VARIÁVEIS ALEATÓRIAS

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ÍNDICE 
 
3. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS ...................................................................................................49 
3.1. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS UNIDIMENSIONAIS..........................................................................49 
3.2. VARIÁVEIS DISCRETAS – FUNÇÃO DE PROBABILIDADE E FUNÇÃO DISTRIBUIÇÃO DE 
PROBABILIDADE. .............................................................................................................................50 
3.2.1. Função de probabilidade..............................................................................................................................50 
3.2.2. Função distribuição de probabilidade .......................................................................................................51 
3.3. VARIÁVEIS CONTÍNUAS – FUNÇÃO DE DENSIDADE DE PROBABILIDADE E FUNÇÃO DE 
DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE .................................................................................................53 
3.3.1. Função densidade de probabilidade ...........................................................................................................53 
3.3.2. Função de distribuição de probabilidade ..................................................................................................53 
3.4. PARÂMETROS DAS VARIÁVEIS ALEATÓRIAS ............................................................................55 
3.4.1. Valor médio ou valor esperado ...................................................................................................................55 
3.4.2. Variância e desvio padrão ...........................................................................................................................55 
3.4.3. Mediana..........................................................................................................................................................56 
3.4.4. Relação entre a média e a mediana ...................................................................................................................57 
3.5. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS BIDIMENSIONAIS ............................................................................58 
3.5.1. Variáveis aleatórias bidimensionais discretas ........................................................................................58 
3.5.1.1. Função de probabilidade conjunta.................................................................................................................58 
3.5.1.2. Função de distribuição conjunta ...................................................................................................................58 
3.5.1.3. Funções de probabilidade marginal ...............................................................................................................59 
3.5.2. Variáveis aleatórias bidimensionais contínuas.......................................................................................59 
3.5.2.1. Função de densidade de probabilidade conjunta ...........................................................................................59 
3.5.2.2. Função de distribuição conjunta ...................................................................................................................59 
3.5.2.3. Funções de densidade de probabilidade marginal..........................................................................................60 
3.6. RELAÇÕES ENTRE AS VARIÁVEIS X E Y....................................................................................61 
3.6.1. Funções de (densidade de) probabilidade condicionais .....................................................................................61 
3.6.2. Covariância ......................................................................................................................................................61 
3.6.3. Coeficiente de correlação linear..................................................................................................................62 
3.6.4. Independência das variáveis aleatórias X e Y ..........................................................................................62 
V A R I Á V E I S A L E A T Ó R I A S 
 
 
 49494949 
3. Variáveis Aleatórias 
3.1. Variáveis Aleatórias Unidimensionais 
As variáveis aleatórias (v.a.) aparecem com a necessidade de representar os 
resultados de uma experiência aleatória através de números reais. Em muitas 
situações o conjunto de valores que uma variável toma confunde-se com o 
próprio espaço de resultados. 
Uma variável aleatória pode definir-se como uma função definida num espaço de 
resultados S e que tem como contradomínio números reais. 
As variáveis aleatórias classificam-se em discretas ou contínuas consoante o tipo 
de conjunto de valores que elas podem tomar. 
Variável discreta: quando a variável assume valores num conjunto finito ou 
infinito numerável. 
Variável contínua: quando a variável assume valores de um conjunto infinito não 
numerável. 
As variáveis representam-se por letras maiúsculas (tipicamente, X, Y, Z, W, ...) e 
os valores que estas podem tomar pelas correspondentes minúsculas 
correspondentes (x, y, z, w, ...). 
Exemplo 3.1: 
Experiência aleatória: Medição do peso de uma pessoa escolhida ao acaso. 
Espaço de resultados: Conjunto de todos os pesos atribuíveis a uma pessoa. 
Variável aleatória: O peso da pessoa, que pode tomar qualquer valor do espaço 
de resultados. 
 
Existem no entanto outras situações em que os valores da variável aleatória não 
são os resultados do espaço de resultados mas sim uma transformação destes. 
Capítulo 
3 
V A R I Á V E I S A L E A T Ó R I A S 
 
 
 50505050 
Exemplos 3.2: 
Experiência aleatória: Lançamento de dois dados. 
Espaço de resultados: Conjunto dos valores obtidos pelos dois dados, num total 
de trinta e seis resultados possíveis (#S=36) 
 { }654321 ,,,,,y,x:)y,x(S == . 
Variável aleatória: Seja X a variável aleatória que representa a soma dos números 
dos pontos dos dois dados. 
 Esta v.a. pode tomar qualquer valor inteiro do número 2 ao 
número 12: 
 ( ) { }12432 ,...,,,SX = . 
Mas no mesmo espaço de resultados poder-se-ia definir outra variável aleatória 
Variável aleatória: Seja Y a variável aleatória que representa a diferença, em valor 
absoluto, dos números dos pontos dos dois dados. Esta v.a. 
pode tomar qualquer valor inteiro do número 0 ao número 5: 
 ( ) { }543210 ,,,,,SY = 
 
Exemplos 3.3: 
A variável resultado do lançamento de um dado é discreta (assume os valores 1, 
2, 3, 4, 5 ou 6). 
A variável que representa o tempo que um atleta leva a completar a prova dos 
100 m é contínua se admitirmos que é medida com precisão absoluta. 
 
3.2. Variáveis discretas – Função de probabilidade e função distribuição de 
probabilidade. 
3.2.1. Função de probabilidade 
Seja X uma variável aleatória discreta. Define-se como função de probabilidade 
(f.p.) a função que associa a cada valor que a variável pode tomar, a probabilidade 
dessa v.a. tomar esse valor. 
 )xX(P)x(f == (1) 
V A R I Á V E I S A L E A T Ó R I A S 
 
 
 51515151 
 Propriedades 
 1. x,)x(f ∀≥ 0 
 2. ∑ = 1)x(f 
 
Exemplo 3.4: 
Seja X a variável aleatória que representa o resultado do lançamento de um dado 
equilibrado. 
A função de probabilidade é definida por: 
6
1
6
6
1
5
6
1
4
6
1
3
6
1
2
6
1
1 ====== )(f,)(f,)(f,)(f,)(f,)(f 
e 0=)x(f para outros valores de x. 
Em termos de notação e de modo a simplificar, podemos representar a função de 
probabilidade por meio de uma tabela assumindo que os valores que não 
aparecem na tabela, têm probabilidade zero de ocorrer. No nosso exemplo 
teremos então: 
x 1 2 3 4 5 6 
f (x) 
6
1
 
6
1
 
6
1
 
6
1
 
6
1
 
6
1
 
 
Quando uma v.a. para todos os valores de x onde for 0≠)x(f o valor de )x(f 
for constante, diz-se que a v.a X tem uma distribuição uniforme (discreta) 
3.2.2. Função distribuição de probabilidade 
Define-se como função de distribuiçãode probabilidade de uma certa variável 
aleatória X , a função que associa a cada valor a probabilidade da variável 
aleatória tomar valor menores ou iguais a esse valor. 
 )xX(P)x(F ≤= (2) 
Da definição resulta que a função de distribuição pode ser calculada em qualquer 
ponto x através da função de probabilidade: 
 ∑
≤
=≤=
xt
)t(f)xX(P)x(F (3) 
V A R I Á V E I S A L E A T Ó R I A S 
 
 
 52525252 
 Propriedades 
 1. x,)x(F ∀≤≤ 10 
 2. 1=
+∞→
)x(Flim
x
 e 0=
−∞→
)x(Flim
x
 
 3. 211212 x,x,)x(F)x(Fxx ∀≥⇒> 
 4. )x(F)x(F)xXx(P 1221 −=≤ 
 4. )x(F)x(F)xXx(P 1221 −=≤ . 
2. Se existir um valor ix para o qual a ( ) 50,xF i = a mediana será 
2
1++
= ii
e
xx
M 
Caso contínuo 
No caso de uma v.a contínua a mediana é univocamente determinada, porque 
existe um só valor para o qual 
 5050 .))X(M(F.))X(MX(P ee =⇔=≤ 
3.4.4. Relação entre a média e a mediana 
Quando média e a mediana são iguais a distribuição diz-se simétrica: 
eM=µ 
Quando a distribuição é não simétrica temos uma de duas situações: 
 1. eM4. x,)y,x(Flim
y
∀=
−∞→
0 
 5. )y,x(F)y,x(Fyyxx 22112121 ≤⇒