aproximacao-binomial-normal

Prévia do material em texto

Aproximação Binomial Normal
Estatística II (Escola Superior de Administração, Marketing e Comunicação)
Scan to open on Studocu
Studocu is not sponsored or endorsed by any college or university
Aproximação Binomial Normal
Estatística II (Escola Superior de Administração, Marketing e Comunicação)
Scan to open on Studocu
Studocu is not sponsored or endorsed by any college or university
Downloaded by Fernandojorge Jorge (fernandojorgej66@gmail.com)
lOMoARcPSD|44656130
https://www.studocu.com/row?utm_campaign=shared-document&utm_source=studocu-document&utm_medium=social_sharing&utm_content=aproximacao-binomial-normal
https://www.studocu.com/row/document/escola-superior-de-administracao-marketing-e-comunicacao/estatistica-ii/aproximacao-binomial-normal/9797940?utm_campaign=shared-document&utm_source=studocu-document&utm_medium=social_sharing&utm_content=aproximacao-binomial-normal
https://www.studocu.com/row/course/escola-superior-de-administracao-marketing-e-comunicacao/estatistica-ii/4423232?utm_campaign=shared-document&utm_source=studocu-document&utm_medium=social_sharing&utm_content=aproximacao-binomial-normal
https://www.studocu.com/row?utm_campaign=shared-document&utm_source=studocu-document&utm_medium=social_sharing&utm_content=aproximacao-binomial-normal
https://www.studocu.com/row/document/escola-superior-de-administracao-marketing-e-comunicacao/estatistica-ii/aproximacao-binomial-normal/9797940?utm_campaign=shared-document&utm_source=studocu-document&utm_medium=social_sharing&utm_content=aproximacao-binomial-normal
https://www.studocu.com/row/course/escola-superior-de-administracao-marketing-e-comunicacao/estatistica-ii/4423232?utm_campaign=shared-document&utm_source=studocu-document&utm_medium=social_sharing&utm_content=aproximacao-binomial-normal
Estatística III - Inferência 
Prof. Mirtênio 
1 
 
Aproximação da Binomial pela Normal 
 
 
 
1. VALOR ESPERADO 
 
Se y admite distribuição binomial de probabilidades, mas o número n de repetições 
do Experimento E é grande ( 30n ), com a probabilidade p de sucessos próximo de 0,5 
(50%), podemos, com pequena margem de erro, calcular as probabilidades da 
distribuição binomial y através das probabilidades obtidas de uma distribuição normal x, 
com as seguintes condições: 
1. Valor Esperado (ou Média):   pnx . 
2. Variância:   qpnx ..2  
3. Desvio Padrão:   qpnx .. 
4. A probabilidade Binomial  iyyp  corresponderá a  5,05,0  ii yxyp . 
 
 
 
 
Exemplo 1: Um exame do tipo teste é constituído de 50 questões, cada uma delas com 
quatro respostas alternativas, das quais apenas uma é correta. 
Calcule a probabilidade de que um aluno, respondendo ao acaso as questões, acerte 
exatamente 15 questões. 
 
Solução: 
 
 
Downloaded by Fernandojorge Jorge (fernandojorgej66@gmail.com)
lOMoARcPSD|44656130
https://www.studocu.com/row?utm_campaign=shared-document&utm_source=studocu-document&utm_medium=social_sharing&utm_content=aproximacao-binomial-normal
Estatística III - Inferência 
Prof. Mirtênio 
2 
Distribuições Fórmulas Indicações 
Binomial    knk qp
k
n
kxP 






 ..  pnBX , 
Normal 


 ixz   ,NX  
 
 
 
 
 
 
 
 
1. E: responder uma questão: 








qfracassooéNPN
psucessooéAPA
:
4
3
)(
:
4
1
)(
 
2. 50n Repetições independentes de E. 
3. Estamos interessados na ocorrência de 15y sucessos independentes da ordem 
de ocorrência. 











75,0
25,0
15
50
q
p
k
n
 
 
   knk
i qp
k
n
kyP 






 .. 
 
    %88,81575,0.25,0.
15
50
15 3515 





 ii yPyP 
 
Na Calculadora Científica: 
50 nCr 15 x 0,25 ^ 15 x 0,75 ^ 35 = 
 
 
padrãodesvio
média
iávelx
ztabelaz
i






var
 
  1:
!.!
!








qponde
knk
n
k
n
 
fracassoq
sucessop
resultadosk
socorrênciaoutentativasn




 
Downloaded by Fernandojorge Jorge (fernandojorgej66@gmail.com)
lOMoARcPSD|44656130
Estatística III - Inferência 
Prof. Mirtênio 
3 
Esse valor pode ser obtido através da distribuição normal de probabilidade x com: 
1. Valor Esperado (ou Média):   pnx . 
5,1225,0.50   
 
2. Variância:   qpnx ..2  
38,975,0.25,0.50 22   
 
3. Desvio Padrão:   qpnx .. 
06,375,0.25,0.50   
 
4. A probabilidade Normal 


 ixz  5,0155,015  xp 
)2422,0(65,0
06,3
5,125,14
1 

 zTabelaz 
 
)3365,0(98,0
06,3
5,125,15
2 

 zTabelaz 
 
  %43,90943,02422,03365,012 ouzzyxP i  
 
 
 
 
 
 
 
Downloaded by Fernandojorge Jorge (fernandojorgej66@gmail.com)
lOMoARcPSD|44656130
https://www.studocu.com/row?utm_campaign=shared-document&utm_source=studocu-document&utm_medium=social_sharing&utm_content=aproximacao-binomial-normal
Estatística III - Inferência 
Prof. Mirtênio 
4 
2. CÁLCULO DO ERRO 
 
2.1 ERRO ABSOLUTO 
 
 Erro absoluto é a diferença entre o erro da experiência (Distribuição Binomial) e o 
erro aproximado (Distribuição Normal) em módulo. 








AproximadoErroE
aExperiêncidaErroE
AbsolutoErroE
APX
EXP
ABS
 
 
APXEXPABS EEE  
 
0055,00943,00888,0  ABSABS EE 
 
2.2 ERRO RELATIVO 
 
 Erro relativo é o quociente do erro absoluto pelo erro da experiência ou 
experimental (Distribuição Binomial). 








aExperiêncidaErroE
AbsolutoErroE
lativoErroE
EXP
ABS
REL Re
 
 
EXP
ABS
REL
E
E
E  
 
0619,0
0888,0
0055,0
 RELREL EE 
 
2.3 ERRO PERCENTUAL 
 
 Erro percentual é a multiplicação do erro relativo por 100. 
 
100.% RELEE  
 
%19,6100.0619,0 %%  EE 
Downloaded by Fernandojorge Jorge (fernandojorgej66@gmail.com)
lOMoARcPSD|44656130
Estatística III - Inferência 
Prof. Mirtênio 
5 
Exemplo 2: Um sistema é formado por 100 componentes, cada um dos quais com 
confiabilidade de 0,95 (probabilidade de funcionamento de componente durante um certo 
período de tempo). Se esses componentes funcionarem independentes uns dos outros e 
se o sistema completo funciona adequadamente quando pelo menos 80 componentes 
funcionam, qual a confiabilidade do sistema? Calcule os Erros: Absoluto, Relativo e 
Percentual. 
 
Solução: 
Distribuição Binomial 
  0000,105,0.95,0.
100
100
...05,0.95,0.
81
100
05,0.95,0.
80
100
10080 010019812080 

















 xP 
 
Distribuição Normal 
scomponentepn 9595,0.100.   
 
scomponenteqpn 18,205,0.95,0.100..   
 
11,7
18,2
955,79
1
1
1 



 z
y
z


 obtemos: 5,01 z 
 
52,2
18,2
955,100
2
2
2 



 z
y
z


 
obtemos: 4941,02 z 
 
9941,04941,05,021  zz 
 
 
 Logo, a confiabilidade do sistema funcionar entre 80 e 100 componentes é de 
99,41%. 
 
 
 
0059,09941,00000,1  ABSABSAPXEXPABS EEEEE 
 
 
0059,0
0000,1
0059,0
 RELREL
EXP
ABS
REL EE
E
E
E 
 
 
%59,0100.0059,0100. %%%  EEEE REL 
 
Downloaded by Fernandojorge Jorge (fernandojorgej66@gmail.com)
lOMoARcPSD|44656130
https://www.studocu.com/row?utm_campaign=shared-document&utm_source=studocu-document&utm_medium=social_sharing&utm_content=aproximacao-binomial-normal
Estatística III - Inferência 
Prof. Mirtênio 
6 
Exemplo 3: O peso de um saco de café é uma variável aleatória que tem distribuição 
normal com média 65 kg e desvio padrão de 4 kg. Um caminhão é carregado com 120 
sacos. Pergunta-se qual a probabilidade da carga do caminhão pesar: 
a) Entre 7.893 kg e 7.910 kg? 
b) Mais de 7.722 kg? 
Solução: 
a) 
 
Peso de um saco de café µ1 
Média Desvio Padrão 
kg651  kg41  
 
Valor Médio ou Esperança Matemática (peso da carga):   kgxE 800.765.120  
Variância (carregamento total):   920.14.120 2 xVar 
  82,431920   xVar 
 
12,2
82,43
800.7893.7
1
1
1 



 z
y
z


 obtemos: 4830,01 z 
51,2
82,43
800.7910.7
2
2
2 



 z
y
z


 obtemos: 4940,02 z0110,04830,04940,012  zz 
 
A probabilidade da carga do caminhão pesar entre 
7.893 e 7.910 kg é de 1,10% 
 
 
 
 
 
b) 
78,1
82,43
800.7722.71 



 z
y
z


 obtemos: 4625,0z 
9625,04625,05,0  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A probabilidade da carga do caminhão pesar mais de 7.722 kg é de 96,25%. 
 
 
Downloaded by Fernandojorge Jorge (fernandojorgej66@gmail.com)
lOMoARcPSD|44656130
Estatística III - Inferência 
Prof. Mirtênio 
7 
Exemplo 4: Um produto pesa, em média, 10 g, com desvio padrão de 2 g. É embalado 
em caixas com 50 unidades. Sabe-se que as caixas vazias pesam 500 g, com desvio 
padrão de 25 g. Admitindo-se uma distribuição normal dos pesos e independência entre 
as variáveis dos pesos do produto e da caixa, calcular a probabilidade de uma caixa cheia 
pesar mais de 1.050 g. 
Solução: 
Valor Médio ou Esperança Matemática:    ii
i
xpxxE



1
 , ou melhor,   



ii
nxE . . 
Variância:       22 xExExVar  , ou melhor,   2. 



ii
nxVar . 
Peso do Produto µ1 Peso da Caixa (embalagem) µ2 
Média Desvio Padrão Média Desvio Padrão 
g101  g21  g5002  g252  
 
    gxEnxE 000.150010.50. 21   
    825252.50. 222
2
2
1  xVarnxVar  
  72,28825   xVar 
74,1
72,28
10001050




 z
x
z i


 
 
0409,04591,05,0  
 
 Então, a probabilidade uma caixa pesar mais de 1.050 g é de 4,09%. 
 
 
Exemplo 5: Determinada máquina enche latas baseadas no peso bruto com média de 1 
kg e desvio padrão de 25 g. As latas têm peso de 90 g com desvio padrão 8 g. Pede-se: a 
probabilidade de uma lata conter: 
 
a) Menos de 870 g de peso líquido; 
b) Mais de 900 g de peso líquido. 
Solução: 
a) 
 
Peso Bruto do Produto µ1 Peso das Latas vazias (embalagem) µ2 
Média Desvio Padrão Média Desvio Padrão 
g10001  g251  g902  g82  
 
Peso Líquido = Peso Bruto – Peso da Embalagem (tara) 
 
    gxEnxE 910901000.1. 21   
Downloaded by Fernandojorge Jorge (fernandojorgej66@gmail.com)
lOMoARcPSD|44656130
https://www.studocu.com/row?utm_campaign=shared-document&utm_source=studocu-document&utm_medium=social_sharing&utm_content=aproximacao-binomial-normal
Estatística III - Inferência 
Prof. Mirtênio 
8 
 
    689825.1. 222
2
2
1  xVarnxVar  
  25,26689   xVar 
52,1
25,26
910870




 z
x
z i


 
 
0643,04357,05,0  
 
 
 
 
 A probabilidade do peso líquido de uma lata conter menos de 870 g é de 6,43%. 
 
 
 
b) 
38,0
25,26
910900




 z
x
z i


 
 
6480,01480,05,0  
 
 
 
 
 
 
 
 
 A probabilidade do peso líquido de uma lata conter mais de 900 g é de 64,80%. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Downloaded by Fernandojorge Jorge (fernandojorgej66@gmail.com)
lOMoARcPSD|44656130
Estatística III - Inferência 
Prof. Mirtênio 
9 
Exercícios 
 
1. Uma empresa privada tem em seu histórico o fato de cometer erros em 10% de suas 
faturas. Foi tomada uma amostra de cem faturas, e queremos calcular a probabilidade de 
12 faturas conterem erros. 
Calcular a probabilidade binomial de 12 sucessos em cem ensaios e depois aplique a 
aproximação normal. 
Calcule os Erros: Absoluto, Relativo e Percentual. 
 
    %88,91290,0.10,0.
12
100
12 8812 





 ii yPyP 
 
Na Calculadora Científica: 
100 nCr 12 x 0,10 ^ 12 x 0,90 ^ 88 = 
 
 
Esse valor pode ser obtido através da distribuição normal de probabilidade x com: 
Valor Esperado (ou Média):   pnx . 
1010,0.100   
 
Variância:   qpnx ..2  
00,990,0.10,0.100 22   
 
Desvio Padrão:   qpnx .. 
0,390,0.10,0.100   
 
A probabilidade Normal 


 ixz  5,0125,012  xp 
)1915,0(50,0
3
105,11
1 

 zTabelaz 
 
)2967,0(83,0
3
105,12
2 

 zTabelaz 
 
  %52,101052,01915,02967,012 ouzzyxP i  
 
 
Downloaded by Fernandojorge Jorge (fernandojorgej66@gmail.com)
lOMoARcPSD|44656130
https://www.studocu.com/row?utm_campaign=shared-document&utm_source=studocu-document&utm_medium=social_sharing&utm_content=aproximacao-binomial-normal
Estatística III - Inferência 
Prof. Mirtênio 
10 
 
ERRO ABSOLUTO 
APXEXPABS EEE  
0064,01052,00988,0  ABSABS EE 
ERRO RELATIVO 
EXP
ABS
REL
E
E
E  
0648,0
0988,0
0064,0
 RELREL EE 
ERRO PERCENTUAL 
100.% RELEE  
%48,6100.0648,0 %%  EE 
 
 
2. O peso do saco de benzoato de sódio é uma variável aleatória que tem distribuição 
normal com média 25 kg e desvio padrão de 0,5 kg. Um caminhão é carregado com 480 
sacos. Pergunta-se qual a probabilidade da carga do caminhão pesar: 
 
a) Entre 12.050 kg e 12.100 kg? 
b) Mais de 12.080 kg? 
b) Menos de 11.980 kg? 
 
 
 
 
Downloaded by Fernandojorge Jorge (fernandojorgej66@gmail.com)
lOMoARcPSD|44656130