Geometria Analítica - Prova UEM

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UEM - CCE - DMA
Geometria Anal´ıtica - 7758 - 1o PROVA
NOME TURMA 01
1. (2,5 pto) Verifique se e´ verdadeira ou falsa cada afirmac¸a˜o. Justifique.
a) Se |−→u | = |−→v |, enta˜o −→u = −→v
b) Se −→u = −→v , enta˜o −→u ‖ −→v .
c) Se −→u ‖ −→v , |−→u | = 2 e |−→v | = 4, enta˜o −→v = 2−→u ou −→v = −2−→u .
d) Se −→u · −→u = 0 enta˜o −→u = −→0 .
e) Se −→u · −→v = 0 enta˜o −→u = −→0 ou −→v = −→0 .
2. (1,5pto) Os lados do triaˆngulo equila´tero ABC tem medida 2. Calcule
−→
AB · −−→BC +−−→BC · −→CA+−→CA · −→AB.
3. (1,5 pto) Obtenha −→u ortogonal a (1, 1, 0) tal que |−→u | = √2 e a medida
angular entre −→u e (1,−1, 0) seja 45 graus.
4. (1,5 pto) Calcular z, sabendo-se que A(2, 0, 0), B(0, 2, 0) e C(0, 0, z)
sa˜o ve´rtices de um triaˆngulo de a´rea 6.
5. (3 pto) Considere as retas: r1 :
{
x = 2z + 3
y = −z + 3 e r2 : X = (1,−1, 1) +
λ(−2, 1,−1)
a) Estude a posic¸a˜o relativa das retas dadas.
b) Deˆ a distaˆncia entre as retas r1 e r2.
c) Escreva a equac¸a˜o geral do plano pi que conte´m as retas r1 e r2 e
represente-o graficamente.
d) Escreva a equac¸a˜o parame´trica da reta que passa pelo ponto P (5, 2, 3)
e e´ perpendicular ao plano pi.
e) Determine o ponto P ′ sime´trico de P em relac¸a˜o ao plano pi.
f) Estude a posic¸a˜o relativa entre o plano pi e pi1 : x− y − 5z − 3 = 0.
6. (Ponto extra) Considere uma piraˆmide de base quadrada ABCD de
lado 2. As arestas que conteˆm o ve´rtice V formam aˆngulos de 45◦ com
o plano do quadrado. Calcule o produto misto [
−−→
DC,
−−→
DA/2,
−−→
DV ] =−−→
DC ∧ −−→DA/2 · −−→DV
Boa prova!