................................................................... 40 
 4.2 Desconto Comercial Composto. ................................................................................................ 47 
 4.3 Desconto Racional Simples. ..................................................................................................... 48 
 4.4 Desconto Racional Composto. .................................................................................................. 50 
Capítulo 5 – Série de Capitais. 
 5.1 Série de Capitais Valor Presente. .............................................................................................. 53 
 5.1.1 Fator Tabela Price. ................................................................................................. 60 
5.1.2 Rendas postecipadas, antecipadas e diferidas. .................................................... 64 
 5.1.3 Rendas Perpétuas. .................................................................................................... 71 
 5.2 Série de Capitais Valor Futuro. .................................................................................................. 72 
 5.3 As séries de Capitais e os Sistemas de Previdência. .............................................................. 77 
Capítulo 6 – Sistemas de Amortização. 
 6.1 Sistema Americano de Amortização ......................................................................................... 80 
 6.2 Sistema de Amortização Constante. ......................................................................................... 81 
 6.3 Sistema Francês de Amortização. ....................................................................................... ....... 83 
Capítulo 7 – Séries Disformes de Capitais. 
 7.1 Taxa Interna de Retorno. ............................................................................................................ 85 
 7.2 Taxa Mínima de Atratividade .................................................................................................... 90 
 7.3 Valor Presente Líquido ............................................................................................................. 90 
 
MATEMÁTICA FINANCEIRA – José de Arimatéa Dantas 
 
4 
 
CAPÍTULO 1 
 
Conceitos. 
 
 
1.1 Juro, Capital, Montante, Renda, Prestação e prazo. 
 
 
Assim como podemos alugar casas, carros, roupas, data show e etc., também 
podemos alugar dinheiro. 
Se precisarmos de dinheiro para comprar um bem específico, alugamos dinheiro 
na forma de financiamento e se precisarmos de dinheiro para fazer frente a 
despesas do dia a dia, alugamos dinheiro na forma de empréstimo. Já se temos 
dinheiro sobrando, aplicamos. 
Assim como deixamos ou procuramos casa para alugar nas imobiliárias, deixamos 
ou procuramos dinheiro nas instituições financeiras, locais que captam os recursos 
de quem tem sobrando e repassa para quem precisa, ou seja, fazem a 
intermediação financeira. 
O juro nada mais é do que o valor que pagamos ou recebemos do aluguel do 
dinheiro. 
O Capital é o dinheiro que aplicamos, emprestamos ou financiamos, logo no valor 
do capital não há juro. O Capital também é conhecido como Valor Presente. 
O Montante é o dinheiro que resgatamos no final da aplicação ou que pagamos 
no final do empréstimo ou da aplicação. O Montante também é conhecido como 
Valor Futuro. 
É comum tomarmos um valor fixo na forma de empréstimo ou financiamento e 
termos que pagar de forma escalonada constante durante um período de tempo. 
Este valor chamamos de prestação. Outras vezes, como no caso dos sistemas de 
previdência, poupamos um certo valor fixo enquanto trabalhamos para 
garantirmos uma Renda constante quando já não pudermos trabalhar. 
O prazo nada mais é do que o período entre o início e o fim da aplicação, do 
empréstimo e do financiamento. 
 
MATEMÁTICA FINANCEIRA – José de Arimatéa Dantas 
 
5 
 
1.2 Conceito de Fluxo de Caixa 
 
Fluxo de Caixa é o comportamento da movimentação financeira de uma pessoa, 
família, associação, ou empresa, composto de entradas e saídas de recursos. Ele 
existe, independentemente de o controlarmos ou não. Colocá-lo no papel ou no 
computador, serve ao menos para tomarmos ciência do comportamento das 
entradas, saídas e, mais importante, do saldos diários. Analisar o fluxo de caixa 
pode nos ajudar a tomar decisões sobre gastos para ajustarmos as saídas com asentradas. 
Em matemática financeira, ele nos leva a entender com precisão o que está 
acontecendo em cada situação com a qual nos deparamos. 
Quando desenhamos um fluxo de caixa, partimos sempre da esquerda para a 
direita. As datas evoluem da esquerda para a direita, ou seja, o valor mais à 
esquerda é completamente desprovido de juro, e seu deslocamento para a direita 
implica na acumulação de juro. As entradas de dinheiro são representadas com 
setas para cima e nos equipamentos eletrônicos que calculam, são sempre 
positivas. As saídas de dinheiro são representadas com setas para baixo e nos 
equipamentos eletrônicos que calculam, são sempre negativas. O exemplo a 
seguir exemplifica bem o que falamos: 
 
Valor Presente que representa uma entrada de caixa 
 
 
 Prazo = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 
 
 
 
 Valor futuro que representa uma saída de caixa 
Neste fluxo, lemos que trata-se de um empréstimo ou financiamento, que a data 
inicial numeramos como zero e será liqüidado ao final 11 períodos depois. 
 
 
MATEMÁTICA FINANCEIRA – José de Arimatéa Dantas 
 
6 
 
1.3 Conceitos financeiros nas calculadoras 
 
As calculadoras financeiras possuem teclas armazenadoras dos dados 
referentes aos cálculos que queremos efetuar. A mesma tecla que armazena é a 
tecla responsável pelo cálculo, desde que a apertemos sem a prévia inserção de 
um número. 
As teclas financeiras básicas geralmente são apresentadas com as seguintes 
denominações: 
PV – Capital ou Valor Presente 
FV – Montante ou Valor Futuro 
PMT – Prestação, Renda ou Valor poupado 
n – Período da operação 
i – Taxa de juro da operação. 
Existe ainda, duas teclas que na maioria das calculadoras aparecem como BEG e 
END e referem-se à data da primeira prestação, como veremos mais adiante. 
Existem calculadoras financeiras da linha HP, cujas teclas financeiras encontram-
se em menus específicos que podem vir em mais de um idioma, no caso do 
português, no lugar do PV aparecerá VP, no lugar do FV, VF e no lugar do PMT, 
PGTO. 
Como estas teclas são armazenadoras de informações e é comum realizarmos 
operações sem utilizar uma das três teclas de valores (PV, FV ou PMT), é 
necessário que limpemos as teclas financeiras antes de se realizar qualquer 
cálculo, pois se no armazenador que não deve ter informação tiver algum número 
de operação anterior, ele irá alterar o resultado que desejamos. 
Para efetuarmos cálculos financeiros em calculadoras, devemos primeiro inserir 
na memória as informações que temos e em seguida apertar a tecla referente à 
informação que queremos. O fato de não digitar um número antes de apertar a 
tecla, faz com que ela entre em modo de cálculo. Atente que se tivermos que 
inserir dois valores para um determinado cálculo, é importante que o sinal dos 
valores, positivo ou negativo, seja informado quando da digitação do número, pois 
os cálculos são efetuados respeitando os sinais do fluxo de caixa. Se você tiver o 
Valor presente e digitá-lo como positivo ao calcular o valor futuro, o resultado será 
negativo, obedecendo o princípio do fluxo de caixa. 
Nem sempre as diferentes marcas e tipos de calculadoras operam da mesma 
forma, portanto é importante que você tenha à mão o manual num idioma que 
você domine. 
MATEMÁTICA FINANCEIRA – José de Arimatéa Dantas 
 
7 
 
1.4 Conceitos financeiros na planilha Excel. 
 
Também é possível efetuar os cálculos financeiros na planilha Excel, através de 
algoritmos específicos que ela possui para estas ocasiões. No Excel 2.007, o 
menu de fórmulas está no menu de ferramentas superior. Nos modelos anteriores, 
ele está no menu “inserir” que contém a caixa de funções. Para acessar esta 
caixa, você pode utilizar o ícone de função, o fx, ou entrar pelo modo inserir e em 
seguida, função, das duas formas você chegará no mesmo lugar. Selecione as 
funções financeiras. As funções que nos interessam neste momento são: 
VP – Valor Presente; 
VF – Valor Futuro; 
PGTO – Prestação, renda ou valor poupado; 
PRAZO - prazo da operação; 
TAXA – taxa de juro da operação. 
Ao clicar em qualquer uma delas, imediatamente abre-se uma caixa na qual 
podemos colocar as informações necessárias para efetuar o cálculo, obedecendo 
a lógica do fluxo de caixa: entradas de caixa, sinal positivo e saídas de caixa, sinal 
negativo. 
Podemos inserir os valores, prazo e taxa diretamente, ou podemos definir células 
nas quais colocaremos estas informações e indicar na caixa a célula onde está o 
número. Nesta segunda situação, não precisamos abrir o ícone de função todas 
as vezes que quisermos efetuar um cálculo no mesmo formato. Basta que 
alteremos os números na célula e os valores se alteram automaticamente. 
Podemos também, digitar a função diretamente na célula, para tanto, devemos ter 
em mente que entre parênteses teremos sempre a seguinte ordem: (taxa; prazo; 
pgto;pv;fv;forma da primeira prestação; guess). 
Devemos levar em conta que aquilo que calculamos, não fará parte da sequência, 
ou seja se quisermos calcular o prazo, a ordem será (taxa; pgto; pv; fv; forma da 
primeira prestação; guess). 
O campo da “forma da primeira prestação” só deve ser informado se o cálculo 
envolver a prestação antecipada (1), seja para calculá-la ou seja como informação 
para o cálculo. 
No caso da prestação postecipada, cuja indicação é (0), se nada for colocado, o 
excel assim considera a forma de prestação. Já o guess deve ser colocado 
sempre que quisermos calcular a taxa e o Excel não conseguir realizar a tarefa. 
Como este cálculo é feito por tentativa e erro da mesma forma que se fazia antes 
das calculadoras científicas e financeiras. De vez em quando o Excel precisa de 
um chute dado por nós. É apenas uma dica para auxiliá-lo. 
 
MATEMÁTICA FINANCEIRA – José de Arimatéa Dantas 
 
8 
 
 CAPÍTULO 2 
 
Juro Simples e Juro Composto 
2.1 Juro Simples 
Juro Simples, como o próprio nome já diz, é simples. Calcula-se o juro sobre o 
capital e este valor é adicionado ao capital proporcionalmente ao prazo da 
operação. Por só envolver as quatro operações básicas, não há uma necessidade 
tão grande das calculadoras financeiras e do Excel para efetuar este cálculos 
nesta forma de capitalização, razão pela qual devemos ter noções básicas de 
álgebra para efetuar os cálculos. 
Como exemplo de cálculo com juro simples, se você tomar emprestado $1.000,00 
para pagar daqui a dois meses, à taxa de 10% a.m., você deverá pegar $100,00 
que são 10% de $1.000,00 e multiplicar por 2, chegando a $200,00 de juro, que 
será pago ao final do terceiro mês juntamente com o valor que você tomou 
emprestado, totalizando $1.200,00. 
Sendo o Valor Futuro, a soma do Valor Presente mais o Juro, podemos escrever a 
seguinte formulação: 
FV = PV + J (Fómula 1) 
Dado que o Juro é uma porcentagem do Valor Presente, em um determinado 
período de tempo (n), podemos formulá-lo da seguinte forma: 
 
J = PV x (TAXA/100) X n 
Observe que para efetuar o cálculo, é preciso dividir a taxa por 100. O resultado 
desta divisão é chamada de índice da taxa de juro, portanto, 
 
i = TAXA/100 (Fórmula 2) 
Reescrevendo a fórmula do Juro, com o índice no lugar da taxa, temos: 
 
J = PV x i x n (Fórmula 3) 
Voltemos agora à primeira formulação: 
 
FV = PV + J 
Nela, vamos substituir o J pela formulação que desenvolvemos para ele: 
 
FV = PV + PV x i x n 
MATEMÁTICA FINANCEIRA – José de Arimatéa Dantas 
 
9 
 
Por último, colocando PV em evidência, chegamos na fórmula de juro simples que 
será utilizada neste trabalho, comosegue: 
 
FV = PV x (1 + i x n) (Fórmula 4) 
 
2.2 Juro Composto 
Já o Juro Composto é calculado sobre o valor do principal mais o juro já 
acumulado anteriormente, de onde vem a expressão “juro sobre juro”. Além de 
envolver as quatro operações básicas, potenciação, radiciação e logaritmo, são 
cálculos recorrentes no juro composto, daí a importância das calculadoras 
científicas, financeiras e as planilhas eletrônicas, como ferramentas de apoio para 
o cálculo dos juros nesta forma de capitalização. 
Com as mesmas informações do exemplo que colocamos no juro simples, no juro 
composto seria desta forma: sobre o valor emprestado $1.000,00, calculamos 10% 
e chegamos ao valor de $100,00 de juro. Daí, quando formos calcular o juro do 
segundo mês, fazemos o cálculo sobre o principal mais o juro do primeiro Mês 
que totaliza $1.100,00. Sobre este valor calculamos o juro do segundo mês, ou 
seja, 10% de $1.100,00, que dará $110, totalizando ao final do segundo mês um 
valor a pagar de $1.210,00, diferente dos $1.200,00 do caso do juro simples. 
Para chegarmos a uma fórmula para o Juro Composto, seguiremos os mesmos 
passos do juro simples, porém, não poderemos simplesmente multiplicar o Valor 
Presente pelo índice e o prazo da operação para chegarmos ao valor do juro. 
Primeiramente, peguemos a fórmula 4 do Juro Simples, considerando o período 
como uma unidade de tempo de uma operação, como segue: 
𝑭𝑽𝟏 = 𝑷𝑽 × (𝟏 + 𝒊) 
Note que o valor Futuro Calculado é o valor da dívida ao final do primeiro mês, 
razão pela qual este valor será a base para calcular o valor da dívida no segundo 
mês: 
𝑭𝑽𝟐 = 𝑭𝑽𝟏 × (𝟏 + 𝒊) 
Substituindo a formulação do FV1 no cálculo do FV2, teremos: 
𝑭𝑽𝟐 = 𝑷𝑽 × (𝟏 + 𝒊) × (𝟏 + 𝒊) 
Simplificando a fórmula, teremos: 
𝑭𝑽 = 𝑷𝑽 × (𝟏 + 𝒊)𝟐 
Esta fórmula foi desenvolvida para um prazo de dois meses, como fórmula geral, 
considerando o prazo “n”, teremos: 
𝑭𝑽 = 𝑷𝑽 × (𝟏 + 𝒊)𝒏 (Fórmula 5) 
MATEMÁTICA FINANCEIRA – José de Arimatéa Dantas 
 
10 
 
Exercícios 
1- Uma pessoa contraiu um empréstimo de R$ 30.000,00 à taxa de 36% ao ano, para pagar em 2 
anos. Qual será a sua despesa de juro com a capitalização simples e com a capitalização 
composta? 
 
PV = $ 30.000,00 
Taxa = 36% a.a.. 
Período = 2 anos 
Juro = ? 
Resolução Juro Simples 
𝐹𝑉 = 𝑃𝑉 × ( 1 + 𝑖 × 𝑛) 
𝐹𝑉 = 30.000,00 × ( 1 + 0,36 × 2) 
𝐹𝑉 = 30.000,00 × ( 1 + 0,72) 
𝐹𝑉 = 30.000,00 𝑥 1,72 
𝑭𝑽 = 𝑹$ 𝟓𝟏. 𝟔𝟎𝟎, 𝟎𝟎 
 
𝐹𝑉 = 𝑃𝑉 + 𝐽 
51.600,00 = 30.000,00 + 𝐽 
51.600,00 − 30.000,00 = 𝐽 
𝑱 = 𝑹$ 𝟐𝟏. 𝟔𝟎𝟎, 𝟎𝟎 
 
Resolução Juro Composto 
𝐹𝑉 = 𝑃𝑉 × ( 1 + 𝑖)𝑛 
𝐹𝑉 = 30.000,00 × ( 1 + 0,36 )2 
𝐹𝑉 = 30.000,00 × 1.362 
𝐹𝑉 = 30.000,00 × 1,8496 
𝑭𝑽 = 𝑹$ 𝟓𝟓. 𝟒𝟖𝟖, 𝟎𝟎 
 Cálculo do FV pela HP 12C: 
F fin 
 
30000,00 PV 
 
36 i 
 
2 n 
 
FV 
 
 Cálculo do FV Pelo Excel: 
 1º Clicar em fórmulas, 2º clicar em financeiras, 3ºclicar em VF 
Digitar nas respectivas caixinhas: 
Taxa: 36% 
Nper: 2 
VP: 30000,00 
O resultado (VF) já aparecerá na última linha e ao clicar em Ok ocupará a célula onde está sendo inserida a fórmula. 
 
 
 Cálculo do Juro: 
𝐹𝑉 = 𝑃𝑉 + 𝐽 
55.488,00 = 30.000,00 + 𝐽 
MATEMÁTICA FINANCEIRA – José de Arimatéa Dantas 
 
11 
 
55.488,00 − 30.000,00 = 𝐽 
𝑱 = 𝑹$ 𝟐𝟓. 𝟒𝟖𝟖, 𝟎𝟎 
 
 
 
2- Qual o juro simples e o composto proporcionado por um capital de R$ 5.000.000,00, aplicado à 
taxa de 2% a.m., pelo período de um ano? 
 
PV = $ 5.000.000,00 
Taxa = 2% a.m. 
Período = 1 ano = 12 meses 
Juro = ? 
Resolução Juro Simples 
𝐹𝑉 = 𝑃𝑉 × ( 1 + 𝑖 × 𝑛) 
𝐹𝑉 = 5.000.000,00 × ( 1 + 0,02 × 12) 
𝐹𝑉 = 5.000.000,00 × ( 1 + 0,24) 
𝐹𝑉 = 5.000.000,00 𝑥 1,24 
𝑭𝑽 = 𝑹$ 𝟔. 𝟐𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎 
 
𝐹𝑉 = 𝑃𝑉 + 𝐽 
6.200.000,00 = 5.000.000,00 + 𝐽 
6.200.000,00 − 5.000.000,00 = 𝐽 
𝑱 = 𝑹$ 𝟏. 𝟐𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎 
 
Resolução Juro Composto 
𝐹𝑉 = 𝑃𝑉 × ( 1 + 𝑖)𝑛 
𝐹𝑉 = 5.000.000,00 × ( 1 + 0,02 )12 
𝐹𝑉 = 5.000.000,00 × 1.0212 
𝐹𝑉 = 5.000.000,00 × 1,268241794 
𝑭𝑽 = 𝑹$ 𝟔. 𝟑𝟒𝟏. 𝟐𝟎𝟖, 𝟗𝟕 
 
𝐹𝑉 = 𝑃𝑉 + 𝐽 
6.341.208,97 = 5.000.000,00 + 𝐽 
6.341.208,97 − 5.000.000,00 = 𝐽 
𝑱 = 𝑹$ 𝟏. 𝟑𝟒𝟏. 𝟐𝟎𝟖, 𝟗𝟕 
 
3- Um capital foi aplicado por um período de 6 meses à taxa de juro composto 3% ao mês. Ao 
final do período havia um montante de R$1.125.000,00. Qual o valor aplicado? 
 
FV = 1.125.000,00 
Taxa = 3% a.m. 
N = 6 meses 
PV = ? 
𝐹𝑉 = 𝑃𝑉 × ( 1 + 𝑖 )𝑛 
1.125.000,00 = 𝑃𝑉 × ( 1 + 0,03 )6 
1.125.000,00 = 𝑃𝑉 𝑥 ( 1,03)6 
1.125.000,00 = 𝑃𝑉 𝑥 1,1940522965 
MATEMÁTICA FINANCEIRA – José de Arimatéa Dantas 
 
12 
 
1.125.000,00
1,194052296
= 𝑃𝑉 
𝑷𝑽 = 𝑹$ 𝟗𝟒𝟐. 𝟏𝟔𝟗, 𝟕𝟗 
 
4- Um agiota empresta R$ 1.000,00 para receber R$ 12.375,45 em 18 meses. Qual a taxa de juro 
que ele cobra? 
 
PV = $ 1.000,00 
FV = R$ 12.375,45 
Período = 18 meses 
Taxa de Juro = ? 
Resolução Juro Simples 
𝐹𝑉 = 𝑃𝑉 × ( 1 + 𝑖 × 𝑛) 
12.375,45 = 1.000,00 × ( 1 + 𝑖 × 18) 
12.375,45
1.000,00
= 1 + 𝑖 × 18 
12,37545 − 1 = 𝑖 𝑥 18 
11,37545
18
= 𝑖 
𝒊 = 𝟎, 𝟔𝟑𝟏𝟗𝟔𝟗𝟒𝟒𝟒𝟒 
 
𝑡𝑎𝑥𝑎 = 𝑖 × 100 
𝑡𝑎𝑥𝑎 = 0,6319694444 × 100 
𝑇𝑎𝑥𝑎 = 63,2% 𝑎. 𝑚. 
 
Resolução Juro Composto 
𝐹𝑉 = 𝑃𝑉 × ( 1 + 𝑖)𝑛 
12.375,45 = 1.000,00 × ( 1 + 𝑖 )18 
12.375,45
1.000,00
= ( 1 + 𝑖 )18 
√
12.375,45
1.000,00
18
= 1 + 𝑖 
12,37545
1
18⁄ = 1 + 𝑖 
1,15 − 1 = 𝑖 
𝒊 = 𝟎, 𝟏𝟓 
 
𝑡𝑎𝑥𝑎 = 𝑖 × 100 
𝑡𝑎𝑥𝑎 = 0,15 × 100 
𝑻𝒂𝒙𝒂 = 𝟏𝟓, 𝟎% 𝒂. 𝒎. 
 
5- Um bem no valor de R$ 42.000,00 é comercializado com 30% de entrada e o restante para 
daqui a cinco meses à taxa de juro composto de 2% a.m. Qual o valor a ser pago ao final do 
quinto mês? 
 
Valor do Bem = R$ 42.000,00 
Entrada = 30% 
MATEMÁTICA FINANCEIRA – José de Arimatéa Dantas 
 
13 
 
PV = ? 
Taxa = 2% a.m. 
Período = 5 meses 
FV = ? 
𝑬𝒏𝒕𝒓𝒂𝒅𝒂 = 𝑽𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒅𝒐 𝒃𝒆𝒎 × % 𝒅𝒂 𝒆𝒏𝒕𝒓𝒂𝒅𝒂 
𝐸𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 = 42.000,00 × 0,3 
𝑬𝒏𝒕𝒓𝒂𝒅𝒂 = 𝑹$ 𝟏𝟐. 𝟔𝟎𝟎, 𝟎𝟎 
 
𝑽𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒇𝒊𝒏𝒂𝒏𝒄𝒊𝒂𝒅𝒐 (𝑷𝑽) = 𝑽𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒅𝒐 𝒃𝒆𝒎 − 𝒆𝒏𝒕𝒓𝒂𝒅𝒂 
𝑃𝑉 = 42.000,0 − 12.600,00 
𝑷𝑽 = 𝑹$ 𝟐𝟗. 𝟒𝟎𝟎, 𝟎𝟎 
 
𝑭𝑽 = 𝑷𝑽 × ( 𝟏 + 𝒊 )𝒏 
𝐹𝑉 = 29.400,00 × ( 1 + 0,02 )5 
𝐹𝑉 = 29.400,00 𝑥 ( 1,02 )5 
𝐹𝑉 = 29.400,00 × 1,1040808032 
𝑭𝑽 = 𝑹$ 𝟑𝟐. 𝟒𝟓𝟗, 𝟗𝟖 
 
6- Um bem no valor de R$ 14.000,00 é vendido por R$ 3.000,00 de entrada, mais uma parcela 
para daqui a dois anos à taxa de juro composto de 3% a.m., Qual o valor da parcela? 
 
Entrada = R$ 3.000,00 
PV = ? 
Período = 2 anos = 24 meses 
Taxa = 3% a.m. 
FV = ? 
𝑷𝑽 = 𝑽𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒅𝒐 𝑩𝒆𝒎 − 𝑬𝒏𝒕𝒓𝒂𝒅𝒂 
𝑃𝑉 = 14.000,00 − 3.000,00 
𝑷𝑽 = 𝑹$ 𝟏𝟏. 𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎 
 
𝑭𝑽 = 𝑷𝑽 × ( 𝟏 + 𝒊 )𝒏 
𝐹𝑉 = 11.000,00 × ( 1 + 0,03 )24 
𝐹𝑉 = 11.000,00 × 1,0324 
𝐹𝑉 = 11.000,00 × 2,0327941 
𝑷𝑽 = 𝑹$ 𝟐𝟐. 𝟑𝟔𝟎, 𝟕𝟒 
 
 
7- Um bem no valor de R$ 2.600,00 é vendido com uma entrada de 18% do seu valor e o restante 
é financiado para daqui a 16 meses à taxa de juro composto de 3% a.m.. Qual o valor da 
parcela a ser paga ao final dos 16 meses? 
 
Valor do Bem = R$ 2.600,00 
Entrada = 18% do Valor do bem 
PV = ? 
n = 16 meses 
taxa = 3% a.m. 
FV = ? 
MATEMÁTICA FINANCEIRA – José de Arimatéa Dantas 
 
14 
 
 
𝑷𝑽 = 𝑽𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒅𝒐 𝑩𝒆𝒎 − 𝑬𝒏𝒕𝒓𝒂𝒅𝒂 
𝑷𝑽 = 𝑽𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒅𝒐 𝑩𝒆𝒎 − 𝟎, 𝟏𝟖 × 𝑽𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒅𝒐 𝑩𝒆𝒎 
𝑷𝑽 = 𝟎, 𝟖𝟐 × 𝑽𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒅𝒐 𝑩𝒆𝒎 
𝑷𝑽 = 𝟎, 𝟖𝟐 × 𝟐. 𝟔𝟎𝟎, , 𝟎𝟎 
𝑷𝑽 = 𝟐. 𝟏𝟑𝟐, 𝟎𝟎 
 
𝑭𝑽 = 𝑷𝑽 × ( 𝟏 + 𝒊 )𝒏 
𝐹𝑉 = 2.132,00× ( 1 + 0,03 )16 
𝐹𝑉 = 2.132,00 𝑥 ( 1,03 )16 
𝐹𝑉 = 2.132,00 × 1,604706439 
𝑭𝑽 = 𝑹$ 𝟑. 𝟒𝟐𝟏, 𝟐𝟑 
 
8- A quais taxas de juro simples e de juro composto, devemos aplicar um capital qualquer para 
que ele triplique em 12 meses? 
PV = x 
FV = 3x 
N = 12 meses 
Taxa = ? 
Resolução Capitalização Simples 
𝐹𝑉 = 𝑃𝑉 × (1 + 𝑖 × 𝑛) 
3𝑥 = 𝑥 × (1 + 𝑖 × 12) 
3𝑥
𝑥
= (1 + 𝑖 × 12) 
3 − 1 = 𝑖 × 12 
2
12
= 𝑖 
𝑖 = 0,16666667 
 
𝑡𝑎𝑥𝑎 = 𝑖 × 100 
𝑡𝑎𝑥𝑎 = 0,16666667 × 100 
𝑡𝑎𝑥𝑎 = 16,67% 𝑎. 𝑚. 
 
Resolução Capitalização Composta 
𝐹𝑉 = 𝑃𝑉 × ( 1 + 𝑖)𝑛 
3𝑥 = 𝑥 × ( 1 + 𝑖 )12 
3𝑥
𝑥
= ( 1 + 𝑖 )12 
√3
12
= 1 + 𝑖 
3
1
12⁄ = 1 + 𝑖 
1,09587269 − 1 = 𝑖 
𝒊 = 𝟎, 𝟎𝟗𝟓𝟖𝟕𝟐𝟔𝟗 
 
𝑡𝑎𝑥𝑎 = 𝑖 × 100 
MATEMÁTICA FINANCEIRA – José de Arimatéa Dantas 
 
15 
 
𝑡𝑎𝑥𝑎 = 0,09587269 × 100 
𝑻𝒂𝒙𝒂 = 𝟗, 𝟓𝟗% 𝒂. 𝒎. 
 Cálculo da taxa pela HP 12C: 
F fin 
 
1 chs PV 
 
3 FV 
 
12 n 
 
i 
 
 Cálculo da taxa Pelo Excel: 
 1º Clicar em fórmulas, 2º clicar em financeiras, 3ºclicar em TAXA 
Digitar nas respectivas caixinhas: 
Nper: 12 
 
VP: -1 
 
Vf: 3 
 
O resultado (Taxa) já aparecerá na última linha em forma de índice e ao clicar em Ok ocupará a célula onde está sendo 
inserida a fórmula. 
 
9- A que taxas de juro simples e de juro composto, devemos aplicar um capital para que daqui a 
oito meses ele esteja 45% maior? 
PV = x 
FV = x + 45% de x 
N = 8 meses 
Taxa = ? 
𝐹𝑉 = 𝑥 + 45% 𝑑𝑒 𝑥 
𝐹𝑉 = 𝑥 + 0,45 × 𝑥 
𝐹𝑉 = 1,45𝑥 
Resolução Juro Simples 
𝐹𝑉 = 𝑃𝑉 × (1 + 𝑖 × 𝑛) 
1,45𝑥 = 𝑥 × (1 + 𝑖 × 8) 
1,45𝑥
𝑥
= (1 + 𝑖 × 8) 
1,45 − 1 = 𝑖 × 8 
0,45
8
= 𝑖 
𝑖 = 0,05625 
 
𝑡𝑎𝑥𝑎 = 𝑖 × 100 
𝑡𝑎𝑥𝑎 = 0,05625 × 100 
𝑡𝑎𝑥𝑎 = 5,625% 𝑎. 𝑚. 
 
Resolução Juro Composto: 
𝐹𝑉 = 𝑃𝑉 × ( 1 + 𝑖)𝑛 
1,45𝑥 = 𝑥 × ( 1 + 𝑖 )8 
Lembre-se que se tivermos que digitar PV e FV, 
devemos obececer o princípio de fluxo de caixa 
Lembre-se que se tivermos que digitar PV e FV, 
devemos obedecer o princípio de fluxo de caixa 
MATEMÁTICA FINANCEIRA – José de Arimatéa Dantas 
 
16 
 
1,45𝑥
𝑥
= ( 1 + 𝑖 )8 
√1,45
8
= 1 + 𝑖 
1,45
1
8⁄ = 1 + 𝑖 
1,04754093 − 1 = 𝑖 
𝒊 = 𝟎, 𝟎𝟒𝟕𝟓𝟒𝟎𝟗𝟑 
 
𝑡𝑎𝑥𝑎 = 𝑖 × 100 
𝑡𝑎𝑥𝑎 = 0,04754093 × 100 
𝑻𝒂𝒙𝒂 = 𝟒, 𝟕𝟓% 𝒂. 𝒎. 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA FINANCEIRA – José de Arimatéa Dantas 
 
17 
 
2.3 Capitais equivalentes 
São valores em datas diferentes que estão corrigidos pela mesma taxa de juro, 
representando o mesmo valor em datas futuras e datas passadas. 
Por exemplo, $10.000 hoje é um capital equivalente a $11.000 daqui a um mês 
para taxa de juro de 10% a.m. 
 
Exercícios 
10. Você está comprando uma chácara da seguinte forma: R$ 5.000,00 para daqui a 90 dias, R$ 
8.000,00 para daqui a meio ano e R$ 10.000,00 para daqui a 10 meses. Você fará uma 
contraproposta para pagar metade no ato e o restante para daqui a cinco meses. Sendo a taxa 
de juro mensal de 4% a.m., qual o valor máximo que você deverá oferecer considerando juro 
simples e juro composto? 
 
 
 
 
 
 Prazo = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 
 
 
 
 
 
 
RESOLUÇÃO CAPITAIS EQUIVALENTES PROPORCIONAIS – (JURO SIMPLES) 
Trazendo as três parcelas a valor presente: 
FV1 = R$ 5.000,00 
n = 3 meses 
taxa = 4% a.m. 
PV1 = ? 
𝐹𝑉 = 𝑃𝑉 × (1 + 𝑖 × 𝑛) 
5.000,00 = 𝑃𝑉 × (1 + 0,04𝑥3) 
5.000,00 = 𝑃𝑉 × (1 + 0,12) 
5.000,00 = 𝑃𝑉 × 1,12 
5.000,00
1,12
= 𝑃𝑉 
𝑃𝑉 = 𝑅$4.464,29 
FV2 = R$ 8.000,00 
n = 6 meses 
taxa = 4% a.m. 
PV2 = ? 
𝐹𝑉 = 𝑃𝑉 × (1 + 𝑖 × 𝑛) 
R$ 5.000,00 
R$ 8.000,00 
R$ 10.000,00 
Contraproposta em 5 meses = ? 
Valor Atual = 
? 
Contraproposta no ato = ? 
MATEMÁTICA FINANCEIRA – José de Arimatéa Dantas 
 
18 
 
8.000,00 = 𝑃𝑉 × (1 + 0,04𝑥6) 
8.000,00 = 𝑃𝑉 × (1 + 0,24) 
8.000,00 = 𝑃𝑉 × 1,24 
8.000,00
1,24
= 𝑃𝑉 
𝑃𝑉 = 𝑅$6.451,61 
 
FV3 = R$ 10.000,00 
n = 10 meses 
taxa = 4% a.m. 
PV3 = ? 
𝐹𝑉 = 𝑃𝑉 × (1 + 𝑖 × 𝑛) 
10.000,00 = 𝑃𝑉 × (1 + 0,04𝑥10) 
10.000,00 = 𝑃𝑉 × (1 + 0,4) 
10.000,00 = 𝑃𝑉 × 1,4 
10.000,00
1,4
= 𝑃𝑉 
𝑃𝑉 = 𝑅$7.142,86 
 
Portanto, 
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝐴𝑡𝑢𝑎𝑙 = 𝑃𝑉1 + 𝑃𝑉2 + 𝑃𝑉3 
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝐴𝑡𝑢𝑎𝑙 = 4.464,29 + 6.451,61 + 7.142,86 
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝐴𝑡𝑢𝑎𝑙 = 𝑅$18.058,76 
 
Cálculo do Valor da Contra-proposta: 
Bem = R$ 18.058,76 
50% no ato: 
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑛𝑜 𝐴𝑡𝑜 = $18.058,76 × 0,5 
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑛𝑜 𝐴𝑡𝑜 = $9.029,38 
 
Restante = PV = 9.029,58 
n = 5 meses 
Taxa = 4% a.m. 
FV = ? 
𝐹𝑉 = 𝑃𝑉 × (1 + 𝑖 × 𝑛) 
𝐹𝑉 = 9.029,58 × (1 + 0,04𝑥5) 
𝐹𝑉 = 9.029,58 × (1 + 0,2) 
𝐹𝑉 = 9.029,58 𝑥 1,2 
𝑽𝒂𝒍𝒐𝒓 𝑴á𝒙𝒊𝒎𝒐 𝒅𝒂 𝑪𝒐𝒏𝒕𝒓𝒂 − 𝒑𝒓𝒐𝒑𝒐𝒔𝒕𝒂 = 𝑹$𝟏𝟎. 𝟖𝟑𝟓, 𝟓𝟎 
 
RESOLUÇÃO CAPITAIS EQUIVALENTES NÃO PROPORCIONAIS – (JURO COMPOSTO) 
Trazendo as três parcelas a valor presente: 
FV1 = R$ 5.000,00 
n = 3 meses 
taxa = 4% a.m. 
PV1 = ? 
𝐹𝑉 = 𝑃𝑉 × ( 1 + 𝑖 )𝑛 
5.000,00 = 𝑃𝑉 × ( 1 + 0,04 )3 
5.000,00 = 𝑃𝑉 𝑥 ( 1,04)3 
MATEMÁTICA FINANCEIRA – José de Arimatéa Dantas 
 
19 
 
5.000,00 = 𝑃𝑉 𝑥 1,124864 
5.000,00
1,124864
= 𝑃𝑉 
𝑷𝑽 = 𝑹$ 𝟒. 𝟒𝟒𝟒, 𝟗𝟖 
 
FV2 = R$ 8.000,00 
n = 6 meses 
taxa = 4% a.m. 
PV2 = ? 
𝐹𝑉 = 𝑃𝑉 × ( 1 + 𝑖 )𝑛 
8.000,00 = 𝑃𝑉 × ( 1 + 0,04 )6 
8.000,00 = 𝑃𝑉 𝑥 ( 1,04)6 
8.000,00 = 𝑃𝑉 𝑥 1,265319018496 
8.000,00
1,265319018496
= 𝑃𝑉 
𝑷𝑽 = 𝑹$ 𝟔. 𝟑𝟐𝟐, 𝟓𝟐 
FV3 = R$ 10.000,00 
n = 10 meses 
taxa = 4% a.m. 
PV3 = ? 
𝐹𝑉 = 𝑃𝑉 × ( 1 + 𝑖 )𝑛 
10.000,00 = 𝑃𝑉 × ( 1 + 0,04 )10 
10.000,00 = 𝑃𝑉 𝑥 ( 1,04)10 
10.000,00 = 𝑃𝑉 𝑥 1,48024428491834392576 
10.000,00
1,48024428491834392576
= 𝑃𝑉 
𝑷𝑽 = 𝑹$ 𝟔. 𝟕𝟓𝟓, 𝟔𝟒 
Portanto, 
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝐴𝑡𝑢𝑎𝑙 = 𝑃𝑉1 + 𝑃𝑉2 + 𝑃𝑉3 
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝐴𝑡𝑢𝑎𝑙 = 4.444,98 + 6.322,52 + 6.755,64 
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝐴𝑡𝑢𝑎𝑙 = 𝑅$17.523,14 
 
Cálculo do Valor da Contra-proposta: 
Bem = R$ 17.523,14 
50% no ato: 
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑛𝑜 𝐴𝑡𝑜 = $17.523,14 × 0,5 
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑛𝑜 𝐴𝑡𝑜 = $8.761,57 
 
Restante = R$ 8.761,57 
n = 5 meses 
Taxa = 4% a.m. 
FV = ? 
𝐹𝑉 = 𝑃𝑉 × ( 1 + 𝑖)𝑛 
𝐹𝑉 = 8.761,57 × ( 1 + 0,04 )5 
𝐹𝑉 = 8.761,57 × 1,045 
𝐹𝑉 = 18.761,57 × 1,2166529024 
𝑽𝒂𝒍𝒐𝒓 𝑴á𝒙𝒊𝒎𝒐 𝒅𝒂 𝑪𝒐𝒏𝒕𝒓𝒂 − 𝒑𝒓𝒐𝒑𝒐𝒔𝒕𝒂 = 𝑹$𝟏𝟎. 𝟔𝟓𝟗, 𝟕𝟗 
 
 
MATEMÁTICA FINANCEIRA – José de Arimatéa Dantas 
 
20 
 
 
 
 
11. Um terreno é oferecido por R$ 45.000,00 a vista, ou por R$ 10.000,00 de entrada mais R$ 
40.000,00 em seis meses. Sabendo-se que uma aplicação em títulos de renda fixa rende uma 
taxa líqüida composta de 3% a.m., o que você aconselharia a um interessado pelo terreno? 
 
 A VISTA: 
 
 
 
 
 
 
 
 A PRAZO: 
 
 
 
 
A PR: 
 
 
 
 
 
 
Trazendo o valor a prazo a valor atual: 
FV = R$ 40.000,00 
N = 6 meses 
Taxa = 3% a.m. 
PV = ? 
𝐹𝑉 = 𝑃𝑉 × ( 1 + 𝑖 )𝑛 
40.000,00 = 𝑃𝑉 × ( 1 + 0,03 )6 
40.000,00 = 𝑃𝑉 𝑥 ( 1,03)6 
40.000,00 = 𝑃𝑉 𝑥 1,194052296529 
40.000,00
1,194052296529
= 𝑃𝑉 
𝑷𝑽 = 𝑹$ 𝟑𝟑. 𝟒𝟗𝟗, 𝟑𝟕 
 
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝐴𝑡𝑢𝑎𝑙 𝑑𝑎 𝑜𝑝çã𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑐𝑒𝑙𝑎𝑑𝑎 = 𝐸𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 + 𝑃𝑉 
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑎𝑡𝑢𝑎𝑙 𝑑𝑎 𝑜𝑝ç𝑎𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑐𝑒𝑙𝑎𝑑𝑎 = 10.000,00 + 33.499,37 
𝑽𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒂𝒕𝒖𝒂𝒍 𝒅𝒂 𝒐𝒑çã𝒐 𝒑𝒂𝒓𝒄𝒆𝒍𝒂𝒅𝒂 = 𝟒𝟑. 𝟒𝟗𝟗, 𝟑𝟕 
 
Logo, é mais vantagem a comprado terreno a prazo, pois o valor atual da proposta a prazo é menor do que o valor a vista. 
 
 
12. No centro de compras um bem é vendido por R$ 1.000,00 com a seguinte forma de pagamento: 50% no 
ato e o restante para um mês depois. Se a vista, é dado um desconto de 5%. Qual a taxa de juro composta 
embutida no parcelamento? 
 
Preço anunciado: R$ 1.000,00 
Desconto para pagamento a vista: 5% 
𝑃𝑟𝑒ç𝑜 𝑎 𝑉𝑖𝑠𝑡𝑎 = 𝑃𝑟𝑒ç𝑜 𝑎𝑛𝑢𝑛𝑐𝑖𝑎𝑑𝑜 − 5% 𝑑𝑜 𝑃𝑟𝑒ç𝑜 𝑎𝑛𝑢𝑛𝑐𝑖𝑎𝑑𝑜 
𝑃𝑟𝑒ç𝑜 𝑎 𝑣𝑖𝑠𝑡𝑎 = 𝑅$1.000,00 − 0,05 × 𝑅$ 1.000,00 
0 
R$ 45.000,00 
0 1
0 
2
0 
3
0 
4
0 
5
1
0 
6
0 
R$ 10.000,00 
FV = R$ 40.000,00 
Valor Atual dos R$ 40.000,00 = PV=? 
Valor a prazo, trazido a valor atual 
MATEMÁTICA FINANCEIRA – José de Arimatéa Dantas 
 
21 
 
𝑃𝑟𝑒ç𝑜 𝑎 𝑣𝑖𝑠𝑡𝑎 = 𝑅$ 1.000,0 − 𝑅$ 50,00 
𝑃𝑟𝑒ç𝑜 𝑎 𝑣𝑖𝑠𝑡𝑎 = 𝑅$ 950,00 
 
Pagamento a prazo: 
50% no ato: 
𝑃𝑎𝑟𝑐𝑒𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑔𝑎 𝑛𝑜 𝑎𝑡𝑜 = 50% 𝑑𝑜 𝑝𝑟𝑒ç𝑜 𝑎𝑛𝑢𝑛𝑐𝑖𝑎𝑑𝑜 
𝑃𝑎𝑟𝑐𝑒𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑔𝑎 𝑛𝑜 𝑎𝑡𝑜 = 0,5 × 𝑅$ 1.000,00 
𝑃𝑎𝑟𝑐𝑒𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑔𝑎 𝑛𝑜 𝑎𝑡𝑜 = 𝑅$ 500,00 
 
𝑃𝑎𝑟𝑐𝑒𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑑𝑎𝑞𝑢𝑖 𝑎 𝑢𝑚 𝑚ê𝑠 = 𝑃𝑟𝑒ç𝑜 𝐴𝑛𝑢𝑛𝑐𝑖𝑎𝑑𝑜 − 𝑃𝑎𝑟𝑐𝑒𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑔𝑎 𝑛𝑜 𝑎𝑡𝑜 
𝑃𝑎𝑟𝑐𝑒𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑑𝑎𝑞𝑢𝑖 𝑎 𝑢𝑚 𝑚ê𝑠 = 𝑅$ 1; 000,00 − 𝑅$ 500,00 
𝑃𝑎𝑟𝑐𝑒𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑑𝑎𝑞𝑢𝑖 𝑎 𝑢𝑚 𝑚ê𝑠 = 𝑅$ 500,00 
 
Logo, 
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝐹𝑖𝑛𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎𝑑𝑜 = 𝑃𝑟𝑒ç𝑜 𝑎 𝑣𝑖𝑠𝑡𝑎 − 𝑃𝑎𝑟𝑐𝑒𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑔𝑎 𝑛𝑜 𝑎𝑡𝑜 
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝐹𝑖𝑛𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎𝑑𝑜 = 𝑅$ 950,00 − 𝑅$ 500,00 
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝐹𝑖𝑛𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎𝑑𝑜 = 𝑅$ 450,00 
 
A PRAZO: 
 
 
 
 
A PR: 
 
 
 
 
 
 
 
 
PV = R$ 450,00 
FV = R$ 500,00 
N = 1 mês 
Taxa de juro embutida = ? 
𝐹𝑉 = 𝑃𝑉 × (1 + 𝑖)𝑛 
500,00 = 450,00 × (1 + 𝑖)1 
500,00
450,00
= 1 + 𝑖 
1,111111111 − 1 = 𝑖 
𝑖 = 0,11111111 
 
𝑇𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑗𝑢𝑟𝑜 𝑒𝑚𝑏𝑢𝑡𝑖𝑑𝑎 = 𝑖 × 100 
𝑇𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑗𝑢𝑟𝑜 𝑒𝑚𝑏𝑢𝑡𝑖𝑑𝑎 = 0,1111111111 × 100 
𝑇𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑗𝑢𝑟𝑜 𝑒𝑚𝑏𝑢𝑡𝑖𝑑𝑎 = 11,11 % 𝑎. 𝑚. 
 
 
2.4 Taxas Equivalentes 
Taxas equivalentes, são taxas para unidades de tempos diferentes que quando 
aplicadas ao mesmo capital por idêntico período, produzem o mesmo montante. 
0 1
0 
Parcela paga no ato = R$ 500,00 
Parcela para daqui a um mês = R$ 500,00 = 
FV 
Valor Financiado = R$ 450,00 = PV 
Parcela paga no ato + Parcela para daqui a um mês = Valor a vista = R$ 760,00 
MATEMÁTICA FINANCEIRA – José de Arimatéa Dantas 
 
22 
 
As taxas equivalentes quando falamos de juro simples, elas são também 
proporcionais, ou seja, a taxa de juro simples de 12% a.a. é equivalente e 
proporcional à taxa de juro simples de 1% a.m. 
Já quando a capitalização é composta, a taxa equivalente não guarda esta 
proporcionalidade, dado a caráter exponencial do juro composto. Abaixo vemos 
que a taxa de juro composta de 12% a.a. equiva à taxa de juro composta de 
0,949% a.m. e não 1% como no juro simples 
 
Exercícios 
13. Dada a taxa de juro de 12% a.a., calcular as taxas equivalentes, para juro simples e juro 
composto, diária, mensal, trimestral, e semestral. 
 Taxas equivalentes proporcionais (juro simples): 
 𝑇𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑖á𝑟𝑖𝑎 = 12 ÷ 360 𝑑𝑖𝑎𝑠 = 0,033333333% 𝑎. 𝑑. 
𝑇𝑎𝑥𝑎 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑎𝑙 = 12 ÷ 12 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 = 1% 𝑎. 𝑚. 
𝑇𝑎𝑥𝑎 𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 = 12 ÷ 4 𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑠 = 3% 𝑎. 𝑡. 
𝑇𝑎𝑥𝑎 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 = 12 ÷ 2 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑠 = 6%𝑎. 𝑠. 
 
 
Taxas equivalentes não proporcionais (juro composto): 
Taxa dada = 12% a.a. 
n = 1 ano 
PV qualquer = !.000,00 
FV correspondente = ? 
𝐹𝑉 = 𝑃𝑉 × (1 + 𝑖)𝑛 
𝐹𝑉 = 1.000,00 × (1 + 0,12)1 
𝐹𝑉 = 1.000,00 × 1,12 
𝐹𝑉 = 1.120,00 
Taxa Equivalente diária: 
PV = 1.000,00 
FV = 1.120,00 
n = 1 ano = 360 dias. 
𝐹𝑉 = 𝑃𝑉 × ( 1 + 𝑖)𝑛 
1.120,00 = 1.000,00 × ( 1 + 𝑖 )360 
1.120,00
1.000,00
= ( 1 + 𝑖 )360 
√1,12
360
= 1 + 𝑖 
1.12
1
360⁄ = 1 + 𝑖 
1,000314851 − 1 = 𝑖 
𝒊 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟑𝟏𝟒𝟖𝟓𝟏 
 
𝑡𝑎𝑥𝑎 = 𝑖 × 100 
𝑡𝑎𝑥𝑎 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟑𝟏𝟒𝟖𝟓𝟏 × 100 
𝑻𝒂𝒙𝒂 = 𝟎, 𝟎𝟑𝟏𝟒𝟖𝟓𝟏% 𝒂. 𝒅. 
Taxa Equivalente mensal: 
PV = 1.000,00 
FV = 1.120,00 
n = 1ano = 12 meses 
𝐹𝑉 = 𝑃𝑉 × ( 1 + 𝑖)𝑛 
MATEMÁTICA FINANCEIRA – José de Arimatéa Dantas 
 
23 
 
1.120,00 = 1.000,00 × ( 1 + 𝑖 )12 
1.120,00
1.000,00
= ( 1 + 𝑖 )12 
√1,12
12
= 1 + 𝑖 
1.12
1
12⁄ = 1 + 𝑖 
1,0094887939 − 1 = 𝑖 
𝒊 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟗𝟒𝟖𝟖𝟕𝟗𝟑𝟗 
 
𝑡𝑎𝑥𝑎 = 𝑖 × 100 
𝑡𝑎𝑥𝑎 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟗𝟒𝟖𝟖𝟕𝟗𝟑𝟗 × 100 
𝑻𝒂𝒙𝒂 = 𝟎, 𝟗𝟒𝟗% 𝒂. 𝒎. 
Taxa Equivalente trimestral: 
PV = 1.000,00 
FV = 1.120,00 
n = 1ano = 4 trimestres 
𝐹𝑉 = 𝑃𝑉 × ( 1 + 𝑖)𝑛 
1.120,00 = 1.000,00 × ( 1 + 𝑖 )4 
1.120,00
1.000,00
= ( 1 + 𝑖 )4 
√1,12
4
= 1 + 𝑖 
1.12
1
4⁄ = 1 + 𝑖 
1,028737345 − 1 = 𝑖 
𝒊 = 𝟎, 𝟎𝟐𝟖𝟕𝟑𝟕𝟑𝟒𝟓 
 
𝑡𝑎𝑥𝑎 = 𝑖 × 100 
𝑡𝑎𝑥𝑎 = 𝟎, 𝟎𝟐𝟖𝟕𝟑𝟕𝟑𝟒𝟓 × 100 
𝑻𝒂𝒙𝒂 = 𝟐, 𝟖𝟕𝟒% 𝒂. 𝒕. 
Taxa Equivalente semestral: 
PV = 1.000,00 
FV = 1.120,00 
n = 1ano = 2 semestres 
𝐹𝑉 = 𝑃𝑉 × ( 1 + 𝑖)𝑛 
1.120,00 = 1.000,00 × ( 1 + 𝑖 )2 
1.120,00
1.000,00
= ( 1 + 𝑖 )2 
√1,12
2
= 1 + 𝑖 
1.12
1
2⁄ = 1 + 𝑖 
1,058300524 − 1 = 𝑖 
𝒊 = 𝟎, 𝟎𝟓𝟖𝟑𝟎𝟎𝟓𝟐𝟒 
 
𝑡𝑎𝑥𝑎 = 𝑖 × 100 
𝑡𝑎𝑥𝑎 = 𝟎, 𝟎𝟓𝟖𝟑𝟎𝟎𝟓𝟐𝟒 × 100 
𝑻𝒂𝒙𝒂 = 𝟓, 𝟖𝟑% 𝒂. 𝒔. 
MATEMÁTICA FINANCEIRA – José de Arimatéa Dantas 
 
24 
 
 
 CÁLCULO PELA HP12C: 
 FV para o período de um ano com os dados do cálculo algébrico: 
F Fin 
 
1000,00 PV 
 
1 n 
 
12 i 
 
FV 
 
 Cálculo da taxa diária (ano comercial) (sem apertar qualquer outra tecla) 
360 n 
 
i 
 Cálculo da taxa mensal 
12 n 
 
i 
 Cálculo da taxa bimestral 
6 n 
 
i 
 
14. Dada a taxa de juro mensal de 1% a.m., calcular as taxas equivalentes, para juro simples e 
juro composto diária, bimestral, quadrimestral e anual. 
 Taxas equivalentes proporcionais: 
 𝑇𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑖á𝑟𝑖𝑎 = 1 ÷ 30 𝑑𝑖𝑎𝑠 = 0,033333333% 𝑎. 𝑑. 
𝑇𝑎𝑥𝑎 𝑏𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 = 1 × 2 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 = 2% 𝑎. 𝑏. 
𝑇𝑎𝑥𝑎 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 = 1 × 4 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 = 3% 𝑎. 𝑞. 
𝑇𝑎𝑥𝑎 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙 = 1 × 12 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 = 12%𝑎. 𝑎. 
 
Taxas equivalentes não proporcionais: 
Taxa dada = 1% a.m. 
n = 1 ano = 12 meses 
PV qualquer = !.000,00 
FV correspondente = ? 
𝐹𝑉 = 𝑃𝑉 × (1 + 𝑖)𝑛 
𝐹𝑉 = 1.000,00 × (1 + 0,01)12 
𝐹𝑉 = 1.000,00 × 1,0112 
𝐹𝑉 = 1.000,00 × 1,126825030 
𝐹𝑉 = 1.126,83 
Taxa Equivalente diária: 
PV = 1.000,00 
FV = 1.126,83 
n = 1 ano = 360 dias. 
𝐹𝑉 = 𝑃𝑉 × ( 1 + 𝑖)𝑛 
1.126,83 = 1.000,00 × ( 1 + 𝑖 )360 
1.126,83
1.000,00
= ( 1 + 𝑖 )360 
√1,12683
360
= 1 + 𝑖 
1.12683
1
360⁄ = 1 + 𝑖 
Montante para o prazo de um ano 
Período em dias do ano, teremlos 
a taxa diária 
Período em meses do ano, 
teremos a taxa mensal 
Período em bimestres do ano, 
teremos a taxa bimestral 
MATEMÁTICA FINANCEIRA – José de Arimatéa Dantas 
 
25 
 
1,000331745 − 1 = 𝑖 
𝒊 = 𝟏, 𝟎𝟎𝟎𝟑𝟑𝟏𝟕𝟒𝟓 
 
𝑡𝑎𝑥𝑎 = 𝑖 × 100 
𝑡𝑎𝑥𝑎 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟑𝟑𝟏𝟕𝟒𝟓 × 100 
𝑻𝒂𝒙𝒂 = 𝟎, 𝟎𝟑𝟑𝟏𝟕𝟒𝟓% 𝒂. 𝒅. 
Taxa Equivalente bimestral: 
PV = 1.000,00 
FV = 1.126,83 
n = 1ano = 6 bimestres 
𝐹𝑉 = 𝑃𝑉 × ( 1 + 𝑖)𝑛 
1.126,83 = 1.000,00 × ( 1 + 𝑖 )6 
1.126,83
1.000,00
= ( 1 + 𝑖 )6 
√1,12683
6
= 1 + 𝑖 
1.12683
1
6⁄ = 1 + 𝑖 
1,02010075 − 1 = 𝑖 
𝒊 = 𝟎, 𝟎𝟐𝟎𝟏𝟎𝟎𝟕𝟓 
 
𝑡𝑎𝑥𝑎 = 𝑖 × 100 
𝑡𝑎𝑥𝑎 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟐𝟎𝟏𝟎𝟎𝟕𝟓 × 100 
𝑻𝒂𝒙𝒂 = 𝟐, 𝟎𝟏% 𝒂. 𝒃. 
Taxa Equivalente quadrimestral: 
PV = 1.000,00 
FV = 1.126,83 
n = 1ano = 3 quadrimestres𝐹𝑉 = 𝑃𝑉 × ( 1 + 𝑖)𝑛 
1.126,83 = 1.000,00 × ( 1 + 𝑖 )3 
1.126,83
1.000,00
= ( 1 + 𝑖 )3 
√1,12683
3
= 1 + 𝑖 
1.12683
1
3⁄ = 1 + 𝑖 
1,04060554 − 1 = 𝑖 
𝒊 = 𝟎, 𝟎𝟒𝟎𝟔𝟎𝟓𝟓𝟒 
 
𝑡𝑎𝑥𝑎 = 𝑖 × 100 
𝑡𝑎𝑥𝑎 = 𝟎, 𝟎𝟒𝟎𝟔𝟎𝟓𝟓𝟒 × 100 
𝑻𝒂𝒙𝒂 = 𝟒, 𝟎𝟔𝟏% 𝒂. 𝒒. 
Taxa Equivalente anual: 
PV = 1.000,00 
FV = 1.126,83 
n = 1ano = 12 meses 
𝐹𝑉 = 𝑃𝑉 × ( 1 + 𝑖)𝑛 
1.126,83 = 1.000,00 × ( 1 + 𝑖 )1 
MATEMÁTICA FINANCEIRA – José de Arimatéa Dantas 
 
26 
 
1.126,83
1.000,00
= 1 + 𝑖 
1,12683 − 1 = 𝑖 
𝒊 = 𝟎, 𝟏𝟐𝟔𝟖𝟑 
 
𝑡𝑎𝑥𝑎 = 𝑖 × 100 
𝑡𝑎𝑥𝑎 = 𝟎, 𝟏𝟐𝟔𝟖𝟑 × 100 
𝑻𝒂𝒙𝒂 = 𝟏𝟐, 𝟔𝟖𝟑% 𝒂. 𝒂. 
 
CÁLCULO PELA HP12C: 
 FV para o período de um ano com os dados do cálculo algébrico: 
F Fin 
 
1000,00 PV 
 
12 n 
 
1 i 
 
FV 
 
 Cálculo da taxa diária (ano comercial) (sem apertar qualquer outra tecla) 
360 n 
 
i 
 
 Cálculo da taxa mensal 
12 n 
 
i 
 Cálculo da taxa bimestral 
6 n 
 
i 
 
 
15. A poupança paga juro de 6% a.a., composto mensalmente. Qual o juro anual real da 
poupança? 
 
Taxa de 6% a.a. composta mensalmente, equivale a uma taxa mensal de 6/12 = 0,5% a.m. 
 
Taxa dada = 0,05% a.m. 
t = período unitário da taxa que temos = 1 mês 
q = período da taxa que queremos = 1 ano = 12 meses 
taxa real anual que queremos = ? 
𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙 = ((1 + 𝑖𝑡)
𝑞
𝑡 − 1) ∗ 100 
𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙 = ((1 + 0,005)
12
1 − 1) ∗ 100 
𝑇𝑎𝑥𝑎 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙 = (1,00512 − 1) ∗ 100 
𝑇𝑎𝑥𝑎 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙 = (1,061677812 − 1) ∗ 100 
𝑇𝑎𝑥𝑎 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙 = 0,061677812 ∗ 100 
𝑻𝒂𝒙𝒂 𝒂𝒏𝒖𝒂𝒍 = 𝟔, 𝟏𝟔𝟖%𝒂. 𝒂. 
 
Montante para o prazo de um ano 
Período em dias do ano, teremlos 
a taxa diária 
Período em meses do ano, 
teremos a taxa mensal 
Período em bimestres do ano, 
teremos a taxa bimestral 
MATEMÁTICA FINANCEIRA – José de Arimatéa Dantas 
 
27 
 
16. Você fez um empréstimo bancário por 47 dias, incorrendo numa taxa de juro composta de 
7,3% pelo período. Qual era a taxa de juro mensal do empréstimo? 
Taxa data = 7,3% 
q = 47 dias 
t = 30 dias 
Taxa mensal = ? 
𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑎𝑙 = ((1 + 𝑖𝑡)
𝑞
𝑡 − 1) ∗ 100 
𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑎𝑙 = ((1 + 0,073)
30
47 − 1) ∗ 100 
𝑇𝑎𝑥𝑎 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑎𝑙 = (1,0073
30
47 − 1) ∗ 100 
𝑇𝑎𝑥𝑎 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑎𝑙 = (1,046 − 1) ∗ 100 
𝑇𝑎𝑥𝑎 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑎𝑙 = 0,046 ∗ 100 
𝑻𝒂𝒙𝒂 𝒎𝒆𝒏𝒔𝒂𝒍 = 𝟒, 𝟔%𝒂. 𝒎. 
 
17. Você aplicou R$ 80.000,00 por 129 dias à taxa de juro composta de 4% a.m.. Quanto você 
recebeu de juro? 
PV = R$ 80.000,00 
q = 129 dias 
t = 1 mês = 30 dias 
taxa = 4% a.m. 
J = ? 
𝐹𝑉 = 𝑃𝑉 × (1 + 𝑖)
𝑞
𝑡 
𝐹𝑉 = 80.000,00 × (1 + 0,04)
129
30 
𝐹𝑉 = 80.000,00 × 1,04
129
30 
𝐹𝑉 = 80.000,00 × 1,183704664 
𝑭𝑽 = 𝑹$𝟗𝟒. 𝟔𝟗𝟔, 𝟑𝟕 
 
𝐽 = 𝐹𝑉 − 𝑃𝑉 
𝐽 = 94.696,37 − 80.000,00 
𝑱 = 𝑹$𝟏𝟒. 𝟔𝟗𝟔, 𝟑𝟕 
 
18. Você está pagando hoje R$ 92.324,50 por um financiamento que você fez 74 dias atrás à taxa 
de juro 3% a.m. Qual o valor do bem? 
FV = 92.324,50 
Taxa = 3%a.m . 
q = 74 dias 
t = 1 mês =30 dias 
PV = Valor financiado = ? 
𝐹𝑉 = 𝑃𝑉 × (1 + 𝑖)
𝑞
𝑡 
92.324,50 = 𝑃𝑉 × (1 + 0,03)
74
30 
92.324,50 = 𝑃𝑉 × 1,03
74
30 
92.324,50 = 𝑃𝑉 × 1,075635567 
92.324,50
1,075635567
= 𝑃𝑉 
𝑷𝑽 = 𝑹$ 𝟖𝟓. 𝟖𝟑𝟐, 𝟓𝟏 
MATEMÁTICA FINANCEIRA – José de Arimatéa Dantas 
 
28 
 
 
2.5 Taxa nominal e taxa efetiva 
 
Taxa nominal é a taxa contratada, ou seja se está escrito no contrato que a taxa é 
de 3,2% a.m., esperamos que o empréstimo ou financiamento, nos custe 
exatamente 3,2% a.m. 
Porém, muitas vezes embute-se no empréstimo ou cobra-se por fora uma Taxa de 
Abertura de Crédito, paga-se IOF sobre a operação e já tivemos inclusive a 
CPMF. Isto contribui para que a taxa de juro embutida na operação para quem 
pega o empréstimo ou financiamento seja maior. É daí que surge o conceito taxa 
de juro efetiva. 
 
Exercícios 
(TAC Embutida) 
19. Certa Financeira emprestou R$ 47.000,00 por 40 dias à taxa de juro 8% a. m.. Sabe-se que o 
banco embute no empréstimo a importância de R$ 140,00, a título de taxa de abertura de 
crédito, Quanto deve ser pago pelo tomador e qual a taxa de juro efetiva mensal que ele paga? 
 Empréstimo = R$ 47.000,00 
 TAC = R$ 140,00 
 n = 40 dias 
 taxa = 8% a.m. 
 q = 40 dias 
 t = 30 dias 
Cálculo do valor a pagar FV: 
𝑃𝑉 = 𝐸𝑚𝑝𝑟é𝑠𝑡𝑖𝑚𝑜 + 𝑇𝐴𝐶 
𝑃𝑉 = 47.000,00 + 140,00 
𝑃𝑉 = 𝑅$ 47.140,00 
 
𝐹𝑉 = 𝑃𝑉 × (1 + 𝑖)
𝑞
𝑡 
𝐹𝑉 = 47.140,00 × (1 + 0,08)
40
30 
𝐹𝑉 = 47.140,00 × 1,08
40
30 
𝐹𝑉 = 47.140,00 × 1,108064413 
𝑭𝑽 = 𝑹$𝟓𝟐. 𝟐𝟑𝟒, 𝟏𝟔 
 
Cálculo da taxa de juro efetiva mensal para o cliente: 
PV = 47.000,00 
FV = 52.234,16 
q = 40 dias 
t = 30 dias 
taxa de juro efetiva para o cliente = ? 
𝐹𝑉 = 𝑃𝑉 × ( 1 + 𝑖)
𝑞
𝑡 
52.234,16 = 47.000,00 × ( 1 + 𝑖 )
40
30 
52.234,16
47.000,00
= ( 1 + 𝑖 )
40
30 
MATEMÁTICA FINANCEIRA – José de Arimatéa Dantas 
 
29 
 
√1,111365106
40
30
= 1 + 𝑖 
1.111365106
30
40 = 1 + 𝑖 
1,082411924 − 1 = 𝑖 
𝒊 = 𝟎, 𝟎𝟖𝟐𝟒𝟏𝟏𝟗𝟐𝟒 
 
𝑡𝑎𝑥𝑎 = 𝑖 × 100 
𝑡𝑎𝑥𝑎 = 0,082411924 × 100 
𝑻𝒂𝒙𝒂 = 𝟖, 𝟐𝟒𝟏% 𝒂. 𝒎. 
20. Você tomou R$ 23.000,00 emprestado pelo prazo de 26 dias à taxa de 6% a. m., O banco 
embute R$ 120,00 a título de taxa de abertura de crédito. Quanto você pagará e qual a taxa de 
juro efetiva da operação de crédito? 
 
PV = R$23.000,00 
Taxa = 6% a.m. 
Prazo = 26 dias 
TAC = R$ 120,00 
q = 26 dias 
t = 30 dias 
 
Cálculo do valor a pagar FV: 
𝑃𝑉 = 𝐸𝑚𝑝𝑟é𝑠𝑡𝑖𝑚𝑜 + 𝑇𝐴𝐶 
𝑃𝑉 = 23.000,00 + 120,00 
𝑃𝑉 = 𝑅$ 23.120,00 
 
𝐹𝑉 = 𝑃𝑉 × (1 + 𝑖)𝑛 
𝑃𝑉 = 23.120,00 × (1 + 0,06)
26
30 
𝑃𝑉 = 23.120,00 × 1,06
26
30 
𝑃𝑉 = 23.120,00 × 1,051796569 
𝑷𝑽 = 𝑹$𝟐𝟒. 𝟑𝟏𝟕, 𝟓𝟒 
 
Cálculo da taxa de juro efetiva mensal para o cliente: 
FV = 24.317,54 
PV = 23.000,00 
q = 26 dias 
t = 30 dias 
taxa de juro efetiva para o cliente = ? 
𝐹𝑉 = 𝑃𝑉 × ( 1 + 𝑖)
𝑞
𝑡 
24.317,54 = 23.000,00 × ( 1 + 𝑖 )
26
30 
24.317,54
23.000,00
= ( 1 + 𝑖 )
26
30 
√1,057284202
26
30
= 1 + 𝑖 
1,057284202
30
26 = 1 + 𝑖 
1,066383826 − 1 = 𝑖 
𝒊 = 𝟎, 𝟎𝟔𝟔𝟑𝟖𝟑𝟖𝟐𝟔 
 
MATEMÁTICA FINANCEIRA – José de Arimatéa Dantas 
 
30 
 
𝑡𝑎𝑥𝑎 = 𝑖 × 100 
𝑡𝑎𝑥𝑎 = 0,066383826 × 100 
𝑻𝒂𝒙𝒂 = 𝟔, 𝟔𝟑𝟖% 𝒂. 𝒎. 
 
(Sem embutir a TAC) 
21. Certa Financeira emprestou R$ 470.000,00 por 40 dias à taxa de juro de 8% a. m.. Sabendo-se 
que o banco cobra do cliente R$ 1.400,00, a título de taxa de abertura de crédito. Quanto deve 
ser pago pelo tomador e qual a taxa de juro efetiva mensal? 
TAC = R$ 1.400,00 
PV = 470.000,00 
Prazo = 40 dias 
Taxa = 8% a.m. 
q = 40 dias 
t = 30 dias 
Cálculo de quanto deve ser pago pelo tomador: 
𝐹𝑉 = 𝑃𝑉 × (1 + 𝑖)
𝑞
𝑡 
𝐹𝑉 = 470.000,00 × (1 + 0,08)
40
30 
𝐹𝑉 = 470.000,00 × 1,08
40
30 
𝐹𝑉 = 470.000,00 × 1,10806441 
𝑭𝑽 = 𝑹$𝟓𝟐𝟎. 𝟕𝟗𝟎, 𝟐𝟒 
 
Cálculo do valor que o cliente recebeu efetivamente: 
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑟𝑒𝑐𝑒𝑏𝑖𝑑𝑜 𝑒𝑓𝑒𝑡𝑖𝑣𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 = 𝑃𝑉 − 𝑇𝐴𝐶 
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑅𝑒𝑐𝑒𝑏𝑖𝑑𝑜 𝑒𝑓𝑒𝑡𝑖𝑣𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 = 𝑅$470.000,00 − 𝑅$1.400,00 
𝑽𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒓𝒆𝒄𝒆𝒃𝒊𝒅𝒐 𝒆𝒇𝒆𝒕𝒊𝒗𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒆 = 𝑹$ 𝟒𝟔𝟖. 𝟔𝟎𝟎, 𝟎𝟎 
 
Cálculo da taxa de juro efetiva para pelo cliente: 
PV = R$ 468.600,00 
FV = R$ 520.790,24 
q = 40 dias 
t = 30 dias 
Taxa de juro efetiva paga pelo cliente = ? 
𝐹𝑉 = 𝑃𝑉 × ( 1 + 𝑖)
𝑞
𝑡 
520.790,24 = 468.600,00 × ( 1 + 𝑖 )
40
30 
520.790,24
468.600,00
= ( 1 + 𝑖 )
40
30 
√1,111374892
40
30
= 1 + 𝑖 
1.209558045
30
40 = 1 + 𝑖 
1,082419072− 1 = 𝑖 
𝒊 = 𝟎, 𝟎𝟖𝟐𝟒𝟏𝟗𝟎𝟕𝟐 
 
𝑡𝑎𝑥𝑎 = 𝑖 × 100 
𝑡𝑎𝑥𝑎 = 0,082419072 × 100 
𝑻𝒂𝒙𝒂 = 𝟖, 𝟐𝟒𝟐% 𝒂. 𝒎. 
 
MATEMÁTICA FINANCEIRA – José de Arimatéa Dantas 
 
31 
 
22. Você financiou R$ 460.000,00 pelo prazo de 26 dias à taxa de juro de 6% a. m.. O banco 
debitou da sua conta a quantia de R$ 2.400,00 a título de taxa de abertura de crédito. Quanto 
você pagará e qual a taxa de juro efetiva da operação de crédito? 
TAC = R$ 2.400,00 
FV = 460.000,00 
N = 26 dias 
Taxa = 6% a.m. 
 
Cálculo de quanto deve ser pago pelo tomador: 
𝐹𝑉 = 𝑃𝑉 × (1 + 𝑖)𝑛 
𝑃𝑉 = 460.000,00 × (1 + 0,06)
26
30 
𝑃𝑉 = 460.000,00 × 1,06
26
30 
𝑃𝑉 = 460.000,00 × 1,051796569 
𝑷𝑽 = 𝑹$𝟒𝟖𝟑. 𝟖𝟐𝟔, 𝟒𝟐 
Cálculo do valor que o cliente recebeu efetivamente: 
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑟𝑒𝑐𝑒𝑏𝑖𝑑𝑜 𝑒𝑓𝑒𝑡𝑖𝑣𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 = 𝑃𝑉 − 𝑇𝐴𝐶 
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑅𝑒𝑐𝑒𝑏𝑖𝑑𝑜 𝑒𝑓𝑒𝑡𝑖𝑣𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 = 𝑅$460.000,00 − 𝑅$2.400,00 
𝑽𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒓𝒆𝒄𝒆𝒃𝒊𝒅𝒐 𝒆𝒇𝒆𝒕𝒊𝒗𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒆 = 𝑹$ 𝟒𝟓𝟕. 𝟔𝟎𝟎, 𝟎𝟎 
PV = 457.600,00 
FV = 483.826,42 
q = 26 dias 
t = 30 dias 
taxa efetiva paga pelo cliente = ? 
𝐹𝑉 = 𝑃𝑉 × ( 1 + 𝑖)
𝑞
𝑡 
483.826,42 = 457.600,00 × ( 1 + 𝑖 )
26
30 
483.826,42
457.600,00
= ( 1 + 𝑖 )
26
30 
√1,057312091
26
30
= 1 + 𝑖 
1,057312091
30
26 = 1 + 𝑖 
1,066416283 − 1 = 𝑖 
𝒊 = 𝟎, 𝟎𝟔𝟔𝟒𝟏𝟔𝟐𝟖𝟑 
 
𝑡𝑎𝑥𝑎 = 𝑖 × 100 
𝑡𝑎𝑥𝑎 = 0,066751693 × 100 
𝑻𝒂𝒙𝒂 = 𝟔, 𝟔𝟒𝟐% 𝒂. 𝒎. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA FINANCEIRA – José de Arimatéa Dantas 
 
32 
 
Exercícios para fixação: 
1) Você tomou R$ 14.000,00 emprestados para pagar daqui a 9 meses à taxa de juro composto de 3% 
a.m. Quanto você pagará de juros? (R$ 4.266,88) 
2) João tomou R$ 23.000,00 emprestados por 15 meses e no final pagou o montante de R$ 26.247,32. A 
que taxa de juro composto foi feito o empréstimo? (4,28% a.m.) 
3) Hoje você pagou R$ 7.892,00 pelo empréstimo que fez a 10 meses atrás à taxa de juro composto de 
3% a.m.. Quanto você tomou emprestado? (R$ 5.872,39) 
4) Você adquiriu um automóvel novo, dando R$ 6.000,00 de entrada e assinando uma promissória de 
R$ 12.327,00 para daqui a três meses. Se a taxa de juro composto embutida neste financiamento foi 
de 4%, qual o valor a vista deste automóvel? (R$ 16.958,66) 
5) Um bem no valor de R$ 1.000,00 é vendido por 15% de entrada e o restante para seis meses depois à 
taxa de juro composto de 2,5% a.m.. Qual o valor da parcela? (R$ 985,74) 
6) Por um empréstimo de R$ 12.500,00, você pagou R$ 15.455,00. Se a taxa de juro composto foi de 
3.6% a.m., qual foi o prazo da operação? (6 meses) 
7) Um terreno é vendido nas seguintes condições: R$ 10.000 a vista, R$ 20.000,00 para daqui a seis 
meses, e mais quatro parcelas trimestrais de R$ 5.000,00. Considerando uma taxa de juro composto 
de 2% a.m., que valor máximo uma pessoa deve oferecer para adquirir o terreno em uma única 
parcela no quarto mês? (R$ 37.925,34) 
8) Dada a taxa de juro composto de 3% a.m., calcular as taxas equivalentes diária, bimestral, semestral 
e anual. (considere ano comercial) (0,0986% a,d,, 6,09% a.b., 19,4% a.s, 42,58% a.a.) 
9) Um estabelecimento comercial está sendo oferecido por R$ 200.000,00 à vista ou com uma entrada 
de R$80.000,00 e mais uma parcela de R$ 160.000,00 para daqui a seis meses. Considerando-se que 
se dinheiro está aplicado com remuneração mensal de 3%m. Você deve adquirir o estabelecimento a 
vista ou a prazo? 
10) O Financeira União financia automóveis à taxa prefixada de 6% a.m. e embute no financiamento R$ 
800,00 a título de Taxa de Abertura de Crédito. Para trocar de automóvel, você vai financiar R$ 
20.000,00 para pagar 6 meses depois. Quanto você pagará pelo empréstimo e qual a taxa de juro 
efetiva da operação? (R$29.505,20 - 6,695% a.m.) 
11) Já a financeira Vitória, faz o mesmo financiamento, só que não embute a Taxa de Abertura de 
Crédito no financiamento. Devendo o tomador do financiamento pagar tal taxa no ato do negócio. 
Quanto você pagaria neste caso e qual a taxa de juro que efetiva neste caso? (R$ 28.370,38 - 
6,724%). 
12) Você precisou de R$ 4.000,00 pelo prazo de 19 dias e pegou um empréstimo a juro 4%a.m.. Quanto 
você pagará considerando a capitalização simples e a composta? (R$ 4.101,33 – 4.100,60). 
13) Você pagará R$ 45.955,86 por um empréstimo a juro composto pelo prazo de 13 dias à taxa de 3% 
a.m.. Quanto você tomou emprestado? (R$45.390.97) 
14) A Super loja anuncia um produto por R$ 600,00 para ser pago 50% no ato e o restante para 45 dias. Você 
negociou com o gerente e ele lhe concedeu um desconto de 5% para pagamento a vista. Dentro deste quadro, 
que taxa de juro composta está embutida no pagamento parcelado? (7,28% a.m.) 
 
MATEMÁTICA FINANCEIRA – José de Arimatéa Dantas 
 
33 
 
CAPÍTULO 3 
 
Correção Monetária, taxas prefixadas, posfixadas e o conceito de taxa de 
juro real 
 
Diferentemente de outras unidades de medida, como o sistema métrico e escalas 
de temperaturas, que representam sempre a mesma coisa, independentemente do 
local em que estivermos, ou seja, 2 quilômetros representa sempre a mesma 
distância, seja em Canoa Quebrada ou em Gramado, na lua ou em marte, 80 anos 
atrás, hoje ou daqui a dez anos. 
Já o dinheiro não, ele pode apresentar valor de compra diferente de um local para 
o outro, ou no mesmo lugar em épocas diferentes. A moeda de R$ 1,00 que você 
tem no bolso seria muito mais bem vinda se estivesse no seu bolso no início do 
plano Real, e com certeza hoje tem mais poder de compra em um bar no subúrbio 
no qual podemos comprar um refrigerante por R$ 1,50, do que em um sofisticado 
restaurante nos Jardins, cujo preço do refrigerante é bem superior a este valor. 
O mecanismo da correção monetária é o mecanismo que procura fazer com que 
na medida do possível, possamos comparar de forma mais precisa possível o 
dinheiro em épocas diferentes. 
Em função da mudança do valor do dinheiro com o passar do tempo, o mercado 
financeiro procura evitar este efeito nas operações financeiras. Para tanto, ele 
pode embutir a correção monetária na taxa de juro – é a taxa de juro prefixada – 
ou deixar a taxa de juro real e embutir a correção monetária no final do período da 
operação – é a operação pósfixada. 
A taxa prefixada é uma taxa nominal e a pósfixada é uma taxa real. Quando 
contratamos um empréstimo com taxa prefixada é bom, ao final da operação, 
fazer o expurgo da correção monetária do período desta taxa, para conhecermos 
a taxa real da operação. 
Não é só a correção monetária que é embutida na taxa de juro. Outros fatores, 
como o risco da inadimplência também fazem parte da taxa de juros. 
 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA FINANCEIRA – José de Arimatéa Dantas 
 
34 
 
 
 
Exercícios: 
ATENÇÃO: PARA OS PRÓXIMOS EXERCÍCIOS, UTILIZE A TABELA A SEGUIR: 
 
 
1) De posse da tabela de índices mensais do IGP-M, calcule o índice acumulado no ano e nos últimos doze 
meses, considerando que estamos no mês de julho de 2.008. 
 
Índice Acumulado no ano: 
𝐼𝐺𝑃𝑀𝑎𝑐.𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙 = ((1 + 𝑖𝑗𝑎𝑛) × (1 + 𝑖𝑓𝑒𝑣) × (1 + 𝑖𝑚𝑎𝑟) × (1 + 𝑖𝑎𝑏𝑟) × (1 + 𝑖𝑚𝑎𝑖) × (1 + 𝑖𝑗𝑢𝑛) − 1) ∗ 100 
𝐼𝐺𝑃𝑀𝑎𝑐.𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙 = ((1 + 0,0109). (1 + 0,0053). (1 + 0,0074). (1 + 0,0069). (1 + 0,0161). (1 + 0,0198) − 1). 100 
𝐼𝐺𝑃𝑀𝑎𝑐.𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙 = (1,0109 × 1.0053 × 1,0074 × 1,0069 × 1,0161 × 1,0198 − 1) × 100 
𝐼𝐺𝑃𝑀𝑎𝑐.𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙 = (1,0682 − 1) × 100 
𝐼𝐺𝑃𝑀𝑎𝑐.𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙 = 0,0682 × 100 
𝑰𝑮𝑷𝑴𝒂𝒄.𝒂𝒏𝒖𝒂𝒍 = 𝟔, 𝟖𝟐% 
Índice Acumulado nos últimos 12 meses: 
𝐼𝐺𝑃𝑀𝑎𝑐.12 𝑚. = ((1 + 𝑖7/07) × (1 + 𝑖8/07) × (1 + 𝑖9/07) … (1 + 𝑖4/08) × (1 + 𝑖5/08) × (1 + 𝑖6/08) − 1) ∗ 100𝐼𝐺𝑃𝑀𝑎𝑐.12 𝑚. = ((1 + 0,0028). (1 + 0,0098). (1 + 0,0129). . . (1 + 0,0069). (1 + 0,0161). (1 + 0,0198) − 1). 100 
𝐼𝐺𝑃𝑀𝑎𝑐.12 𝑚. = (1,0028 × 1.0098 × 1,0129 … 1,0069 × 1,0161 × 1,0198 − 1) × 100 
𝐼𝐺𝑃𝑀𝑎𝑐.12 𝑚. = (1,1233 − 1) × 100 
𝐼𝐺𝑃𝑀𝑎𝑐.12 𝑚. = 0,1233 × 100 
𝑰𝑮𝑷𝑴𝒂𝒄.𝟏𝟐 𝒎. = 𝟏𝟐, 𝟑𝟑% 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Calcule o índice acumulado do IGP-M de mês após mês, de janeiro de 2.003 a dezembro de 2005. 
 
MATEMÁTICA FINANCEIRA – José de Arimatéa Dantas 
 
35 
 
 
 
3) Em 20 de março de 2.003, você alugou um salão para pagar R$ 1.000,00 por mês mais correção monetária 
mensal pelo IGP-M. Quanto você pagará de aluguel em 20/04, 20/05 e 20/07? 
 
IGP-M Março/03: 1,53% 
IGP-M Abril/03: 0,98% 
IGP-M Maio: -0,26 
IGP-M Junho: -1,00 
Aluguel R$ 1.000,00 
 
Aluguel em 20 de Abril: 
PV = R$ 1.000,00 
FV = ? 
𝐹𝑉 = 𝑃𝑉 × (1 + 𝑖𝑚𝑎𝑟/03) 
𝐹𝑉 = 1.000,00 × (1 + 0,0153) 
𝐹𝑉 = 1.000,00 × 1,0153 
𝑭𝑽 = 𝟏. 𝟎𝟏𝟓, 𝟑𝟎 
Aluguel em 20 de Maio: 
PV = R$ 1.015,30 
FV = ? 
𝐹𝑉 = 𝑃𝑉 × (1 + 𝑖𝑎𝑏𝑟/03) 
MATEMÁTICA FINANCEIRA – José de Arimatéa Dantas 
 
36 
 
𝐹𝑉 = 1.015,30 × (1 + 0,0098) 
𝐹𝑉 = 1.015,30 × 1,0098 
𝐹𝑉 = 1.025,25 
Aluguel em 20 de Julho: 
PV = R$ 1.025,25 
FV = ? 
𝐹𝑉 = 𝑃𝑉 × (1 + 𝑖𝑚𝑎𝑖/03) × (1 + 𝑖𝑗𝑢𝑛/03) 
𝐹𝑉 = 1.025,25 × (1 − 0,0026) × (1 − 0,0100) 
𝐹𝑉 = 1.025,25 × 0,9974 × 0,9900 
𝐹𝑉 = 1.012,36 
 
 
Taxa de Retorno Nominal e Real 
4) No mês de abril de 1990, uma incorporadora adquiriu a vista um terreno por Cr$ 1.200.000,00 para 
construção de sobrados. Mudanças na política econômica geraram recessão com consequente retração de 
mercado, o que obrigou a imobiliária revender o terreno por Cr$ 6.000.000,00 em abril/91.Calcular a taxa 
de retorno mensal nominal e real, sabendo-se que a inflação no período medida pelo IGP-M foi de 
419,9%. 
 
PV = Cr$ 1.200.000,00 
FV = Cr$ 7.200.000,00 
n = 12 meses 
C.M. = 419,9% 
Cálculo da Taxa Retorno Nominal: 
𝐹𝑉 = 𝑃𝑉 × (1 + 𝑖)𝑛 
7.200.000,00 = 1.200.000,00 × (1 + 𝑖)12 
7.200.000,00
1.200.000,00
= (1 + 𝑖)12 
√6
12
= 1 + 𝑖 
6
1
12 = 1 + 𝑖 
1,16103667 − 1 = 𝑖 
𝒊 = 𝟎, 𝟏𝟔𝟏𝟎𝟑𝟔𝟔𝟕 
 
𝑇𝑎𝑥𝑎𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙 = 𝑖 × 100 
𝑇𝑎𝑥𝑎𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙 = 0,16103667 × 100 
𝑻𝒂𝒙𝒂𝒏𝒐𝒎𝒊𝒏𝒂𝒍 = 𝟏𝟔, 𝟏𝟎𝟑% 𝒂. 𝒎. 
 
Cálculo da Taxa Retorno Real: 
𝐹𝑉 = 𝑃𝑉 × (1 + 𝑖)𝑛 
7.200.000,00 = 1.200.000,00 × (1 + 𝑖)12 × (1 + 𝑖𝑐.𝑚.) 
7.200.000,00 = 1.200.000,00 × (1 + 𝑖)12 × (1 + 4,199) 
7.200.000,00 = 1.200.000,00 × (1 + 𝑖)12 × 5,199 
7.200.000,0 = 6.238.800,00 × (1 + 𝑖)12 
7.200.000,00
6.238.800,00
= (1 + 𝑖)12 
√1,15406809
12
= 1 + 𝑖 
1,15406809
1
12 = 1 + 𝑖 
1,012012677 − 1 = 𝑖 
𝒊 = 𝟎, 𝟎𝟏𝟐𝟎𝟏𝟐𝟔𝟕𝟕 
 
𝑇𝑎𝑥𝑎𝑟𝑒𝑎𝑙 = 𝑖 × 100 
𝑇𝑎𝑥𝑎𝑟𝑒𝑎𝑙 = 0,012012677 × 100 
MATEMÁTICA FINANCEIRA – José de Arimatéa Dantas 
 
37 
 
𝑻𝒂𝒙𝒂𝒓𝒆𝒂𝒍 = 𝟏, 𝟐𝟎𝟏% 𝒂. 𝒎. 
 
5) Em 15 de janeiro de 2.000, você comprou um terreno pela importância de R$ 40.000,00 e em 15 de janeiro 
de 2.002 revendeu por R$ 46.000,00. Quais foram as suas taxas de retorno nominal e real, dado que você 
esperava recuperar ao menos o IGP-M do período? 
 
PV = Cr$ 40.000,00 
FV = Cr$ 46.000,00 
n = 24 meses 
C.M. = 21,35% 
Cálculo da Taxa Retorno Nominal: 
𝐹𝑉 = 𝑃𝑉 × (1 + 𝑖)𝑛 
46.000,00 = 40.000,00 × (1 + 𝑖)24 
46.000,00
40.000,00
= (1 + 𝑖)24 
√1,15
24
= 1 + 𝑖 
1,15
1
24 = 1 + 𝑖 
1,005840403 − 1 = 𝑖 
𝒊 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟓𝟖𝟒𝟎𝟒𝟎𝟑 
 
𝑇𝑎𝑥𝑎𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙 = 𝑖 × 100 
𝑇𝑎𝑥𝑎𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙 = 0,005840403 × 100 
𝑻𝒂𝒙𝒂𝒏𝒐𝒎𝒊𝒏𝒂𝒍 = 𝟎, 𝟓𝟖𝟒% 𝒂. 𝒎. 
 
Cálculo da Taxa Retorno Real: 
𝐹𝑉 = 𝑃𝑉 × (1 + 𝑖)𝑛 
46.000,00 = 40.000,00 × (1 + 𝑖)24 × (1 + 𝑖𝑐.𝑚.) 
46.000,00 = 40.000,00 × (1 + 𝑖)24 × (1 + 0,2135) 
46.000,00 = 40.000,00 × (1 + 𝑖)24 × 1,2135 
46.000,0 = 48.540,00 × (1 + 𝑖)24 
46.000,00
48.540,00
= (1 + 𝑖)24 
√0,947672023
24 = 1 + 𝑖 
0,947672023
1
24 = 1 + 𝑖 
0,997763056 − 1 = 𝑖 
𝒊 = − 𝟎, 𝟎𝟎𝟐𝟐𝟑𝟔𝟗𝟒𝟒 
 
𝑇𝑎𝑥𝑎𝑟𝑒𝑎𝑙 = 𝑖 × 100 
𝑇𝑎𝑥𝑎𝑟𝑒𝑎𝑙 = −0,002236944 × 100 
𝑻𝒂𝒙𝒂𝒓𝒆𝒂𝒍 = −𝟎, 𝟐𝟐𝟒% 𝒂. 𝒎. 
 
 
Taxa de juro pré-fixada e taxa pós fixada 
 
6) Em 28 de fevereiro de 19xx, conseguimos um empréstimo pós fixado de R$ 4.000,00 no Banco Alfa com 
juros de 1,3% a.m. mais I.G.P.M., para pagarmos 3 meses depois. Dadas as taxas do IGP-M do período, 
quanto deveremos pagar? 
 
 IGP-M Fev/xx 0,43% 
IGP-M Mar/xx 1,15% 
IGP-M Abr/xx 0,68% 
PV = R$ 4.000,00 
Taxa – 1,3% a.m. 
MATEMÁTICA FINANCEIRA – José de Arimatéa Dantas 
 
38 
 
n = 3 meses 
FV=? 
𝐹𝑉 = 𝑃𝑉 × (1 + 𝑖)𝑛 × (1 + 𝑖𝑓𝑒𝑣 ) × (1 + 𝑖𝑚𝑎𝑟 ) × (1 + 𝑖𝑎𝑏𝑟 ) 
𝐹𝑉 = 4.000,00 × (1 + 0,013)3 × (1 + 0,0043) × (1 + 0,0115) × (1 + 0,0068) 
𝐹𝑉 = 4.000,00 × (1,013)3 × 1,0043 × 1,0115 × 1,0068 
𝐹𝑉 = 4.000,00 × 1,039509197 × 1,0043 × 1,0115 × 1,0068 
𝑭𝑽 = 𝟒. 𝟐𝟓𝟐, 𝟔𝟔 
 
7) O Banco da Praça faz empréstimos pré fixados por dois meses com a taxa de 5,0% a.m.. Sabendo-se que 
os dois meses tiveram correção monetária foi de 2,7% e 2,1% respectivamente, qual a taxa de juros média 
mensal real dos empréstimos nesse período? 
 Taxa Nominal = 5% a.m. 
 C.M1 =2,7% 
 C.M2 =2,1% 
 n = 2 meses 
 Taxa Real = ? 
 
 
 
 
 
 
(1 + 𝑖𝑛)
𝑛 = (1 + 𝑖𝑟)
𝑛 × (1 + 𝑖𝑐𝑚1) × (1 + 𝑖𝑐𝑚2) 
(1 + 0,05)2 = (1 + 𝑖𝑟)
2 × (1 + 0,027) × (1 + 0,021) 
1,052 = (1 + 𝑖𝑟)
2 × 1,027 × 1,021 
1,1025 = (1 + 𝑖𝑟)
2 × 1,048567 
1,1025
1,048567
= (1 + 𝑖𝑟)
2 
√1,051434958 = 1 + 𝑖𝑟 
1,025395 − 1 = 𝑖𝑟 
𝑖𝑟 = 0,025395 
 
𝑻𝒂𝒙𝒂𝒓 = 𝑖𝑟 × 100 
𝑻𝒂𝒙𝒂𝒓 = 0,025395 × 100 
𝑻𝒂𝒙𝒂𝒓 = 2,54%𝑎. 𝑚. 
 
Exercícios para fixação: 
1) Você acompanhou a cotação do dólar do primeiro dia do mês nos últimos quatro meses e verificou 
os seguintes números: 1/2 - R$ 1,763; 1/3 – R$ 1.789; 1/4 - 1.818; 1/5 – 1.796. Calcule a variação 
do dólar entre 1/2 e 1/4 e entre 1/2 e 1/5 (3,11% - 1,87%). 
2) O Banco de Crédito Municipal faz empréstimos prefixados à taxa de 3,4% a.m.. Ele emprestou R$ 
5.000,00 pelo prazo de 8 meses. Quanto o cliente pagará? Se a inflação acumulada no período foi de 
13%, qual foi a taxa de ganho real do banco? (R$ 6.533,33 - 1,83% a.m.) 
3) O Mesmo banco tem a mesma linha de crédito na forma pós fixada. Sendo a taxa pós fixada de 2.3% 
a.m., quanto custará o mesmo empréstimo para quem o tomar? ( R$ 6.777,25) 
4) A Incorporadora Nasce um Bairro, comprou um terreno em 31/01/X0 por R$ 600.000,00, onde 
projetava erguer um condomínio residencial. Crises econômicas e recessão, fez com que ela fosse 
adiando o projeto até que em 31/07/x1, ela resolveu vender o terreno por R$ 1.100.000,00. Dado que 
a inflação do período foi de 47,9%, determine a taxa de juro nominal e a real obtida pela 
incorporadora com a venda do terreno. (3,42% - 1.2%) 
𝐹𝑉
𝑃𝑉
= (1 + 1𝑛)
𝑛 (1 + 1𝑟)
𝑛 × (1 + 𝑖𝑐𝑚1) × (1 + 𝑖𝑐𝑚2) =
𝐹𝑉
𝑃𝑉
 
 
MATEMÁTICA FINANCEIRA – José de Arimatéa Dantas 
 
39 
 
5) O Banco Prepós faz empréstimos prefixados à taxa de 3,8% a.m.. Ela fez um empréstimo por três 
meses, período em que a correção monetária de cada mês foi, respectivamente: 1º mês 0,36%; 2ºmês 
-0,48%; 3º mês 1,12%. Qual a taxa de juros real mensal deste empréstimo? (3,46% a.m.) 
MATEMÁTICA FINANCEIRA – José de Arimatéa Dantas 
 
40 
 
CAPÍTULO 4 
 
Operações de Desconto 
 
4.1 Desconto Comercial Simples (desconto por fora). 
O desconto é uma operação para obtenção de capital de giro, cuja garantia são 
recebíveis: duplicatas, chequespré-datados, etc. 
 
4.1.1 Taxa de juro efetiva de uma operação de desconto. 
O juro, como aprendemos anteriormente, é uma porcentagem sobre o capital. Já o 
desconto, é calculado através de uma taxa cobrada sobre o Montante, pois este 
montante, que chamaremos de Valor Nominal (N) do título a se descontar é um 
valor que se realizará no futuro, razão pela qual é tirada uma porcentagem do 
valor nominal (Dc) para se chegar ao valor do título na data do desconto (Vc), que 
chamaremos de Valor Atual, ou Valor Nominal menos o desconto. 
Sai daí, nossa primeira conclusão em linguagem matemática sobre desconto: 
𝑽𝒄 = 𝑵 − 𝑫𝒄 
Já o valor do desconto (Dc), é uma porcentagem do valor Nominal (N) multiplicada 
pelo prazo da operação, como segue: 
𝑫𝒄 = 𝑵 × 𝒊𝒅 × 𝒏 
Substituindo a formulação de Dc na primeira equação, teremos então: 
𝑉𝑐 = 𝑁 − 𝑁 × 𝑖𝑑 × 𝑛 
Por último, colocando-se o valor de N em evidência, chegamos à equação: 
𝑽𝒄 = 𝑵 × (𝟏 − 𝒊𝒅 × 𝒏) 
Face a esta peculiaridade, um determinado de Capital e Montante, existe sempre 
uma taxa de desconto e uma taxa de juro, sendo a taxa de desconto menor, 
porque incide sobre o valor maior, o Montante. Logo, é importante que a cada 
operação de desconto, calculemos a taxa de juro efetiva da operação de 
desconto, para podermos comparar esta linha com outras linhas de crédito. 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA FINANCEIRA – José de Arimatéa Dantas 
 
41 
 
Observe o fluxo de caixa a seguir para um melhor entendimento do que dissemos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios – Desconto Comercial Simples: 
 
1) Uma nota promissória no valor de R$ 5.000,00 em seu vencimento, foi descontada 2 meses antes de seu 
prazo de resgate. Sabendo-se que a taxa de desconto comercial simples era de 28% a.a., qual foi o 
desconto, qual o valor atual da nota promissória e a taxa de juro efetiva da operação? 
 
N =R$ 5.000,00 
n = 2 meses 
Taxa de desconto = 28% a.a. 
q = 2 
t = 12 
Dc = ? 
Vc = ? 
Taxa de juro efetiva = ? 
 
Cálculo do Desconto: 
𝐷𝐶 = 𝑁 × 𝑖𝑑 ×
𝑞
𝑡
 
𝐷𝑐 = 5.000,00 × 0,28 ×
2
12
 
𝑫𝒄 = 𝑹$ 𝟐𝟑𝟑, 𝟑𝟑 
Cálculo do Valor atual: 
𝑉𝑐 = 𝑁 − 𝐷𝑐 
𝑉𝑐 = 5.000,00 − 233,33 
𝑽𝒄 = 𝑹$𝟒. 𝟕𝟔𝟔, 𝟔𝟕 
 
Cálculo da taxa de juro efetiva da operação de desconto por juro simples: 
Vc = PV = R$4.766,67 
N = FV = R$5.000,00 
𝐹𝑉 = 𝑃𝑉 × (1 + 𝑖 × 
𝑞
𝑡
) 
5.000,00=4.766,67× (1+ i ×*
2
12
) 
5.000,00
4.766,67
= 1+ i ×*
2
12
 
1,048950315 − 1 = 𝐢 × 
2
12
 
0,048950315 ×
12
2
= 𝐢 
0 
n 
Vc = PV 
N = FV 
N – Dc = Vc 
PV + J = FV 
MATEMÁTICA FINANCEIRA – José de Arimatéa Dantas 
 
42 
 
𝒊 = 𝟎, 𝟐𝟗𝟑𝟕𝟎𝟏𝟖𝟗 
 
𝒕𝒂𝒙𝒂 = 𝒊 × 𝟏𝟎𝟎 
𝒕𝒂𝒙𝒂 = 𝟎, 𝟎𝟔𝟐𝟗𝟑𝟕𝟎𝟏𝟖𝟗 × 𝟏𝟎𝟎 
𝒕𝒂𝒙𝒂 = 𝟐𝟗, 𝟑𝟕%𝒂. 𝒂. 
 
Cálculo da taxa de juro efetiva da operação de desconto por juro composto: 
 
𝐹𝑉 = 𝑃𝑉 × (1 + 𝑖)
𝑞
𝑡 
5.000,00 = 4.766,67 × (1 + 𝑖)
2
12 
5.000,00
4.766,67
= (1 + 𝑖)
2
12 
√1,048950315
2
12
= 1 + 𝑖 
1,048950315
12
2 = 1 + 𝑖 
1.332077542 − 1 = 𝑖 
𝒊 = 𝟎, 𝟑𝟑𝟐𝟎𝟕𝟕𝟓𝟒𝟐 
 
𝒕𝒂𝒙𝒂 = 𝒊 × 𝟏𝟎𝟎 
𝒕𝒂𝒙𝒂 = 𝟎, 𝟑𝟑𝟐𝟎𝟕𝟕𝟓𝟒𝟐 × 𝟏𝟎𝟎 
𝒕𝒂𝒙𝒂 = 𝟑𝟑, 𝟐𝟏%𝒂. 𝒂. 
 
2) O desconto comercial simples de um título foi de R$ 750,00, adotando-se uma taxa de desconto de 2,5% 
a. m. Quanto tempo faltaria para o vencimento do título, se seu valor nominal fosse de R$ 20.000,00 ? 
Qual a taxa de juro efetiva da operação? 
Dc = 750,00 
Taxa de desconto = 2,5%a.m. 
N = R$ 20.000,00 
t = 30 dias 
q = ? 
𝐷𝐶 = 𝑁 × 𝑖𝑑 ×
𝑞
𝑡
 
750,00 = 20.000,00 × 0,025 ×
𝑞
30
 
750,00 × 30
20.000,00 × 0,025
= 𝑞 
𝒒 = 𝟒𝟓 𝒅𝒊𝒂𝒔 
 
Cálculo do Valor atual: 
𝑉𝑐 = 𝑁 − 𝐷𝑐 
𝑉𝑐 = 20.000,00 − 750,00 
𝑽𝒄 = 𝑹$𝟏𝟗. 𝟐𝟓𝟎, 𝟎𝟎 
 
Cálculo da taxa de juro efetiva da operação de desconto por juro simples: 
Vc = PV = R$4.766,67 
N = FV = R$5.000,00 
𝐹𝑉 = 𝑃𝑉 × (1 + 𝑖 × 
𝑞
𝑡
) 
20.000,00=19.250,00× (1+ i ×*
45
30
) 
20.00,000
19.250,00
= 1+ i ×*
45
30
 
1,038961039 − 1 = 𝐢 × 
45
30
 
MATEMÁTICA FINANCEIRA – José de Arimatéa Dantas 
 
43 
 
0,038961039 ×
30
45
= 𝐢 
𝒊 = 𝟎, 𝟎𝟐𝟓𝟗𝟕𝟒𝟎𝟐𝟔 
 
𝒕𝒂𝒙𝒂 = 𝒊 × 𝟏𝟎𝟎 
𝒕𝒂𝒙𝒂 = 𝟎, 𝟎𝟐𝟓𝟗𝟕𝟒𝟎𝟐𝟔 × 𝟏𝟎𝟎 
𝒕𝒂𝒙𝒂 = 𝟐, 𝟔𝟎%𝒂. 𝒎. 
 
Cálculo da taxa de juro efetiva da operação de desconto por juro composto: 
 
𝐹𝑉 = 𝑃𝑉 × (1 + 𝑖)
𝑞
𝑡 
20.000,00 = 19.250,00 × (1 + 𝑖)
45
30 
20.000,00
19.250,00
= (1 + 𝑖)
45
30 
√1,038961039
45
30
= 1 + 𝑖 
1,038961039
30
45 = 1 + 𝑖 
0,025808219 − 1 = 𝑖 
𝒊 = 𝟎, 𝟎𝟐𝟓𝟖𝟎𝟖𝟐𝟏𝟗 
 
𝒕𝒂𝒙𝒂 = 𝒊 × 𝟏𝟎𝟎 
𝒕𝒂𝒙𝒂 = 𝟎, 𝟎𝟐𝟓𝟖𝟎𝟖𝟐𝟏𝟗 × 𝟏𝟎𝟎 
𝒕𝒂𝒙𝒂 = 𝟐, 𝟓𝟖𝟏′%𝒂. 𝒎. 
 
3) Se o valor atual de um cheque descontado for de R$ 14.195,00 e o prazo de antecipação for de 77 dias, 
qual será o valor do título no vencimento, considerando-se uma taxa de desconto de 2 % a. m.? Qual a 
taxa de juro efetiva da operação? 
Vc =R$ 14.195,00 
n = 77 dias 
Taxa de desconto = 2% a.m. 
q = 77 
t = 30 
N = ? 
Taxa de juro efetiva = ? 
 
Cálculo do Valor Nominal: 
𝑉𝐶 = 𝑁 × (1 − 𝑖𝑑 ×
𝑞
𝑡
) 
14.195,00 = 𝑁 × (1 − 0,02 ×
77
30
) 
14.195,00 = 𝑁 × (1 − 0,051333333) 
14.195,00 = 𝑁 × 0,948666667 
14.195,00
0,948666667
= 𝑁 
𝑵 = 𝑹$𝟏𝟒. 𝟗𝟔𝟑, 𝟏𝟏 
 
Cálculo da taxa de juro efetiva da operação de desconto por juro simples: 
Vc = PV = R$14.195,00 
N = FV = R$14.963,11 
𝐹𝑉 = 𝑃𝑉 × (1 + 𝑖 × 
𝑞
𝑡
) 
MATEMÁTICA FINANCEIRA – José de Arimatéa Dantas 
 
44 
 
14.963,11=14.195,00× (1+ i ×*
77
30
) 
14.963,11
14.195,00
= 1+ i ×*
77
30
 
1,054111307 − 1 = 𝐢 × 
77
30
 
0,054111307 ×
30
77
= 𝐢 
𝒊 = 𝟎, 𝟎𝟐𝟏𝟎𝟖𝟐𝟑𝟐𝟕𝟒 
 
𝒕𝒂𝒙𝒂 = 𝒊 × 𝟏𝟎𝟎 
𝒕𝒂𝒙𝒂 = 𝟎, 𝟎𝟐𝟏𝟎𝟖𝟐𝟑𝟐𝟕𝟒 × 𝟏𝟎𝟎 
𝒕𝒂𝒙𝒂 = 𝟐, 𝟏𝟏%𝒂. 𝒎. 
 
Cálculo da taxa de juro efetiva da operação de desconto por juro composto: 
 
𝐹𝑉 = 𝑃𝑉 × (1 + 𝑖)
𝑞
𝑡 
14.963,11 = 14.195,00 × (1 + 𝑖)
77
30 
14.963,11
14.195,00
= (1 + 𝑖)
77
30 
√1,054111307
77
30
= 1 + 𝑖 
1,054111307
30
77 = 1 + 𝑖 
1.020743933 − 1 = 𝑖 
𝒊 = 𝟎, 𝟎𝟐𝟎𝟕𝟒𝟑𝟗𝟑𝟑 
 
𝒕𝒂𝒙𝒂 = 𝒊 × 𝟏𝟎𝟎 
𝒕𝒂𝒙𝒂 = 𝟎, 𝟎𝟐𝟎𝟕𝟒𝟑𝟗𝟑𝟑 × 𝟏𝟎𝟎 
𝒕𝒂𝒙𝒂 = 𝟐, 𝟎𝟕𝟒%𝒂. 𝒎. 
 
 
4) Tendo R$ 67.420,00 em duplicatas para daqui a 18 dias, quanto você receberá ao descontá-las à taxa de 
desconto de 5%a. m. e qual a taxa de juro efetiva da operação? 
N =R$ 67.420,00 
n = 18 dias 
Taxa de desconto = 5% a.m. 
q = 18 
t = 30 
Vc = ? 
Taxa de juro efetiva = ? 
 
Cálculo do Valor Atual: 
𝑉𝐶 = 𝑁 × (1 − 𝑖𝑑 ×
𝑞
𝑡
) 
𝑉𝑐 = 67.420,00 × (1 − 0,05 ×
18
30
) 
𝑉𝑐 = 67.420,00 × (1 − 0,03) 
𝑉𝑐 = 67.420,00 × 0,97 
𝑉𝑐 = 𝑹$𝟔𝟓. 𝟑𝟗𝟕, 𝟒𝟎 
 
Cálculo da taxa de juro efetiva da operação de desconto por juro simples: 
MATEMÁTICA FINANCEIRA – José de Arimatéa Dantas 
 
45 
 
Vc = PV = R$65.397,40 
N = FV = R$67.420,00 
𝐹𝑉 = 𝑃𝑉 × (1 + 𝑖 × 
𝑞
𝑡
) 
67.420,00=65.397,40× (1+ i ×*
18
30
) 
67.420,00
65.397,40
= 1+ i ×*
18
30
 
1,030927835 − 1 = 𝐢 × 
18
30
 
0,030927835 ×
30
18
= 𝐢 
𝒊 = 𝟎, 𝟎𝟓𝟏𝟓𝟒𝟔𝟑𝟗𝟐𝟕 
 
𝒕𝒂𝒙𝒂 = 𝒊 × 𝟏𝟎𝟎 
𝒕𝒂𝒙𝒂 = 𝟎, 𝟎𝟓𝟏𝟓𝟒𝟔𝟑𝟗𝟐𝟕 × 𝟏𝟎𝟎 
𝒕𝒂𝒙𝒂 = 𝟓, 𝟏𝟓%𝒂. 𝒎. 
 
Cálculo da taxa de juro efetiva da operação de desconto por juro composto: 
Vc = PV = R$65.397,40 
N = FV = R$67.420,00 
𝐹𝑉 = 𝑃𝑉 × (1 + 𝑖)
𝑞
𝑡 
67.420,00 = 65.397,40 × (1 + 𝑖)18
30 
67.420,00
65.397,40
= (1 + 𝑖)
18
30 
√1,030927835
18
30
= 1 + 𝑖 
1,030927835
30
18 = 1 + 𝑖 
1,052075990 − 1 = 𝑖 
𝒊 = 𝟎, 𝟎𝟓𝟐𝟎𝟕𝟓𝟗𝟗𝟎 
 
𝒕𝒂𝒙𝒂 = 𝒊 × 𝟏𝟎𝟎 
𝒕𝒂𝒙𝒂 = 𝟎, 𝟎𝟓𝟐𝟎𝟕𝟓𝟗𝟗𝟎 × 𝟏𝟎𝟎 
𝒕𝒂𝒙𝒂 = 𝟓, 𝟐𝟎𝟖%𝒂. 𝒎. 
 
 
5) Com duplicatas que vencem dia 26/7, você foi hoje, 13/5, ao Banco da Praça para descontá-las à taxa de 
desconto de 6%a.m.. Sendo as duplicatas no montante R$ 75.000,00, quanto você receberá e qual a taxa 
de juro efetiva da operação? 
 Maio = 18 dias 
 Junho = 30 dias 
 Julho = 26 dias 
 TOTAL = 74 dias 
 
N =R$ 75.000,00 
n = 74 dias 
Taxa de desconto = 6% a.m. 
q = 74 
t = 30 
Vc = ? 
Taxa de juro efetiva = ? 
 
Cálculo do Valor Atual: 
MATEMÁTICA FINANCEIRA – José de Arimatéa Dantas 
 
46 
 
𝑉𝐶 = 𝑁 × (1 − 𝑖𝑑 ×
𝑞
𝑡
) 
𝑉𝑐 = 75.000,00 × (1 − 0,06 ×
74
30
) 
𝑉𝑐 = 75.000,00 × (1 − 0,148) 
𝑉𝑐 = 75.000,00 × 0,852 
𝑵 = 𝑹$𝟔𝟑. 𝟗𝟎𝟎, 𝟎𝟎 
 
Cálculo da taxa de juro efetiva da operação de desconto por juro simples: 
Vc = PV = R$63.900,00 
N = FV = R$75.000,00 
𝐹𝑉 = 𝑃𝑉 × (1 + 𝑖 × 
𝑞
𝑡
) 
75.000,00=63.900,00× (1+ i ×*
74
30
) 
75.000,00
63.900,00
= 1+ i ×*
74
30
 
1,173708920 − 1 = 𝐢 × 
74
30
 
0,173708920 ×
30
74
= 𝐢 
𝒊 = 𝟎, 𝟎𝟕𝟎𝟒𝟐𝟐𝟓𝟑𝟓𝟏 
 
𝒕𝒂𝒙𝒂 = 𝒊 × 𝟏𝟎𝟎 
𝒕𝒂𝒙𝒂 = 𝟎, 𝟎𝟕𝟎𝟒𝟐𝟐𝟓𝟑𝟓𝟏 × 𝟏𝟎𝟎 
𝒕𝒂𝒙𝒂 = 𝟕, 𝟎𝟒%𝒂. 𝒎. 
 
Cálculo da taxa de juro efetiva da operação de desconto por juro composto: 
𝐹𝑉 = 𝑃𝑉 × (1 + 𝑖)
𝑞
𝑡 
75.000,00 = 63.900,00 × (1 + 𝑖)
74
30 
75.000,00
63.900,00
= (1 + 𝑖)
74
30 
√1,173708920
74
30
= 1 + 𝑖 
1,173708930
30
74 = 1 + 𝑖 
1,067087827 − 1 = 𝑖 
𝒊 = 𝟎, 𝟎𝟔𝟕𝟎𝟖𝟕𝟖𝟐𝟕 
 
𝒕𝒂𝒙𝒂 = 𝒊 × 𝟏𝟎𝟎 
𝒕𝒂𝒙𝒂 = 𝟎, 𝟎𝟔𝟕𝟎𝟖𝟕𝟖𝟐𝟕 × 𝟏𝟎𝟎 
𝒕𝒂𝒙𝒂 = 𝟔, 𝟕𝟎𝟗%𝒂. 𝒎. 
 
6) Um banco desconta duplicatas à taxa de 20 % a.a. , necessitando de R$ 10.000,00 por 60 dias, quanto em 
duplicatas um cliente deve oferecer ao banco e qual a taxa de juros efetiva? 
Vc =R$ 10.000,00 
n = 60 dias = 2 meses 
Taxa de desconto = 20% a.a. 
q = 2 
t = 12 
N = ? 
Taxa de juro efetiva = ? 
 
MATEMÁTICA FINANCEIRA – José de Arimatéa Dantas 
 
47 
 
Cálculo do Valor Nominal: 
𝑉𝐶 = 𝑁 × (1 − 𝑖𝑑 ×
𝑞
𝑡
) 
10.000,00 = 𝑁 × (1 − 0,2 ×
2
12
) 
10.000,00 = 𝑁 × (1 − 0,033333333) 
10.000,00 = 𝑁 × 0,966666667 
10.000,00
0,966666667
= 𝑁 
𝑵 = 𝑹$𝟏𝟎. 𝟑𝟒𝟒, 𝟖𝟑 
 
Cálculo da taxa de juro efetiva da operação de desconto por juro simples: 
Vc = PV = R$10.000,00 
N = FV = R$10.344,83 
𝐹𝑉 = 𝑃𝑉 × (1 + 𝑖 × 
𝑞
𝑡
) 
10.344,83=10,000,00× (1+ i ×*
2
12
) 
10.344,83
10.000,00
= 1+ i ×*
2
12
 
1,034483 − 1 = 𝐢 × 
2
12
 
0,034483 ×
12
2
= 𝐢 
𝒊 = 𝟎, 𝟐𝟎𝟔𝟖𝟗𝟖 
 
𝒕𝒂𝒙𝒂 = 𝒊 × 𝟏𝟎𝟎 
𝒕𝒂𝒙𝒂 = 𝟎, 𝟐𝟎𝟔𝟖𝟗𝟖 × 𝟏𝟎𝟎 
𝒕𝒂𝒙𝒂 = 𝟐𝟎, 𝟔𝟗%𝒂. 𝒂. 
 
Cálculo da taxa de juro efetiva da operação de desconto por juro composto: 
𝐹𝑉 = 𝑃𝑉 × (1 + 𝑖)
𝑞
𝑡 
10.344,83 = 10.000,00 × (1 + 𝑖)
2
12 
10.344,83
10.000,00
= (1 + 𝑖)
2
12 
√1,034483
2
12
= 1 + 𝑖 
1,034483
12
2 = 1 + 𝑖 
1.225575721 − 1 = 𝑖 
𝒊 = 𝟎, 𝟐𝟐𝟓𝟓𝟕𝟓𝟕𝟐𝟏 
 
𝒕𝒂𝒙𝒂 = 𝒊 × 𝟏𝟎𝟎 
𝒕𝒂𝒙𝒂 = 𝟎, 𝟐𝟐𝟓𝟓𝟕𝟓𝟕𝟐𝟏 × 𝟏𝟎𝟎 
𝒕𝒂𝒙𝒂 = 𝟐𝟐, 𝟓𝟓𝟖%𝒂. 𝒂. 
 
4.2 Desconto Comercial Composto: 
Ele Tem o mesmo conceito do Desconto Comercial Simples, porém considerando 
o conceito da capitalização composta. 
MATEMÁTICA FINANCEIRA – José de Arimatéa Dantas 
 
48 
 
O valor sem o desconto é o valor nominal do título menos o desconto, 
valendo a formulação: 
𝑽𝒄 = 𝑵 − 𝑫𝒄 
Sua fórmula geral é: 
𝑽𝒄 = 𝑵 × (𝟏 − 𝒊𝒅 )
𝒏 
 
Exercício: 
7 – Tendo R$ 67.420,00 em duplicatas para daqui a 18 dias, quanto você receberá e qual a taxa de juro 
efetiva, ao descontá-las à taxa de desconto comercial composto de 5%a. m.? 
N =R$ 67.420,00 
n = 18 dias 
Taxa de desconto = 5% a.m. 
q = 18 
t = 30 
Vc = ? 
Taxa de juro efetiva = ? 
 
Cálculo do Valor Atual: 
𝑉𝑐 = 𝑁 × (1 − 𝑖)
𝑞
𝑡 
𝑉𝑐 = 67.420,00 × (1 − 0,05)
18
30 
𝑉𝑐 = 67.420,00 × (0,95)
18
30 
𝑉𝑐 = 67.420,00 × 0,96969278 
𝑉𝑐 = 65.376,69 
Cálculo da taxa de juro efetiva da operação de desconto por juro composto: 
Vc = PV = R$65.376,69 
N = FV = R$67.420,00 
𝐹𝑉 = 𝑃𝑉 × (1 + 𝑖)
𝑞
𝑡 
67.420,00 = 65.376,69 × (1 + 𝑖)
18
30 
67.420,00
65.376,69
= (1 + 𝑖)
18
30 
√1,031254412
18
30
= 1 + 𝑖 
1,031254412
30
18 = 1 + 𝑖 
1,052631509 − 1 = 𝑖 
𝒊 = 𝟎, 𝟎𝟓𝟐𝟔𝟑𝟏𝟓𝟎𝟗 
𝒕𝒂𝒙𝒂 = 𝒊 × 𝟏𝟎𝟎 
𝒕𝒂𝒙𝒂 = 𝟎, 𝟎𝟓𝟐𝟔𝟑𝟏𝟓𝟎𝟗𝟏𝟎𝟎 
𝒕𝒂𝒙𝒂 = 𝟓, 𝟐𝟔𝟑%𝒂. 𝒎. 
 
 
4.3 Desconto Racional Simples. 
MATEMÁTICA FINANCEIRA – José de Arimatéa Dantas 
 
49 
 
É uma forma de desconto de muito pouco uso no Brasil. Ao contrário do Desconto 
Comercial, ele é calculado a partir do valor atual, Vr, e não com base no Valor 
Nominal, como é no desconto comercial. 
 
A fórmula para o cálculo de desconto é a que segue: 
 
𝐷𝑟 = 𝑁 ×
𝑖𝑟 × 𝑛
(1 + 𝑖𝑟 × 𝑛)
 
Onde, 
𝑁 = 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑁𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙 
𝑖𝑟 = Í𝑛𝑑𝑖𝑐𝑒 𝑅𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑐𝑜𝑛𝑡𝑜 
n = Prazo da operação de Desconto Racional 
𝐷𝑟 = 𝐷𝑒𝑠𝑐𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑅𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 
 
Para o cálculo do Valor Atual, Vr, teremos as fórmulas: 
 
𝑽𝒓 = 𝑵 − 𝑫𝒓 
 
𝑽𝒓 =
𝑵
(𝟏 + 𝒊𝒓 × 𝒏)
 
 
Como a taxa é calculada sobre o valor atual, não há que se falar em taxa de juro 
efetiva da operação de desconto racional, pois a mesma tem a mesma filosofia de 
cálculo da taxa de juro. 
 
Exercícios 
 
8) Uma nota promissória no valor de R$ 5.000,00 em seu vencimento, foi descontada 2 meses antes de seu 
prazo de resgate. Sabendo-se que a taxa de desconto racional simples era de 28% a.a., qual foi o 
desconto, qual o valor atual da nota promissória e a taxa de juro efetiva da operação? 
 
N =R$ 5.000,00 
n = 2 meses 
Taxa de desconto = 28% a.a. 
q = 2 
t = 12 
Dr = ? 
Vr = ? 
 
Cálculo do Desconto Racional 
𝐷𝑟 = 𝑁 ×
𝑖𝑟 × 𝑛
(1 + 𝑖𝑟 × 𝑛)
 
 
𝐷𝑟 = 5.000,00 ×
0,28 ×
2
12
(1 + 0,28 ×
2
12)
 
 
𝐷𝑟 = 5.000,00 ×
0,466667
(1 + 0,0466667)
 
 
MATEMÁTICA FINANCEIRA – José de Arimatéa Dantas 
 
50 
 
𝐷𝑟 = 5.000,00 ×
0,466667
(1,0466667)
 
 
𝐷𝑟 = 5.000,00 ×
0,466667
(1,0466667)
 
 
𝐷𝑟 = 5.000,00 × 0,044585987 
 
𝐷𝑟 = 222,93 
 
Cálculo do Valor Atual: 
𝑉𝑟 = 𝑁 − 𝐷𝑟 
 
𝑉𝑟 = 5.000,00 − 222,93 
 
𝑉𝑟 = 4.777,07 
 
 
9) Tendo R$ 67.420,00 em duplicatas para daqui a 18 dias, quanto você receberá ao descontá-las à taxa de 
desconto racional simples de 5%a. m.? 
N =R$ 67.420,00 
n = 18 dias 
Taxa de desconto = 5% a.m. 
q = 18 
t = 30 
Vc = ? 
Taxa de juro efetiva = ? 
 
Cálculo do Valor Atual: 
𝑉𝑟 =
𝑁
(1 + 𝑖𝑟 × 𝑛)
 
 
Vr=
67.420,00
(1+0,05×
18
30)
 
 
Vr=
67.420,00
(1+0,03)
 
 
𝑉𝑟 =
67.420,00
1,3
 
 
𝑉𝑟 = 65.456,31 
 
 
4.4 Desconto Racional Composto. 
Também de pouco uso no Brasil, Ao contrário do Desconto Comercial Composto, 
ele é calculado a partir do valor atual, Vr, e não com base no Valor Nominal, N. 
 
O Desconto Racional é obtido a partir da seguinte fórmula: 
 
𝑫𝒓 = 𝑵 × (𝟏 −
𝟏
(𝟏 + 𝒊𝒓)𝒏
) 
 
As fórmulas para o cálculo do Valor Atual, Vr, são as que seguem: 
MATEMÁTICA FINANCEIRA – José de Arimatéa Dantas 
 
51 
 
 
𝑽𝒓 = 𝑵 − 𝑫𝒓 
 
𝑽𝒓 =
𝑵
(𝟏 + 𝒊𝒓)𝒏
 
 
Assim como no Desconto Racional Simples, no DescontoRacional Composto a 
taxa também é calculada sobre o valor atual. Portanto, não há que se falar em 
taxa de juro efetiva da operação de desconto racional, pois a mesma tem a 
mesma filosofia de cálculo da taxa de juro. 
 
Exercícios 
 
10) Uma nota promissória no valor de R$ 5.000,00 em seu vencimento, foi descontada 2 meses antes de seu 
prazo de resgate. Sabendo-se que a taxa de desconto racional simples era de 28% a.a., qual foi o 
desconto, qual o valor atual da nota promissória e a taxa de juro efetiva da operação? 
 
N =R$ 5.000,00 
n = 2 meses 
Taxa de desconto = 28% a.a. 
q = 2 
t = 12 
Dr = ? 
Vr = ? 
 
Cálculo do Desconto Racional 
 
𝐷𝑟 = 𝑁 × (1 −
1
(1 + 𝑖𝑟)𝑛
) 
 
 
𝐷𝑟 = 5.000,00 × (1 −
1
(1 + 0,28)
2
12
) 
 
𝐷𝑟 = 5.000,00 × (1 −
1
(1,28)
2
12
) 
 
𝐷𝑟 = 5.000,00 × (1 −
1
1,0420015
 
 
𝐷𝑟 = 5.000,00 × (1 − 0,0956916) 
 
𝐷𝑟 = 5.000,00 × 0,0403084 
 
𝐷𝑟 = 201,54 
 
Cálculo do Valor Atual: 
𝑉𝑟 = 𝑁 − 𝐷𝑟 
 
𝑉𝑟 = 5.000,00 − 201,54 
 
𝑉𝑟 = 4.798,46 
 
 
MATEMÁTICA FINANCEIRA – José de Arimatéa Dantas 
 
52 
 
11) Tendo R$ 67.420,00 em duplicatas para daqui a 18 dias, quanto você receberá ao descontá-las à taxa de 
desconto racional composta de 5%a. m.? 
N =R$ 67.420,00 
n = 18 dias 
Taxa de desconto = 5% a.m. 
q = 18 
t = 30 
Vc = ? 
Taxa de juro efetiva = ? 
 
Cálculo do Valor Atual: 
𝑉𝑟 =
𝑁
(1 + 𝑖𝑟)𝑛
 
 
Vr=
67.420,00
(1 + 0,05)
18
30
 
 
Vr=
67.420,00
(1,05)
18
30
 
 
𝑉𝑟 =
67.420,00
1,0297068
 
 
𝑉𝑟 = 65.474,95 
 
Exercícios para fixação: 
1) Sua empresa descontará R$ 25.000,00 em duplicatas pelo prazo de 25 dias a taxa de desconto 
comercial simples de 6% a.m.. Quanto a instituição financeira creditará na conta da empresa e qual a 
taxa de juro simples e composta efetiva desta operação? (R$ 23.750,00 - 5,26% - 6,35% a.m.) 
2) Foi creditado R$ 23.816,00 na conta corrente da Empresa Geral, por descontar duplicatas pelo prazo 
de 47 dias à taxa de desconto comercial simples de 4% a.m. Qual o valor das duplicatas 
descontadas.e qual a taxa de juro composta efetiva desta operação? (R$ 25.408,25 - 4,22% a.m.) 
3) R$ 2.340 é o ganho do banco por uma operação de desconto de 27 dias à taxa de desconto comerical 
simples de 6,4% a.m.. Pede-se o valor das duplicatas e a taxa de juro composta efetiva desta 
operação. (R$ 40.625,00 - 6,81% a.m.) 
 
MATEMÁTICA FINANCEIRA – José de Arimatéa Dantas 
 
53 
 
CAPÍTULO 5 
Séries Uniformes de Capitais 
 
5.1 Série de Capitais Valor Presente 
 
Quando falamos em Série de Capitais – Valor Presente, falamos do montante de 
forma parcelada, ou seja, ao tomarmos um empréstimo, ou deixarmos aplicado no 
banco um determinado capital e optamos por pagar ou sacar de forma constante, 
mensalmente ou bimestralmente, etc., este valor é conhecido como prestação ou 
renda,. Ao contrário do montante único, neste caso ele está distribuído ao longo 
do tempo, e seus valores a cada mês são compostos parte pelo principal e parte 
pelos juros. 
 
Na aquisição de um bem sem entrada para pagar em n prestações mensais, a 
uma determinada taxa, teremos o seguinte fluxo de caixa: 
 
 
 
 
 
 
 
 
O valor presente é positivo, pois representa uma entrada de recursos para 
posterior pagamento em prestações mensais e iguais. Já para a instituição que 
financiou o bem, o fluxo será invertido, pois o dinheiro para aquisição sai do banco 
e posteriormente há as entradas das prestações. 
 
Exercícios: 
1) Calcular o valor da prestação para um empréstimo de R$ 3.600,00 por 6 meses à taxa de 5% a. m. 
PV = R$ 3.600,00 
n = 6 prestações mensais 
taxa = 5% a.m. 
PMT = ? 
𝑃𝑉 = 𝑃𝑀𝑇 × (
1 − (1 + 𝑖)−𝑛
𝑖
) 
3.600,00 = 𝑃𝑀𝑇 × (
1 − (1 + 0,05)−6
0,05
) 
4 5 6
1 
n – 1 n 3 2 1 
PV = Valor Financiado 
Prestações mensais 
0 
MATEMÁTICA FINANCEIRA – José de Arimatéa Dantas 
 
54 
 
3.600,00 = 𝑃𝑀𝑇 × (
1 − (1,05)−6
0,05
) 
3.600,00 = 𝑃𝑀𝑇 × (
1 − 0,7462153967
0,05
) 
3.600,00 = 𝑃𝑀𝑇 × (
0,2537846033
0,05
) 
3.600,00 = 𝑃𝑀𝑇 × 5,075692066 
3.600,00
5,075692066
= 𝑃𝑀𝑇 
𝑷𝑴𝑻 = 𝑹$𝟕𝟎𝟗, 𝟐𝟔 
Cálculo do PMT pela HP 12C: 
F fin 
 
3600,00 PV 
 
5 i 
 
6 n 
 
PMT 
 
 Cálculo do PGTO Pelo Excel: 
 1º Clicar em fórmulas, 2º clicar em financeiras, 3ºclicar em PGTO 
Digitar nas respectivas caixinhas: 
Taxa: 36% 
Nper: 2 
VP: 3600,00 
O resultado (PGTO) já aparecerá na última linha e ao clicar em Ok ocupará a célula onde está sendo inserida a fórmula. 
 
2) Calcular o valor das prestações para um empréstimo de R$ 20.000,00 amortizável em 8 meses à taxa de 
4% a. m.- 
PV = R$ 20.000,00 
n = 8 prestações mensais 
taxa = 4% a.m. 
PMT = ? 
𝑃𝑉 = 𝑃𝑀𝑇 × (
1 − (1 + 𝑖)−𝑛
𝑖
) 
20.000,00 = 𝑃𝑀𝑇 × (
1 − (1 + 0,04)−8
0,04
) 
20.000,00 = 𝑃𝑀𝑇 × (
1 − (1,04)−8
0,04
) 
20.000,00 = 𝑃𝑀𝑇 × (
1 − 0,730690205
0,04
) 
20.000,00 = 𝑃𝑀𝑇 × (
0,269309795
0,04
) 
20.000,00 = 𝑃𝑀𝑇 × 6,732744875 
20.000,00
6,732744875
= 𝑃𝑀𝑇 
𝑷𝑴𝑻 = 𝑹$𝟐. 𝟗𝟕𝟎, 𝟓𝟔 
 
MATEMÁTICA FINANCEIRA – José de Arimatéa Dantas 
 
55 
 
3) Calcular o número de prestações mensais no valor de R$ 14.903,00 a ser pago, necessário para amortizar 
um financiamento de R$ 100.000,00 para o qual a taxa de juros é de 8% a. m. 
PV = R$ 100.000,00 
taxa = 8% a.m. 
PMT = 14.903,00 
n = ?s 
𝑃𝑉 = 𝑃𝑀𝑇 × (
1 − (1 + 𝑖)−𝑛
𝑖
) 
100.000,00 = 14.903,00 × (
1 − (1 + 0,08)−𝑛
0,08
) 
100.000,00 × 0,08
14.903,00
= 1 − 1,08−𝑛 
0,53680467 − 1 = −1,08−𝑛 
−0,46319533 = −1,08−𝑛 
1,08−𝑛 = 0,46319533 
log 1,08−𝑛 = log 0,46349533 
−𝑛 × log 1,08 = log 0,46349533 
−𝑛 × 0,033423755 = −0,3339065637 
−𝑛 =
−0,3339065637
0,033423755
 
𝒏 = 𝟏𝟎 𝒑𝒓𝒆𝒔𝒕𝒂çõ𝒆𝒔 𝒎𝒆𝒏𝒔𝒂𝒊𝒔 
Cálculo do n pela HP 12C: 
F fin 
 
100000,00 PV 
 
14903,00 CHS PMT 
 
8 i 
 
n 
 
 Cálculo do Nper Pelo Excel: 
 1º Clicar em fórmulas, 2º clicar em financeiras, 3º clicar em Nper 
Digitar nas respectivas caixinhas: 
Taxa: 36% 
Pgto -14903,00 
VP: 100000,00 
O resultado (Nper) já aparecerá na última linha e ao clicar em Ok ocupará a célula onde está sendo inserida a fórmula. 
 
4) Um bem no valor de R$ 10.000,00, é comercializado em quatro prestações sem entrada. Dado que a taxa 
de juros do financiamento é de 3% a.m., pós-fixada, determinar o valor de cada prestação, dado que 
durante os quatro meses, foram os seguintes os índices de correção monetária: 1º.mês: 2,1% - 2º.mês: 
1,8% - 3º. mês: -0,87% - 4º.mês: 1,1%. 
PV = R$ 10.000,00 
n = 4 prestações mensais 
taxa = 3% a.m. 
PMT = ? 
Cálculo do PMT: 
𝑃𝑉 = 𝑃𝑀𝑇 × (
1 − (1 + 𝑖)−𝑛
𝑖
) 
10.000,00 = 𝑃𝑀𝑇 × (
1 − (1 + 0,03)−4
0,03
) 
MATEMÁTICA FINANCEIRA – José de Arimatéa Dantas 
 
56 
 
10.000,00 = 𝑃𝑀𝑇 × (
1 − (1,03)−4
0,03
) 
10.000,00 = 𝑃𝑀𝑇 × (
1 − 0,888487048
0,03
) 
10.000,00 = 𝑃𝑀𝑇 × (
0,111512952
0,03
) 
10.000,00 = 𝑃𝑀𝑇 × 3,317098403 
10.000,00
3,317098403
= 𝑃𝑀𝑇 
𝑷𝑴𝑻 = 𝑹$𝟐. 𝟔𝟗𝟎, 𝟐𝟕 
 Cálculo da primeira prestação: 
 Correção monetária do primeiro mês = 2,1% 
𝑃𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑎 𝑃𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎çã𝑜 = 𝑃𝑀𝑇 × (1 + 𝑖𝑐𝑚) 
𝑃𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑎 𝑃𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎çã𝑜 = 2.690,27 × (1 + 0,021) 
𝑃𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑎 𝑃𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎çã𝑜 = 2.690,27 × 1,021 
𝑷𝒓𝒊𝒎𝒆𝒊𝒓𝒂 𝑷𝒓𝒆𝒔𝒕𝒂çã𝒐 = 𝑹$ 𝟐. 𝟕𝟒𝟔, 𝟕𝟕 
Cálculo da segunda prestação: 
 Correção monetária do segundo mês = 1,8% 
𝑆𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑎 𝑃𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎çã𝑜 = 𝑃𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑎 𝑃𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎çã𝑜 × (1 + 𝑖𝑐𝑚) 
𝑆𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑎𝑃𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎çã𝑜 = 2.746,77 × (1 + 0,018) 
𝑆𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑎 𝑃𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎çã𝑜 = 2.746,77 × 1,018 
𝑺𝒆𝒈𝒖𝒏𝒅𝒂 𝑷𝒓𝒆𝒔𝒕𝒂çã𝒐 = 𝑹$ 𝟐. 𝟕𝟗𝟔, 𝟐𝟏 
Cálculo da terceira prestação: 
 Correção monetária do terceiro mês = -0,87% 
𝑇𝑒𝑟𝑐𝑒𝑖𝑟𝑎 𝑃𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎çã𝑜 = 𝑆𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑎 𝑃𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎çã𝑜 × (1 + 𝑖𝑐𝑚) 
𝑇𝑒𝑟𝑐𝑒𝑖𝑟𝑎 𝑃𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎çã𝑜 = 2.796,21 × (1 − 0,0087) 
𝑇𝑒𝑟𝑐𝑒𝑖𝑟𝑎 𝑃𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎çã𝑜 = 2.796,21 × 0,9913 
𝑇𝑒𝑟𝑐𝑒𝑖𝑟𝑎 𝑷𝒓𝒆𝒔𝒕𝒂çã𝒐 = 𝑹$ 𝟐. 𝟕𝟕𝟏, 𝟖𝟖 
Cálculo da quarta prestação: 
 Correção monetária do quarto mês = 1,1% 
 𝑄𝑢𝑎𝑟𝑡𝑎 𝑃𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎çã𝑜 = 𝑇𝑒𝑟𝑐𝑒𝑖𝑟𝑎 𝑃𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎çã𝑜 × (1 + 𝑖𝑐𝑚) 
𝑄𝑢𝑎𝑟𝑡𝑎 𝑃𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎çã𝑜 = 2.771,88 × (1 + 0,011) 
𝑄𝑢𝑎𝑟𝑡𝑎 𝑃𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎çã𝑜 = 2.771,88 × 1,011 
𝑄𝑢𝑎𝑟𝑡𝑎 𝑷𝒓𝒆𝒔𝒕𝒂çã𝒐 = 𝑹$ 𝟐. 𝟖𝟎𝟐, 𝟑𝟕 
 
5) Oitenta porcento do valor de um automóvel, será financiado em 6 pagamentos mensais iguais de R$ 
26.352,85. Se a taxa de juros do financiamento é 7% a.m., determinar o valor do automóvel. 
 
 
 
 
 
A PR: 
 
 
 
 
 
 
Cálculo do PV: 
PMT = R$26.352,85 
n = 6 prestações mensais 
taxa = 7% a.m. 
0 1
0 
2
0 
3
0 
4
0 
5
1
0 
6
0 
Entrada = 20% 
PMT = R$ 26.352,85 
PV = 80% do Valor do automóvel 
Valor do automóvel = PV + Entrada 
MATEMÁTICA FINANCEIRA – José de Arimatéa Dantas 
 
57 
 
𝑃𝑉 = 𝑃𝑀𝑇 × (
1 − (1 + 𝑖)−𝑛
𝑖
) 
𝑃𝑉 = 26.352,85 × (
1 − (1 + 0,07)−6
0,07
) 
𝑃𝑉 = 26.352,85 × (
1 − (1,07)−6
0,07
) 
𝑃𝑉 = 26.352,85 × (
1 − 0,666342224
0,07
) 
𝑃𝑉 = 26.352,85 × (
0,333657776
0,07
) 
𝑃𝑉 = 26.352,85 × 4,76653966 
𝑃𝑉 = 𝑹$𝟏𝟐𝟓. 𝟔𝟏𝟏, 𝟗𝟎 
Cálculo do valor do automóvel: 
PV = 80% do valor do automóvel: 
80% 𝑑𝑜 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑜 𝐴𝑢𝑡𝑜𝑚ó𝑣𝑒𝑙 = 𝑃𝑉 
0,8 × 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑜 𝐴𝑢𝑡𝑜𝑚ó𝑣𝑒𝑙 = 125,611,90 
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑜 𝐴𝑢𝑡𝑜𝑚ó𝑣𝑒𝑙 = 
125.611,90
0,8
 
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑜 𝐴𝑢𝑡𝑜𝑚ó𝑣𝑒𝑙 = 𝑅4 157.014,90 
 
 
6) O preço de um auto a vista é de R$ 200.000,00. Sabendo-se que 70% será financiado em 6 prestações 
mensais à taxa de 10% a.m., calcular o valor da prestação. 
Bem = R$ 200.000,00 
N = 6 prestações mensais 
Taxa = 10% a.m. 
PV = 70% do valor do bem 
PMT = ? 
𝑃𝑉 = 70% 𝑑𝑜 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑜 𝐵𝑒𝑚 
𝑃𝑉 = 0,7 × 200.000,00 
𝑃𝑉 = 𝑅$140.000,00 
 
𝑃𝑉 = 𝑃𝑀𝑇 × (
1 − (1 + 𝑖)−𝑛
𝑖
) 
140.000,00 = 𝑃𝑀𝑇 × (
1 − (1 + 0,10)−6
0,10
) 
140.000,00 = 𝑃𝑀𝑇 × (
1 − (1,10)−6
0,10
) 
140.000,00 = 𝑃𝑀𝑇 × (
1 − 0,56447393
0,10
) 
140.000,00 = 𝑃𝑀𝑇 × (
0,43552607
0,10
) 
140.000,00 = 𝑃𝑀𝑇 × 4,3552607 
140.000,00
4,3552607
= 𝑃𝑀𝑇 
𝑷𝑴𝑻 = 𝑹$𝟑𝟐. 𝟏𝟒𝟓, 𝟎𝟑 
 
MATEMÁTICA FINANCEIRA – José de Arimatéa Dantas 
 
58 
 
7) Ao comprar um carro cujo preço é R$ 200.000,00, você teve seu carro usado aceito como entrada. O Saldo 
do preço de venda será pago em 18 prestações mensais de R$ 9.676,67. Sabendo-se que a taxa de juros do 
financiamento é de 4% a.m., calcular o valor de avaliação do seu auto usado. 
Valor do Bem = R$ 200.000,00 
n = 18 prestações mensais 
Taxa = 4% a.m. 
PMT = R$ 9.676,67 
PV = ? 
Auto usado = ? 
𝑃𝑉 = 𝑃𝑀𝑇 × (
1 − (1 + 𝑖)−𝑛
𝑖
) 
𝑃𝑉 = 9.676,67 × (
1 − (1 + 0,04)−18
0,04
) 
𝑃𝑉 = 9.676,67 × (
1 − (1,04)−18
0,04
) 
𝑃𝑉 = 9.676,67 × (
1 − 0,493628121
0,04
) 
𝑃𝑉 = 9.676,67 × (
0,506371870
0,04
) 
𝑃𝑉 = 9.676,67 × 12,659296975 
𝑃𝑉 = 𝑹$𝟏𝟐𝟐. 𝟓𝟎𝟎, 𝟎𝟎 
 
𝐴𝑢𝑡𝑜 𝑢𝑠𝑎𝑑𝑜 = 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑜 𝐵𝑒𝑚 − 𝑃𝑉 
𝐴𝑢𝑡𝑜 𝑢𝑠𝑎𝑑𝑜 = 200.000,00 − 122.500,00 
𝑨𝒖𝒕𝒐 𝒖𝒔𝒂𝒅𝒐 = 𝑹$𝟕𝟕, 𝟓𝟎𝟎, 𝟎𝟎 
 
8) Um imóvel está à venda por R$ 50.000,00 de imediato mais 12 parcelas mensais de R$ 5.000,00 cada. O 
Comprador propõe-se a pagar o imóvel em duas parcelas sendo uma no ato no valor de R$ 40.000,00 e o 
restante ao final do sexto mês. Sendo a taxa de juros de 10% a.m., calcular o valor da segunda parcela. 
Proposta: 
Entrada = R$ 50.000,00 
PMT = R$ 5.000,00 
n = 12 prestações mensais 
Taxa = 10% a.m. 
PV= ? 
Valor do Imóvel = ? 
𝑃𝑉 = 𝑃𝑀𝑇 × (
1 − (1 + 𝑖)−𝑛
𝑖
) 
𝑃𝑉 = 5.000,00 × (
1 − (1 + 0,1)−12
0,1
) 
𝑃𝑉 = 5.000,00 × (
1 − (1,1)−12
0,1
) 
𝑃𝑉 = 5.000,00 × (
1 − 0,318630818
0,1
) 
𝑃𝑉 = 5.000,00 × (
0,681369182
0,1
) 
𝑃𝑉 = 5.000,00 × 6,81369182 
𝑃𝑉 = 𝑹$𝟑𝟒. 𝟎𝟔𝟖, 𝟒𝟔 
 
MATEMÁTICA FINANCEIRA – José de Arimatéa Dantas 
 
59 
 
Valor do Imóvel= 𝑃𝑉 + 𝐸𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 
Valor do Imóvel= 34.068,90 + 50.000,00 
Valor do Imóvel= 𝑅$84.068,90 
 
Contra-proposta: 
Valor no ato=R$50.000,00 
PV=? 
FV=? 
N = 6 meses 
𝑷𝑽 = 𝑽𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒅𝒐 𝑰𝒎ó𝒗𝒆𝒍 − 𝑬𝒏𝒕𝒓𝒂𝒅𝒂 
𝑷𝑽 = 𝟖𝟒. 𝟎𝟔𝟖, 𝟗𝟎 − 𝟓𝟎. 𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎 
𝑷𝑽 = 𝑹$𝟑𝟒. 𝟎𝟔𝟖, 𝟗𝟎 
 
F𝑉 = 𝑃𝑉 × ( 1 + 𝑖)𝑛 
𝐹𝑉 = 34.068,90 × ( 1 + 0,1 )6 
𝐹𝑉 = 34.068,90 × 1,16 
𝐹𝑉 = 34.068,90 × 1,771561 
𝑭𝑽 = 𝑹$ 𝟔𝟎. 𝟑𝟓𝟓, 𝟏𝟑 
 
MATEMÁTICA FINANCEIRA – José de Arimatéa Dantas 
 
60 
 
5.1.1 Fator Tabela Price 
 
O Fator Tabela Price, nada mais é do que o valor da prestação para um valor 
presente de uma unidade monetária. As Tabelas de fatores de Tabela Price, tem o 
objetivo de facilitar o trabalho do comércio, pelo fato de facilitar a determinação de 
prestações para diferentes valores de financiamentos. Com elas, não é necessário 
manter um profissional numa determinada loja só para fazer simulações de 
prestações. O próprio vendedor, que muitas vezes não sabe como chegar aos 
números da tabela e nem aprendeu matemática financeira, pode fazer as 
simulações para diferentes valores presente, para diferentes períodos e taxas. 
 
Exercícios: 
 
9) Determinar os fatores da Tabela Price para uma companhia financeira que opera à taxa de juros de 2% 
a.m. para 18 meses, à taxa de 3% a.m. para 24 meses e 4% para 48 meses. 
Partindo do princípio de que o fator da Tabela Price é o valor da prestação para um financiamento 
hipotético de uma unidade monetária, então temos: 
 
𝑃𝑉 = 𝑃𝑀𝑇 × (
1 − (1 + 𝑖)−𝑛
𝑖
) 
1 = 𝑃𝑀𝑇 × (
1 − (1 + 𝑖)−𝑛
𝑖
) 
1
(
1 − (1 + 𝑖)−𝑛
𝑖 )
= 𝑃𝑀𝑇 = 𝑭𝑻𝑷 
𝑭𝑻𝑷 = (
𝒊
𝟏 − (𝟏 + 𝒊)−𝒏
) 
Taxa = 2% a.m. 
n = 18 meses 
FTP=? 
𝐹𝑇𝑃 = (
𝑖
1 − (1 + 𝑖)−𝑛
) 
𝐹𝑇𝑃 = (
0,02
1 − (1 + 0,02)−18
) 
𝐹𝑇𝑃 = (
0,02
1 − (1,02)−18
) 
𝐹𝑇𝑃 = (
0,02
1 − 0,700159375
) 
𝐹𝑇𝑃 = (
0,02
0,299840625
) 
𝑭𝑻𝑷 = 𝟎, 𝟎𝟔𝟔𝟕𝟎𝟐𝟏𝟎𝟐 
Cálculo do FTP (PMT para PV=1) pela HP 12C: 
F fin 
 
1 chs PV 
 
Para o fator não sair negativo, colocamos o PV com 
sinal negativo (fluxo de caixa) 
MATEMÁTICA FINANCEIRA – José de Arimatéa Dantas 
 
61 
 
2 i 
 
18 n 
 
PMT 
 
 Cálculo do FTP (PMT para VP=1) pelo Excel: 
 1º Clicar em fórmulas, 2º clicar em financeiras, 3ºclicar em PGTO 
Digitar nas respectivas caixinhas: 
TAXA: 2% 
 
Nper: 18 
 
VP: -1 
 
O resultado (PGTO) já aparecerá na última linha em forma de índice e ao clicar em Ok ocupará a célula onde está sendo 
inserida a fórmula. 
 
Taxa = 3% a.m. 
n = 24 meses 
FTP=? 
𝐹𝑇𝑃 = (
𝑖
1 − (1 + 𝑖)−𝑛
) 
𝐹𝑇𝑃 = (
0,03
1 − (1 + 0,03)−24
) 
𝐹𝑇𝑃 = (
0,03
1 − (1,03)−24
) 
𝐹𝑇𝑃 = (
0,03
1 − 0,491933736
) 
𝐹𝑇𝑃 = (
0,03
0,508066064
) 
𝑭𝑻𝑷 = 𝟎, 𝟎𝟓𝟗𝟎𝟒𝟕𝟒𝟏𝟔 
Taxa = 4% a.m. 
n = 48 meses 
FTP=? 
𝐹𝑇𝑃 = (
𝑖
1 − (1 + 𝑖)−𝑛
) 
𝐹𝑇𝑃 = (
0,04
1 − (1 + 0,04)−48
) 
𝐹𝑇𝑃 = (
0,04
1 − (1,04)−48
) 
𝐹𝑇𝑃 = (
0,04
1 − 0,152194765
) 
𝐹𝑇𝑃 = (
0,03
0,847805235
) 
𝑭𝑻𝑷 = 𝟎, 𝟎𝟒𝟕𝟏𝟖𝟎𝟔𝟒𝟖 
 
10) Com os fatores acima, determinar os valoresdas prestações em dezoito, vinte e quatro e quarenta e oito 
meses para o financiamento de um bem no valor de R$ 40.000,00, para as seguintes situações: 
Taxa =2%, 18 prestações, FTP - 𝟎, 𝟎𝟔𝟔𝟕𝟎𝟐𝟏𝟎𝟐 
Taxa =3%, 24 prestações, FTP - 𝟎, 𝟎𝟓𝟗𝟎𝟒𝟕𝟒𝟏𝟔 
Taxa =4%, 48 prestações, FTP - 𝟎, 𝟎𝟒𝟕𝟏𝟖𝟎𝟔𝟒𝟖 
Para o fator não sair negativo, colocamos o PV com 
sinal negativo (fluxo de caixa) 
 
MATEMÁTICA FINANCEIRA – José de Arimatéa Dantas 
 
62 
 
a. Entrada no valor de R$ 10.000,00 
𝑃𝑣 = 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑜 𝐵𝑒𝑚 − 𝐸𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 
𝑃𝑉 = 40.000,00 − 10.000,00 
𝑷𝑽 = 𝑹$𝟑𝟎. 𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎 
 18 prestações: 
𝑃𝑀𝑇 = 𝑃𝑉 × 𝐹𝑇𝑃 
𝑃𝑀𝑇 = 30.000,00 × 0,066702102 
𝑷𝑴𝑻 = 𝑹$𝟐. 𝟎𝟎𝟏, 𝟎𝟔 
 24 prestações: 
𝑃𝑀𝑇 = 𝑃𝑉 × 𝐹𝑇𝑃 
𝑃𝑀𝑇 = 30.000,00 × 0,059047416 
𝑷𝑴𝑻 = 𝑹$𝟏. 𝟕𝟕𝟏, 𝟒𝟐 
 48 prestações: 
𝑃𝑀𝑇 = 𝑃𝑉 × 𝐹𝑇𝑃 
𝑃𝑀𝑇 = 30.000,00 × 0,047180648 
𝑷𝑴𝑻 = 𝑹$𝟏. 𝟒𝟏𝟓, 𝟒𝟐 
 
b. Entrada de 40% do valor do bem 
𝑃𝑉 = 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑜 𝐵𝑒𝑚 − 𝐸𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 
𝑃𝑉 = 40.000,00 − 0,4 ∗ 40.000,00 
𝑃𝑉 = 40.000,00 − 16.000,00 
𝑷𝑽 = 𝑹$𝟐𝟒. 𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎 
 18 prestações: 
𝑃𝑀𝑇 = 𝑃𝑉 × 𝐹𝑇𝑃 
𝑃𝑀𝑇 = 24.000,00 × 0,066702102 
𝑷𝑴𝑻 = 𝑹$𝟏. 𝟔𝟎𝟎, 𝟖𝟓 
 24 prestações: 
𝑃𝑀𝑇 = 𝑃𝑉 × 𝐹𝑇𝑃 
𝑃𝑀𝑇 = 24.000,00 × 0,059047416 
𝑷𝑴𝑻 = 𝑹$𝟏. 𝟒𝟏𝟕, 𝟏𝟒 
 48 prestações: 
𝑃𝑀𝑇 = 𝑃𝑉 × 𝐹𝑇𝑃 
𝑃𝑀𝑇 = 24.000,00 × 0,047180648 
𝑷𝑴𝑻 = 𝑹$𝟏. 𝟏𝟑𝟐, 𝟑𝟒 
 
c. Entrada de 10% do valor do bem, mais a entrega do bem usado pelo valor de R$ 7.800,00. 
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑜 𝐵𝑒𝑚 − 𝐸𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 
𝑃𝑉 = 40.000,00 − 0,1 ∗ 40.000,00 
𝑃𝑉 = 40.000,00 − 4.000,00 
𝑷𝑽 = 𝑹$𝟑𝟔. 𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎 
 18 prestações: 
𝑃𝑀𝑇 = 𝑃𝑉 × 𝐹𝑇𝑃 
𝑃𝑀𝑇 = 36.000,00 × 0,066702102 
𝑷𝑴𝑻 = 𝑹$𝟐. 𝟒𝟎𝟏, 𝟐𝟖 
 24 prestações: 
𝑃𝑀𝑇 = 𝑃𝑉 × 𝐹𝑇𝑃 
𝑃𝑀𝑇 = 36.000,00 × 0,059047416 
𝑷𝑴𝑻 = 𝑹$𝟐. 𝟏𝟐𝟓, 𝟕𝟏 
 48 prestações: 
𝑃𝑀𝑇 = 𝑃𝑉 × 𝐹𝑇𝑃 
𝑃𝑀𝑇 = 36.000,00 × 0,047180648 
𝑷𝑴𝑻 = 𝑹$𝟏. 𝟔𝟗𝟖, 𝟓𝟎 
 
 
 
MATEMÁTICA FINANCEIRA – José de Arimatéa Dantas 
 
63 
 
 
11) Montar uma tabela price para a taxa de 3% a.m., considerando de 6 a até 60 prestações. Considere os 
números de prestações divisíveis por 3 e utilizar o Excel. 
 
 
 
A B C
1 TAXA 2%
2 Prazo FTP
3 1 =(B$1$/(1-(1+$B$1)^(-A3))
4 6 0,178526
5 9 0,122515
6 12 0,094560
7 15 0,077825
8 18 0,066702
9 21 0,058785
10 24 0,052871
11 27 0,048293
12 30 0,044650
13 33 0,041687
14 36 0,039233
15 39 0,037171
16 42 0,035417
17 45 0,033910
18 48 0,032602
19 51 0,031459
20 54 0,030452
21 57 0,029561
22 60 0,028768
MATEMÁTICA FINANCEIRA – José de Arimatéa Dantas 
 
64 
 
5.1.2 Rendas postecipadas, antecipadas e diferidas. 
 
Ao tomarmos um financiamento para pagar em prestações, vemos duas 
possibilidades de pagamento: uma é dar uma entrada, ou mesmo não dar 
nenhuma entrada e começar a pagar a primeira prestação ao final do primeiro 
período, outra é financiar sem entrada e pagar a primeira prestação no ato. A 
primeira possibilidade é conhecida como prestações postecipadas e a segunda, 
prestações antecipadas e seu fluxo de caixa quando financiamos um bem com a 
primeira prestação no ato, em n vezes, é o que segue: 
 
 
 
 
. 
 
Exercícios: 
12) Calcular o Valor Atual de uma renda mensal imediata de termos iguais a R$ 10.000,00, pagáveis no início 
de cada período e durante 10 meses, à taxa de 5% a.m. 
 
Por ser a primeira prestação no ato, ela não deve ser incluída no cálculo do juro, razão pela qual vamos 
subtraí-la do PV e considerar n prestações menos uma, ou seja: 
 
𝑃𝑉 − 𝑃𝑀𝑇 = 𝑃𝑀𝑇 × (
1 − (1 + 𝑖)−(𝑛−1)
𝑖
) 
𝑃𝑉 = 𝑃𝑀𝑇 + 𝑃𝑀𝑇 × (
1 − (1 + 𝑖)−(𝑛−1)
𝑖
) 
𝑷𝑽 = 𝑷𝑴𝑻 × (𝟏 + (
𝟏 − (𝟏 + 𝒊)−(𝒏−𝟏)
𝒊
)) 
PMT=R$10.000,00 
Taxa = 5% a.m. 
n = 10 prestações mensais antecipadas 
PV=? 
𝑃𝑉 = 𝑃𝑀𝑇 × (1 + (
1 − (1 + 𝑖)−(𝑛−1)
𝑖
)) 
𝑃𝑉 = 10.000,00 × (1 + (
1 − (1 + 0,05)−(10−1)
0,05
)) 
𝑃𝑉 = 10.000,00 × (1 + (
1 − 1,05−9
0,05
)) 
𝑃𝑉 = 10.000,00 × (1 + (
1 − 0,644608916
0,05
)) 
PV = Valor Financiado 
1 2 3 3 4 5
1 
n – 1 n 
Prestações mensais 
0 
MATEMÁTICA FINANCEIRA – José de Arimatéa Dantas 
 
65 
 
𝑃𝑉 = 10.000,00 × (1 +
0,355391084
0,05
) 
𝑃𝑉 = 10.000,00 × (1 + 7,107821676) 
𝑃𝑉 = 10.000,00 ∗ 8,107821676 
𝑷𝑽 = 𝑹$ 𝟖𝟏. 𝟎𝟕𝟖, 𝟐𝟐 
 Cálculo do PV pela HP 12C: 
F fin 
 
G BEG 
 
10000,00 PMT 
 
5 i 
 
10 n 
 
PV 
 
 Cálculo do PV Pelo Excel: 
 1º Clicar em fórmulas, 2º clicar em financeiras, 3ºclicar em PV 
Digitar nas respectivas caixinhas: 
Taxa: 5% 
Nper: 10 
PGTO: 10000,00 
Tipo: 1 
 
 
O resultado (PV) já aparecerá na última linha e ao clicar em Ok ocupará a célula onde está sendo inserida a fórmula. 
 
13) Determinar o Valor Atual de uma renda mensal diferida de 5 meses, de termos iguais a R$ 25.000,00 e 
pagáveis durante 12 meses, no início de cada mês à taxa de 7% a.m. 
 
Cálculo do PV no dia do pagamento da primeira prestação: 
PMT=R$25.000,00 
Taxa = 7% a.m. 
n = 12 prestações mensais antecipadas 
PV=? 
𝑃𝑉 = 𝑃𝑀𝑇 × (1 + (
1 − (1 + 𝑖)−(𝑛−1)
𝑖
)) 
𝑃𝑉 = 25.000,00 × (1 + (
1 − (1 + 0,07)−(12−1)
0,07
)) 
𝑃𝑉 = 25.000,00 × (1 + (
1 − 1,07−11
0,07
)) 
𝑃𝑉 = 25.000,00 × (1 + (
1 − 0,47509279639
0,07
)) 
𝑃𝑉 = 25.000,00 × (1 +
0,524907203612
0,07
) 
𝑃𝑉 = 25.000,00 × (1 + 7,498674337320) 
𝑃𝑉 = 25.000,00 ∗ 8,498674337320 
𝑷𝑽 = 𝑹$ 𝟐𝟏𝟐. 𝟒𝟔𝟔, 𝟖𝟔 
Tipo 1 para a primeira prestação no ato, 
MATEMÁTICA FINANCEIRA – José de Arimatéa Dantas 
 
66 
 
Trazendo PV para o dia da compra: 
FV = R$ 109.680,28 
n = 5 meses 
Taxa = 7% a.m. 
PV = ? 
𝐹𝑉 = 𝑃𝑉 × (1 + 𝑖)𝑛 
212.466.86 = 𝑃𝑉 × (1 + 0,07)5 
212.466.86 = 𝑃𝑉 × (1,07)5 
212.466.86 = 𝑃𝑉 × 1,402551731 
212.466.86
1,402551731
= 𝑃𝑉 
𝑷𝑽 = 𝟏𝟓𝟏. 𝟒𝟖𝟓, 𝟗𝟑 
 
14) Determinar o valor das oito prestações de um bem vendido hoje, dia 15/0x, por R$ 2.000,00, à taxa de 3% 
a.m., sabendo-se que a primeira prestação é para o dia 27/0x. 
 
Levando o valor do bem para o dia do pagamento da primeira prestação: 
n = 8 dias 
taxa = 3% a.m. 
PV = R$ 2.000,00 
FV = ? 
q=12 dias 
t=1 mês= 30 dias 
𝐹𝑉 = 𝑃𝑉 × (1 + 𝑖)
𝑞
𝑡 
𝐹𝑉 = 2.000,00 × (1 + 0,03)
12
30 
𝐹𝑉 = 2.000,00 × (1,03)
12
30 
𝐹𝑉 = 2.000,00 × 1,011894 
𝑭𝑽 = 𝟐. 𝟎𝟐𝟑, 𝟕𝟗 
Calculando o valor da Prestação: 
PV= 2.023,79 
n = 8 prestações mensais 
Taxa = 3% a.m. 
PMT=? 
𝑃𝑉 = 𝑃𝑀𝑇 × (1 + (
1 − (1 + 𝑖)−(𝑛−1)
𝑖
)) 
2.023,79 = 𝑃𝑀𝑇 × (1 + (
1 − (1 + 0,03)−(8−1)
0,03
)) 
2.023,79 = 𝑃𝑀𝑇 × (1 + (
1 − 1,03−7
0,03
)) 
2.023,79 = 𝑃𝑀𝑇 × (1 + (
1 − 0,813092
0,03
)) 
2.023,79 = 𝑃𝑀𝑇 × (1 +
0,186908
0,03
) 
2.023,79 = 𝑃𝑀𝑇 × (1 + 6,230383) 
MATEMÁTICA FINANCEIRA – José de Arimatéa Dantas 
 
67 
 
2.023,79 = 𝑃𝑀𝑇 × 7,230383 
2.023,79
7,230383
= 𝑃𝑀𝑇 
𝑷𝑴𝑻 = 𝑹$𝟐𝟕𝟗, 𝟗𝟎 
 
15) A Loja Superdia 25, faz vendas a prazo cujo vencimento das prestações é sempre o dia 25 de cada mês, 
independentemente da data da compra. Nas compras feitas até o dia 5, o vencimento da primeira prestação 
é no próximo dia 25. Compras feitas após o dia 5, o vencimento vai para o dia 25 do mês seguinte. Calcule 
o valor das prestações mensais de um bem no valor de R$ 1.800,00 vendido no dia 2 em 12 prestações 
mensais à taxa de 4% a.m. Recalcule o valor da prestação no caso da venda ser efetuada no dia 8. Para 
efeito de cálculo das prestações a empresa considera mês de 30 dias.Compra feita no dia 2: 
Calculando o valor do bem no dia do pagamento da primeira prestação: 
Prazo até o vencimento da primeira prestação: 23 dias ( de 2 a 25) 
q=23 dias 
t=1 mês = 30 dias 
taxa = 4%a.m. 
PV = 1.800,00 
FV=? 
𝐹𝑉 = 𝑃𝑉 × (1 + 𝑖)
𝑞
𝑡 
𝐹𝑉 = 1.800,00 × (1 + 0,04)
23
30 
𝐹𝑉 = 1.800,00 × (1,04)
23
30 
𝐹𝑉 = 1.800,00 × 1,03526 
𝑭𝑽 = 𝟏. 𝟖𝟓𝟒, 𝟗𝟓 
Calculando o valor da Prestação: 
PV= 1.854,95 
n = 12 prestações mensais 
Taxa = 4% a.m. 
PMT=? 
𝑃𝑉 = 𝑃𝑀𝑇 × (1 + (
1 − (1 + 𝑖)−(𝑛−1)
𝑖
)) 
1,854,95 = 𝑃𝑀𝑇 × (1 + (
1 − (1 + 0,04)−(12−1)
0,04
)) 
1,854,95 = 𝑃𝑀𝑇 × (1 + (
1 − 1,04−11
0,04
)) 
1,854,95 = 𝑃𝑀𝑇 × (1 + (
1 − 0,649581
0,04
)) 
1,854,95 = 𝑃𝑀𝑇 × (1 +
0,350419
0,04
) 
1,854,95 = 𝑃𝑀𝑇 × (1 + 8,767407) 
1,854,95 = 𝑃𝑀𝑇 × 9,767407 
1,854,95
9,767407
= 𝑃𝑀𝑇 
𝑷𝑴𝑻 = 𝑹$𝟏𝟗𝟎, 𝟎𝟓 
MATEMÁTICA FINANCEIRA – José de Arimatéa Dantas 
 
68 
 
Compra feita no dia 8: 
Calculando o valor do bem no dia do pagamento da primeira prestação: 
Prazo até o vencimento da primeira prestação: 47 dias ( de 8 de um mês a 25 do próximo mês) 
q=47 dias 
t=1 mês = 30 dias 
taxa = 4%a.m. 
PV = 1.800,00 
FV=? 
𝐹𝑉 = 𝑃𝑉 × (1 + 𝑖)
𝑞
𝑡 
𝐹𝑉 = 1.800,00 × (1 + 0,04)
47
30 
𝐹𝑉 = 1.800,00 × (1,04)
47
30 
𝐹𝑉 = 1.800,00 × 1,05666667 
𝑭𝑽 = 𝟏. 𝟗𝟏𝟒, 𝟎𝟕 
Calculando o valor da Prestação: 
PV= 1.914,07 
n = 12 prestações mensais 
Taxa = 4% a.m. 
PMT=? 
𝑃𝑉 = 𝑃𝑀𝑇 × (1 + (
1 − (1 + 𝑖)−(𝑛−1)
𝑖
)) 
1,914,07 = 𝑃𝑀𝑇 × (1 + (
1 − (1 + 0,04)−(12−1)
0,04
)) 
1,914,07 = 𝑃𝑀𝑇 × (1 + (
1 − 1,04−11
0,04
)) 
1,914,07 = 𝑃𝑀𝑇 × (1 + (
1 − 0,649581
0,04
)) 
1,914,07 = 𝑃𝑀𝑇 × (1 +
0,350419
0,04
) 
1,914,07 = 𝑃𝑀𝑇 × (1 + 8,767407) 
1,914,07 = 𝑃𝑀𝑇 × 9,767407 
1,914,07
9,767407
= 𝑃𝑀𝑇 
𝑷𝑴𝑻 = 𝑹$𝟏𝟗𝟔, 𝟏𝟎 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA FINANCEIRA – José de Arimatéa Dantas 
 
69 
 
16) Uma loja vende um bem sem entrada nas seguintes condições: 
a) durante os 4 primeiros meses, 4 prestações mensais de R$ 1.000,00 
b) do 5º ao 12º mês, 8 prestações mensais de R$ 2.000,00 
Qual o valor do bem, se a taxa de juro do financiamento é de 2% a.m.? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Primeiras quatro prestações: 
PMT = R$1.000,00 
Taxa = 2%a.m. 
n=4 prestações mensais postecipadas 
PV = ? 
𝑃𝑉 = 𝑃𝑀𝑇 × (
1 − (1 + 𝑖)−𝑛
𝑖
) 
𝑃𝑉 = 1.000,00 × (
1 − (1 + 0,2)−4
0,02
) 
𝑃𝑉 = 1.000,00 × (
1 − (1,02)−4
0,02
) 
𝑃𝑉 = 1.000,00 × (
1 − 0,923845456
0,2
) 
𝑃𝑉 = 1.000,00 × (
0,076154574
0,2
) 
𝑃𝑉 = 1.000,00 × 3,807728699 
𝑃𝑉 = 𝑹$𝟑. 𝟖𝟎𝟕, 𝟕𝟑 
 
8 prestações restantes: 
Calculando do valor atual das oito prestações no dia de pagar a primeira: 
PMT = R$ 2.000,00 
Taxa = 2% a.m. 
n = 8 prestações mensais antecipadas 
PV = ? 
𝑃𝑉 = 𝑃𝑀𝑇 × (1 + (
1 − (1 + 𝑖)−(8−1)
𝑖
)) 
𝑃𝑉 = 2.000,00 × (1 + (
1 − (1 + 0,02)−(8−1)
0,02
)) 
𝑃𝑉 = 2.000,00 × (1 + (
1 − 1,02−7
0,02
)) 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
22 
 
 
0 
Rendas imediatas 
postecipadas 
Rendas diferidas antecipadas 
MATEMÁTICA FINANCEIRA – José de Arimatéa Dantas 
 
70 
 
𝑃𝑉 = 2.000,00 × (1 + (
1 − 0,870560179
0,02
)) 
𝑃𝑉 = 2.000,00 × (1 +
0,129439821
0,02
) 
𝑃𝑉 = 2.000,00 × (1 + 6,471991069) 
𝑃𝑉 = 2.000,00 ∗ 7,471991069 
𝑷𝑽 = 𝑹$ 𝟏𝟒. 𝟗𝟒𝟑, 𝟗𝟖 
Trazendo PV para o dia da compra: 
FV = R$ 14.943,98 
n = 5 meses 
Taxa = 2% a.m. 
PV = ? 
𝐹𝑉 = 𝑃𝑉 × (1 + 𝑖)𝑛 
14.943,98 = 𝑃𝑉 × (1 + 0,02)5 
14.943,98 = 𝑃𝑉 × (1,02)5 
14.943,98 = 𝑃𝑉 × 1,104080803 
14.943,98
1,104080802
= 𝑃𝑉 
𝑷𝑽 = 𝟏𝟑. 𝟓𝟑𝟓, 𝟐𝟐 
Cálculo do valor do bem: 
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑜 𝐵𝑒𝑚 = 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑎𝑡𝑢𝑎𝑙 𝑑𝑎𝑠 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎çõ𝑒𝑠 
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑜 𝑏𝑒𝑚 = 3.807,73 = 13.535,22 
𝑽𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒅𝒐 𝑩𝒆𝒎 = 𝑹$𝟏𝟕. 𝟑𝟒𝟐, 𝟗𝟓 
 
 
MATEMÁTICA FINANCEIRA – José de Arimatéa Dantas 
 
71 
 
5.1.3 Rendas Perpétuas 
 
Renda perpétua é obtida através do resgate apenas do juro, sem se desfazer do 
principal. Neste conceito, o principal vai existir indefinidamente, razão pela qual o 
título de perpétua. 
Por ser 𝒏 = ∞, temos: 
𝑃𝑉 = 𝑃𝑀𝑇 × (
1 −
1
(1 + 𝑖)𝑛
𝑖
) 
𝑃𝑉 = 𝑃𝑀𝑇 × (
1 −
1
(1 + 𝑖)∞
𝑖
) 
𝑃𝑉 = 𝑃𝑀𝑇 × (
1 −
1
∞
𝑖
) 
𝑃𝑉 = 𝑃𝑀𝑇 × (
1 − 0
𝑖
) 
𝑷𝑽 =
𝑷𝑴𝑻
𝒊
 
𝑷𝑴𝑻 = 𝑷𝑽 ∗ 𝒊 
 
17) Quanto você deve posssuir hoje, para garantir uma renda perpétua de R$ 5.000,00 à taxa de juro de 1,0% a.m. 
PMT = R$5.000,00 
Taxa = 1%a.m. 
PV=? 
𝑃𝑉 =
𝑃𝑀𝑇
𝑖
 
𝑃𝑉 =
5.000,00
0,01
 
𝑷𝑽 = 𝑹$𝟓𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎 
 
18) Se eu ganhar hoje R$ 897.392,00 e quiser ter receber uma renda perpétua mensal à taxa de 0,93% a.m., de quanto 
será esta renda? 
PMT = R$897.392,00 
Taxa = 0,93% a.m. 
PV=? 
𝑃𝑉 =
𝑃𝑀𝑇
𝑖
 
897.392,00𝑇 =
𝑃𝑀𝑇
0,0093
 
897.392,00 × 0,0093 = 𝑃𝑀𝑇 
𝑷𝑴𝑻 = 𝑹$𝟖. 𝟑𝟒𝟓, 𝟕𝟓 
MATEMÁTICA FINANCEIRA – José de Arimatéa Dantas 
 
72 
 
5.2 Série de Capitais Valor Futuro 
Ao invés de adquirir um bem financiado, podemos nos organizar e iniciar uma 
poupança para juntar o valor necessário para comprar o bem. Embora nos 
privemos do bem enquanto juntamos o dinheiro, por outro lado podemos obter 
descontos por, no futuro, ter o dinheiro na mão para adquirir o bem. Estes 
depósitos iguais e de forma constante têm as mesmas características do capital, 
porém de forma parcelada – portanto – não há juros neste valor, todo o juro estará 
embutido no valor acumulado para adquirir o bem. O fluxo de caixa, tem a 
seguintes representação geral: 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios: 
19) Calcular o Montante ao final de 3 anos, que corresponde à aplicação de 36 parcelas postecipadas, mensais 
e iguais no valor de R$ 10.000,00, à taxa de 5,0% a.m. 
PMT = R$10.000,00 
Taxa=5%a.m. 
n = 36 depósitos mensais 
FV = ? 
𝐹𝑉 = 𝑃𝑀𝑇 × (
(1 + 𝑖)𝑛 − 1
𝑖
) 
𝐹𝑉 = 10.000,00 × (
(1 + 0,05)36 − 1
0,05
) 
𝐹𝑉 = 10.000,00 × (
(1,05)36 − 1
0,05
) 
𝐹𝑉 = 10.000,00 × (
5,791816136 − 1
0,05
) 
𝐹𝑉 = 10.000,00 × (
4,791816136
0,05
) 
𝐹𝑉 = 10.000,00 × 95,83632272 
𝑭𝑽 = 𝟗𝟓𝟖. 𝟑𝟔𝟑, 𝟐𝟑 
 
20) Determinar a que taxa de juros a aplicação de R$ 1.000,00 por mês gera um montante de R$ 30.000,00 ao 
final de 2 anos, sabendo-se que as parcelas são postecipadas. 
PMT = R$1.000,00 
FV=R$30.000,00 
n=2 anos=24 depósitos mensais 
PV = Valor Poupado 
 
1 2 3 3 4 5
1 
n – 1 n 
Poupanças mensais 
0 
MATEMÁTICA FINANCEIRA – José de Arimatéa Dantas 
 
73 
 
taxa=? 
𝑓 𝑓𝑖𝑛 
1000 𝐶𝐻𝑆 𝑃𝑀𝑇 
30000 𝐹𝑉 
24 𝑛 
𝒊 = 𝟏, 𝟖𝟖𝟓𝟑𝟕𝟎𝟗𝟏% a.m. 
 
21) Determinar o valor a ser depositado mensalmente para que consigamos juntar o montante de R$ 
15.000,00 durante o período de 15 meses à taxa de 2,0% a.m. 
FV=R$15.000,00 
Taxa = 2%a.m. 
n = 15 depósitos mensais 
PMT = ? 
𝐹𝑉 = 𝑃𝑀𝑇 × (
(1 + 𝑖)𝑛 − 1
𝑖
) 
15.000,00 = 𝑃𝑀𝑇 × (
(1 + 0,02)15 − 1
0,02
) 
15.000,00 = 𝑃𝑀𝑇 × (
(1,02)15 − 1
0,02
) 
15.000,00 = 𝑃𝑀𝑇 × (
1,345868338 − 1
0,02
) 
15.000,00 = 𝑃𝑀𝑇 × (
0,345868338
0,02
) 
15.000,00 = 𝑃𝑀𝑇 × 17,2934169 
15.000,00
17,2934169
= 𝑃𝑀𝑇 
𝑷𝑴𝑻 = 𝑹$𝟖𝟔𝟕, 𝟑𝟖 
 
22) Você fará depósitos mensais postecipados de R$ 1.000,00 à taxa de 1,7% a.m. para juntar o montante de 
R$ 25.000,00. Quanto tempo será necessário para alcançar tal montante? 
FV=R$25.000,00 
PMT = R$1.000,00 
Taxa = 1,7%a.m.n = ? 
𝐹𝑉 = 𝑃𝑀𝑇 × (
(1 + 𝑖)𝑛 − 1
𝑖
) 
25.000,00 = 1.000,00 × (
(1 + 0,017)𝑛 − 1
0,017
) 
25.000,00
1,000,00
=
1,017𝑛 − 1
0,017
 
25 × 0,017 = 1,017𝑛 − 1 
0,425 + 1 = 1,017𝑛 
1,425 = 1,017𝑛 
log 1,425 = log 1,017𝑛 
MATEMÁTICA FINANCEIRA – José de Arimatéa Dantas 
 
74 
 
log 1,425 = 𝑛 × log 1,017 
0,153814864 = 𝑛 × 0,007320953 
0,153814864
0,007320953
= 𝑛 
𝒏 = 𝟐𝟏 𝒎𝒆𝒔𝒆𝒔 
 
 
23) O Automóvel dos nossos sonhos é vendido por R$ 80.000,00. Quanto você deve depositar mensalmente 
numa poupança que renda 2,0% a.m. durante os próximos 24 meses para que você consiga comprar o 
carro ao final dos dois anos ? 
FV=R$80.000,00 
Taxa = 2%a.m. 
n = 24 depósitos mensais 
PMT=? 
𝐹𝑉 = 𝑃𝑀𝑇 × (
(1 + 𝑖)𝑛 − 1
𝑖
) 
80.000,00 = 𝑃𝑀𝑇 × (
(1 + 0,02)24 − 1
0,02
) 
80.000,00 = 𝑃𝑀𝑇 × (
(1,02)24 − 1
0,02
) 
80.000,00 = 𝑃𝑀𝑇 × (
1,608437249 − 1
0,02
) 
80.000,00 = 𝑃𝑀𝑇 × (
0,608437249
0,02
) 
80.000,00 = 𝑃𝑀𝑇 × 30,42186245 
80.000,00
30,42186245
= 𝑃𝑀𝑇 
𝑷𝑴𝑻 = 𝑹$𝟐. 𝟔𝟐𝟗, 𝟔𝟗 
 
24) No exercício anterior, que valor você deveria depositar , se o preço do automóvel fosse reajustado 
trimestralmente à taxa de 1.5% a.t.? 
Primeiramente, corrigir o valor atual do automóvel a valor futuro: 
PV=R$80.000,00 
Taxa=1,5%a.t. 
n = 2 anos = 8 trimestres 
FV=? 
𝐹𝑉 = 80,000,00 × (1 + 𝑖)𝑛 
𝐹𝑉 = 80,000,00 × (1 + 0,015)8 
𝐹𝑉 = 80,000,00 × (1,015)8 
𝐹𝑉 = 80,000,00 × 1,1264925866 
𝑭𝑽 = 𝟗𝟎. 𝟏𝟏𝟗, 𝟒𝟏 
Agora, recalcular o valor dos depósitos: 
FV=R$90.119,41 
Taxa = 2%a.m. 
n = 24 depósitos mensais 
MATEMÁTICA FINANCEIRA – José de Arimatéa Dantas 
 
75 
 
𝐹𝑉 = 𝑃𝑀𝑇 × (
(1 + 𝑖)𝑛 − 1
𝑖
) 
90.119,41 = 𝑃𝑀𝑇 × (
(1 + 0,02)24 − 1
0,02
) 
90.119,41 = 𝑃𝑀𝑇 × (
(1,02)24 − 1
0,02
) 
90.119,41 = 𝑃𝑀𝑇 × (
1,608437249 − 1
0,02
) 
90.119,41 = 𝑃𝑀𝑇 × (
0,608437249
0,02
) 
93.732,75 = 𝑃𝑀𝑇 × 30,42186245 
90.119,41
30,42186245
= 𝑃𝑀𝑇 
𝑷𝑴𝑻 = 𝑹$𝟐. 𝟗𝟔𝟐, 𝟑𝟐 
 
25) Um apartamento custa R$ 120.000,00. Você já possui R$ 60.000,00 e pretende fazer uma poupança nos 
próximos 18 meses para juntar o restante do dinheiro necessário, quando então efetuará a compra. Se a 
taxa de juros da poupança é de 1,0% a.m. e não há inflação, quanto você deve depositar mensalmente? 
Corrigir o valor que já possui para daqui a 18 meses: 
PV = R$ 60.000,00 
n=18 meses 
taxa = 1%a.m. 
FV = ? 
𝐹𝑉 = 𝑃𝑉 × (1 + 𝑖)𝑛 
𝐹𝑉 = 60.000,00 × (1 + 0,01)18 
𝐹𝑉 = 60.000,00 × (1,01)18 
𝐹𝑉 = 60.000,00 × 1,196147476 
𝐹𝑉 = 71.768,85 
Quanto faltará para completar o valor do imóvel daqui a 18 meses: 
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑓𝑎𝑙𝑡𝑎𝑟á = 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑜 𝐼𝑚ó𝑣𝑒𝑙 − 𝑃𝑜𝑢𝑝𝑎𝑛ç𝑎 𝑝𝑟é 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛𝑡𝑒 
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑓𝑎𝑙𝑡𝑎𝑟á = 120.000,00 − 71.768,85 
𝑭𝒂𝒍𝒕𝒂𝒓á 𝑹$ 𝟒𝟗. 𝟐𝟑𝟏, 𝟏𝟓 
 
Cálculo dos depósitos necessários para comprar o imóvel: 
FV=R$49.231,15 
Taxa = 1%a.m. 
n = 18 depósitos mensais 
PMT=? 
 
𝐹𝑉 = 𝑃𝑀𝑇 × (
(1 + 𝑖)𝑛 − 1
𝑖
) 
49.231,15 = 𝑃𝑀𝑇 × (
(1 + 0,01)18 − 1
0,01
) 
49.231,15 = 𝑃𝑀𝑇 × (
(1,01)18 − 1
0,01
) 
MATEMÁTICA FINANCEIRA – José de Arimatéa Dantas 
 
76 
 
49.231,15 = 𝑃𝑀𝑇 × (
1,196147476 − 1
0,01
) 
49.231,15 = 𝑃𝑀𝑇 × (
0,196147476
0,01
) 
49.231,15 = 𝑃𝑀𝑇 × 19,6147476 
49.231,15
19,6147476
= 𝑃𝑀𝑇 
𝑷𝑴𝑻 = 𝑹$𝟐. 𝟓𝟎𝟗, 𝟗𝟎 
 
 
 
MATEMÁTICA FINANCEIRA – José de Arimatéa Dantas 
 
77 
 
5.3 As séries de capitais e os sistemas de previdência. 
 
As séries de capitais estão intimamente ligadas com o que conhecemos como 
sistema de previdência. Podemos poupar mensalmente um certo valor enquanto 
estivermos trabalhando, para quando nos aposentar, tenhamos então uma renda 
mensal vitalícia ou por um período de tempo determinado, para que possamos 
manter a mesma qualidade de vida de quando éramos produtivos. 
 
Em um sistema real, os recursos ficam aplicados com taxas pós-fixadas. Isto não 
impede que façamos simulações com taxas médias de um determinado período. 
Isto nos leva a um grave erro, se não considerarmos que dentro da taxa de 
rendimento, existe uma expectativa de correção monetária, que deve ser 
eliminada por um taxa também média, para que o valor da renda possa ser 
comparado com um valor mais próximo possível do valor real hoje. 
 
Observe os fluxos de caixa a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Note que são duas funções diferentes, que têm em comum os valores do PV e do 
FV. Logo, podemos dizer que, 
𝑠𝑒, 𝐹𝑉 = 𝑃𝑉 
 
1 2 3 
0 
n-1 n 
D e p ó s i t o s m e n s a i s 
Montante Acumulado 
Montante Acumulado 
0 
1 2 3 n-1 n 
R e n d a s m e n s a i s 
𝑃𝑀𝑇 × (
(1 + 𝑖)𝑛 − 1
𝑖
) = 𝐹𝑉 
 
𝑃𝑉 = 𝑃𝑀𝑇 × (
1 − (1 + 𝑖)−𝑛
𝑖
) 
 
MATEMÁTICA FINANCEIRA – José de Arimatéa Dantas 
 
78 
 
𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑃𝑀𝑇𝑑𝑒𝑝 × (
(1 + 𝑖)𝑛𝑑𝑒𝑝 − 1
𝑖
) = 𝑃𝑀𝑇𝑟𝑒𝑛𝑑 × (
1 − (1 + 𝑖)−𝑛𝑟𝑒𝑛𝑑
𝑖
) 
𝑙𝑜𝑔𝑜, 𝑷𝑴𝑻𝒅𝒆𝒑 × ((𝟏 + 𝒊)
𝒏𝒅𝒆𝒑 − 𝟏) = 𝑷𝑴𝑻𝒓𝒆𝒏𝒅 × (𝟏 − (𝟏 + 𝒊)
−𝒏𝒓𝒆𝒏𝒅) 
 
Exercícios: 
 
26) Se eu começar hoje a depositar R$ 65,42 mensalmente, pelos próximos 40 anos, que renda mensal eu 
obterei durante quinze anos, ao término deste período? Considerar uma taxa de juro mensal de 0,9% a.m. 
PMTdep = R$65,42 
Taxa = 0,9%a.m. 
ndep = 40 anos = 480 meses 
nrend = 15 anos = 180 meses 
PMTrend = ? 
PMTdep × ((1 + i)
ndep − 1) = PMTrend × (1 − (1 + i)
−nrend) 
65,42 × ((1 + 0,009)480 − 1) = PMTrend × (1 − (1 + 0,009)
−180) 
65,42 × ((1,009)480 − 1) = PMTrend × (1 − (1,009)
−180) 
65,42 × (73,74962115 − 1) = PMTrend × (1 − 0,19933799) 
65,42 × 72,74962115 = PMTrend × 0,80066201 
4.759,280215633 = PMTrend × 0,80066201 
4.759,280215633
0,80066201
= PMTrend 
𝐏𝐌𝐓𝐫𝐞𝐧𝐝 = 𝑹$𝟓. 𝟗𝟒𝟒, 𝟏𝟖 
 
27) Como profissional liberal, tenho uma renda média mensal de R$ 12.000,00. A uma taxa de 1%a.m., 
quanto preciso depositar mensalmente durante os próximos 35 anos, para garantir a continuidade desta 
renda por mais 25 anos? 
PMTdrend = R$12.000,00 
Taxa = 1,0%a.m. 
nrend = 25 anos = 300 meses 
ndep = 35 anos = 420 meses 
PMTrend = ? 
PMTdep × ((1 + i)
ndep − 1) = PMTrend × (1 − (1 + i)
−nrend) 
PMTdep × ((1 + 0,01)
420 − 1) = 12.000,00 × (1 − (1 + 0,01)−300) 
PMTdep × ((1,01)
420 − 1) = 12.000,00 × (1 − (1,01)−300) 
PMTdep × (65,30959471 − 1) = 12.000,00 × (1 − 0,05053449) 
PMTdep × 64,30959471 = 12.000,00 × 0,94946551 
PMTdep × 64,30959471 = 11.393,59 
PMTdep =
11.393,59
64,30959471
 
𝐏𝐌𝐓𝐝𝐞𝐩 = 𝑹$𝟏𝟕𝟕, 𝟏𝟕 
 
MATEMÁTICA FINANCEIRA – José de Arimatéa Dantas 
 
79 
 
Exercícios para fixação: 
1) Você fez um financiamento de R$ 5.000,00 para adquirir móveis para sua casa. A taxa de juro é foi 
de 3% a.m., e será pago em 24 prestações sem entrada. Qual o valor das prestações? (R$ 295,24) 
2) Você adquiriu um bem no valor de R$ 9.372,50, dando R$ 2.772,50 de entrada e financiando o 
restante em 15 prestações mensais à taxa de 4.2% a.m.. Qual o valor das prestações? (R$601,94) 
3) Você vai pagar 18 prestações mensais de R$ 237,52, para adquirir uma TV de Plasma de 42 
polegadas. Se a vista esta televisão é vendida por R$ 3.600,00, qual a taxa de juro cobrada no 
financiamento? (1,88% a.m.) 
4) Determinar os Fatores Tabela Price para uma taxa 5% a.m. nos períodos múltiplos de 6 até 60 meses. 
(0,19732 - 0,11283 - 0,08555 - ....) 
5) Você está adquirindo um bem no valor de R$ 4.000,00 para pagar em 12 prestações, sendo a 
primeirano ato, à taxa de 2% a.m. Qual o valor das prestações? (R$ 370,82) 
6) A Loja Roupa de Festa está fazendo uma promoção no crediário. Quem comprar hoje, só pagará a 
primeira das 10 prestações daqui a 4 meses. Quem comprar hoje roupas no valor de R$ 2.300,00, 
quanto pagará de prestação se a taxa de juro do crediário é de 3,3%? (R$ 310,48) 
7) Você juntou R$ 500.000,00 e vai deixar o dinheiro aplicado em um fundo de investimento que dá um 
retorno real de 0,76% a.m..Agora você vai ter a tão esperada renda perpétua que tanto sonhava. Qual 
o valor desta renda? (R$ 3.800,00) 
8) Você observou que um determinado bem no valor de R$ 2.000,00, está sendo financiado em 12 
prestações mensais de R$ 240,00. Ao invés de financiar o bem, você opta por depositar os R$ 240,00 
mensalmente em um fundo de investimento que rende 0,7% a.m.. Em quantos meses você comprará 
o bem a vista? ( No nono mês você comprará) (8,13 é o resultado matemático) 
9) Com relação ao exercício anterior, quanto você juntará se fizer os depósitos até o final dos doze 
meses? (R$ 2.993,51) 
10) Ainda quanto ao exercício 8, como o valor do bem daqui a um ano estará em R$ 2.142,00, quanto 
você precisa depositar mensalmente para comprá-lo ao final de um ano? (R$ 171,73) 
11) Quanto você deve depositar mensalmente em um fundo de previdência pelos próximo 35 anos, para 
poder receber mensalmente R$ 4.000,00 durante mais 25 anos , dado que este fundo rende 0,6% 
a.m., já descontada a desvalorização da moeda? (R$ 294,23) 
12) Você pretende depositar mensalmente R$ 400,00 em um fundo de previdência privada pelos 
próximos 40 anos, para então garantir um bom complemento de aposentadoria por mais 25 anos. 
Sendo a taxa média de juro descontada a inflação que este fundo consegue para seus clientes de 0,7% 
a.m., de quanto será o seu complemento de aposentadoria? (R$12.526,93) 
MATEMÁTICA FINANCEIRA – José de Arimatéa Dantas 
 
80 
 
CAPÍTULO 6 
 
Sistemas de Amortização. 
 
Estes sistemas calculam o que é principal e o que é juro em cada parcela de um 
empréstimo ou financiamento contratado para ser pago em mais de uma parcela. 
 
6.1 Sistema Americano de Amortização 
Para entendê-lo de forma mais simples, peguemos o Sistema Americano de 
Amortização como exemplo, no qual o pagamento do principal é todo ao final do 
contrato. 
Um empréstimo de R$ 100.000,00 a ser liquidado daqui a 6 anos, à taxa de juros 
de 15% a.a.. Ao final de cada ano da duração do empréstimo, deve ser pago o 
juro, no valor de R$15.000,00, não abatendo nenhum centavo do principal da 
dívida. É evidente que no último ano será pago o principal da dívida mais o juro no 
valor R$ 115.000,00. 
Mostramos a seguir, uma planilha para o cálculo desta amortização: 
 
 
Exercícios: 
1) Criar a planilha de depreciação para um financiamento de R$ 10.000,00, a ser pago 
pelo Sistema de Amortização Americano, para ser liquidado em 4 meses à taxa de 1% 
a.m. 
MATEMÁTICA FINANCEIRA – José de Arimatéa Dantas 
 
81 
 
 
 
 
6.2 Sistema de Amortização Constante: 
Neste sistema de amortização, o valor das parcelas de amortização do principal é 
obtido pela divisão do principal pelo número de períodos do empréstimo, sendo o 
juro calculado sobre o saldo devedor de cada mês. 
 
Para as operações de médio e longo prazo é comum que os contratos tenham 
cláusula de correção monetária, razão pela qual, todo mês o saldo devedor 
precisa ser corrigido. Isto nos leva a ter que rever o valor da amortização a cada 
mês, pois a correção monetária passa a integrar o saldo da dívida. 
 
Exercícios: 
2) Montar tabela demonstrando mensalmente o valor da amortização, juro e valor da prestação pelo SAC, 
para um financiamento de R$ 3.600,00 por 6 meses à taxa de 5% a. m. 
 
 
A B C D E F G
1 Valor 10.000,00
2 Período 4 meses
3 Taxa 1% a.m.
4
5
6 Saldo Antes Amortização Saldo após
7
1ª
10.000,00
0,00
10.000,00 100,00 100,00
8
2ª
10.000,00
0,00 10.000,00 100,00 100,00
9 3ª 10.000,00 0,00 10.000,00 100,00 100,00
10 4ª 10.000,00 10.000,00 0,00 100,00 10.100,00
Controle da Amortização
Juro ParcelaParcelas
=$C$1 =C7-D7 =C7*$C$3 =D7+F7
=E7
A B C D E F G
1 Empréstimo (PV) 3.600,00
2 Número de parcelas (n) 6 parcelas
3 Taxa 5% a.m.
4 Amortização (A) 600,00
5
6
Saldo Devedor 
Antes
Amortização (A)
Saldo Devedor 
Após
7
1ª
3.600,00 600,00 3.000,00 180,00 780,00
8
2ª
3.000,00
600,00 2.400,00 150,00 750,00
9 3ª 2.400,00 600,00 1.800,00 120,00 720,00
10 4ª 1.800,00 600,00 1.200,00 90,00 690,00
11 5ª 1.200,00 600,00 600,00 60,00 660,00
12 6ª 600,00 600,00 0,00 30,00 630,00
Parcelas
Controle da Amortização
Juro Parcela
=D1 =C7-D7 =C7*$D$3 =D7+F7
=E7
00600
6
006003
,$
,.
R==
n
PV
=A
=D$4
MATEMÁTICA FINANCEIRA – José de Arimatéa Dantas 
 
82 
 
 
Observe que as parcelas mensais vão diminuindo mês a mês, pois o valor a 
amortizar mensalmente é fixo, enquanto o valor de juro diminui a cada mês, em 
função da diminuição do saldo devedor. 
 
3) Idem ao exercícios anterior, para um empréstimo de R$ 20.000,00 amortizável em 8 meses à taxa de 4% 
a. m. 
 
 
 
4) Com relação ao exercício anterior, refaça a planilha considerando que o contrato prevê correção 
monetária pela TR. 
 
Observe que neste caso, antes do cálculo do valor da amortização, o saldo 
devedor é corrigido pelo valor da TR, razão pela qual, todo mês é recalculado o 
valor da amortização. 
A B C D E F G
1 Empréstimo (PV) 20.000,00
2 Número de parcelas (n) 8 parcelas
3 Taxa 4% a.m.
4 Amortização (A) 2.500,00
5
6
Saldo Devedor 
Antes
Amortização (A)
Saldo Devedor 
Após
7
1ª
20.000,00 2.500,00 17.500,00 800,00 3.300,00
8
2ª
17.500,00
2.500,00 15.000,00 700,00 3.200,00
9 3ª 15.000,00 2.500,00 12.500,00 600,00 3.100,00
10 4ª 12.500,00 2.500,00 10.000,00 500,00 3.000,00
11 5ª 10.000,00 2.500,00 7.500,00 400,00 2.900,00
12 6ª 7.500,00 2.500,00 5.000,00 300,00 2.800,00
13 7ª 5.000,00 2.500,00 2.500,00 200,00 2.700,00
14 8ª 2.500,00 2.500,00 0,00 100,00 2.600,00
Parcelas
Controle da Amortização
Juro Parcela
=D1 =C7-D7 =C7*$D$3 =D7+F7
=E7
005002
8
0000020
,.$
,.
R==
n
PV
=A
=D$4
A B C D E F G H I J
1 Empréstimo (PV) 20.000,00
2 Número de parcelas (n) 8 parcelas
3 Taxa 4% a.m.
4
5
6
a 
ven- 
cer
Saldo Dev. 
Antes da 
Corr.Monet.
T.R.
Saldo Dev. 
Após Corr. 
Monetária
Amortização 
(A)
Saldo Devedor 
Após 
Amortização
7
1ª
8 20.000,00
0,08%
20.016,00 2.502,00 17.514,00 800,64 3.302,64
8
2ª
7 17.514,00
0,12% 17.535,02 2.505,00 15.030,01 701,40 3.206,40
9 3ª 6 15.030,01 0,05% 15.037,53 2.506,25 12.531,27 601,50 3.107,76
10 4ª 5 12.531,27 0,11% 12.545,06 2.509,01 10.036,05 501,80 3.010,81
11 5ª 4 10.036,05 0,04% 10.040,06 2.510,02 7.530,05 401,60 2.911,62
12 6ª 3 7.530,05 0,07% 7.535,32 2.511,77 5.023,54 301,41 2.813,19
13 7ª 2 5.023,54 0,18% 5.032,59 2.516,29 2.516,29 201,30 2.717,60
14 8ª 1 2.516,29 0,15% 2.520,07 2.520,07 0,00 100,80 2.620,87
Controle da Amortização
Juro Parcela
Parcelas
=F1 =F7-G7 =F7*$F$3 =G7+I7
=H7
=F7/C7=D7*(1+E7)=F2
=H7=C7-1
MATEMÁTICA FINANCEIRA – José de Arimatéa Dantas 
 
83 
 
6.3 Sistema Francês de Amortização. 
É um sistema no qual o que é constante são as prestações, razão pela qual a 
correção monetária que porventura exista em um determinado mês, deve ser 
aplicada diretamente sobre a prestação do mês anterior. 
 
Exercícios: 
5) Refaça os exerccícios 2 e 3, considerando o Sistema Francês de Amortização. 
Rafazendo o 2 
 
Note que neste caso, as parcelas são constantes, calculadas antecipadamente e ovalor da amortização é obtido 
pela subtração da parcela pelo juro. 
 Refazendo o 3 
 
A B C D E F G
1 Empréstimo (PV) 3.600,00
2 Número de parcelas (n) 6 parcelas
3 Taxa 5% a.m.
4 Valor da Prestação 709,26
5
6
Saldo Devedor 
Antes
Amortização (A)
Saldo Devedor 
Após
7
1ª
3.600,00 529,26 3.070,74 180,00 709,26
8
2ª
3.070,74
555,73 2.515,01 153,54 709,26
9 3ª 2.515,01 583,51 1.931,50 125,75 709,26
10 4ª 1.931,50 612,69 1.318,81 96,57 709,26
11 5ª 1.318,81 643,32 675,49 65,94 709,26
12 6ª 675,49 675,49 0,00 33,77 709,26
Parcelas
Controle da Amortização
Juro Parcela
=D1 =C7-D7 =C7*$D$3 =D$4
=E7
=G7 - F7
A B C D E F G
1 Empréstimo (PV) 20.000,00
2 Número de parcelas (n) 8 parcelas
3 Taxa 4% a.m.
4 Valor da Prestação 2.970,56
5
6
Saldo Devedor 
Antes
Amortização (A)
Saldo Devedor 
Após
7
1ª
20.000,00 2.170,56 17.829,44 800,00 2.970,56
8
2ª
17.829,44
2.257,38 15.572,06 713,18 2.970,56
9 3ª 15.572,06 2.347,67 13.224,39 622,88 2.970,56
10 4ª 13.224,39 2.441,58 10.782,81 528,98 2.970,56
11 5ª 10.782,81 2.539,24 8.243,57 431,31 2.970,56
12 6ª 8.243,57 2.640,81 5.602,75 329,74 2.970,56
13 7ª 5.602,75 2.746,45 2.856,30 224,11 2.970,56
14 8ª 2.856,30 2.856,30 0,00 114,25 2.970,56
Parcelas
Controle da Amortização
Juro Parcela
=D1 =C7-D7 =C7*$D$3 =D$4
=E7
=G7 - F7
MATEMÁTICA FINANCEIRA – José de Arimatéa Dantas 
 
84 
 
6) Refazer os dois exercícios anteriores, considerando agora que o contrato prevê correção 
monetária pela TR 
(referente ao Ex.2) 
 
Note, o saldo devedor é corrigido antes da amortização. Isto requer que o valor da prestação 
seja recalculado para cada parcela. 
(referente ao Ex. 3) 
 
 
Exercícios para fixação: 
1) Monte uma planilha de amortização de um financiamento habitacional de 15 anos pelo SAC, no 
valor de R$ 120.000,00 e taxa de juro de 12% a.a, composta mensalmente. 
2) Com os dados do exercício anterior, monte uma planilha de amortização pelo Sistema Francês. 
 
 
MATEMÁTICA FINANCEIRA – José de Arimatéa Dantas 
 
85 
 
CAPÍTULO 7 
Séries Disformes de Capitais. 
 
Quando uma pessoa assume o risco de uma atividade empresarial, ela tem como 
expectativa a obtenção de lucro. 
Na verdade, o empreendedor poderia deixar seu dinheiro aplicado em um 
investimento qualquer, como poupança, fundo de renda fixa, ações etc. Porém, 
pela expectativa de um retorno maior, ele assume o risco do negócio em busca do 
lucro. 
Mas dizer que o lucro é maior ou menor, não diz tudo em termos remuneração do 
capital investido, pois o lucro é o que obtemos depois de subtrair da receita todos 
os custos e despesas necessárias para manter a empresa funcionando, inclusive 
impostos. 
A porcentagem do lucro líquido em relação à receita obtida é conhecida como 
Margem Líquida. e da receita tirando o lucro, tudo são obrigações para com 
terceiros (fornecedores de matéras primas, mercadorias e serviços e os fiscos nas 
três esferas de governo). 
Devido aos riscos envolvidos em um empreendimento, é imperativo que antes de 
se gastar o primeiro centavo, faça-se uma projeção do investimento necessário e 
das expectativas de entradas e saídas efetivas de recursos durante um período de 
tempo de longo prazo para analisar se os saldos anuais dessas entradas e saídas 
efetivas de dinheiro garantem um retorno suficiente para remunerar de forma justa 
o investimento. 
Estas Análises de Projetos são muito comuns nas empresas com administração 
profissional. Usa-se para analisar novos investimentos, investimentos em 
expansão do negócio, de substituição ou reforma e em qualquer situação que 
envolva investimentos de longo prazo. Mas infelizmente, no universo dos 
pequenos negócios é comum se iniciar um negócio sem nenhuma projeção do 
retorno que o negócio deve dar. 
Todo o projeto tem seu fluxo de caixa, composto por investimento inicial e o 
resultado periódico entre as entradas e saídas de recursos ano a ano, que pode 
ser representado da seguinte forma: 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA FINANCEIRA – José de Arimatéa Dantas 
 
86 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7.1 Taxa Interna de Retorno (TIR) 
Como podemos notar, os resultados periódicos não são constantes, razão pela 
qual, não há uma fórmula pré-determinada que faça o cálculo do que chamaremos 
de “Taxa Interna de Retorno do Investimento” (TIR), que nada mais é do que 
aquilo que convencionamos chamar de taxa de juros na capitalização simples, na 
capitalização composta e nas séries de capitais constantes. 
Em um passado não muito distante, quando as calculadoras eletrônicas não eram 
tão baratas e computadores eram máquinas nada amigáveis e de valores e 
tamanhos que não cabiam numa residência, quanto mais em uma sala de aula ou 
mochila como temos hoje, calculávamos a TIR por tentativa e erro, obedecendo os 
seguintes passos: 
a) Determinávamos uma taxa que julgávamos ser a TIR; 
b) Trazíamos a valor presente cada um dos resultados periódicos das 
entradas e saídas de caixa anuais; 
c) Somávamos os resultados e verificávamos se o total era igual ao 
Investimento Inicial 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 2 3 4 5 0 
Investimento Inicial 
Saldos anuais entre 
entradas e saídas de caixa 
1 2 3 4 5 0 
Saldos anuais entre 
entradas e saídas de caixa 
MATEMÁTICA FINANCEIRA – José de Arimatéa Dantas 
 
87 
 
 
 
Se o resultado, que chamamos de Valor Atual dos Fluxos de Caixa - VAFC fosse 
igual ao Investimento Inicial, o exercício estaria resolvido. Se fosse maior, 
pegaríamos uma taxa maior e refaríamos o cálculo. Se fosse menor, repetiríamos 
o cálculo com uma taxa menor. O processo só terminaria quando tivéssemos a 
taxa cujo resultado fosse igual ao valor do Investimento Inicial, sendo esta a TIR 
do projeto. 
 
Imaginemos que vamos investir $ 100.000,00 para a montagem de um negócio e 
projetamos os seguintes fluxos periódicos de entrada e saída de caixas anuais: 
 
Primeiro ano: $ 30.000,00 
Segundo ano: $ 60.000,00 
Terceiro ano: $ 40.000,00 
Quarto ano: $ 20.000,00 
Quinto ano: $ 25.000,00 
 
O Fluxo de caixa é o que segue, já incluídos os VAFC’s nas duas primeiras 
tentativas de achar o valor da TIR: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para resolver por tentativa e erro, traremos cada um dos fluxos periódicos à data 
do investimento inicial por uma taxa que consideramos que seja viável para o 
projeto. A soma dos cinco resultados, compararemos com o Investimento Inicial. 
 
Para o cálculo utilizaremos nossa fórmula do juro composto, com segue: 
 
𝐹𝑉 = 𝑃𝑉 × (1 + 𝑖)𝑛 
 
Sendo FV o fluxo de caixa Periódico, PV o valor do fluxo na data do investimento 
inicial e n o período entre o Investimento Inicial e o fluxo, precisaremos calcular os 
PV, usando então a fórmula: 
 
1 2 3 4 5 
$30.000 
$60.000 
$40.000 
$20.000 
$25.000 
$100.000 
0 
VAFC 
= 
90.522,31 
VAFC 
= 
109.506,80
1 
MATEMÁTICA FINANCEIRA – José de Arimatéa Dantas 
 
88 
 
𝑃𝑉 = 
𝐹𝑉
(1 + 𝑖)𝑛
 
 
Como serão 5 descapitalizações, utilizaremos a seguinte formulação para o cálculo 
do Valor Atual dos Fluxos de Caixa (VAFC), que nada mais é do que a soma dos 
PV’s de cada fluxo: 
 
𝑉𝐴𝐹𝐶 = 
𝐹𝑉1
(1 + 𝑖)1
+
𝐹𝑉2
(1 + 𝑖)2
+
𝐹𝑉3
(1 + 𝑖)3
+
𝐹𝑉4
(1 + 𝑖)4
+
𝐹𝑉5
(1 + 𝑖)5
 
 
 Para começar, utilizaremos primeiramente a taxa de 30%. 
 
𝑉𝐴𝐹𝐶 = 
30.000
(1 + 0,3)1
+
60.000
(1 + 0,3)2
+
40.000
(1 + 0,3)3
+
20.000
(1 + 0,3)4
+
25.000
(1 + 0,3)5
 
 
𝑉𝐴𝐹𝐶 = 
30.000
(1,3)1
+
60.000
(1,3)2
+
40.000
(1,3)3+
20.000
(1,3)4
+
25.000
(1,3)5
 
 
𝑉𝐴𝐹𝐶 = 
30.000
1,3
+
60.000
1,69
+
40.000
2,197
+
20.000
2,8561
+
25.000
3.71293
 
 
𝑉𝐴𝐹𝐶 = 23.076,92 + 35.502,96 + 18.206,65 + 7.002,56 + 6.733,23 
 
𝑽𝑨𝑭𝑪 = 𝟗𝟎. 𝟓𝟐𝟐, 𝟑𝟏 
 
Como o VAFC é menor do que o Investimento inicial, devemos agora determinar 
uma taxa menor, (20%), para refazer o cálculo: 
 
𝑉𝐴𝐹𝐶 = 
𝐹𝑉1
(1 + 𝑖)1
+
𝐹𝑉2
(1 + 𝑖)2
+
𝐹𝑉3
(1 + 𝑖)3
+
𝐹𝑉4
(1 + 𝑖)4
+
𝐹𝑉5
(1 + 𝑖)5
 
 
𝑉𝐴𝐹𝐶 = 
30.000
(1 + 0,2)1
+
60.000
(1 + 0,2)2
+
40.000
(1 + 0,2)3
+
20.000
(1 + 0,2)4
+
25.000
(1 + 0,2)5
 
 
𝑉𝐴𝐹𝐶 = 
30.000
(1,2)1
+
60.000
(1,2)2
+
40.000
(1,2)3
+
20.000
(1,2)4
+
25.000
(1,2)5
 
 
𝑉𝐴𝐹𝐶 = 
30.000
1,2
+
60.000
1,44
+
40.000
1,728
+
20.000
2,0736
+
25.000
2.48832
 
 
𝑉𝐴𝐹𝐶 = 25.000,00 + 41.666.67 + 23.148,15 + 9.645,06 + 10.046,94 
 
𝑽𝑨𝑭𝑪 = 𝟏𝟎𝟗. 𝟓𝟎𝟔, 𝟖𝟎 
 
VAFC, maior do que o Investimento Inicial, utilizaremos agora uma taxa entre 20 e 
30%. Peguemos 25%: 
 
𝑉𝐴𝐹𝐶 = 
𝐹𝑉1
(1 + 𝑖)1
+
𝐹𝑉2
(1 + 𝑖)2
+
𝐹𝑉3
(1 + 𝑖)3
+
𝐹𝑉4
(1 + 𝑖)4
+
𝐹𝑉5
(1 + 𝑖)5
 
 
𝑉𝐴𝐹𝐶 = 
30.000
(1 + 0,25)1
+
60.000
(1 + 0,25)2
+
40.000
(1 + 0,25)3
+
20.000
(1 + 0,25)4
+
25.000
(1 + 0,25)5
 
 
MATEMÁTICA FINANCEIRA – José de Arimatéa Dantas 
 
89 
 
𝑉𝐴𝐹𝐶 = 
30.000
(1,25)1
+
60.000
(1,25)2
+
40.000
(1,25)3
+
20.000
(1,25)4
+
25.000
(1,25)5
 
 
𝑉𝐴𝐹𝐶 = 
30.000
1,25
+
60.000
1,5625
+
40.000
1,953125
+
20.000
2,441406
+
25.000
3,051758
 
 
𝑉𝐴𝐹𝐶 = 24.000,00 + 38.400,00 + 20.480,00 + 8.192,00 + 8.192,00 
 
𝑽𝑨𝑭𝑪 = 𝟗𝟗. 𝟐𝟔𝟒, 𝟎𝟎 
 
Já dá para saber que a TIR está entre 20 e 25%. Aproximando-se mais de 25%, 
razão pela qual poderíamos refazer todo o processo utilizando por exemplo 24%, 
até chegarmos a uma taxa que desse um VAFC muito próximo de $ 100.000,00. 
 
Para resumirmos todo o processo, utilizemos agora, as funções financeiras do 
EXCEL, como mostramos a seguir: 
 
 
 
 
Veja como foi simples: 
1. Primeiramente, relacionamos os valores do fluxo de caixa na vertical, 
atentando para o fato dos valores serem positivos ou negativos. O 
investimento inicial é sempre saída de recursos, portanto negativo, já 
resultados periódicos podem ser positivos ou negativos, conforme o fluxo 
de entrada e saída. 
2. Depois, entramos em fórmulas, selecionamos as financeiras e clicamos na 
TIR. 
3. Na caixa que aparece há um campo para os “valores” e outro para 
“estimativa”. No campo para valores, selecionamos os valores do fluxo de 
caixa e clicamos em “ok”. 
Normalmente, isto já é suficiente para chegar à TIR, porém como o cálculo 
também é feito por tentativa e erro, algumas vezes o computador não chegará a 
um resultado. Nestes casos, é preciso ajudá-lo colocando uma estimativa para a 
solução. 
Se você se esforçar, também conseguirá fazer o método de tentativa e erro na 
planilha do Excel, apenas programando os cálculos. Tente. 
A B C
1 Investimento Inicial -100.000
2 Ano 1 30.000
3 Ano 2 60.000
4 Ano 3 40.000
5 Ano 4 20.000
6 Ano 5 25.000
24,61%
 =TIR(B1:B6;[estimativa])
7 TIR
MATEMÁTICA FINANCEIRA – José de Arimatéa Dantas 
 
90 
 
Agora, demonstraremos passo a passo como chegar à solução pela HP12C: 
 
F REG (limpa todos os registros) 
100000 g CHS CFo (insere o investimento inicial) 
30000 g CHS CFj 
60000 g CFj 
40000 g CFj 
20000 g CFj 
25000 g CFj 
f IRR (calcula o valor da TIR) 
 
7.2 Taxa Mínima de Atratividade. 
Quando estamos decidindo se vamos por em prática um determinado projeto, 
devemos ter um parâmetro para decidir entre aceitar ou não aceitar o projeto. 
A Taxa Mínima de Atratividade é esse parâmetro, ou seja, a menor taxa para se 
aceitar um projeto. Por exemplo, se eu trabalhar com um ganho mínimo de 20% 
a.a., qualquer TIR inferior a esta porcentagem faz com que o projeto seja 
inviabilizável. 
 
7.3 Valor Presente Líquido. 
Lembremo-nos que quando calculamos a TIR pelo método de tentativa e erro, 
para cada taxa tentada, obtemos um Valor Atual dos Fluxos de Caixa – VAFC – 
específico da taxa utilizada no cálculo. 
O Valor Presente Líquido é a diferença entre o VAFC e o Investimento Inicial, 
quando descapitalizamos os fluxos periódicos à taxa de atratividade. 
Voltemos ao nosso exercício do item 10.1 para calcularmos o Valor Presente 
Líquido, considerando o valor presente líquido - VPL à taxa de 17% a.a. 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 2 3 4 5 
$30.000 
$60.000 
$40.000 
$20.000 $25.000 
0 
$100.000 
Insere os saldos anuais de 
entrada e saída de caixa 
MATEMÁTICA FINANCEIRA – José de Arimatéa Dantas 
 
91 
 
Sendo nossa taxa de atratividade de 17% a.a., vamos calcular o VAFC, como 
segue: 
𝑉𝐴𝐹𝐶 = 
𝐹𝑉1
(1 + 𝑖)1
+
𝐹𝑉2
(1 + 𝑖)2
+
𝐹𝑉3
(1 + 𝑖)3
+
𝐹𝑉4
(1 + 𝑖)4
+
𝐹𝑉5
(1 + 𝑖)5
 
 
𝑉𝐴𝐹𝐶 = 
30.000
(1 + 0,17)1
+
60.000
(1 + 0,17)2
+
40.000
(1 + 0,17)3
+
20.000
(1 + 0,17)4
+
25.000
(1 + 0,17)5
 
 
𝑉𝐴𝐹𝐶 = 
30.000
(1,17)1
+
60.000
(1,17)2
+
40.000
(1,17)3
+
20.000
(1,17)4
+
25.000
(1,17)5
 
 
𝑉𝐴𝐹𝐶 = 
30.000
1,17
+
60.000
1,3689
+
40.000
1,601613
+
20.000
1,87388721
+
25.000
2.1924480357
 
 
𝑉𝐴𝐹𝐶 = 25.641,03 + 43.830.81 + 24.974,82 + 10.673,00 + 11.402,78 
 
𝑽𝑨𝑭𝑪 = 𝟏𝟏𝟔. 𝟓𝟐𝟐, 𝟒𝟒 
 
Logo o Valor Presente Líquido, VPL será: 
𝑉𝑃𝐿 = 𝑉𝐴𝐹𝐶 − 𝐼. 𝐼. 
 
𝑉𝑃𝐿 = 116.522,44 − 100.000,00 
 
𝑉𝑃𝐿 = $ 16.522,44 
Mas o que isto significa: 
Nós já sabemos que a TIR deste projeto é de 24,61% a.a. Note que para obter os 
fluxos periódicos à taxa de 24,61%, precisamos investir $ 100.000,00. Já para 
obter os mesmos fluxos periódicos à taxa de 17%, precisaríamos investir $ 
116.522,44, ou seja, seria o mesmo que irmos hoje à note ao Jóquei Clube com $ 
100.000,00 e ficássemos fazendo apostas até o último páreo e ao acabar o último 
páreo, saíssemos do Jóquei com $ 16.522,44 a mais do que levamos, ou seja, foi 
uma boa noite, assim como este investimento é um bom investimentos 
considerando o retorno na data do Investimento Inicial à taxa de atratividade for de 
17% a.a. 
A seguir, temos a resolução pelo Excel: 
Para o cálculo, fazemos os seguintes procedimentos: 
1) Escolhemos células para digitar as informações para o cálculo: Taxa anual 
de atratividade, o Investimento Inicial e os fluxos periódicos; 
2) Escolhemos a célula para o cálculo; 
3) Na barra de ferramenta clicamos em fórmulas, escolhemos as financeiras e 
dentre elas a VPL; 
4) No Excel o VPL é considerado sem a subtração do Investimento Inicial; 
5) No primeiro campo incluímos o campo da Taxa Anual de Atratividade. Para 
tanto basta clicar na célula do valor da taxa mínima de atratividade; 
6) Clique então no campo Valor1. Estan dentro dele, você pode arrastar todos 
os fluxos periódicos de uma única vez, como está no exemplo, ou ir 
incluindo um a um; 
MATEMÁTICA FINANCEIRA – José de Arimatéa Dantas 
 
92 
 
7) Ao término das inclusões, clique em OK e aparece calculado o que 
conhecemos como VAFC; 
8) Em outra célula, subtraímos o VAFC calculado pelo Excel do Investimento 
Inicial. Como o Investimento Inicial está negativo na planilha, nós somamos 
o valor calculado pelo Excel com o valor do Investimento Inicial. 
 
 
 
Agora, demonstraremos passo a passo como chegar à soluçãopela HP12C: 
 
F REG (limpa todos os registros) 
100000 g CHS CFo (insere o investimento inicial) 
30000 g CFj 
60000 g CFj 
40000 g CFj 
20000 g CFj 
25000 g CFj 
17 i (insere a Taxa Mínima de Atratividade) 
f NPV (calcula o valor do VPL) 
 
O mesmo não aconteceria se nossa taxa de atratividade fosse de 28% a.a., pois 
aí, o VAFC seria menor do que os $ 100.000,00 e o VPL seria negativo, como 
calcularemos agora utilizando o Excel: 
 
A B
1 Taxa Mínima de Atratividade 17,0%
2 Investimento Inicial -100.000
3 Primeiro Ano: 30.000
4 Segundo Ano: 60.000
5 Terceiro Ano: 40.000
6 Quarto Ano: 20.000
7 Quinto Ano: 25.000
8
Cálculo do VAFC no excel R$ 116.522,44
9
Cálculo do VPL R$ 16.522,44
=VPL(B1;B3:B7)
= B8 + B2
Insere os saldos anuais de 
entrada e saída de caixa 
MATEMÁTICA FINANCEIRA – José de Arimatéa Dantas 
 
93 
 
 
 
Note que o VPL deu negativo, pois a taxa de atratividade é maior do que a TIR de 
24.61% que já conhecíamos. 
O que isto quer dizer? 
Quer dizer que a uma taxa de atratividade de 28%, maior do que a TIR de 24,61%, 
o Investimento Inicial de $100.000,00 é maior do que o necessário para se obter 
os fluxos periódicos projetados, razão pela qual, não se deve investir neste 
projeto, pois voltando ao nosso exemplo do Jóquei, neste dia entramos com $ 
100.000,00 e ao final da noite, contabilizamos um prejuízo de $ 6.141,28., 
voltando para casa com $ 93.858,62. 
 
Exercícios: 
1. Um projeto apresenta o seguinte fluxo de caixa: 
Investimento Inicial: $ 200.000,00 
Primeiro Ano: - $15.000,00 
Segundo Ano: $ 50.000,00 
Terceiro Ano: $ 80.000,00 
Quarto Ano: $ 60.000,00 
Quinto Ano: $ 50.000,00 
Sexto Ano: $ 40.000,00 
Sétimo Ano: $ 35.000,00 
Determine a Taxa de Retorno embutida neste projeto (TIR) 
 
Resolução: 
A B
1 Taxa Mínima de Atratividade 28,0%
2 Investimento Inicial -100.000
3 Primeiro Ano: 30.000
4 Segundo Ano: 60.000
5 Terceiro Ano: 40.000
6 Quarto Ano: 20.000
7 Quinto Ano: 25.000
8
Cálculo do VAFC no excel R$ 93.858,62
9
Cálculo do VPL -R$ 6.141,38
=VPL(B1;B3:B7)
= B8 + B2
MATEMÁTICA FINANCEIRA – José de Arimatéa Dantas 
 
94 
 
 
 
2. Uma empresa aceita projetos com Taxa de Atratividade Mínima de 15% a.a. 
No momento ela está analisando um projeto que apresenta o seguinte fluxo de caixa: 
Investimento Inicial: $ 820.000,00 
Primeiro Ano: -$ 40.000,00 
Segundo Ano: $ 200.000,00 
Terceiro Ano: $ 360.000,00 
Quarto Ano: $ 420.000,00 
Quinto Ano: $ 250.000,00 
Sexto Ano: $ 120.000,00 
 
Resolução 
 
Investimento Inicial -820.000 
Primeiro Ano: -40.000 
Segundo Ano: 200.000 
Terceiro Ano: 360.000 
Quarto Ano: 420.000 
Quinto Ano: 250.000 
Sexto Ano: 120.000 
VAFC 769.462 
VPL -50.538 
 
3.Um empreendedor fará um investimento de R$ 300.000,00 e espera obter os seguintes 
saldos de fluxo de caixa nos próximos 6 anos: 
Primeiro ano: $ -25.000 
Segundo ano: $130.000 
Terceiro ano: $240.000 
Investimento Inicial -200.000
Primeiro Ano: -15.000
Segundo Ano: 50.000
Terceiro Ano: 80.000
Quarto Ano: 60.000
Quinto Ano: 50.000
Sexto Ano: 40.000
Sétimo Ano: 35.000
TIR 10,05%
MATEMÁTICA FINANCEIRA – José de Arimatéa Dantas 
 
95 
 
Quarto ano: $130.000 
Quinto ano: $110.000 
Sexto ano: $30.000 
Ele tem a expectativa de uma taxa mínima de atratividade de 15%. 
Com estes dados, calcule a TIR e o VPL 
Resolução: 
 
 
 
 
Taxa de atratividade 15%
Investimento Inicial -300.000
Ano 1 -25.000
Ano 2 130.000
Ano 3 240.000
Ano 4 130.000
Ano 5 110.000
Ano 6 30.000
TIR 22,9%
Taxa de atratividade 15%
Investimento Inicial -300.000
Ano 1 -25.000
Ano 2 130.000
Ano 3 240.000
Ano 4 130.000
Ano 5 110.000
Ano 6 30.000
VAFC 376.351
VPL 76.351
MATEMÁTICA FINANCEIRA – José de Arimatéa Dantas 
 
96 
 
BIBLIOGRAFIA: 
SECURATO, José Roberto et allis. Cálculo Financeiro das 
Tesourarias. São Paulo, Saint Paul, 1.999. 
VIEIRA SOBRINHO, José Dutra. Matemática Financeira. São 
Paulo, Atlas, 1.989. 
FARIA, Rogério Gomes. Matemática Comercial e Financeira. São 
Paulo, Makron Books, 2.000. 
PUCCINI, Abelardo de Lima. Matemática Financeira Objetiva e 
Aplicada. São Paulo, Saraiva, 1.999. 
GITMAN, Lawrence J.. Princípios de Administração Financeira. 
São Paulo, Pearson, 2.010.