1063712-cinematica_-_parte_1

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Sandro Santos da Silva 
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m um dado fenômeno físico, todas as características mensuráveis 
são conhecidas como grandezas físicas. Por exemplo, na queda li-
vre de um objeto: uma das características mensuráveis nesse caso 
é a aceleração do objeto durante a queda ou aceleração da gravidade. Ou-
tras grandezas físicas associadas a esse fenômeno incluem a velocidade e a 
posição do objeto. Assim, para esse fenômeno, podemos listar grandezas 
como posição, velocidade e aceleração. 
Mas, afinal, o que é um fenômeno? Um fenômeno pode ser descrito 
como uma transformação que altera o estado da matéria, seja ela física ou 
química. Um fenômeno é considerado físico quando não há mudança na 
composição química da matéria. No exemplo citado, o fenômeno em ques-
tão é a queda do objeto, que pode ser caracterizado pelas grandezas de po-
sição, velocidade e aceleração. 
As grandezas físicas são categorizadas em dois tipos principais: es-
calares e vetoriais. As grandezas escalares são aquelas que possuem apenas 
módulo e unidade de medida (valor numérico acompanhado de uma uni-
dade de medida), sem indicar direção ou sentido. Exemplos de grandezas 
escalares incluem massa, temperatura, densidade e pressão. Já as grande-
zas vetoriais são caracterizadas tanto pelo módulo quanto pela direção e 
sentido. Exemplos notáveis de grandezas vetoriais são a velocidade, a 
força, o impulso e o momento angular. A representação de uma grandeza 
vetorial é realizada por meio de um vetor, que é um segmento de reta ori-
entado com comprimento proporcional ao valor da grandeza, além de uma 
direção e sentido especificados. 
As grandezas físicas são essenciais para a descrição de fenômenos 
físicos e para o estabelecimento de leis e teorias que explicam o comporta-
mento da natureza. 
Cinemática 
A cinemática é o ramo da física responsável pelo estudo dos movi-
mentos dos corpos do ponto de vista descritivo, sem considerar as causas 
E 
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que os provocam. Para descrever os movimentos, são frequentemente uti-
lizados funções e gráficos. Na cinemática, não se discutem as forças que 
dão origem aos movimentos. As forças e as leis que regem os movimentos 
são discutidas dentro do estudo da dinâmica. 
Para iniciar o nosso estudo, primeiramente vamos definir as gran-
dezas fundamentais da cinemática: posição, deslocamento, velocidade e 
aceleração. Em seguida, faremos a descrição de alguns movimentos impor-
tantes, mostrando como essas grandezas se comportam ao longo do tempo. 
Estudaremos os movimentos retilíneo uniforme, uniformemente variado, 
movimento com aceleração variável, movimento circular uniforme, lança-
mento oblíquo e lançamento vertical.
 
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POSIÇÃO E DESLOCAMENTO 
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amos imaginar um carro se movimentando por uma avenida reta. 
Para localizar esse carro na avenida, ou seja, para dizer onde ele 
está em um determinado momento, podemos utilizar um ponto de 
referência e medir distâncias. Por exemplo, podemos dizer que o carro está 
a uma determinada distância do início da avenida. Uma alternativa é usar 
pontos de referência na avenida, como um restaurante, um hotel ou uma 
ponte. Também podemos usar os próprios marcos quilométricos da es-
trada, caso existam. Mas sempre precisaremos de um referencial composto 
por uma origem e eixos coordenados. Esse referencial vai possibilitar usar 
as grandezas que serão definidas nesse estudo e descrever os movimentos 
dos objetos. Vamos nos concentrar inicialmente no estudo de alguns mo-
vimentos retilíneos e, nesse caso, precisaremos definir apenas um eixo de 
coordenadas para localizar a partícula em movimento. 
Por exemplo, chamaremos de “x” o valor da coordenada de um 
carro que se movimenta em uma avenida. O “x” será, portanto, a posição 
do carro no eixo de coordenadas x. Como o carro não é uma partícula, po-
demos escolher um ponto para localizá-lo na estrada, por exemplo, um 
ponto na placa dianteira. Esse ponto indicará a posição do carro no eixo de 
coordenadas imaginariamente sobre a avenida. Podemos pensar que a ori-
gem do nosso eixo “x” de coordenadas é o início da avenida. Então, quando 
o carro estiver no início da avenida, ou melhor, quando a placa do carro 
estiver no início da avenida, sua posição será x = 0 m. À medida que o carro 
percorre a avenida ao longo do eixo x positivo e se afastando da origem, o 
valor de sua posição x aumenta. Quando o carro estiver se movimentando 
no sentido contrário da mesma avenida, sua coordenada x diminuirá, pois 
o carro agora se move no sentido contrário ao do eixo de coordenadas. Por-
tanto, se quisermos localizar o carro nessa avenida, podemos usar a coor-
denada x do carro. Se dissermos que x = 22,0 m, significa que o carro está 
na posição 22,0 m em relação à origem do sistema de coordenadas. No en-
tanto, é importante notar que somente com essa informação, ou seja, a po-
sição x, teremos a localização do carro, mas não saberemos o sentido de 
seu movimento e nem se está em movimento naquele momento. Então a 
coordenada x não é suficiente para descrever o movimento do carro. 
V 
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Outra grandeza que usamos no estudo dos movimentos é o deslo-
camento. A partir da grandeza posição x, podemos definir o deslocamento 
de qualquer objeto em movimento retilíneo. O deslocamento de um móvel 
é a medida da variação de sua posição. Se a posição inicial de um objeto for 
chamada de x0 e a posição final for chamada de xf, então o deslocamento 
desse objeto entre essas duas posições é definido como: 
𝛥𝑥 = 𝑥 − 𝑥 
O deslocamento não é o mesmo que a distância percorrida. Por 
exemplo, se um carro passou pela posição x = 2,0 m no instante t = 1 s, e 
mantendo o sentido do movimento chegou à posição x = 8,0 m no instante 
t = 2 s e depois retornou, chegando à posição x = 6,0 m no instante t = 10 
s, então o carro sofreu um deslocamento de 4,0 m ao longo da sua trajetória 
nesse intervalo de tempo entre 1 e 10 s. O deslocamento foi calculado da 
seguinte forma Δx = x(10) - x(1) = 6,0 - 2,0 = 4,0 m, onde x(10) é o valor 
da posição do carro no instante t = 10 s e x(1) é o valor da posição do carro 
no instante t = 1 s (veja a figura 1). Já a distância percorrida nesse movi-
mento será igual à soma de 6,0 m + 2,0 m = 8,0 m, que corresponde à soma 
da distância percorrida para se movimentar em um sentido mais a distân-
cia para percorrer a trajetória no sentido contrário. 
Lista de exercícios n° 1 – posição e deslocamento 
1) Um objeto começa seu movimento em uma posição inicial x0 
= 5 m. Ele se move para uma nova posição xf = 20 m. Qual foi 
o deslocamento do objeto? 
2) Um carro viaja ao longo de uma estrada retilínea. No instante 
t = 0 s, o carro está na marca de 50 m e no instante t = 10 s, 
está na marca de 150 m. Calcule o deslocamento do carro. 
Figura 1: Deslocamento de uma partícula 
 
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3) Um ciclista se move para oeste a partir da posição x = 0 m e 
atinge a posição x = -30 m após 5,0 segundos. Em seguida, ele 
se vira e se desloca para leste, atingindo uma posição x = 
20 m. Qual foi o deslocamento total do ciclista? 
4) Dois atletas correm em uma pista retilínea. O primeiro corre 
de 0 m a 100 m, enquanto o segundo corre de 20 m a 85 m. 
Quem teve o maior deslocamento? 
5) Um robô é programado para se mover a partir de um ponto A, 
desloca-se 40 metros para a direita, em seguida, 20 metros 
para a esquerda, e finalmente retorna ao ponto A. Qual é o 
deslocamento total do robô ao retornar ao ponto A? 
6) Um inseto rasteja para a frente e para trás ao longo de uma 
régua. Ele inicia no ponto 0, move-se para a posição +5 cm, 
em seguida, para a posição -3 cm e finalmente para posição 
+7 cm. Qual o deslocamento total do inseto? 
7) Se um objeto se desloca de x1 = -8 m para x2 = -3 m, qual é o 
deslocamento do objeto? 
8) Um objeto está inicialmente na posição x0 = 12 m. Se o objeto 
se desloca 5 m paraa direita e depois 10 m para a esquerda, 
qual é a posição final do objeto?
 
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VELOCIDADE
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Velocidade média 
Agora que já conhecemos as grandezas posição e deslocamento, 
podemos introduzir outra grandeza importante na física para o estudo dos 
movimentos: a velocidade média. Ela é definida como o deslocamento Δx 
dividido pelo intervalo de tempo Δt gasto para realizar esse deslocamento. 
𝑣 =
𝛥𝑥
𝛥𝑡 
Se o objeto estiver se movendo sempre no mesmo sentido, essa 
grandeza pode ser interpretada como a rapidez média com que a posição 
do objeto mudou durante o deslocamento. Nesse caso, quanto maior a ve-
locidade média de um objeto em um determinado deslocamento, mais ra-
pidamente ele mudou de posição. Por outro lado, quanto menor a veloci-
dade média, mais lentamente ocorreu a mudança de posição. 
Velocidade Instantânea 
A velocidade instantânea difere da velocidade média por ser deter-
minada para um instante específico, e não ao longo de um intervalo de 
tempo. A velocidade instantânea descreve a rapidez que um objeto se move 
ao passar por uma posição no exato momento de interesse. Por exemplo, 
ao observar um carro que se move sempre num mesmo sentido por uma 
avenida de comprimento (d), para calcular a velocidade média do carro ao 
percorrer toda a avenida, seria necessário conhecer a distância (d) e o 
tempo (Δt) gasto pelo carro para percorrer essa distância. Já a velocidade 
instantânea não está associada a uma distância percorrida, pois essa velo-
cidade se refere a um instante específico t do movimento do carro e não a 
um intervalo de tempo qualquer. No entanto, não podemos definir a velo-
cidade instantânea sem usar o cálculo diferencial pois ela é o limite da ve-
locidade média quando o intervalo de tempo (e consequentemente o des-
locamento) tende a zero. O que podemos fazer para conseguir uma aproxi-
mação do valor da velocidade instantânea é calcular a velocidade média ao 
longo de uma pequena distância em torno do ponto onde se deseja calcular 
a velocidade instantânea do móvel. Essa aproximação pode fornecer uma 
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estimativa da velocidade instantânea no ponto desejado, mas não é uma 
medida exata. 
Para alunos com conhecimento de cálculo de derivadas: Para defi-
nir a velocidade instantânea temos que usar recurso do cálculo diferencial 
fazendo o cálculo da derivada da função posição, assim: v = dx/dt, onde x 
é a posição da partícula ao se movimentar sobre um eixo x e t o instante de 
tempo, sendo dx/dt a taxa de variação da posição x com o tempo, ou seja, 
a velocidade instantânea da partícula. Caso se tenha a função que descreve 
a posição do móvel em função do tempo (função horária da posição) basta 
fazer essa derivada. Graficamente, a velocidade instantânea é a inclinação 
da tangente (dx/dt) do gráfico da função horária da posição do móvel. Essa 
tangente (para o instante t = 1 s) é mostrada na figura 2 para o caso de uma 
função horária x(t) = 0,5t2. 
Nesse exemplo, a função horária da velocidade será v(t) = dx/dt = 
2(0,5)t = t. Se quisermos, por exemplo, determinar a velocidade instantâ-
nea da partícula em t = 1 s é só substituir t por 1 s na função v = t e então 
v(1) = 1,0 m/s. 
 
Figura 2: Reta tangente para determinação da velocidade instantânea 
 
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A velocidade instantânea também pode ser determinada a partir 
da inclinação do segmento tangente ao gráfico posição versus tempo da fi-
gura 3, para o instante t, da seguinte forma: Desenhamos um triângulo re-
tângulo cuja hipotenusa tangencie o ponto de interesse (nesse exemplo o 
ponto correspondente a t = 1 s). Um dos catetos do triângulo deve ser ver-
tical (representando a variação de posição) e o outro horizontal (represen-
tando a variação de tempo). 
 
Figura 3: Determinação da inclinação da tangente 
 
Para calcular a inclinação desse segmento tangente à parábola no ponto 
dado, basta determinar os valores de Δx (o cateto vertical do triângulo) e 
Δt (o cateto horizontal do triângulo) lendo, no gráfico, nas escalas de x e t. 
Depois é só fazer a razão Δx/Δt. Esse valor é a inclinação da tangente que 
corresponde à velocidade instantânea da partícula no instante t = 1,0 s. 
Nesse exemplo temos Δx = 1,5 - 0 = 1,5 m e Δt = 2,0 – 0,5 = 1,5 s. Fazendo 
a divisão encontramos v = Δx/Δt = 1,0 m/s no instante t = 1,0 s. 
Lista de exercícios número 2 – velocidade média 
1. Um carro percorre uma distância de 150 km em 2 horas. Qual 
foi a sua velocidade escalar média durante o trajeto? 
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2. Uma bicicleta leva 30 minutos para percorrer 10 km. Qual é a 
velocidade escalar média da bicicleta em km/h? 
3. Se um avião voa 800 km em 1 hora e 20 minutos, determine a 
velocidade escalar média do avião em km/h. 
4. Dois pontos, A e B, estão a uma distância de 500 metros. Um 
pedestre leva 10 minutos para caminhar de A até B em linha 
reta. Calcule a velocidade escalar média do pedestre em m/s. 
5. Um trem faz uma viagem entre duas cidades que estão a 
300 km de distância uma da outra. Se o trem parte às 12 h e 
chega às 15 h, qual foi a sua velocidade escalar média em km/h 
nessa viagem? 
Exercícios para alunos com conhecimento de cálculo diferencial: 
Lista de exercícios número 3 – velocidade instantânea 
1. Se a função da posição de um objeto em movimento é dada por 
x(t) = 4t² + 2t + 1, onde x é medido em metros e t em segundos, 
calcule a velocidade instantânea no instante t = 3 s. 
2. Uma partícula tem sua posição em função do tempo dada por 
x(t) = 3t³ - 6t² + 2t – 5. Determine a velocidade escalar instan-
tânea no instante t = 2 s. 
3. Dada a função horária da posição x(t) = t³ - 12t + 3, onde x é a 
posição em metros e t o tempo em segundos, encontre o(s) ins-
tante(s) em que a velocidade da partícula é igual a zero. 
4. A posição de um carro é dada pela função x(t) = 5t². Qual é a 
velocidade escalar instantânea do carro em t = 4 s? 
5. Uma partícula move-se de acordo com a lei de movimento x(t) 
= 2t, onde x está em metros e t em segundos. Determine a ve-
locidade escalar instantânea da partícula no momento t = 1 s. 
Movimento Retilíneo Uniforme 
Um móvel realiza um movimento retilíneo e uniforme quando a 
trajetória do móvel é uma reta e sua velocidade tem módulo constante. 
Como o valor de sua velocidade é constante, isso significa que o móvel per-
corre distâncias iguais em intervalos de tempo iguais. Por exemplo, se dis-
sermos que um trem de passageiros realiza um movimento uniforme por 
3 h com velocidade de valor igual a 40 km/h, então ele percorre 40 km em 
cada hora de sua viagem de 3 h. Se dissermos que uma pessoa está cor-
rendo na calçada em movimento uniforme com velocidade de 6,0 m/s, isso 
significa que ela irá se deslocar de 6,0 m em cada segundo de tempo. 
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Portanto, se no instante t = 0 s a pessoa estava na posição x(0) = 0 m, no 
instante t = 1 s ela estará na posição x(1) = 6,0 m, no instante t = 2 s ele 
estará na posição x(2)= 12 m, e assim por diante, aumentando sua posição 
de 6 m a cada segundo enquanto mantiver essa velocidade constante. Um 
último exemplo seria um carro realizando um movimento uniforme com 
velocidade constante de 10 m/s (figura 4) . Se sua posição inicial é x(0) = 
0 m, após um segundo estará na posição x(1) = 10 m e depois de mais um 
segundo estará na posição x(2) = 20 m e continuará a se deslocar de 10 m 
a cada segundo enquanto mantiver o seu movimento uniforme. 
Figura 4: Algumas posições de um carro com velocidade de 10 m/s a 
cada segundo em um movimento uniforme. 
 
Quando o valor da velocidade instantânea é sempre igual ao va-
lor da velocidade média de um móvel? 
A velocidade média de um móvel é calculada dividindo o desloca-
mento realizado pelo intervalo de tempo total gasto para realizar esse des-
locamento. Já a velocidade instantânea é a velocidade de um móvel em um 
instante específico e não em um intervalode tempo. No movimento uni-
forme, um móvel mantém sua velocidade instantânea com valor constante 
durante o intervalo de tempo em que ele realiza um deslocamento Δx. O 
valor de sua velocidade instantânea em qualquer momento desse desloca-
mento será igual ao valor de sua velocidade média. No exemplo da figura 
4, a velocidade média do carro entre 0 e 2 s é vm = 10 m/s. Nesse exemplo, 
como o movimento é uniforme, para qualquer instante entre 0 e 2 s, a ve-
locidade instantânea do carro é 10 m/s. Por exemplo, a velocidade do carro 
no instante t = 1,2 s é v = 10 m/s.
 
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O MOVIMENTO RETILÍNEO E 
UNIFORME
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ma das formas que podemos descrever um movimento é usando 
uma função horária da posição do móvel ou seu gráfico corres-
pondente. A função se chama horária por depender do tempo, do 
“horário”. Então ela fornece a posição do móvel para qualquer instante de 
tempo em que ela seja válida. 
Vamos usar a definição de velocidade média (vm) e o fato de que, 
em um movimento uniforme, a velocidade instantânea do móvel é igual à 
sua velocidade média durante um determinado deslocamento. Com isso, 
poderemos obter a função horária para a posição de um móvel em movi-
mento uniforme 
𝑣 =
𝛥𝑥
𝛥𝑡 𝑜𝑢 𝛥𝑥 = 𝑣 . 𝛥𝑡 
Em um movimento uniforme, a velocidade instantânea do móvel é 
igual à velocidade média para qualquer deslocamento Δx. Portanto, pode-
mos determinar a função horária da posição da seguinte forma: 
𝛥𝑥 = 𝑣. 𝛥𝑡
𝑥 − 𝑥 = 𝑣. 𝛥𝑡
𝑥 = 𝑥 + 𝑣. 𝛥𝑡
𝑥 = 𝑥 + 𝑣(𝑡 − 𝑡 )
 
Então, 𝑥 = 𝑥 + 𝑣(𝑡 − 𝑡 ) é a função horária da posição de uma 
partícula que realiza movimento uniforme. Vamos dar um exemplo. Ima-
gine que um garoto esteja correndo em um calçadão de uma praia. Nesse 
calçadão, encontramos marcações de 10 em 10 m para auxiliar os corredo-
res em seus exercícios. Enquanto o garoto corre, um amigo marca o tempo 
de sua corrida usando um cronômetro. Suponha que o garoto passa pela 
posição x igual a 20 m no instante t = 10 s e pela posição x = 30 m em t = 
14,0 s. Como ficaria a função horária da posição do garoto caso ele corresse 
mantendo sua velocidade constante entre t = 10 s e t = 14 s? Primeiro va-
mos determinar a velocidade média do garoto para o deslocamento de 20 
a 30 m. O deslocamento (Δx) será de 10 m e o tempo (Δt) gasto para esse 
deslocamento é de 4,0 s. Com isso a velocidade média será calculada da 
seguinte forma: 
U 
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30 
𝑣 =
𝛥𝑥
𝛥𝑡 =
10
4 = 2,5 𝑚 𝑠⁄ 
Como o movimento é considerado uniforme então a velocidade 
instantânea do garoto é constante e igual ao valor da velocidade média no 
intervalo de 10 a 14 s. Então, podemos substituir seu valor vm na função 
horária no lugar de v, substituir o valor da posição inicial x0 = 20 m e o 
valor do instante inicial t0 = 10 s. A posição x = 20 m foi considerada inicial 
pois é a posição ocupada pelo garoto no instante inicial do intervalo de 
tempo considerado de 10 a 14 s. Assim, a função horária do garoto é mos-
trada abaixo, onde “t” está em segundos e “x” em metros, 
x = 20 + 2,5(t-10) com 10 ≤ t ≤ 14 s 
Além das funções horárias podemos também utilizar gráficos de 
uma função para descrever um movimento. Vamos fazer como exemplo o 
gráfico da função horária da posição do garoto do exemplo anterior. 
O gráfico da Figura 5 mostra a posição (x) do garoto em função do 
tempo para o intervalo de tempo entre 10 e 20 s. O gráfico é crescente pois 
a posição (x) do garoto aumenta com o passar do tempo. Por se tratar de 
uma reta, também indica que o movimento é uniforme, como já sabíamos. 
Nesse ponto, é importante entender que se o movimento é uniforme, ou 
seja, realizado com velocidade de valor constante, o crescimento da posição 
(x) deve ser sempre o mesmo para o mesmo intervalo de tempo. Observe 
que no gráfico podemos observar isso. A cada 2,0 s de tempo transcorrido 
a posição cresce 5 m, ou seja, para os instantes 10,12,14,16, 18 e 20 as res-
pectivas posições são 20,25,30,35,40,45, um crescimento sempre cons-
tante de 5 m para cada intervalo de 2,0 s. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Figura 5: Gráfico da função horária da posição para um móvel em 
movimento uniforme 
 
A inclinação da reta em relação ao eixo do tempo tem relação com 
a velocidade da partícula. Quanto maior for a velocidade, maior será a in-
clinação do gráfico. 
Na figura 6, apresentamos gráficos de três móveis realizando mo-
vimentos uniformes com velocidades diferentes. O móvel 1 apresenta 
maior velocidade, pois foi o que sofreu maior deslocamento Δx no intervalo 
de tempo de 10 s. Por isso, a inclinação do gráfico para o móvel 1 é a maior 
dos três. A inclinação do gráfico da posição x está relacionada à velocidade 
do objeto, quanto maior a inclinação deste gráfico, maior a velocidade. 
Lista de exercícios n° 4 – movimento uniforme 
1. Defina movimento uniforme. 
2. Escreva a função horária da posição para um movimento uni-
forme de uma partícula que tem velocidade igual a 2,0 m/s e 
que no instante t = 0 está na posição x = 2,0 m. 
3. Qual a forma do gráfico de posição versus tempo para um mo-
vimento uniforme? 
4. Um objeto está se movimentando com uma velocidade de 60 
km/h e sua posição inicial é 100 km. Onde o objeto estará após 
2 horas? 
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5. Um trem se desloca com uma velocidade constante de 90 
km/h. Se ele passa pelo marco quilométrico 350 km às 10 h, 
em que marco quilométrico ele estará às 13 h? 
6. Desenhe o gráfico de posição versus tempo para o intervalo 0