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�PAGE �1� Integral As integrais foram desenvolvidas em estudos realizados ainda no século XVII e o seu principal objetivo é centrado no cálculo de somas muito grandes, isto é, somatórias de áreas infinitesimais. É possível também calcular áreas de figuras planas limitadas por funções curvilíneas, bem como resolver vários tipos de equações diferenciais. Integral Indefinida O processo pelo qual se determina a primitiva de uma função dada denominamos de Integral, assim, dada à primitiva f(x) + c de uma função F(x) a relação entre f e F é expressa por: , que se lê na parte esquerda, integral de F(x) com relação à x, igual a integral definida que é f(x) + C. Fórmulas de Integração; As principais funções têm suas integrais diretamente obtidas por meio das regras de derivação. Assim: � = + C = senx + C = - cosx + C = u + C = + C � Exemplos: � Questão 1. Questão 2. Questão 3. � Propriedades da integral definida Se f e g são funções contínuas e K um número real então: � = K. = 3. = � O método de substituição no cálculo da integral Em alguns casos para se encontrar a integral do tipo , torna-se conveniente, fazer uma substituição de variável. Por exemplo: seja calcular Fazendo u = (x² + 1), teremos , onde du = 2xdx e. dx = , substituindo-se na integral acima: = = , fazendo a volta temos: �� EMBED Equation.3 . Integração por partes Se duas funções u e v são diferenciáveis então: d (uv) = u dv + v du ou u dv = d (uv) – v (du), onde : = uv - Exemplos: Questão 1. Questão 2. Integral definida Se f(x) é uma função tal que g(x) é uma primitiva então: . A integral definida de f(x) num intervalo de limites a e b é a diferença g(b) – g(a) a qual indicamos por: = g(b) – g(a) Propriedades da integral definida Se f(x) e g(x) são funções contínuas no intervalo de integração [a , b] e c é uma constante qualquer, então: � P1. P2. P3. para a < c < b P4. � Teorema Fundamental do Cálculo Se f(x) é uma função contínua no intervalo de integração [a, b] e se g(x) é uma primitiva dessa função, então: Cálculo de Áreas Dada à função f contínua em [ a , b ] e não negativa, a área A da figura abaixo é dada por A = f(x) a b A área A pode ser interpretada como a área limitada pela curva contínua y = f(x) , pelo eixo X e pelas retas x = a e x = b . Exemplos: Questão 1. Achar a área limitada pela curva y = x³ + 3x², pelo eixo X e pelas retas x = 0 e x = 2. Questão 2. Achar a área limitada pela curva y = 6x + x² - x³, pelo eixo X no primeiro quadrante. Questão 3. Calcular a área limitada pela curva y = - x² + 3x - 6, pelo eixo X, no intervalo [ 1 , 3 ]. Na definição de área ficou estabelecido que f(x) era uma função contínua e não negativa em [a, b]. Se f(x) é negativa em [a , b] , ou seja , se a curva está abaixo do eixo X, então, o valor de A = é negativo. Essas áreas são denominadas de áreas negativas. De um modo geral, se f(x) < 0 em [a , b] Então, . Dessa forma, a área do exemplo é A = - ( - ) = . Convém lembrar que para o cálculo de áreas sob curvas é necessário o conhecimento do comportamento gráfico das funções, pois existem como nos exemplos 1 e 2, funções cujos gráficos situam-se abaixo e acima do eixo X. Assim, a área total absoluta entre uma curva, o eixo X em um intervalo [a, b] é: Área total = De um modo geral se f(x) em [ a , c] e f(x) em [c , b], Então, a área total absoluta é A = = = A - A A a c b A Questão 4. Achar a área limitada pela curva y = senx , o eixo X em [0 , 2 ] Questão 5. Achar a área limitada pela curva y = 2x + x² - x³ , pelo eixo X e pela retas x = - 1 e x = 1. Áreas compreendidas entre curvas Sejam f(x) e g(x) duas funções contínuas no intervalo [a , b], tais que 0 para todo x do intervalo, então a área A da região compreendida entre os gráficos de f(x) e g(x) de x = a a x = b é dada por: A = _1078068035.unknown _1078245883.unknown _1078555822.unknown _1078556805.unknown _1078557323.unknown _1078671685.unknown _1227964867.unknown _1235838491.unknown _1078557439.unknown _1078557005.unknown _1078557265.unknown _1078557295.unknown _1078557230.unknown _1078556846.unknown _1078556942.unknown _1078556015.unknown _1078556361.unknown _1078555991.unknown _1078299060.unknown _1078552552.unknown _1078555641.unknown _1078299255.unknown _1078298818.unknown _1078298935.unknown _1078298798.unknown _1078124786.unknown _1078242480.unknown _1078244906.unknown _1078245684.unknown _1078243597.unknown _1078124893.unknown _1078242447.unknown _1078124853.unknown _1078124480.unknown _1078124671.unknown _1078124712.unknown _1078124536.unknown _1078124048.unknown _1078124242.unknown _1078068141.unknown _1078067327.unknown _1078067712.unknown _1078067955.unknown _1078067984.unknown _1078067921.unknown _1078067518.unknown _1078067637.unknown _1078067353.unknown _1078067145.unknown _1078067250.unknown _1078067274.unknown _1078067199.unknown _1078067064.unknown _1078067099.unknown _1078066471.unknown
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