Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
(1o Esta´gio - Ca´lculo Diferencial e Integral I) AULA 1: Func¸o˜es e seus gra´ficos Diogo de Santana Germano AULA 1: Func¸o˜es e seus gra´ficos Func¸o˜es, Dom´ınio e Imagem Definic¸a˜o (Func¸a˜o) Uma func¸a˜o f de um conjunto D em um conjunto Y e´ uma regra que a cada elemento x ∈ D associa um u´nico elemento y = f (x) ∈ Y . Notac¸o˜es f : D −→ Y x 7−→ y = f (x) f : D −→ Y definida por y = f (x) Simplesmente, func¸a˜o y = f (x) Diogo de Santana Germano AULA 1: Func¸o˜es e seus gra´ficos Func¸o˜es, Dom´ınio e Imagem Definic¸a˜o (Func¸a˜o) Uma func¸a˜o f de um conjunto D em um conjunto Y e´ uma regra que a cada elemento x ∈ D associa um u´nico elemento y = f (x) ∈ Y . Notac¸o˜es f : D −→ Y x 7−→ y = f (x) f : D −→ Y definida por y = f (x) Simplesmente, func¸a˜o y = f (x) Diogo de Santana Germano AULA 1: Func¸o˜es e seus gra´ficos Func¸o˜es, Dom´ınio e Imagem Definic¸a˜o (Func¸a˜o) Uma func¸a˜o f de um conjunto D em um conjunto Y e´ uma regra que a cada elemento x ∈ D associa um u´nico elemento y = f (x) ∈ Y . Notac¸o˜es f : D −→ Y x 7−→ y = f (x) f : D −→ Y definida por y = f (x) Simplesmente, func¸a˜o y = f (x) Diogo de Santana Germano AULA 1: Func¸o˜es e seus gra´ficos Func¸o˜es, Dom´ınio e Imagem Definic¸a˜o (Func¸a˜o) Uma func¸a˜o f de um conjunto D em um conjunto Y e´ uma regra que a cada elemento x ∈ D associa um u´nico elemento y = f (x) ∈ Y . Notac¸o˜es f : D −→ Y x 7−→ y = f (x) f : D −→ Y definida por y = f (x) Simplesmente, func¸a˜o y = f (x) Diogo de Santana Germano AULA 1: Func¸o˜es e seus gra´ficos Func¸o˜es, Dom´ınio e Imagem Definic¸a˜o (Func¸a˜o) Uma func¸a˜o f de um conjunto D em um conjunto Y e´ uma regra que a cada elemento x ∈ D associa um u´nico elemento y = f (x) ∈ Y . Notac¸o˜es f : D −→ Y x 7−→ y = f (x) f : D −→ Y definida por y = f (x) Simplesmente, func¸a˜o y = f (x) Diogo de Santana Germano AULA 1: Func¸o˜es e seus gra´ficos Func¸o˜es, Dom´ınio e Imagem Definic¸a˜o (Func¸a˜o) Uma func¸a˜o f de um conjunto D em um conjunto Y e´ uma regra que a cada elemento x ∈ D associa um u´nico elemento y = f (x) ∈ Y . Notac¸o˜es f : D −→ Y x 7−→ y = f (x) f : D −→ Y definida por y = f (x) Simplesmente, func¸a˜o y = f (x) Diogo de Santana Germano AULA 1: Func¸o˜es e seus gra´ficos Func¸o˜es, Dom´ınio e Imagem Elementos: f representa a func¸a˜o; x : varia´vel independente, valor de entrada de f ; y : varia´vel dependente, valor de sa´ıda de f em x ; D (ou D(f )) e´ o dom´ınio da func¸a˜o; O conjunto f (D) = {y = f (x); x ∈ D} ⊂ Y e´ a imagem de f . Diogo de Santana Germano AULA 1: Func¸o˜es e seus gra´ficos Func¸o˜es, Dom´ınio e Imagem Elementos: f representa a func¸a˜o; x : varia´vel independente, valor de entrada de f ; y : varia´vel dependente, valor de sa´ıda de f em x ; D (ou D(f )) e´ o dom´ınio da func¸a˜o; O conjunto f (D) = {y = f (x); x ∈ D} ⊂ Y e´ a imagem de f . Diogo de Santana Germano AULA 1: Func¸o˜es e seus gra´ficos Func¸o˜es, Dom´ınio e Imagem Elementos: f representa a func¸a˜o; x : varia´vel independente, valor de entrada de f ; y : varia´vel dependente, valor de sa´ıda de f em x ; D (ou D(f )) e´ o dom´ınio da func¸a˜o; O conjunto f (D) = {y = f (x); x ∈ D} ⊂ Y e´ a imagem de f . Diogo de Santana Germano AULA 1: Func¸o˜es e seus gra´ficos Func¸o˜es, Dom´ınio e Imagem Elementos: f representa a func¸a˜o; x : varia´vel independente, valor de entrada de f ; y : varia´vel dependente, valor de sa´ıda de f em x ; D (ou D(f )) e´ o dom´ınio da func¸a˜o; O conjunto f (D) = {y = f (x); x ∈ D} ⊂ Y e´ a imagem de f . Diogo de Santana Germano AULA 1: Func¸o˜es e seus gra´ficos Func¸o˜es, Dom´ınio e Imagem Elementos: f representa a func¸a˜o; x : varia´vel independente, valor de entrada de f ; y : varia´vel dependente, valor de sa´ıda de f em x ; D (ou D(f )) e´ o dom´ınio da func¸a˜o; O conjunto f (D) = {y = f (x); x ∈ D} ⊂ Y e´ a imagem de f . Diogo de Santana Germano AULA 1: Func¸o˜es e seus gra´ficos Func¸o˜es, Dom´ınio e Imagem Elementos: f representa a func¸a˜o; x : varia´vel independente, valor de entrada de f ; y : varia´vel dependente, valor de sa´ıda de f em x ; D (ou D(f )) e´ o dom´ınio da func¸a˜o; O conjunto f (D) = {y = f (x); x ∈ D} ⊂ Y e´ a imagem de f . Diogo de Santana Germano AULA 1: Func¸o˜es e seus gra´ficos Func¸o˜es, Dom´ınio e Imagem Elementos: f representa a func¸a˜o; x : varia´vel independente, valor de entrada de f ; y : varia´vel dependente, valor de sa´ıda de f em x ; D (ou D(f )) e´ o dom´ınio da func¸a˜o; O conjunto f (D) = {y = f (x); x ∈ D} ⊂ Y e´ a imagem de f . Diogo de Santana Germano AULA 1: Func¸o˜es e seus gra´ficos Func¸o˜es, Dom´ınio e Imagem Ilustrac¸o˜es: Func¸a˜o como uma espe´cie de ”ma´quina”. Diogo de Santana Germano AULA 1: Func¸o˜es e seus gra´ficos Func¸o˜es, Dom´ınio e Imagem Ilustrac¸o˜es: Func¸a˜o como uma espe´cie de ”ma´quina”. Diogo de Santana Germano AULA 1: Func¸o˜es e seus gra´ficos Func¸o˜es, Dom´ınio e Imagem Ilustrac¸o˜es: Func¸a˜o como uma espe´cie de ”ma´quina”. Diogo de Santana Germano AULA 1: Func¸o˜es e seus gra´ficos Func¸o˜es, Dom´ınio e Imagem Ilustrac¸o˜es: Diagrama de setas. Diogo de Santana Germano AULA 1: Func¸o˜es e seus gra´ficos Func¸o˜es, Dom´ınio e Imagem Ilustrac¸o˜es: Diagrama de setas. Diogo de Santana Germano AULA 1: Func¸o˜es e seus gra´ficos Func¸o˜es, Dom´ınio e Imagem Ilustrac¸o˜es: Diagrama de setas. Diogo de Santana Germano AULA 1: Func¸o˜es e seus gra´ficos Func¸o˜es, Dom´ınio e Imagem Muitas vezes o valor y (varia´vel dependente) e´ dado por uma regra ou fo´rmula a partir de x (varia´vel independente). Por exemplo: A = pir 2, onde A e´ a a´rea de um c´ırculo de raio r . Diogo de Santana Germano AULA 1: Func¸o˜es e seus gra´ficos Func¸o˜es, Dom´ınio e Imagem Muitas vezes o valor y (varia´vel dependente) e´ dado por uma regra ou fo´rmula a partir de x (varia´vel independente). Por exemplo: A = pir 2, onde A e´ a a´rea de um c´ırculo de raio r . Diogo de Santana Germano AULA 1: Func¸o˜es e seus gra´ficos Func¸o˜es, Dom´ınio e Imagem Muitas vezes o valor y (varia´vel dependente) e´ dado por uma regra ou fo´rmula a partir de x (varia´vel independente). Por exemplo: A = pir 2, onde A e´ a a´rea de um c´ırculo de raio r . Diogo de Santana Germano AULA 1: Func¸o˜es e seus gra´ficos Func¸o˜es, Dom´ınio e Imagem Exemplo Verifique os dom´ınios e as imagens destas func¸o˜es. Func¸a˜o Dom´ınio (x) Imagem (y) y = x2 (−∞,∞) [0,∞) y = 1/x (−∞, 0) ∪ (0,∞) (−∞, 0) ∪ (0,∞) y = √ x [0,∞) [0,∞) y = √ 4− x (−∞, 4] [0,∞) y = √ 1− x2 [−1, 1] [0, 1] Diogo de Santana Germano AULA 1: Func¸o˜es e seus gra´ficos Gra´ficos de func¸o˜es Se f e´ uma func¸a˜o com dom´ınio D, seu gra´fico e´ o conjunto G (f ) := {(x , f (x)); x ∈ D}. Diogo de Santana Germano AULA 1: Func¸o˜es e seus gra´ficos Gra´ficos de func¸o˜es Se f e´ uma func¸a˜o com dom´ınio D, seu gra´fico e´ o conjunto G (f ) := {(x , f (x)); x ∈ D}. Diogo de Santana Germano AULA 1: Func¸o˜es e seus gra´ficos Gra´ficos de func¸o˜es O gra´fico de f (x) = x + 2 e´ o conjunto de pontos (x , y) para os quais y tem valor x + 2. Diogo de Santana Germano AULA 1: Func¸o˜es e seus gra´ficos Gra´ficos de func¸o˜es O gra´fico de f (x) = x + 2 e´ o conjunto de pontos (x , y) para os quais y tem valor x + 2. Diogo de Santana Germano AULA 1: Func¸o˜es e seus gra´ficos Gra´ficos de func¸o˜es O gra´fico de f (x) = x + 2 e´ o conjunto de pontos (x , y) para os quais ytem valor x + 2. Diogo de Santana Germano AULA 1: Func¸o˜es e seus gra´ficos Gra´ficos de func¸o˜es Exemplo Trace o gra´fico da func¸a˜o y = x2 no intervalo [-2,2]. Diogo de Santana Germano AULA 1: Func¸o˜es e seus gra´ficos Gra´ficos de func¸o˜es Exemplo Trace o gra´fico da func¸a˜o y = x2 no intervalo [-2,2]. Diogo de Santana Germano AULA 1: Func¸o˜es e seus gra´ficos Gra´ficos de func¸o˜es A Figura mostra o gra´fico de uma populac¸a˜o p de moscas-das-frutas. a) Determine as populac¸o˜es apo´s 20 e 45 dias. b) A variac¸a˜o (aproximada) da func¸a˜o da populac¸a˜o no intervalo de tempo 0 ≤ t ≤ 50? Diogo de Santana Germano AULA 1: Func¸o˜es e seus gra´ficos Gra´ficos de func¸o˜es A Figura mostra o gra´fico de uma populac¸a˜o p de moscas-das-frutas. a) Determine as populac¸o˜es apo´s 20 e 45 dias. b) A variac¸a˜o (aproximada) da func¸a˜o da populac¸a˜o no intervalo de tempo 0 ≤ t ≤ 50? Diogo de Santana Germano AULA 1: Func¸o˜es e seus gra´ficos Gra´ficos de func¸o˜es A Figura mostra o gra´fico de uma populac¸a˜o p de moscas-das-frutas. a) Determine as populac¸o˜es apo´s 20 e 45 dias. b) A variac¸a˜o (aproximada) da func¸a˜o da populac¸a˜o no intervalo de tempo 0 ≤ t ≤ 50? Diogo de Santana Germano AULA 1: Func¸o˜es e seus gra´ficos O teste da reta vertical Pela definic¸a˜o de func¸a˜o, uma reta vertical so´ pode cruzar a curva formada pelo gra´fico da func¸a˜o uma u´nica vez. Caso contra´rio a curva na˜o representa uma func¸a˜o. Diogo de Santana Germano AULA 1: Func¸o˜es e seus gra´ficos O teste da reta vertical Pela definic¸a˜o de func¸a˜o, uma reta vertical so´ pode cruzar a curva formada pelo gra´fico da func¸a˜o uma u´nica vez. Caso contra´rio a curva na˜o representa uma func¸a˜o. Diogo de Santana Germano AULA 1: Func¸o˜es e seus gra´ficos O teste da reta vertical Pela definic¸a˜o de func¸a˜o, uma reta vertical so´ pode cruzar a curva formada pelo gra´fico da func¸a˜o uma u´nica vez. Caso contra´rio a curva na˜o representa uma func¸a˜o. Diogo de Santana Germano AULA 1: Func¸o˜es e seus gra´ficos O teste da reta vertical Um c´ırculo na˜o e´ o gra´fico de uma func¸a˜o. Diogo de Santana Germano AULA 1: Func¸o˜es e seus gra´ficos O teste da reta vertical Um c´ırculo na˜o e´ o gra´fico de uma func¸a˜o. Diogo de Santana Germano AULA 1: Func¸o˜es e seus gra´ficos O teste da reta vertical O semic´ırculo superior e´ o gra´fico da func¸a˜o f (x) = √ 1− x2. Diogo de Santana Germano AULA 1: Func¸o˜es e seus gra´ficos O teste da reta vertical O semic´ırculo superior e´ o gra´fico da func¸a˜o f (x) = √ 1− x2. Diogo de Santana Germano AULA 1: Func¸o˜es e seus gra´ficos O teste da reta vertical O semic´ırculo inferior e´ o gra´fico da func¸a˜o f (x) = −√1− x2. Diogo de Santana Germano AULA 1: Func¸o˜es e seus gra´ficos O teste da reta vertical O semic´ırculo inferior e´ o gra´fico da func¸a˜o f (x) = −√1− x2. Diogo de Santana Germano AULA 1: Func¸o˜es e seus gra´ficos O Valor Absoluto O valor absoluto de um nu´mero x ∈ R e´ definido por: |x | = { x , x ≥ 0 −x x < 0 Diogo de Santana Germano AULA 1: Func¸o˜es e seus gra´ficos O Valor Absoluto O valor absoluto de um nu´mero x ∈ R e´ definido por: |x | = { x , x ≥ 0 −x x < 0 Diogo de Santana Germano AULA 1: Func¸o˜es e seus gra´ficos O Valor Absoluto O valor absoluto de um nu´mero x ∈ R e´ definido por: |x | = { x , x ≥ 0 −x x < 0 Diogo de Santana Germano AULA 1: Func¸o˜es e seus gra´ficos O Valor Absoluto Recordamos que |x | = √ x2; Geometricamente, |x | e´ a distaˆncia entre o ponto P de coordenada x e a origem; Se a e b sa˜o as coordenadas dos pontos P e Q, enta˜o |a − b| e´ a distaˆncia entre P e Q. Diogo de Santana Germano AULA 1: Func¸o˜es e seus gra´ficos O Valor Absoluto Recordamos que |x | = √ x2; Geometricamente, |x | e´ a distaˆncia entre o ponto P de coordenada x e a origem; Se a e b sa˜o as coordenadas dos pontos P e Q, enta˜o |a − b| e´ a distaˆncia entre P e Q. Diogo de Santana Germano AULA 1: Func¸o˜es e seus gra´ficos O Valor Absoluto Recordamos que |x | = √ x2; Geometricamente, |x | e´ a distaˆncia entre o ponto P de coordenada x e a origem; Se a e b sa˜o as coordenadas dos pontos P e Q, enta˜o |a − b| e´ a distaˆncia entre P e Q. Diogo de Santana Germano AULA 1: Func¸o˜es e seus gra´ficos O Valor Absoluto Recordamos que |x | = √ x2; Geometricamente, |x | e´ a distaˆncia entre o ponto P de coordenada x e a origem; Se a e b sa˜o as coordenadas dos pontos P e Q, enta˜o |a − b| e´ a distaˆncia entre P e Q. Diogo de Santana Germano AULA 1: Func¸o˜es e seus gra´ficos O Valor Absoluto Propriedades: sejam x , y ∈ R. Enta˜o: 1 −|x | ≤ x ≤ |x |; 2 |x + y | ≤ |x |+ |y |; 3 |xy | = |x ||y |; 4 ∣∣∣∣xy ∣∣∣∣ = |x ||y | se y 6= 0; 5 |x | = |y | se, e somente se x = ±y ; 6 |x | < y se, e somente se −y < x < y ; 7 |x | ≥ y se, e somente se x ≥ y ou x ≤ −y . Diogo de Santana Germano AULA 1: Func¸o˜es e seus gra´ficos O Valor Absoluto Propriedades: sejam x , y ∈ R. Enta˜o: 1 −|x | ≤ x ≤ |x |; 2 |x + y | ≤ |x |+ |y |; 3 |xy | = |x ||y |; 4 ∣∣∣∣xy ∣∣∣∣ = |x ||y | se y 6= 0; 5 |x | = |y | se, e somente se x = ±y ; 6 |x | < y se, e somente se −y < x < y ; 7 |x | ≥ y se, e somente se x ≥ y ou x ≤ −y . Diogo de Santana Germano AULA 1: Func¸o˜es e seus gra´ficos O Valor Absoluto Propriedades: sejam x , y ∈ R. Enta˜o: 1 −|x | ≤ x ≤ |x |; 2 |x + y | ≤ |x |+ |y |; 3 |xy | = |x ||y |; 4 ∣∣∣∣xy ∣∣∣∣ = |x ||y | se y 6= 0; 5 |x | = |y | se, e somente se x = ±y ; 6 |x | < y se, e somente se −y < x < y ; 7 |x | ≥ y se, e somente se x ≥ y ou x ≤ −y . Diogo de Santana Germano AULA 1: Func¸o˜es e seus gra´ficos O Valor Absoluto Propriedades: sejam x , y ∈ R. Enta˜o: 1 −|x | ≤ x ≤ |x |; 2 |x + y | ≤ |x |+ |y |; 3 |xy | = |x ||y |; 4 ∣∣∣∣xy ∣∣∣∣ = |x ||y | se y 6= 0; 5 |x | = |y | se, e somente se x = ±y ; 6 |x | < y se, e somente se −y < x < y ; 7 |x | ≥ y se, e somente se x ≥ y ou x ≤ −y . Diogo de Santana Germano AULA 1: Func¸o˜es e seus gra´ficos O Valor Absoluto Propriedades: sejam x , y ∈ R. Enta˜o: 1 −|x | ≤ x ≤ |x |; 2 |x + y | ≤ |x |+ |y |; 3 |xy | = |x ||y |; 4 ∣∣∣∣xy ∣∣∣∣ = |x ||y | se y 6= 0; 5 |x | = |y | se, e somente se x = ±y ; 6 |x | < y se, e somente se −y < x < y ; 7 |x | ≥ y se, e somente se x ≥ y ou x ≤ −y . Diogo de Santana Germano AULA 1: Func¸o˜es e seus gra´ficos O Valor Absoluto Propriedades: sejam x , y ∈ R. Enta˜o: 1 −|x | ≤ x ≤ |x |; 2 |x + y | ≤ |x |+ |y |; 3 |xy | = |x ||y |; 4 ∣∣∣∣xy ∣∣∣∣ = |x ||y | se y 6= 0; 5 |x | = |y | se, e somente se x = ±y ; 6 |x | < y se, e somente se −y < x < y ; 7 |x | ≥ y se, e somente se x ≥ y ou x ≤ −y . Diogo de Santana Germano AULA 1: Func¸o˜es e seus gra´ficos O Valor Absoluto Propriedades: sejam x , y ∈ R. Enta˜o: 1 −|x | ≤ x ≤ |x |; 2 |x + y | ≤ |x |+ |y |; 3 |xy | = |x ||y |; 4 ∣∣∣∣xy ∣∣∣∣ = |x ||y | se y 6= 0; 5 |x | = |y | se, e somente se x = ±y ; 6 |x | < y se, e somente se −y < x < y ; 7 |x | ≥ y se, e somente se x ≥ y ou x ≤ −y . Diogo de Santana Germano AULA 1: Func¸o˜es e seus gra´ficos O Valor Absoluto Propriedades: sejam x , y ∈ R. Enta˜o: 1 −|x | ≤ x ≤ |x |; 2 |x + y | ≤ |x |+ |y |; 3 |xy | = |x ||y |; 4 ∣∣∣∣xy ∣∣∣∣ = |x ||y | se y 6= 0; 5 |x | = |y | se, e somente se x = ±y ; 6 |x | < y se, e somente se −y < x < y ; 7 |x | ≥ y se, e somente se x ≥ y ou x ≤ −y . Diogo de Santana Germano AULA 1: Func¸o˜es e seus gra´ficos O Valor Absoluto Exemplo Use as propriedade de 1 a 7 para achar os valores de x em cada exemplo. a) |x − 5| = |3x +7|; b) |3x − 2| < 4; c)|3x + 2| ≥ 5. Diogo de Santana Germano AULA 1: Func¸o˜es e seus gra´ficos Func¸o˜es definidas por partes Um exemplo e´ a func¸a˜o do valor absoluto: f (x) = |x | = { x , x ≥ 0 −x x < 0 Diogo de Santana Germano AULA 1: Func¸o˜es e seus gra´ficos Func¸o˜es definidas por partes Um exemplo e´ a func¸a˜o do valor absoluto: f (x) = |x | = { x , x ≥ 0 −x x < 0 Diogo de Santana Germano AULA 1: Func¸o˜es e seus gra´ficos Func¸o˜es definidas por partes Um exemplo e´ a func¸a˜o do valor absoluto: f (x) = |x | = { x , x ≥ 0 −x x < 0 Diogo de Santana Germano AULA 1: Func¸o˜es e seus gra´ficos Func¸o˜es definidas por partes Um exemplo e´ a func¸a˜o do valor absoluto: f (x) = |x | = { x , x ≥ 0 −x x < 0 Diogo de Santana Germano AULA 1: Func¸o˜es e seus gra´ficos Func¸o˜es definidas por partes Exemplo Trace o gra´fico da func¸a˜o f (x) = −x , x < 0 x2, 0 ≤ x ≤ 1 1, x > 1 Diogo de Santana Germano AULA 1: Func¸o˜es e seus gra´ficos Func¸o˜es definidas por partes Exemplo Trace o gra´fico da func¸a˜o f (x) = −x , x < 0 x2, 0 ≤ x ≤ 1 1, x > 1 Diogo de Santana Germano AULA 1: Func¸o˜es e seus gra´ficos Func¸o˜es definidas por partes Exemplo Trace o gra´fico da func¸a˜o maior inteiro (ou func¸a˜o piso, isto e´, a func¸a˜o cujo valor em qualquer nu´mero x e´ o maior inteiro menor ou igual a x. Esta func¸a˜o e´ denotada por bxc. Exemplo Trace o gra´fico da func¸a˜o menor inteiro (ou func¸a˜o teto, isto e´, a func¸a˜o cujo valor em qualquer nu´mero x e´ o menor inteiro maior ou igual a x. Esta func¸a˜o e´ denotada por dxe. Diogo de Santana Germano AULA 1: Func¸o˜es e seus gra´ficos Func¸o˜es definidas por partes Exemplo Trace o gra´fico da func¸a˜o maior inteiro (ou func¸a˜o piso, isto e´, a func¸a˜o cujo valor em qualquer nu´mero x e´ o maior inteiro menor ou igual a x. Esta func¸a˜o e´ denotada por bxc. Exemplo Trace o gra´fico da func¸a˜o menor inteiro (ou func¸a˜o teto, isto e´, a func¸a˜o cujo valor em qualquer nu´mero x e´ o menor inteiro maior ou igual a x. Esta func¸a˜o e´ denotada por dxe. Diogo de Santana Germano AULA 1: Func¸o˜es e seus gra´ficos Func¸o˜es definidas por partes Exemplo Escreva uma fo´rmula para a func¸a˜o y = f (x) cujo gra´fico e´ formado pelos dois segmentos da reta da Figura. Diogo de Santana Germano AULA 1: Func¸o˜es e seus gra´ficos Func¸o˜es definidas por partes Exemplo Escreva uma fo´rmula para a func¸a˜o y = f (x) cujo gra´fico e´ formado pelos dois segmentos da reta da Figura. Diogo de Santana Germano AULA 1: Func¸o˜es e seus gra´ficos
Compartilhar