Taxas Relacionadas em Cálculo Diferencial e Integral

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(3o Esta´gio - Ca´lculo Diferencial e Integral I)
Taxas relacionadas
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Taxas relacionadas 12 de agosto de 2013 1 / 7
Equac¸o˜es de taxas relacionadas
Se V e´ o volume e r e´ o raio de um bala˜o esfe´rico em
um dado instante, enta˜o
V =
4
3
pir 3.
Se formos encher de ar o bala˜o, tanto raio quanto
volume aumentam ao longo do tempo. Derivando,
encontramos as taxas relacionadas:
dV
dt
=
dV
dr
dr
dt
= 4pir 2
dr
dt
.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Taxas relacionadas 12 de agosto de 2013 2 / 7
Equac¸o˜es de taxas relacionadas
Se V e´ o volume e r e´ o raio de um bala˜o esfe´rico em
um dado instante, enta˜o
V =
4
3
pir 3.
Se formos encher de ar o bala˜o, tanto raio quanto
volume aumentam ao longo do tempo. Derivando,
encontramos as taxas relacionadas:
dV
dt
=
dV
dr
dr
dt
= 4pir 2
dr
dt
.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Taxas relacionadas 12 de agosto de 2013 2 / 7
Equac¸o˜es de taxas relacionadas
Se V e´ o volume e r e´ o raio de um bala˜o esfe´rico em
um dado instante, enta˜o
V =
4
3
pir 3.
Se formos encher de ar o bala˜o, tanto raio quanto
volume aumentam ao longo do tempo. Derivando,
encontramos as taxas relacionadas:
dV
dt
=
dV
dr
dr
dt
= 4pir 2
dr
dt
.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Taxas relacionadas 12 de agosto de 2013 2 / 7
Equac¸o˜es de taxas relacionadas
(Estrate´gia para a resoluc¸a˜o de problemas de taxas
relacionadas)
1 Desenhe uma figura e identifique as varia´veis e
as constantes. t sera´ o tempo e todas as demais
varia´veis sa˜o diferencia´veis em t.
2 Escreva as informac¸o˜es nume´ricas.
3 Escreva o que deve encontrar.
4 Escreva uma equac¸a˜o que relacione as varia´veis.
5 Derive em relac¸a˜o a t.
6 Encontre a taxa desconhecida.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Taxas relacionadas 12 de agosto de 2013 3 / 7
Equac¸o˜es de taxas relacionadas
(Estrate´gia para a resoluc¸a˜o de problemas de taxas
relacionadas)
1 Desenhe uma figura e identifique as varia´veis e
as constantes. t sera´ o tempo e todas as demais
varia´veis sa˜o diferencia´veis em t.
2 Escreva as informac¸o˜es nume´ricas.
3 Escreva o que deve encontrar.
4 Escreva uma equac¸a˜o que relacione as varia´veis.
5 Derive em relac¸a˜o a t.
6 Encontre a taxa desconhecida.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Taxas relacionadas 12 de agosto de 2013 3 / 7
Equac¸o˜es de taxas relacionadas
(Estrate´gia para a resoluc¸a˜o de problemas de taxas
relacionadas)
1 Desenhe uma figura e identifique as varia´veis e
as constantes. t sera´ o tempo e todas as demais
varia´veis sa˜o diferencia´veis em t.
2 Escreva as informac¸o˜es nume´ricas.
3 Escreva o que deve encontrar.
4 Escreva uma equac¸a˜o que relacione as varia´veis.
5 Derive em relac¸a˜o a t.
6 Encontre a taxa desconhecida.
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Equac¸o˜es de taxas relacionadas
(Estrate´gia para a resoluc¸a˜o de problemas de taxas
relacionadas)
1 Desenhe uma figura e identifique as varia´veis e
as constantes. t sera´ o tempo e todas as demais
varia´veis sa˜o diferencia´veis em t.
2 Escreva as informac¸o˜es nume´ricas.
3 Escreva o que deve encontrar.
4 Escreva uma equac¸a˜o que relacione as varia´veis.
5 Derive em relac¸a˜o a t.
6 Encontre a taxa desconhecida.
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Equac¸o˜es de taxas relacionadas
(Estrate´gia para a resoluc¸a˜o de problemas de taxas
relacionadas)
1 Desenhe uma figura e identifique as varia´veis e
as constantes. t sera´ o tempo e todas as demais
varia´veis sa˜o diferencia´veis em t.
2 Escreva as informac¸o˜es nume´ricas.
3 Escreva o que deve encontrar.
4 Escreva uma equac¸a˜o que relacione as varia´veis.
5 Derive em relac¸a˜o a t.
6 Encontre a taxa desconhecida.
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Equac¸o˜es de taxas relacionadas
(Estrate´gia para a resoluc¸a˜o de problemas de taxas
relacionadas)
1 Desenhe uma figura e identifique as varia´veis e
as constantes. t sera´ o tempo e todas as demais
varia´veis sa˜o diferencia´veis em t.
2 Escreva as informac¸o˜es nume´ricas.
3 Escreva o que deve encontrar.
4 Escreva uma equac¸a˜o que relacione as varia´veis.
5 Derive em relac¸a˜o a t.
6 Encontre a taxa desconhecida.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Taxas relacionadas 12 de agosto de 2013 3 / 7
Equac¸o˜es de taxas relacionadas
(Estrate´gia para a resoluc¸a˜o de problemas de taxas
relacionadas)
1 Desenhe uma figura e identifique as varia´veis e
as constantes. t sera´ o tempo e todas as demais
varia´veis sa˜o diferencia´veis em t.
2 Escreva as informac¸o˜es nume´ricas.
3 Escreva o que deve encontrar.
4 Escreva uma equac¸a˜o que relacione as varia´veis.
5 Derive em relac¸a˜o a t.
6 Encontre a taxa desconhecida.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Taxas relacionadas 12 de agosto de 2013 3 / 7
Equac¸o˜es de taxas relacionadas: exemplos
Exemplo (Esvaziando um tanque)
A que taxa o n´ıvel do l´ıquido diminui dentro de um
tanque cil´ındrico vertical se bombearmos o l´ıquido
para fora a uma taxa de 3.000 l/min?
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Taxas relacionadas 12 de agosto de 2013 4 / 7
Equac¸o˜es de taxas relacionadas: exemplos
Exemplo (Esvaziando um tanque)
A que taxa o n´ıvel do l´ıquido diminui dentro de um
tanque cil´ındrico vertical se bombearmos o l´ıquido
para fora a uma taxa de 3.000 l/min?
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Taxas relacionadas 12 de agosto de 2013 4 / 7
Equac¸o˜es de taxas relacionadas: exemplos
Exemplo (Um bala˜o subindo)
Um bala˜o de ar quente, subindo na vertical a partir
do solo, e´ rastreado por um teleˆmetro colocado a
500 pe´s de distaˆncia do ponto de decolagem. No
momento em que o aˆngulo de elevac¸a˜o do
teleˆmetro e´ pi/4, o aˆngulo aumenta a uma taxa de
0, 14 rad/min. A que velocidade o bala˜o sobe nesse
momento?
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Taxas relacionadas 12 de agosto de 2013 5 / 7
Equac¸o˜es de taxas relacionadas: exemplos
Exemplo (Perseguic¸a˜o na rodovia)
Uma viatura de pol´ıcia, vindo do norte e
aproximando-se de um cruzamento em aˆngulo reto,
esta´ perseguindo um carro em alta velocidade, que,
no cruzamento, toma a direc¸a˜o leste. Quando a
viatura esta´ a 0, 6 mi ao norte do cruzamento e o
carro fugitivo a 0, 8 mi a leste, o radar da pol´ıcia
detecta que a distaˆncia entre a viatura e o fugitivo
esta´ aumentando a 20 m/h. Se a viatura esta´ se
deslocando a 60 mi/h no instante dessa medida,
qual e´ a velocidade do fugitivo?
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Taxas relacionadas 12 de agosto de 2013 6 / 7
Equac¸o˜es de taxas relacionadas: exemplos
Exemplo (Enchendo um tanque coˆnico)
A a´gua entra em um tanque coˆnico a uma taxa de
9 pe´s3/min. O tanque tem o ve´rtice voltado para
baixo e altura de 10 pe´s e o raio da base e´ de 5 pe´s.
A que taxa o n´ıvel da a´gua estara´ subindo quando a
profundidade for de 6 pe´s?
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Taxas relacionadas 12 de agosto de 2013 7 / 7