Aplicações das Derivadas

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(3o Esta´gio - Ca´lculo Diferencial e Integral I)
Aplicac¸o˜es das derivadas
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Aplicac¸o˜es das derivadas 26 de agosto de 2013 1 / 21
Func¸o˜es crescentes e decrescentes
Definic¸a˜o (Func¸a˜o crescente, func¸a˜o decrescente)
Seja f : I −→ R, I intervalo, e x1, x2 ∈ I arbitra´rios.
1 Se x1 < x2 implicar em f (x1) < f (x2), dizemos que f e´
crescente em I .
2 Se x1 < x2 implicar em f (x1) > f (x2), dizemos que f e´
decrescente em I .
Uma func¸a˜o que e´ crescente ou decrescente em I e´
chamada monotoˆnica em I .
Analise a monotonicidade de f (x) = x2.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Aplicac¸o˜es das derivadas 26 de agosto de 2013 2 / 21
Func¸o˜es crescentes e decrescentes
Definic¸a˜o (Func¸a˜o crescente, func¸a˜o decrescente)
Seja f : I −→ R, I intervalo, e x1, x2 ∈ I arbitra´rios.
1 Se x1 < x2 implicar em f (x1) < f (x2), dizemos que f e´
crescente em I .
2 Se x1 < x2 implicar em f (x1) > f (x2), dizemos que f e´
decrescente em I .
Uma func¸a˜o que e´ crescente ou decrescente em I e´
chamada monotoˆnica em I .
Analise a monotonicidade de f (x) = x2.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Aplicac¸o˜es das derivadas 26 de agosto de 2013 2 / 21
Func¸o˜es crescentes e decrescentes
Definic¸a˜o (Func¸a˜o crescente, func¸a˜o decrescente)
Seja f : I −→ R, I intervalo, e x1, x2 ∈ I arbitra´rios.
1 Se x1 < x2 implicar em f (x1) < f (x2), dizemos que f e´
crescente em I .
2 Se x1 < x2 implicar em f (x1) > f (x2), dizemos que f e´
decrescente em I .
Uma func¸a˜o que e´ crescente ou decrescente em I e´
chamada monotoˆnica em I .
Analise a monotonicidade de f (x) = x2.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Aplicac¸o˜es das derivadas 26 de agosto de 2013 2 / 21
Func¸o˜es crescentes e decrescentes
Corola´rio (do Teorema do Valor Me´dio)
Suponha f cont´ınua em [a, b] e deriva´vel em (a, b).
1 Se f ′(x) > 0 em qualquer x ∈ (a, b), enta˜o f e´
crescente em [a, b].
2 Se f ′(x) < 0 em qualquer x ∈ (a, b), enta˜o f e´
decrescente em [a, b].
Exemplo
Determine os pontos cr´ıticos de f (x) = x3 − 12x − 5 e
identifique os intervalos onde f e´ crescente e decrescente.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Aplicac¸o˜es das derivadas 26 de agosto de 2013 3 / 21
Func¸o˜es crescentes e decrescentes
Corola´rio (do Teorema do Valor Me´dio)
Suponha f cont´ınua em [a, b] e deriva´vel em (a, b).
1 Se f ′(x) > 0 em qualquer x ∈ (a, b), enta˜o f e´
crescente em [a, b].
2 Se f ′(x) < 0 em qualquer x ∈ (a, b), enta˜o f e´
decrescente em [a, b].
Exemplo
Determine os pontos cr´ıticos de f (x) = x3 − 12x − 5 e
identifique os intervalos onde f e´ crescente e decrescente.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Aplicac¸o˜es das derivadas 26 de agosto de 2013 3 / 21
O teste da primeira derivada para extremos locais
Figura: Gra´fico de f (x) = x3 − 12x − 5.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Aplicac¸o˜es das derivadas 26 de agosto de 2013 4 / 21
O teste da primeira derivada para extremos locais
Teorema
Seja c um ponto cr´ıtico de uma func¸a˜o f cont´ınua,
deriva´vel em qualquer ponto de um certo intervalo que
contenha c, exceto possivelmente em c. Movendo-se da
esquerda para direita, passando por c,
1 se f ′ muda de negativa para positiva em c, enta˜o f
possui um m´ınimo local em c;
2 se f ′ muda de positiva para negativa em c, enta˜o f
possui um ma´ximo local em c;
3 se f ′ na˜o muda de sinal em c, enta˜o c na˜o e´ extremo
local de f .
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Aplicac¸o˜es das derivadas 26 de agosto de 2013 5 / 21
O teste da primeira derivada para extremos locais
Teorema
Seja c um ponto cr´ıtico de uma func¸a˜o f cont´ınua,
deriva´vel em qualquer ponto de um certo intervalo que
contenha c, exceto possivelmente em c. Movendo-se da
esquerda para direita, passando por c,
1 se f ′ muda de negativa para positiva em c, enta˜o f
possui um m´ınimo local em c;
2 se f ′ muda de positiva para negativa em c, enta˜o f
possui um ma´ximo local em c;
3 se f ′ na˜o muda de sinal em c, enta˜o c na˜o e´ extremo
local de f .
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Aplicac¸o˜es das derivadas 26 de agosto de 2013 5 / 21
O teste da primeira derivada para extremos locais
Teorema
Seja c um ponto cr´ıtico de uma func¸a˜o f cont´ınua,
deriva´vel em qualquer ponto de um certo intervalo que
contenha c, exceto possivelmente em c. Movendo-se da
esquerda para direita, passando por c,
1 se f ′ muda de negativa para positiva em c, enta˜o f
possui um m´ınimo local em c;
2 se f ′ muda de positiva para negativa em c, enta˜o f
possui um ma´ximo local em c;
3 se f ′ na˜o muda de sinal em c, enta˜o c na˜o e´ extremo
local de f .
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Aplicac¸o˜es das derivadas 26 de agosto de 2013 5 / 21
O teste da primeira derivada para extremos locais
Teorema
Seja c um ponto cr´ıtico de uma func¸a˜o f cont´ınua,
deriva´vel em qualquer ponto de um certo intervalo que
contenha c, exceto possivelmente em c. Movendo-se da
esquerda para direita, passando por c,
1 se f ′ muda de negativa para positiva em c, enta˜o f
possui um m´ınimo local em c;
2 se f ′ muda de positiva para negativa em c, enta˜o f
possui um ma´ximo local em c;
3 se f ′ na˜o muda de sinal em c, enta˜o c na˜o e´ extremo
local de f .
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Aplicac¸o˜es das derivadas 26 de agosto de 2013 5 / 21
O teste da primeira derivada para extremos locais
Teorema
Seja c um ponto cr´ıtico de uma func¸a˜o f cont´ınua,
deriva´vel em qualquer ponto de um certo intervalo que
contenha c, exceto possivelmente em c. Movendo-se da
esquerda para direita, passando por c,
1 se f ′ muda de negativa para positiva em c, enta˜o f
possui um m´ınimo local em c;
2 se f ′ muda de positiva para negativa em c, enta˜o f
possui um ma´ximo local em c;
3 se f ′ na˜o muda de sinal em c, enta˜o c na˜o e´ extremo
local de f .
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Aplicac¸o˜es das derivadas 26 de agosto de 2013 5 / 21
O teste da primeira derivada para extremos locais
Exemplo
Determine os pontos cr´ıticos de
f (x) = (x2 − 3)ex
e identifique os intervalos onde f e´ crescente e
decrescente. Determine os extremos locais e absolutos da
func¸a˜o.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Aplicac¸o˜es das derivadas 26 de agosto de 2013 6 / 21
O teste da primeira derivada para extremos locais
Figura: Gra´fico de f (x) = (x2 − 3)ex .
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Aplicac¸o˜es das derivadas 26 de agosto de 2013 7 / 21
O teste da primeira derivada para extremos locais
Exemplo
Determine os pontos cr´ıticos de
f (x) = x1/3(x − 4) = x4/3 − 4x1/3
e identifique os intervalos onde f e´ crescente e
decrescente. Determine os extremos locais e absolutos da
func¸a˜o.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Aplicac¸o˜es das derivadas 26 de agosto de 2013 8 / 21
O teste da primeira derivada para extremos locais
Figura: Gra´fico de f (x) = x1/3(x − 4).
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Aplicac¸o˜es das derivadas 26 de agosto de 2013 9 / 21
Concavidade
Definic¸a˜o
O gra´fico de uma func¸a˜o deriva´vel y = f (x) e´
1 coˆncavo para cima em um intervalo aberto I , se f ′ e´
crescente em I ;
2 coˆncavo para baixo em um intervalo aberto I , se f ′
e´ decrescente em I .
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Aplicac¸o˜es das derivadas 26 de agosto de 2013 10 / 21
Concavidade
Definic¸a˜o
O gra´fico de uma func¸a˜o deriva´vel y = f (x) e´
1 coˆncavo para cima em um intervalo aberto I , se f ′ e´
crescente em I ;
2 coˆncavo para baixo em um intervalo aberto I , se f ′
e´ decrescente em I .
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Aplicac¸o˜es das derivadas 26 de agosto de 2013 10 / 21
Concavidade
Utilizando um corola´rio do Teorema do Valor Me´dio,
temos
(O teste da segunda derivada para concavidade)
Seja y = f (x) uma func¸a˜o duplamente deriva´vel em um
intervalo I .
1Se f ′′ > 0 em I , o gra´fico de f ao longo de I e´
coˆncavo para cima.
2 Se f ′′ < 0, o gra´fico de f ao longo de I e´ coˆncavo
para baixo.
Exemplo
Examine as concavidades de y = x2 e y = x3.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Aplicac¸o˜es das derivadas 26 de agosto de 2013 11 / 21
Concavidade
Utilizando um corola´rio do Teorema do Valor Me´dio,
temos
(O teste da segunda derivada para concavidade)
Seja y = f (x) uma func¸a˜o duplamente deriva´vel em um
intervalo I .
1 Se f ′′ > 0 em I , o gra´fico de f ao longo de I e´
coˆncavo para cima.
2 Se f ′′ < 0, o gra´fico de f ao longo de I e´ coˆncavo
para baixo.
Exemplo
Examine as concavidades de y = x2 e y = x3.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Aplicac¸o˜es das derivadas 26 de agosto de 2013 11 / 21
Concavidade
Utilizando um corola´rio do Teorema do Valor Me´dio,
temos
(O teste da segunda derivada para concavidade)
Seja y = f (x) uma func¸a˜o duplamente deriva´vel em um
intervalo I .
1 Se f ′′ > 0 em I , o gra´fico de f ao longo de I e´
coˆncavo para cima.
2 Se f ′′ < 0, o gra´fico de f ao longo de I e´ coˆncavo
para baixo.
Exemplo
Examine as concavidades de y = x2 e y = x3.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Aplicac¸o˜es das derivadas 26 de agosto de 2013 11 / 21
Pontos de inflexa˜o
Definic¸a˜o (Ponto de inflexa˜o)
Um ponto onde o gra´fico de uma func¸a˜o possui uma reta
tangente e onde ha´ mudanc¸a de concavidade e´ um ponto
de inflexa˜o.
Determine os pontos de inflexa˜o de y = x4 e y = x1/3.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Aplicac¸o˜es das derivadas 26 de agosto de 2013 12 / 21
Pontos de inflexa˜o
Definic¸a˜o (Ponto de inflexa˜o)
Um ponto onde o gra´fico de uma func¸a˜o possui uma reta
tangente e onde ha´ mudanc¸a de concavidade e´ um ponto
de inflexa˜o.
Determine os pontos de inflexa˜o de y = x4 e y = x1/3.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Aplicac¸o˜es das derivadas 26 de agosto de 2013 12 / 21
Pontos de inflexa˜o
Definic¸a˜o (Ponto de inflexa˜o)
Um ponto onde o gra´fico de uma func¸a˜o possui uma reta
tangente e onde ha´ mudanc¸a de concavidade e´ um ponto
de inflexa˜o.
Determine os pontos de inflexa˜o de y = x4 e y = x1/3.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Aplicac¸o˜es das derivadas 26 de agosto de 2013 12 / 21
Pontos de inflexa˜o
Figura: Gra´fico de f (x) = x4.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Aplicac¸o˜es das derivadas 26 de agosto de 2013 13 / 21
Pontos de inflexa˜o
Figura: Gra´fico de f (x) = x1/3.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Aplicac¸o˜es das derivadas 26 de agosto de 2013 14 / 21
O teste da segunda derivada para extremos locais
Teorema (O teste da segunda derivada para extremos locais)
Suponha que f ′′ seja cont´ınua em um intervalo aberto que
contenha x = c.
1 Se f ′(c) = 0 e f ′′(c) < 0, enta˜o f possui um ma´ximo
local quando x = c.
2 Se f ′(c) = 0 e f ′′(c) > 0, enta˜o f possui um m´ınimo
local quando x = c.
3 Se f ′(c) = 0 e f ′′(c) = 0, enta˜o o teste falha. A
func¸a˜o pode ter um ma´ximo local, um m´ınimo local,
ou nenhum dos dois.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Aplicac¸o˜es das derivadas 26 de agosto de 2013 15 / 21
O teste da segunda derivada para extremos locais
Teorema (O teste da segunda derivada para extremos locais)
Suponha que f ′′ seja cont´ınua em um intervalo aberto que
contenha x = c.
1 Se f ′(c) = 0 e f ′′(c) < 0, enta˜o f possui um ma´ximo
local quando x = c.
2 Se f ′(c) = 0 e f ′′(c) > 0, enta˜o f possui um m´ınimo
local quando x = c.
3 Se f ′(c) = 0 e f ′′(c) = 0, enta˜o o teste falha. A
func¸a˜o pode ter um ma´ximo local, um m´ınimo local,
ou nenhum dos dois.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Aplicac¸o˜es das derivadas 26 de agosto de 2013 15 / 21
Esboc¸o de curvas
Exemplo
Esboce o gra´fico da func¸a˜o f (x) = x4 − 4x3 + 10.
1 Identifique onde os extremos de f ocorrem.
2 Determine os intervalos onde f e´ crescente e os
intervalos onde f e´ decrescente.
3 Determine onde o gra´fico de f e´ coˆncavo para cima e
onde e´ coˆncavo para baixo.
4 Esboce a forma geral do gra´fico de f .
5 Trace alguns pontos espec´ıficos, tais como ma´ximo e
o m´ınimo locais, os pontos de inflexa˜o e as
coordenadas das intersec¸o˜es com os eixos x e y .
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Aplicac¸o˜es das derivadas 26 de agosto de 2013 16 / 21
Esboc¸o de curvas
Exemplo
Esboce o gra´fico da func¸a˜o f (x) = x4 − 4x3 + 10.
1 Identifique onde os extremos de f ocorrem.
2 Determine os intervalos onde f e´ crescente e os
intervalos onde f e´ decrescente.
3 Determine onde o gra´fico de f e´ coˆncavo para cima e
onde e´ coˆncavo para baixo.
4 Esboce a forma geral do gra´fico de f .
5 Trace alguns pontos espec´ıficos, tais como ma´ximo e
o m´ınimo locais, os pontos de inflexa˜o e as
coordenadas das intersec¸o˜es com os eixos x e y .
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Aplicac¸o˜es das derivadas 26 de agosto de 2013 16 / 21
Esboc¸o de curvas
Exemplo
Esboce o gra´fico da func¸a˜o f (x) = x4 − 4x3 + 10.
1 Identifique onde os extremos de f ocorrem.
2 Determine os intervalos onde f e´ crescente e os
intervalos onde f e´ decrescente.
3 Determine onde o gra´fico de f e´ coˆncavo para cima e
onde e´ coˆncavo para baixo.
4 Esboce a forma geral do gra´fico de f .
5 Trace alguns pontos espec´ıficos, tais como ma´ximo e
o m´ınimo locais, os pontos de inflexa˜o e as
coordenadas das intersec¸o˜es com os eixos x e y .
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Aplicac¸o˜es das derivadas 26 de agosto de 2013 16 / 21
Esboc¸o de curvas
Exemplo
Esboce o gra´fico da func¸a˜o f (x) = x4 − 4x3 + 10.
1 Identifique onde os extremos de f ocorrem.
2 Determine os intervalos onde f e´ crescente e os
intervalos onde f e´ decrescente.
3 Determine onde o gra´fico de f e´ coˆncavo para cima e
onde e´ coˆncavo para baixo.
4 Esboce a forma geral do gra´fico de f .
5 Trace alguns pontos espec´ıficos, tais como ma´ximo e
o m´ınimo locais, os pontos de inflexa˜o e as
coordenadas das intersec¸o˜es com os eixos x e y .
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Aplicac¸o˜es das derivadas 26 de agosto de 2013 16 / 21
Esboc¸o de curvas
Exemplo
Esboce o gra´fico da func¸a˜o f (x) = x4 − 4x3 + 10.
1 Identifique onde os extremos de f ocorrem.
2 Determine os intervalos onde f e´ crescente e os
intervalos onde f e´ decrescente.
3 Determine onde o gra´fico de f e´ coˆncavo para cima e
onde e´ coˆncavo para baixo.
4 Esboce a forma geral do gra´fico de f .
5 Trace alguns pontos espec´ıficos, tais como ma´ximo e
o m´ınimo locais, os pontos de inflexa˜o e as
coordenadas das intersec¸o˜es com os eixos x e y .
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Aplicac¸o˜es das derivadas 26 de agosto de 2013 16 / 21
Esboc¸o de curvas
Exemplo
Esboce o gra´fico da func¸a˜o f (x) = x4 − 4x3 + 10.
1 Identifique onde os extremos de f ocorrem.
2 Determine os intervalos onde f e´ crescente e os
intervalos onde f e´ decrescente.
3 Determine onde o gra´fico de f e´ coˆncavo para cima e
onde e´ coˆncavo para baixo.
4 Esboce a forma geral do gra´fico de f .
5 Trace alguns pontos espec´ıficos, tais como ma´ximo e
o m´ınimo locais, os pontos de inflexa˜o e as
coordenadas das intersec¸o˜es com os eixos x e y .
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Aplicac¸o˜es das derivadas 26 de agosto de 2013 16 / 21
Esboc¸o de curvas
Exemplo
Esboce o gra´fico da func¸a˜o f (x) = x4 − 4x3 + 10.
1 Identifique onde os extremos de f ocorrem.
2 Determine os intervalos onde f e´ crescente e os
intervalos onde f e´ decrescente.
3 Determine onde o gra´fico de f e´ coˆncavo para cima e
onde e´ coˆncavo para baixo.
4 Esboce a forma geral do gra´fico de f .
5 Trace alguns pontos espec´ıficos, tais como ma´ximo e
o m´ınimo locais, os pontos de inflexa˜o e as
coordenadas das intersec¸o˜es com os eixos x e y .
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Aplicac¸o˜es das derivadas 26 de agosto de2013 16 / 21
Esboc¸o de curvas
Figura: Gra´fico de f (x) = x4 − 4x3 + 10.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Aplicac¸o˜es das derivadas 26 de agosto de 2013 17 / 21
Esboc¸o de curvas
(Estrate´gia para construir o gra´fico de y = f (x))
1 Identifique o dom´ınio de f e simetrias no gra´fico.
2 Determine f ′ e f ′′.
3 Determine os pontos cr´ıticos de f e o comportamento
da func¸a˜o nesses pontos.
4 Determine a subida e a descida da curva.
5 Determine os pontos de inflexa˜o (se existirem) e a
concavidade da curva.
6 Identifique as ass´ıntotas.
7 Trace pontos de intersec¸a˜o com os eixos e aqueles
encontrados em 3 e 5; esboc¸e a curva.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Aplicac¸o˜es das derivadas 26 de agosto de 2013 18 / 21
Esboc¸o de curvas
Exemplo
Esboce o gra´fico de f (x) =
(x + 1)2
1 + x2
.
Exemplo
Esboce o gra´fico de f (x) = e2/x .
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Aplicac¸o˜es das derivadas 26 de agosto de 2013 19 / 21
Esboc¸o de curvas
Exemplo
Esboce o gra´fico de f (x) =
(x + 1)2
1 + x2
.
Exemplo
Esboce o gra´fico de f (x) = e2/x .
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Aplicac¸o˜es das derivadas 26 de agosto de 2013 19 / 21
Esboc¸o de curvas
Figura: Gra´fico de f (x) =
(x + 1)2
1 + x2
.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Aplicac¸o˜es das derivadas 26 de agosto de 2013 20 / 21
Esboc¸o de curvas
Figura: Gra´fico de f (x) = e2/x .
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Aplicac¸o˜es das derivadas 26 de agosto de 2013 21 / 21