Nivelamento+da+Semana+Acadêmica+(Integral)

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Integral
As integrais foram desenvolvidas em estudos realizados ainda no século XVII e o seu principal objetivo é centrado no cálculo de somas muito grandes, isto é, somatórias de áreas infinitesimais. É possível também calcular áreas de figuras planas limitadas por funções curvilíneas, bem como resolver vários tipos de equações diferenciais.
Integral Indefinida
 O processo pelo qual se determina a primitiva de uma função dada denominamos de Integral, assim, dada à primitiva f(x) + c de uma função F(x) a relação entre f e F é expressa por:
 
 , que se lê na parte esquerda, integral de F(x) com relação à x, igual a integral definida que é f(x) + C.
Fórmulas de Integração; 
As principais funções têm suas integrais diretamente obtidas por meio das regras de derivação. Assim:
�
 = 
 + C
 = senx + C
 = - cosx + C
 = 
 u + C
 = 
 + C
�
Exemplos:
�
Questão 1. 
 
Questão 2. 
 
Questão 3. 
 �
Propriedades da integral definida
 Se f e g são funções contínuas e K um número real então:
�
 = K. 
 = 
3. 
 = 
�
O método de substituição no cálculo da integral
Em alguns casos para se encontrar a integral do tipo 
, torna-se conveniente, fazer uma substituição de variável. Por exemplo: seja calcular 
 Fazendo u = (x² + 1), teremos 
, onde du = 2xdx e.
dx =
 , substituindo-se na integral acima: 
 = 
 = 
 , fazendo a volta temos: 
�� EMBED Equation.3 .
 
Integração por partes
Se duas funções u e v são diferenciáveis então:
d (uv) = u dv + v du ou u dv = d (uv) – v (du), onde :
 = uv - 
Exemplos:
Questão 1. 
Questão 2. 
 
Integral definida
Se f(x) é uma função tal que g(x) é uma primitiva então: 
.
A integral definida de f(x) num intervalo de limites a e b é a diferença 
g(b) – g(a) a qual indicamos por:
 = g(b) – g(a)
 
Propriedades da integral definida
 Se f(x) e g(x) são funções contínuas no intervalo de integração [a , b] e c é uma constante qualquer, então:
�
P1. 
P2. 
P3. 
 para a < c < b
P4. 
�
Teorema Fundamental do Cálculo
 Se f(x) é uma função contínua no intervalo de integração [a, b] e se g(x) é uma primitiva dessa função, então:
 
Cálculo de Áreas
Dada à função f contínua em [ a , b ] e não negativa, a área A da figura abaixo é dada por A = 
 f(x) 
 a b
A área A pode ser interpretada como a área limitada pela curva contínua y = f(x) , pelo eixo X e pelas retas x = a e x = b .
Exemplos:
Questão 1. Achar a área limitada pela curva y = x³ + 3x², pelo eixo X e pelas retas x = 0 e x = 2. 
Questão 2. Achar a área limitada pela curva y = 6x + x² - x³, pelo eixo X no primeiro quadrante.
Questão 3. Calcular a área limitada pela curva y = - x² + 3x - 6, pelo eixo X, no intervalo [ 1 , 3 ]. 
 
Na definição de área ficou estabelecido que f(x) era uma função contínua e não negativa em [a, b]. Se f(x) é negativa em [a , b] , ou seja , se a curva está abaixo do eixo X, então, o valor de A = 
 é negativo. Essas áreas são denominadas de áreas negativas. De um modo geral, se f(x) < 0 em [a , b] 
Então, 
. Dessa forma, a área do exemplo é A = - ( - 
 ) = 
.
Convém lembrar que para o cálculo de áreas sob curvas é necessário o conhecimento do comportamento gráfico das funções, pois existem como nos exemplos 1 e 2, funções cujos gráficos situam-se abaixo e acima do eixo X. 
Assim, a área total absoluta entre uma curva, o eixo X em um intervalo [a, b] é: Área total = 
De um modo geral se f(x) 
 em [ a , c] e f(x)
em [c , b],
Então, a área total absoluta é A = 
 =
 = A
- A
 A
 a c b
 A
Questão 4. Achar a área limitada pela curva y = senx , o eixo X em [0 , 2
]
Questão 5. Achar a área limitada pela curva y = 2x + x² - x³ , pelo eixo X e pela retas 
 x = - 1 e x = 1.
Áreas compreendidas entre curvas
 Sejam f(x) e g(x) duas funções contínuas no intervalo [a , b], tais que 
 0
 para todo x do intervalo, então a área A da região compreendida entre os gráficos de f(x) e g(x) de x = a a x = b é dada por:
 A = 
_1078068035.unknown
_1078245883.unknown
_1078555822.unknown
_1078556805.unknown
_1078557323.unknown
_1078671685.unknown
_1227964867.unknown
_1235838491.unknown
_1078557439.unknown
_1078557005.unknown
_1078557265.unknown
_1078557295.unknown
_1078557230.unknown
_1078556846.unknown
_1078556942.unknown
_1078556015.unknown
_1078556361.unknown
_1078555991.unknown
_1078299060.unknown
_1078552552.unknown
_1078555641.unknown
_1078299255.unknown
_1078298818.unknown
_1078298935.unknown
_1078298798.unknown
_1078124786.unknown
_1078242480.unknown
_1078244906.unknown
_1078245684.unknown
_1078243597.unknown
_1078124893.unknown
_1078242447.unknown
_1078124853.unknown
_1078124480.unknown
_1078124671.unknown
_1078124712.unknown
_1078124536.unknown
_1078124048.unknown
_1078124242.unknown
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_1078067327.unknown
_1078067712.unknown
_1078067955.unknown
_1078067984.unknown
_1078067921.unknown
_1078067518.unknown
_1078067637.unknown
_1078067353.unknown
_1078067145.unknown
_1078067250.unknown
_1078067274.unknown
_1078067199.unknown
_1078067064.unknown
_1078067099.unknown
_1078066471.unknown