Alg_Aula02_Sistema_Equacoes_Lineares

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Álgebra Linear – Sistema de
Equações Lineares (SL)
Álgebra Linear – Sistema de
Equações Lineares (SL)
Prof. André Tiba
akot@cin.ufpe.br
Baia 65, ramais: 4765 ou 4338
esta aula baseia-se nas notas de aula gentilmente cedidas pelo professor Carlos Mello1
Sistemas de Equações Lineares (SL)
1. Introdução
2. Operações em SL
3. Forma escada
4. Soluções de um SL
5. Solução Geral de um SL
1. Introdução
2. Operações em SL
3. Forma escada
4. Soluções de um SL
5. Solução Geral de um SL
2
Sistemas Lineares: introdução
• Suponha o sistema:
Resolver o sistema (I), significa encontrar os valores de x1, x2 e x3 quesatisfaçam as três equações do sistema. Isto equivale a encontrar a
matriz:
1 4 3 1
2 5 4 4
1 3 2 5
ou
x1 + 4x2 + 3x3 = 1
2x1 + 5x2 + 4x3 = 4
x1 – 3x2 – 2x3 = 5
(1)
(2)
(3)
(I)
3
Resolver o sistema (I), significa encontrar os valores de x1, x2 e x3 quesatisfaçam as três equações do sistema. Isto equivale a encontrar a
matriz:
1 0 0 A
0 1 0 B
0 0 1 C
onde
x1 = A
x2 = B
x3 = C
Sistemas Lineares: introdução
• Um sistema de equações lineares com m equações e n
incógnitas é um conjunto de equações do tipo:
com aij, 1  i  m, 1  j  n, números reais (ou complexos).
• Uma solução para esse sistema é a n-upla de números (x1, x2,
..., xn) que satisfaça simultaneamente as m equações.
a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1
a12x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2
… …. … …
am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm
• Um sistema de equações lineares com m equações e n
incógnitas é um conjunto de equações do tipo:
com aij, 1  i  m, 1  j  n, números reais (ou complexos).
• Uma solução para esse sistema é a n-upla de números (x1, x2,
..., xn) que satisfaça simultaneamente as m equações.
4
a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1
a12x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2
… …. … …
am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm
Sistemas Lineares: introdução
• O sistema anterior pode ser escrito na forma matricial
como A.x = b:








mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa




21
22221
11211








mx
x
x

2
1









mb
b
b

2
1
• O sistema anterior pode ser escrito na forma matricial
como A.x = b:
5








mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa




21
22221
11211








mx
x
x

2
1









mb
b
b

2
1
onde,









mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A




21
22221
11211
Matriz dos
coeficientes









mx
x
x
x 
2
1Matriz dasincógnitas









mb
b
b
b 
2
1
Matriz dos termos
independentes
Sistemas Lineares: introdução
• Outra matriz é a chamada matriz ampliada do sistema








mmnmm
n
n
b
b
b
aaa
aaa
aaa





2
1
21
22221
11211
6








mmnmm
n
n
b
b
b
aaa
aaa
aaa





2
1
21
22221
11211
Observação: a matriz ampliada é uma forma compacta de descrever um SL.
Sistemas Lineares: operações em SL
• Operações que podem ser realizadas em uma matriz:
1. Permutar linhas da matriz;
2. Multiplicação de uma linha por um escalar k  0, k  ;
3. Substituição de uma linha, por uma nova linha;
4. Permutar colunas da matriz (aqui com muito cuidado, não
pode ser realizada em todos os casos).
• Operações que podem ser realizadas em uma matriz:
1. Permutar linhas da matriz;
2. Multiplicação de uma linha por um escalar k  0, k  ;
3. Substituição de uma linha, por uma nova linha;
4. Permutar colunas da matriz (aqui com muito cuidado, não
pode ser realizada em todos os casos).
7
Sistemas Lineares: operações em SL
• Operações que podem ser realizadas em uma matriz:
1. Permutar linhas da matriz;
• Permuta da i-ésima e j-ésima linhas (Li  Lj)
• Exemplo: trocar (L1  L3)








8
6
0
10
9
7
2
2
5
4
2-
1








0
6
8
7
9
10
5
2
2
1
2-
4
• Operações que podem ser realizadas em uma matriz:
1. Permutar linhas da matriz;
• Permuta da i-ésima e j-ésima linhas (Li  Lj)
• Exemplo: trocar (L1  L3)
8








8
6
0
10
9
7
2
2
5
4
2-
1








0
6
8
7
9
10
5
2
2
1
2-
4
Sistemas Lineares: operações em SL
• Operações que podem ser realizadas em uma matriz:
2. Multiplicação de uma linha por um escalar k  0, k ;
• Multiplicação da i-ésima linha por um escalar não-nulo k (Li  kLi)
• Exemplo: (L1  2L1)








8
6
0
10
9
7
2
2
5
4
2-
1








8
6
0
10
9
14
2
2
10
4
2-
2
• Operações que podem ser realizadas em uma matriz:
2. Multiplicação de uma linha por um escalar k  0, k ;
• Multiplicação da i-ésima linha por um escalar não-nulo k (Li  kLi)
• Exemplo: (L1  2L1)
9








8
6
0
10
9
7
2
2
5
4
2-
1








8
6
0
10
9
14
2
2
10
4
2-
2
Sistemas Lineares: operações em SL
• Operações que podem ser realizadas em uma matriz:
3. Substituição de uma linha, por uma nova linha;
• Substituição da i-ésima linha pela i-ésima linha mais k vezes a j-ésima
linha (Li  Li+ k.Lj) .
• Exemplo: (L3  L3 - 2L1) , k = -2
• Operações que podem ser realizadas em uma matriz:
3. Substituição de uma linha, por uma nova linha;
• Substituição da i-ésima linha pela i-ésima linha mais k vezes a j-ésima
linha (Li  Li+ k.Lj) .
• Exemplo: (L3  L3 - 2L1) , k = -2
10








8
6
0
10
9
7
2
2
5
4
2-
1








8
6
0
4-
9
7
8-
2
5
2
2-
1
Sistemas Lineares: operações em SL
• É importante observarmos que usamos apenas operações
de multiplicação, adição e permutação de linhas.
• Assim, todo o processo é reversível;
• Os sistemas criados ao longo do processo são ditos
equivalentes;
• É importante observarmos que usamos apenas operações
de multiplicação, adição e permutação de linhas.
• Assim, todo o processo é reversível;
• Os sistemas criados ao longo do processo são ditos
equivalentes;
11
Sistemas Lineares: operações em SL
• Operações que podem ser realizadas em uma matriz:
4. Permutar colunas da matriz (aqui com muito cuidado, não
pode ser realizada em todos os casos).
• Substituição da i-ésima coluna pela i-ésima coluna (Ci  Cj) .
• Exemplo: (C2  C3 ), neste caso é possível !
1 4 3 1 x1 + 4x2 + 3x3 = 1
• Operações que podem ser realizadas em uma matriz:
4. Permutar colunas da matriz (aqui com muito cuidado, não
pode ser realizada em todos os casos).
• Substituição da i-ésima coluna pela i-ésima coluna (Ci  Cj) .
• Exemplo: (C2  C3 ), neste caso é possível !
12
1 4 3 1
2 5 4 4
1 3 2 5 sistemas
equivalentes
x1 + 4x2 + 3x3 = 1
2x1 + 5x2 + 4x3 = 4
x1 – 3x2 – 2x3 = 5
1 3 4 1
2 4 5 4
1 2 3 5
x1 + 3x3 + 4x2 = 1
2x1 + 4x3 + 5x2 = 4
x1 – 2x3 – 3x2 = 5
Sistemas Lineares: operações em SL
• Operações que podem ser realizadas em uma matriz:
4. Permutar colunas da matriz (aqui com muito cuidado, não
pode ser realizada em todos os casos).
• Porém isso não vale para a coluna das variáveis independentes, veja
porque . Exemplo: (C2  C4 ).
1 4 3 1 x1 + 4x2 + 3x3= 1
• Operações que podem ser realizadas em uma matriz:
4. Permutar colunas da matriz (aqui com muito cuidado, não
pode ser realizada em todos os casos).
• Porém isso não vale para a coluna das variáveis independentes, veja
porque . Exemplo: (C2  C4 ).
13
1 4 3 1
2 5 4 4
1 3 2 5 sistemas
diferentes
x1 + 4x2 + 3x3 = 1
2x1 + 5x2 + 4x3 = 4
x1 – 3x2 – 2x3 = 5
1 1 3 4
2 4 4 5
1 5 2 -3
x1 + x2 + 3x3 = 4
2x1 + 4x2 + 4x3 = 5
x1 + 5x2 – 2x3 = -3
Sistemas Lineares: forma escada
• Definição: Uma matriz mxn é linha reduzida à forma
escada se:
1) O primeiro elemento não nulo de uma linha não nula, vale 1.
2) Cada coluna que contém o primeiro elemento não nulo de alguma
linha tem todos os seus outros elementos iguais a zero.
3) Toda linha nula ocorre abaixo de todas as linhas não nulas (isto é,
daquelas que possuem pelo menos um elemento não nulo).
4) Se as linhas 1, ..., r são as linhas não nulas, e se o primeiro
elemento não nulo da linha i ocorre na coluna ki, então:
• k1 < k2 < .... < kr
 Essa condição impõe a forma escada à matriz
• Definição: Uma matriz mxn é linha reduzida à forma
escada se:
1) O primeiro elemento não nulo de uma linha não nula, vale 1.
2) Cada coluna que contém o primeiro elemento não nulo de alguma
linha tem todos os seus outros elementos iguais a zero.
3) Toda linha nula ocorre abaixo de todas as linhas não nulas (isto é,
daquelas que possuem pelo menos um elemento não nulo).
4) Se as linhas 1, ..., r são as linhas não nulas, e se o primeiro
elemento não nulo da linha i ocorre na coluna ki, então:
• k1 < k2 < .... < kr
 Essa condição impõe a forma escada à matriz
14
Sistemas Lineares: forma escada
• Exemplo 1:
A é forma escada.0 1 -3 0 20 0 0 1 2
0 0 0 0 0
A =
• Exemplo 1:
15
• Contra-exemplo 1:
A não é forma escada pois a condição 2)
não é satisfeita. O primeiro elemento
não nulo da linha 3 é a33, portanto, paraque A fosse escada, todo os outros
elementos da coluna 3 deveriam ser
nulos, com exceção de a33.
A =
1 0 0 0
0 1 -1 0
0 0 1 0
Sistemas Lineares: forma escada
• Contra-exemplo 2: Não é forma escada pois:
a) não satisfaz a condição 1), a21  1b) não satisfaz a condição 4) , o primeiro
elemento não-nulo da segunda linha
deveria estar em uma posição maior do
que a do primeiro elemento não-nulo da
linha anterior.
A =
0 2 1
1 0 -3
0 0 0
• Contra-exemplo 2:
16
Não é forma escada pois:
a) não satisfaz a condição 1), a21  1b) não satisfaz a condição 4) , o primeiro
elemento não-nulo da segunda linha
deveria estar em uma posição maior do
que a do primeiro elemento não-nulo da
linha anterior.• Contra-exemplo 3:
A =
0 1 -3 0 1
0 0 0 0 0
0 0 0 -1 2
Não é forma escada pois não satisfaz as condições:
3)  existe uma linha nula acima de outra linha não nula.
1) a34  1
Sistemas Lineares: forma escada
• Teorema: Toda matriz Amxn é linha equivalente a
uma única matriz-linha reduzida à forma escada.
• Definição: Dada uma matriz Amxn, seja Bmxn a matriz-
linha reduzida à forma escada linha equivalente a A. O
posto de A, denotado por p, é o número de linhas não-
nulas de B. A nulidade de A é o número n – p.
• Teorema: Toda matriz Amxn é linha equivalente a
uma única matriz-linha reduzida à forma escada.
• Definição: Dada uma matriz Amxn, seja Bmxn a matriz-
linha reduzida à forma escada linha equivalente a A. O
posto de A, denotado por p, é o número de linhas não-
nulas de B. A nulidade de A é o número n – p.
17
Sistemas Lineares: forma escada
• Exemplo 1: Achar o posto e a nulidade de A:










1
5
0
121
301
121
A
• Exemplo 1: Achar o posto e a nulidade de A:
18










1
5
0
121
301
121
A










1
5
0
121
301
121
L2 = L2 + L1
L3 = L3  L1 







 1
5
0
040
420
121
L2 = L2/2
Sistemas Lineares: forma escada
• Exemplo: Achar o posto e a nulidade de A:
L3 = L3 + 4L2 






 
11
5/2
5-
800
210
301








 1
2/5
0
040
210
121 L1 = L1  2L2
L3 = L3/8
• Exemplo: Achar o posto e a nulidade de A:
19







 
11/8
5/2
5-
100
210
301 L1 = L1 + 3L3
L2 = L2  2L3








11/8
1/4-
7/8-
100
010
001
O posto de A é 3 e a nulidade é 4 – 3 = 1
Sistemas Lineares: forma escada
• Suponha que a matriz A represente a forma ampliada do
sistema de equações:










1
5
0
121
301
121
A
x1 + 2x2 + x3 = 0
x1 + 0x2 + 3x3 = 5
x1 – 2x2 + x3 = 1
• Suponha que a matriz A represente a forma ampliada do
sistema de equações:
20
Ele terá a mesma solução do sistema abaixo:










1
5
0
121
301
121
A








11/8
1/4-
7/8-
100
010
001 x1= -7/8
x2= -1/4
x3= 11/8
Sistemas Lineares: forma escada
• Exemplo: Achar o posto e a nulidade de B:











8164
151
241
312
B
• Exemplo: Achar o posto e a nulidade de B:
21
L1 = L2
L2 = L1










8164
151
241
312










8164
151
312
241
L2 = L2 – 2L1
L3 = L3  L1










000
190
190
241
L4 = L4  4L1











8164
151
241
312
B
Sistemas Lineares: forma escada
• Exemplo: Achar o posto e a nulidade de B:
L3 = L3  L2










000
190
190
241
L2 = L2 /(9)









000
000
190
241
• Exemplo: Achar o posto e a nulidade de B:
22










000
190
190
241









000
000
190
241
L1 = L1 4L2








000
000
9/110
241








000
000
9/110
9/1401
O posto de B é 2
e sua nulidade é
3 – 2 = 1
Sistemas Lineares: soluções
• Seja um sistema de uma equação e uma incógnita
ax = b, então existem 3 possibilidades:
 a  0: neste caso, o problema possui uma única solução.
• x = b/a
 a = 0 e b = 0: então 0x = 0, x pode ser qualquer número real,
ou seja, o problema possui infinitas soluções.
 a = 0 e b  0: temos 0x = b, o que significa que não existe um
valor real de x para o problema, ou seja, não há solução para o
problema.
• Vamos analisar o que acontece com sistemas de duas
equações e duas incógnitas...
• Seja um sistema de uma equação e uma incógnita
ax = b, então existem 3 possibilidades:
 a  0: neste caso, o problema possui uma única solução.
• x = b/a
 a = 0 e b = 0: então 0x = 0, x pode ser qualquer número real,
ou seja, o problema possui infinitas soluções.
 a = 0 e b  0: temos 0x = b, o que significa que não existe um
valor real de x para o problema, ou seja, não há solução para o
problema.
• Vamos analisar o que acontece com sistemas de duas
equações e duas incógnitas...
23
Sistemas Lineares: soluções
• Exemplo 1:



 631
512A2x1 + x2 = 5x1  3x2 = 6
 Encontrando a matriz na reduzida à forma escada
• Exemplo 1:
24
 Encontrando a matriz na reduzida à forma escada



 631
512 L1 = L1/2



 631
2/52/11
L2 = L2 – L1



 7/27/20
2/52/11 L1 = L1 – L2/2



110
/252/11
L2 = -(2/7)L2 


110
301
Sistemas Lineares: soluções
• Exemplo 1(continuação):
 Assim, o sistema dado tem uma única soluçãocom x1 = 3 e x2 = -1.
 O posto da matriz de coeficientes reduzidos e o da matriz ampliada
é 2.
2x1 + x2 = 5
x1  3x2 = 6
• Exemplo 1(continuação):
25
 Assim, o sistema dado tem uma única solução com x1 = 3 e x2 = -1.
 O posto da matriz de coeficientes reduzidos e o da matriz ampliada
é 2.



10
01



110
301
Matriz de coeficientes reduzidos Matriz ampliada
Sistemas Lineares: soluções
• Exemplo 2:
 Encontrando a matriz na reduzida à forma escada


 1536
512A2x1 + x2 = 56x1 + 3x2 = 15
• Exemplo 2:
26
 Encontrando a matriz na reduzida à forma escada



000
2/52/11
L1 = L1/2



5136
2/52/11
L2 = L2 - 6L1


1536
512
 A segunda equação pode ser ignorada,
pois não estabelece condição sobre x1
ou x2
Sistemas Lineares: soluções
• Exemplo 2 (continuação):
 Assim, para resolver o sistema, utiliza-se apenas a primeira
equação:
• 2x1 + x2 = 5
 e, por exemplo, assumimos que x2 = t
 Dessa forma:
• x1 = (5 – t)/2
 Para qualquer valor de t dentro dos reais
2x1 + x2 = 5
6x1 + 3x2 = 15
• Exemplo 2 (continuação):
27
 Assim, para resolver o sistema, utiliza-se apenas a primeira
equação:
• 2x1 + x2 = 5
 e, por exemplo, assumimos que x2 = t
 Dessa forma:
• x1 = (5 – t)/2
 Para qualquer valor de t dentro dos reais
Sistemas Lineares: soluções
• Exemplo 3:
 Encontrando a matriz na reduzida à forma escada


 1036
512A2x1 + x2 = 56x1 + 3x2 = 10
L1 = L1/2



0136
2/52/11



1036
512
• Exemplo 3:
28
L1 = L1/2



0136
2/52/11
L2 = L2 - 6L1


1036
512



5-00
2/52/11
L2 = -L2/5 


100
2/52/11 L1 = L1 – (2/5)L2



100
02/11
Sistemas Lineares: soluções
• Exemplo 3 (continuação):
 No caso, tornamos o sistema equivalente a:
 Não existe nenhum valor de x1 e x2 que satisfaça a segunda
equação, assim, o sistema não tem solução.
 O posto da matriz de coeficientes reduzidos é 1 e o da matriz
ampliada é 2.
x1 + 1/2x2 = 0
0x1 + 0x2 = 1
• Exemplo 3 (continuação):
29
 No caso, tornamos o sistema equivalente a:
 Não existe nenhum valor de x1 e x2 que satisfaça a segunda
equação, assim, o sistema não tem solução.
 O posto da matriz de coeficientes reduzidos é 1 e o da matriz
ampliada é 2.
Matriz de coeficientes reduzidos Matriz ampliada



00
2/11



100
02/11
Sistemas Lineares: soluções – caso geral
• Consideremos um sistema de m equações lineares com
n incógnitas x1, x2, ..., xn
• cujos coeficientes aij e termos constantes bi são números
reais
• Este sistema poderá ter:
a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1
a12x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2
… …. … …
am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm
• Consideremos um sistema de m equações lineares com
n incógnitas x1, x2, ..., xn
• cujos coeficientes aij e termos constantes bi são números
reais
• Este sistema poderá ter:
30
a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1
a12x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2
… …. … …
am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm
Sistemas Lineares: soluções – caso geral
• i) Uma única solução
 Sistema possível (compatível) e determinado
• ii) Infinitas soluções
 Sistema possível (compatível) e indeterminado
• iii) Nenhuma solução
 Sistema impossível (incompatível)
• i) Uma única solução
 Sistema possível (compatível) e determinado
• ii) Infinitas soluções
 Sistema possível (compatível) e indeterminado
• iii) Nenhuma solução
 Sistema impossível (incompatível)
31
Sistemas Lineares: soluções – caso geral
Teorema:
 i) Um sistema de m equações e n incógnitas admite solução
se, e somente se, o posto da matriz ampliada é igual ao
posto da matriz dos coeficientes.
 ii) Se as duas matrizes têm o mesmo posto p, e p = n
(número de incógnitas), então a solução será única.
 iii) Se as duas matrizes têm o mesmo posto p, e p < n, então
podemos escolher n – p incógnitas, as outras p incógnitas
serão dadas em função dessas
• O grau de liberdade do sistema é n – p
• De ii) tem-se que o sistema terá solução única, se e somente se, o
número de graus de liberdade do sistema for nulo.
Teorema:
 i) Um sistema de m equações e n incógnitas admite solução
se, e somente se, o posto da matriz ampliada é igual ao
posto da matriz dos coeficientes.
 ii) Se as duas matrizes têm o mesmo posto p, e p = n
(número de incógnitas), então a solução será única.
 iii) Se as duas matrizes têm o mesmo posto p, e p < n, então
podemos escolher n – p incógnitas, as outras p incógnitas
serão dadas em função dessas
• O grau de liberdade do sistema é n – p
• De ii) tem-se que o sistema terá solução única, se e somente se, o
número de graus de liberdade do sistema for nulo.
32
Sistemas Lineares: soluções – caso geral
• Seja:
 pc = Posto da matriz dos coeficientes
 pa = Posto da matriz ampliada
 Se pc = pa, chamaremos de p
 m e n são as dimensões da matriz de coeficientes
• m equações com n incógnitas
• Seja:
 pc = Posto da matriz dos coeficientes
 pa = Posto da matriz ampliada
 Se pc = pa, chamaremos de p
 m e n são as dimensões da matriz de coeficientes
• m equações com n incógnitas
33
Sistemas Lineares: soluções – caso geral
• Exemplo 1:









2
2
3
100
010
001 1x + 0y + 0z = 3
0x + 1y + 0z = -2
0x + 0y + 1z = 2
=
• Exemplo 1:
34
pc = pa = 3m = 3, n = 3, p = 3
Nº de graus de liberdade:
n - p = 0
x = 3
y = 2
z = 2
o sistema possui uma única solução.
Sistemas Lineares: soluções – caso geral
• Exemplo 2:





65
107
10
01 1x + 0y + 7z = -10
0x + 1y + 5z = - 6=
• Exemplo 2:
35
m = 2, n = 3 e p = 2
Nº de graus de liberdade:
n - p = 1
pc = pa = 2 x = – 10 – 7z
y = – 6 – 5z
o sistema admite infinitas soluções, uma
para cada valor de z, z.
Sistemas Lineares: soluções – caso geral
• Exemplo 3:










2
6
10
000
510
701 1x + 0y + 7z = -10
0x + 1y + 5z = - 6
0x + 0y + 0z = 2
=
• Exemplo 3:
36
m = 3, n = 3
Nº de graus de liberdade:
n - p = 1
pc = 2, pa = 3 x = – 10 – 7z
y = – 6 – 5z
0x + 0y + 0z = 2
o sistema é impossível de ser
resolvido e não possui solução.
Sistemas Lineares: soluções – caso geral
• Exemplo 4:







 
0
4
10
0
1
2
000
710
1001 1x + 0y -10z - 2w = -10
0x + 1y + 7z +1w = 4
0x + 0y + 0z + 0w = 0
=
• Exemplo 4:
37
m = 3, n = 4 e p = 2
Nº de graus de liberdade:
n - p = 2
pc = pa = 2 x = – 10 +10z + 2w
y = 4 – 7z – w
o sistema admite, infinitas soluções,
uma para cada par (z,w), z,w  .
Sistemas Lineares: soluções – caso geral
• Exemplo 5:



 0
0
2
1
1
1
3
2
1
1x + 2y + z + t = 0
x + 3y – z + 2t = 0
• Exemplo 5:
38



 0
0
2
1
1
1
3
2
1
1
L2 = L2 - L1 


 0
0
1
1
2
1
1
2
0
1 L1 = L1 - 2L2


 
 0
0
1
1
2
5
1
0
0
1
Sistemas Lineares: soluções – caso geral
• Exemplo 5 (continuação):


 
 0
0
1
1
2
5
1
0
0
1 1x + 0y + 5z – t = 0
0x + 1y – 2z + t = 0=
• Exemplo 5 (continuação):
39
pc = pa = 2m = 2, n = 4 e p = 2
Nº de graus de liberdade:
n – p = 2
x = –5z + t
y = 2z – t
o sistema admite, infinitas soluções,
uma para cada par (z,t), z,t  .
Sistemas Lineares: soluções – caso geral
• Exemplo 6:



 3
1
2
1
1
1
3
2
1
1x + 2y + z + t = 1
x + 3y – z + 2t = 3
• Exemplo 6:
40



 3
1
2
1
1
1
3
2
1
1
L2 = L2 - L1 


 2
1
1
1
2
1
1
2
0
1 L1 = L1 - 2L2


 
 2
31
1
2
5
1
0
0
1
Sistemas Lineares: soluções – caso geral
• Exemplo 6 (continuação):


 
 2
3
1
1
2
5
1
0
0
1 1x + 0y + 5z – t = – 3
0x + 1y – 2z + t = 2=
• Exemplo 6 (continuação):
41
pc = pa = 2m = 2, n = 4 e p = 2
Nº de graus de liberdade:
n – p = 2
x = –3 – 5z + t
y = 2 + 2z – t
o sistema admite, infinitas soluções,
uma para cada par (z,t), z,t  .
Sistemas Lineares
• Problemas Sugeridos: do 10 ao 17
42