Exercícios Capítulo 1 Stewart seção 1_3

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Exercícios Comentados de Cálculo 1Exercícios Comentados de Cálculo 1Exercícios Comentados de Cálculo 1Exercícios Comentados de Cálculo 1 
(Stewart, Vol. 1, 7ª ed.) 
 
1.3 Operações entre funções 
 
 
§§§ 
Como fazer translações, compressões ou reflexões 
no Geogebra 
 
Abra um arquivo novo. 
Digite “f(x) = sin(x)”. 
Digite “k=1”. 
Mostre o controle deslizante de “k”, para fazer isso clique com 
o botão direito e escolha exibir. 
Crie a nova função que você deseja estudar com o parâmetro 
“k” em sua definição. Por exemplo, crie “g(x)=sin(k*x)”. 
Altere o valor de “k” no controle deslizante e observe o gráfico 
do novo gráfico. 
§§§ 
 
 
Exercício 01. Considere que o gráfico de uma função 
( )y f x= é conhecido. Forneça equações (representações) que 
expressem funções cujos gráficos são obtidos a partir do 
gráfico de f segundo os movimentos descritos nos itens abaixo. 
 
a) Translação vertical de 3 unidades para cima; 
b) Translação vertical de 3 unidades para baixo; 
c) Translação horizontal de 3 unidades para a direita; 
d) Translação horizontal de 3 unidades para a esquerda; 
e) Reflexão em torno do eixo dos xx; 
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f) Reflexão em torno do eixo dos yy; 
g) Dilatação vertical de fator 3; 
h) Compressão vertical de fator 3. 
 
Resolução. 
a) Para obter uma translação vertical de 3 unidades para cima, 
devemos adicionar 3 unidades nas imagens da função, ou seja, 
tomamos a imagem ( )f x e adicionamos 3. Escrevemos a 
definição da função como ( ) 3y f x= + . Perceba, se ( )( ),a f a 
pertence ao gráfico da função, então ( )( ), 3a f a + estará na 
mesma direção da abscissa a e terá ordenada 3 unidades maior. 
 
b) Para definir uma função que possua gráfico transladado de 3 
unidades para baixo, devemos subtrair das imagens 3 unidades. 
Tomamos as imagens ( )f x e subtraímos 3, escrevemos então, 
( ) 3y f x= − . Esta será a definição da função cujo gráfico será 
uma cópia do gráfico da f situada 3 unidades para baixo. 
 
c) Para conseguir um gráfico que seja o resultado de uma 
translação de 3 unidades para a direita, devemos providenciar 
para que as imagens dos pontos de abscissa a seja iguais às 
imagens dos pontos de abscissa situadas 3 unidades para a 
esquerda, ou seja, situadas em 3a − . Assim, para obtermos o 
gráfico desejado, devemos tomar ( )y f x= e substituir por 
( )3y f x= − . 
 
Observação. Se você está com dúvidas a respeito do raciocínio, 
verifique com a função valor absoluto. Para que o “vértice” do 
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gráfico da função valor absoluto se situe 3 unidades para a 
direita, devemos definir a nova função como 3y x= − . 
 
d) Para obter uma translação de 3 unidades para a esquerda, 
devemos providenciar para que a imagem da abscissa a seja 
igual à imagem da abscissa situada 3 unidades para a direita, ou 
seja, situadas em 3a + . Assim, para obter a translação desejada 
devemos definir a função como ( )3y f x= + . 
 
Observação. Para conferir, veja que o vértice da função 
3y x= + está situado na abscissa 3x = − . O gráfico de 
3y x= + é o resultado de uma translação de 3 unidades para a 
esquerda do gráfico de y x= . 
 
e) Para obter a reflexão de um gráfico de ( )y f x= em relação 
ao eixo dos xx, devemos pensar em trocar o sinal das imagens. 
Se a imagem de uma abscissa a é ( )f a , para que haja reflexão 
devemos tomar a nova imagem como ( )f a− . Assim, para 
obter a desejada reflexão em torno do eixo dos xx, devemos 
definir a nova função como ( )y f x= − . 
 
Observação. Se você está com dúvidas, pense no gráfico de 
2y x= e no gráfico de 2y x= − . 
 
f) Para obter uma reflexão em torno do eixo dos yy, devemos 
pensar que a imagem de uma abscissa a deva ser igual à 
imagem de sua oposta a− . Então devemos substituir ( )y f x= 
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por ( )y f x= − . Assim, as imagens das abscissas positivas 
serão iguais às imagens das abscissas negativas e vice-versa. É 
assim que obtemos um gráfico que é a reflexão em torno do 
eixo dos yy de um gráfico dado. 
 
Observação. Se você está com dúvidas, pense no gráfico 
crescente de 2xy = e no gráfico decrescente de 2 xy −= . 
 
g) Para obter uma dilatação vertical de fator 3, devemos 
multiplicar as imagens por 3. Isso será obtido se considerarmos 
a definição ( )3y f x= . Assim, cada ordenada ( )f a passará a 
ser a ordenada ( )3 f a . 
 
Observação. Pense no gráfico de ( )cosy x= , ele tem 
amplitude vertical que vai de 1− até 1. Se você considerar 
( )3cosy x= verá que o novo gráfico terá a amplitude vertical 
indo de 3− até 3. 
 
 
h) Para obter uma compressão vertical de fator 3, devemos 
pensar em dividir as ordenadas ( )f a por 3. Se considerarmos 
a nova definição como ( )1
3
y f x= veremos que as ordenadas 
( )f a passarão a ser ordenadas ( )1
3
f a , e obteremos a 
compressão desejada. 
 
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Observação. Se você pensar no gráfico da função ( )cosy x= e 
definir a função ( ) ( )1 cos
3
g x x= , verá que a amplitude vertical 
do gráfico dessa nova função vai de 
1
3
− até 
1
3
. 
 
 
Exercício 02. Considere o gráfico de uma função genérica 
( )y f x= . Explique como obter os seguintes gráficos a partir 
do gráfico de ( )y f x= . 
 
a) ( ) 8y f x= + 
b) ( )8y f x= + 
c) ( )8y f x= 
d) ( )8y f x= 
e) ( ) 1y f x= − − 
f) 
1
8
8
y f x
 =  
 
 
 
Resolução. 
 
a) Para obter o gráfico de ( ) 8y f x= + , devemos efetuar uma 
translação vertical para cima de oito unidades no gráfico de 
( )y f x= . 
 
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b) Para obter o gráfico de ( )8y f x= + , devemos efetuar uma 
translação horizontal para a esquerda de oito unidades no 
gráfico de ( )y f x= . 
 
c) Para obter o gráfico de ( )8y f x= , devemos expandir 
verticalmente, por um fator de oito unidades, o gráfico de 
( )y f x= . 
 
d) Para obter o gráfico de ( )8y f x= , devemos comprimir 
horizontalmente, por um fator de oito unidades, o gráfico de 
( )y f x= . 
 
e) Para obter o gráfico de ( ) 1y f x= − − , devemos refletir o 
gráfico de ( )y f x= em relação ao eixo das ordenadas e 
depois transladar o gráfico refletido de uma unidade para 
baixo. 
 
f) Para obter o gráfico de 
1
8
8
y f x
 =  
 
, devemos expandir 
horizontalmente, de um fator de oito unidades, o gráfico de 
( )y f x= e depois expandir verticalmente o gráfico resultante, 
de um fator de oito unidades. 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 03. Considere a seguinte ilustração, que mostra o 
gráfico de uma função f e de alguns gráficos obtidos a partir 
dele. 
 
 
 
Identifique os gráficos com as funções dos itens a seguir. 
Justifique suas associações. 
 
a) ( )4y f x= − ; 
b) ( ) 3y f x= + ; 
c) ( )1
3
y f x= ; 
d) ( )4y f x= − + ; 
e) ( )2 6y f x= + . 
 
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Resolução. 
Observemos o gráfico da função f. 
A função f tem domínio ( ) [ ]0,3Dom f = . 
 
Observemos, agora, o gráfico (1). 
O domínio de tal função é [ ]0,3 , o comportamento desse 
gráfico assemelha-se ao comportamento do gráfico de f. 
Aparentemente, esse gráficoassemelha-se à translação do 
gráfico de f de 3 unidades positivas. Ou seja, para cada 
ordenada ( )f a sobre a abscissa a, houve a adição de 3 
unidades, o que resulta na nova ordenada ( ) 3f a + . A 
identificação correta é: gráfico (1) com item (b). 
 
Observemos, agora, o gráfico (4). 
O domínio de tal função é [ ]0,3 , o comportamento desse 
gráfico assemelha-se, de certa forma, ao comportamento do 
gráfico de f. Verificamos que este gráfico tem uma amplitude 
menor que a do gráfico de f. Este gráfico (4) poderia ter sido 
obtido do gráfico de f por uma translação? A resposta é não. 
Veja que a imagem de 3x = por f é igual a zero e a imagem de 
3x = no gráfico (4) também é igual a zero. Assim, podemos 
desconfiar de que houve uma compressão do gráfico de f para 
que ele ficasse com o comportamento do gráfico (4). Uma 
multiplicação das ordenadas ( )f a por um número inferior a 1, 
faz com que os valores diferentes de zero diminuam e faz com 
que as raízes continuem sendo raízes. Olhando a lista 
disponibilizada pelo autor, verificamos que a identificação 
adequada é: gráfico (4) e item (c). 
 
Observemos o gráfico (3). 
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Percebemos que esse gráfico tem as mesmas “alturas” que o 
gráfico de f, ou seja, o conjunto imagem de f é o mesmo 
conjunto imagem da função que tem o gráfico (3). Percebemos 
que a raiz de f, que era é a abscissa 3x = , foi transladada para 
uma nova raiz situada em 7x = . Percebemos que o domínio de 
f, que era [ ]0,3 tornou-se um novo domínio igual a [ ]4,7 . 
Essas indicações de comportamento e translação do domínio de 
4 unidades para a direita nos levam a associar o gráfico (3) com 
o item (a). A definição do item (a) é ( )4f x− , isso faz com 
que o gráfico de tal função seja obtido pela translação de 4 
unidades para a direita a partir do gráfico de f. Tem-se, por 
exemplo, ( ) ( ) ( )4 4 4 0g f f= − = , ( ) ( ) ( )5 5 4 1g f f= − = , 
( ) ( ) ( )7 7 4 3g f f= − = e assim por diante. 
 
Observemos o gráfico (2). 
O domínio da função que possui esse gráfico é [ ]6, 3− − . Tem 
mesma medida do domínio de f. Percebemos que o 
comportamento dessa função é parecido com o comportamento 
da função original f. Inicia com a ordenada 2 é crescente até a 
ordenada 6 e depois decrescente e termina na ordenada zero. A 
função f se inicia na ordenada 1, é crescente até a ordenada 3 e 
depois decrescente até a ordenada zero. Então se 
multiplicarmos as imagens da função original f por 2, 
obteremos as imagens transladadas da nova função associada 
ao gráfico (2). Devemos tomar o gráfico da função f, 
multiplicá-lo por um fator 2 e transladá-lo 6 unidades para a 
esquerda. Temos essa opção dentre as alternativas, é a opção 
(e) ( )2 6y f x= + . A associação correta é: Gráfico (2) com 
alternativa (e). 
 
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O último gráfico a ser analisado é o gráfico (5). 
Observamos que se transladarmos o gráfico de f quatro 
unidades para a esquerda, ou seja, considerarmos a função 
definida por ( )4y f x= + obteremos um gráfico que será o 
simétrico do gráfico (5) em relação ao eixo dos xx. Para obter o 
gráfico (5) devemos realizar uma reflexão em torno do eixo dos 
xx a partir do gráfico de ( )4y f x= + . Como tal reflexão é 
obtida alterando-se o sinal das imagens, o gráfico (5) é 
associado com a função ( )4y f x= − + que é a função da 
alternativa (d). A associação correta é: Gráfico (5) com item 
(d). 
 
 
Exercício 04. Considere o gráfico da função f mostrado a 
seguir. 
 
 
 
Esboce os seguintes gráficos a partir do gráfico anterior. 
 
a) ( ) 2y f x= − 
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b) ( )2y f x= − 
c) ( )2y f x= − 
d) 
1
1
3
y f x
 = + 
 
 
 
Resolução. 
 
a) O gráfico é obtido mediante translação para baixo de duas 
unidades. 
 
 
 
b) O gráfico é obtido mediante translação para a direita de duas 
unidades. 
 
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c) O gráfico é obtido pela expansão de duas unidades na 
vertical e depois por reflexão em torno do eixo das abscissas. 
 
 
 
d) O gráfico é obtido a partir da expansão horizontal de fator 3 
seguido de uma translação para cima de uma unidade. 
 
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Exercício 05. Considere o gráfico de ( )y f x= fornecido a 
seguir. 
 
 
 
Utilize o gráfico anterior e esboce o gráfico das seguintes 
funções: 
 
a) ( )2y f x= ; 
b) 
1
2
y f x
 =  
 
; 
c) ( )y f x= − ; 
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d) ( )y f x= − − . 
 
Resolução. 
a) ( )2y f x= . 
Vamos chamar essa nova função pelo nome g. O gráfico de g 
será obtido do gráfico de f por uma compressão horizontal de 
fator 2. 
 
Perceba que quando calcularmos a imagem de 1x = por 
( ) ( )2g x f x= , estaremos calculando ( ) ( ) ( )1 2 1 2g f f= ⋅ = . 
 
Teremos ( ) ( )2 4g f= ; ( ) ( )3 6g f= . 
 
Qual é o domínio dessa função g? 
Resposta: Só poderemos calcular as imagens de números reais 
situados entre 0 e 3. 
O comportamento observado no gráfico de f acontecerá no 
gráfico de g “no dobro da velocidade”. 
 
O valor máximo de f que é igual a 2 e obtido quando 1x = 
fornecerá para a função g o valor máximo igual a 2, mas sobre 
a abscissa 
1
2
x = . 
A raiz 3x = da função f fornecerá a raiz 
3
2
x = da função g. 
O valor mínimo atingido por f na abscissa 4x = será o 
responsável pelo valor mínimo da função g, só que esse 
mínimo será atingido na abscissa 2x = . 
 
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E a outra raiz de f, atingida quando 6x = será fornecerá para a 
função g sua segunda raiz atingida quando 3x = . 
Traçamos sobre o mesmo quadro o gráfico da função 
( ) ( )2g x f x= , na cor preta. 
 
 
 
 
b) 
1
2
y f x
 =  
 
; 
Vamos chamar essa nova função como h, temos assim 
( )
2
x
h x f
 =  
 
. 
Percebemos que o domínio de h será diferente do domínio de f. 
Como dividiremos o valor de x antes de aplicarmos a função f, 
o domínio de h será [ ]0,12 . 
 
Percebemos que o valor máximo de h será obtido quando a 
abscissa for 2x = , ( ) ( )22 1 2
2
h f f
 = = = 
 
. 
A primeira raiz de h será na abscissa 6x = , 
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 ( ) ( )66 3 0
2
h f f
 = = = 
 
. 
O valor mínimo de h será obtido quando 8x = , pois 
( ) ( )88 4 1
2
h f f
 = = = − 
 
. 
O gráfico de h será obtido do gráfico de f por uma dilatação 
horizontal de fator 2. 
 
Na seguinte ilustração mostramos o gráfico de h e o gráfico 
original de f. 
 
 
 
c) ( )y f x= − ; 
Chamemos tal função de m, a definição é ( ) ( )m x f x= − . 
Percebemos que se m vai ser calculada em números x− seu 
domínio deve ser, então, igual a [ ]6,0− . 
Por exemplo, ( ) ( ) ( )6 [ 6] 6 0m f f− = − − = = ; 
( ) ( ) ( )4 [ 4] 4 1m f f− = − − = = − ; 
( ) ( ) ( )1 [ 1] 1 2m f f− = − − = = e 
( ) ( ) ( )0 [ 0] 0 1m f f= − − = = . 
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O traçado de tal gráfico será igual à reflexão do gráfico de f em 
torno do eixo dos yy. 
Na seguinte ilustração mostramos o gráfico de m junto com o 
gráfico de f. 
 
 
 
 
d) ( )y f x= − − .O gráfico dessa nova função ( ) ( )p x f x= − − será obtido do 
gráfico da função do item anterior por reflexão em torno do 
eixo dos xx. 
Haverá troca de sinal nas ordenadas dos pontos do gráfico do 
item anterior. 
 
Perceba que: 
( ) ( ) ( )6 [ 6] 6 0p f f− = − − − = − = ; 
( ) ( ) ( ) ( )4 [ 4] 4 1 1p f f− = − − − = − = − − = ; 
( ) ( ) ( )1 [ 1] 1 2p f f− = − − − = − = − ; 
( ) ( ) ( ) ( )0 [ 0] 0 1 1p f f= − − − = − = − = − . 
 
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A seguir o esboço do gráfico de p juntamente com o gráfico de 
f. 
 
 
 
 
Exercício 06. O gráfico a seguir é da função definida por 
23y x x= − . 
 
 
 
Que transformações devem ser aplicadas na função anterior 
para se ter o seguinte gráfico. 
 
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Resolução. 
Percebemos que o centro da semicircunferência está no eixo 
das abscissas. Antes ele estava identificado com 1.5x = e 
agora está identificado com 3.5x = . Houve uma translação de 
duas unidades para a direita. Devemos aplicar a transformação 
( )2y f x= − . 
Observamos também que houve uma expansão vertical, se 
antes o gráfico tinha uma amplitude que ia de zero até 1.5, 
agora a amplitude vai de zero até 3. Houve uma expansão de 
fator 2 na vertical. Devemos considerar ( )2 2y f x= − . 
 
A transformação necessária é ( )2 2y f x= − . 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 06. O gráfico a seguir é da função definida por 
23y x x= − . 
 
 
 
Que transformações devem ser aplicadas na função anterior 
para se ter o seguinte gráfico. 
 
 
Resolução. 
Percebemos que houve uma reflexão em torno do eixo das 
abscissas, isso fornece a transformação ( )y f x= − . 
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Percebemos que o centro da semicircunferência mudou para 
( )2.5, 1− − . Devemos efetuar uma translação de 4 unidades para 
a esquerda seguida de uma translação de uma unidade para 
baixo. Isso nos fornece a seguinte expressão ( )4 1y f x= − + − . 
 
 
Exercício 08. 
a) Qual a relação entre o gráfico da função definida por 
( )2siny x= e o da função definida por ( )siny x= ? Esboce os 
dois gráficos. 
b) Qual a relação entre o gráfico da função definida por 
1y x= + e da função definida por y x= . Esboce os 
gráficos. 
 
Resolução. 
O gráfico da função definida por ( )2siny x= é obtido do 
gráfico da função definida por ( )siny x= mediante uma 
expansão de fator 2 na vertical. Assim, o gráfico de 
( )2siny x= varia entre as ordenadas 2y = − e 2y = e possui 
as mesmas raízes e período que a função ( )siny x= . 
 
Vejamos os dois gráficos. O de ( )2siny x= está em azul. 
 
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b) O gráfico da função definida por 1y x= + é obtido do 
gráfico da função definida por y x= mediante translação 
vertical de uma unidade para cima. Vejamos os dois gráficos. 
 
 
 
 
 
Exercícios de 09 até 24: Esboce o gráfico das funções 
definidas nos seguintes itens. Inicie o traçado com o gráfico de 
uma função conhecida e execute transformações até esboçar o 
gráfico da função final. Não use calculadoras e marcação de 
pontos. 
 
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Exercício 09. Função 
1
2
y
x
=
−
. 
 
Resolução. 
Observando a definição algébrica da função, vemos que uma 
função conhecida que se assemelha com a do enunciado é a 
função ( ) 1f x
x
= . O gráfico dessa função é composto de dois 
arcos hiperbólicos. Seu domínio é ( ) {0}Dom f = −ℝ . 
Então, a função proposta tem gráfico obtido do gráfico da 
função ( ) 1f x
x
= por translação de duas unidades para a 
direita. Temos: ( ) ( ) 12
2
y x f x
x
= − =
−
. A seguir mostramos o 
gráfico de ( )f x em vermelho e o gráfico da função 1
2
y
x
=
−
 
em azul. Perceba que seu domínio é { }2−ℝ . 
 
 
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Exercício 10. Função ( )31y x= − . 
 
Resolução. 
Observando a definição algébrica da função, vemos que uma 
função conhecida que se assemelha com a do enunciado é a 
função ( ) 3f x x= . 
 
O domínio de tal função é ℝ . Para obter o gráfico definido por 
( )31y x= − devemos efetuar a translação de uma unidade para 
a direita no gráfico da função cúbica. Vejamos os dois gráficos. 
Mostramos o de ( ) 3f x x= em vermelho e o de ( )31y x= − em 
azul. 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 11. Função 3y x= − . 
 
Resolução. 
Iniciemos nosso raciocínio com a função ( ) 3f x x= . 
Seu gráfico é crescente, passa pelo ponto ( )0,0 e continua 
crescente. Esse gráfico é obtido pela reflexão do gráfico da 
função cúbica ( ) 3n x x= em torno da reta y x= , já que 
( ) 3f x x= é a função inversa de ( ) 3n x x= . 
 
O gráfico da função enunciada é obtido por reflexão do gráfico 
de f em torno do eixo dos xx. 
Mostramos a seguir o gráfico da função f em vermelho e o 
gráfico da função enunciada em azul. 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 12. Função 2 6 4y x x= + + . 
 
Resolução. 
Precisamos de uma expressão fatorada. 
( ) ( )22 26 4 2(3) 9 4 9 3 5y x x x x x= + + = + + + − = + − . 
 
O gráfico de uma função conhecida que se relaciona com a 
definição anterior é ( ) 2f x x= . 
A partir do gráfico de ( ) 2f x x= efetuamos uma translação de 
3 unidades para a esquerda seguida de uma translação vertical 
de 5 unidades para baixo. Vejamos o gráfico de ( )f x em 
vermelho e o de ( )23 5y x= + − em azul. 
 
 
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Exercício 13. Função 2 1y x= − − . 
 
Resolução. 
Pensemos primeiramente na função ( )f x x= . Seu domínio é 
[0, )∞ . 
Devemos efetuar uma translação de duas unidades para a 
direita para obtermos o gráfico de 2y x= − . Nessa situação, 
vemos que o domínio torna-se [2, )∞ . 
Depois devemos efetuar uma translação de uma unidade para 
baixo para obter o gráfico de 2 1y x= − − . 
Mostramos o gráfico de ( )f x x= em vermelho e o de 
2 1y x= − − em azul. 
 
 
 
 
 
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Exercício 14. Função ( )4sin 3y x= . 
 
Resolução. 
Uma função cujo gráfico conhecemos e que se assemelha a do 
enunciado é ( ) ( )sinf x x= , cujo domínio é ℝ . 
Primeiramente, efetuamos uma contração horizontal de fator 3. 
Isso altera apenas o período, tornando-o menor. Depois efetua-
se uma expansão vertical de fator 4, o que modifica a 
amplitude e faz com que os valores funcionais fiquem entre 4− 
e 4. Essas transformações não modificam o domínio inicial. 
Mostramos o gráfico de ( )f x em vermelho e o de 
( )4sin 3y x= em azul. 
 
 
 
 
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Exercício 15. Função sen
2
x
y
 =  
 
. 
 
Resolução. 
Pensemos primeiramente na função ( ) ( )senf x x= . 
Seu domínio é ℝ e suas raízes ocorrem a intervalos de π 
unidades lineares, , 3 , 2 , , 0, , 2 ,π π π π π− − −⋯ ⋯ . 
O gráfico da função enunciada é obtido a partir do gráfico da 
função ( ) ( )senf x x= por dilataçãode fator 2 na horizontal. 
Perceba que a primeira raiz positiva de ( ) ( )senf x x= , x π= 
não será mais raiz de sen
2
x
y
 =  
 
. 
 
A primeira raiz positiva será 2x π= , já que: 
( ) ( ) ( )22 2 sin sin 0
2
y f
π
π π π = = = = 
 
. 
A seguir mostramos parte do gráfico de ( ) ( )senf x x= em 
vermelho e parte do gráfico de sen
2
x
y
 =  
 
 em azul. 
 
 
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Exercício 16. Função 
2
2y
x
= − . 
 
Resolução. 
Iniciemos nosso raciocínio com a função ( ) 1f x
x
= cujo 
domínio é { }0−ℝ e o gráfico é uma hipérbole (dois ramos). 
Devemos considerar o gráfico de 
2
y
x
= e para isso tomamos o 
gráfico de ( )f x e o expandimos verticalmente de fator 2. 
Depois fazemos uma translação de duas unidades para baixo. 
Essas considerações não afetam o domínio. Mostramos o 
gráfico de ( )f x em vermelho e o gráfico da função definida 
por 
2
2y
x
= − em azul. 
 
 
 
 
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Exercício 17. Função ( )( )1 1 cos
2
y x= − . 
 
Resolução. 
Iniciemos nosso raciocínio com a função ( ) ( )cosf x x= , cujo 
esboço do gráfico é mostrado a seguir. 
 
 
 
Consideremos a função ( ) ( )cosg x x= − . Esta função tem 
gráfico obtido a partir do gráfico da função ( ) ( )cosf x x= por 
reflexão em relação ao eixo dos xx. 
 
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Em seguida, consideremos a função ( ) ( )1 cosh x x= − . O 
gráfico desta função é obtido por uma translação vertical de 
uma unidade do gráfico da função g. 
 
 
 
 
Finalmente, consideramos a função ( ) ( )( )1 1 cos
2
j x x= − . O 
gráfico desta última é obtido mediante compressão vertical de 
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fator 
1
2
 no gráfico da função ( ) ( )1 cosh x x= − . A ilustração 
do gráfico da função j está a seguir, em azul. 
 
 
 
 
Exercício 18. Função 1 2 3y x= − + . 
 
Resolução. 
Tomemos inicialmente a função ( )f x x= . O domínio é 
[0, )∞ . 
Teremos de considerar a função definida por 3y x= + . Seu 
gráfico é obtido do gráfico de ( )f x mediante translação de 3 
unidades para a esquerda. O domínio torna-se [ 3, 0)− . 
Depois teremos de considerar uma expansão de fator 2 na 
vertical no gráfico da função definida por 3y x= + , assim 
consideraremos a função definida por 2 3y x= + . 
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Depois consideraremos a reflexão em torno do eixo das 
abscissas no gráfico da função definida por 2 3y x= + , assim 
consideraremos a função definida por 2 3y x= − + . 
Finalmente, consideraremos a função definida por 
1 2 3y x= − + e seu gráfico será obtido do gráfico da função 
definida por 2 3y x= − + pela translação e uma unidade para 
cima. 
O gráfico da função ( )f x é mostrado em vermelho e o da 
função dada por 1 2 3y x= − + é mostrado em azul. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 19. Função 21 2y x x= − − . 
 
Resolução. 
Deveremos fatorar a expressão. 
2 2 21 2 2 1 2 1 1 1y x x x x x x   = − − = − + − = − + + − − =    
 
( )21 2x = − + −  . 
 
Consideremos a função ( ) 2f x x= . 
Efetuamos uma translação de uma unidade para a esquerda no 
gráfico de ( )f x . A função considerada deve ser definida por 
( )21y x= + . 
Depois, no gráfico de ( )21y x= + , devemos efetuar uma 
translação de duas unidades para baixo, o que fornece o gráfico 
da função definida por ( )21 2y x= + − . 
Finalmente, devemos refletir o gráfico da função 
( )21 2y x= + − em torno do eixo das abscissas. Nessa situação 
estaremos considerando o gráfico da função definida por 
( )21 2y x = − + −  . 
Mostramos o gráfico de ( )f x em vermelho e o gráfico da 
função definida por ( )21 2y x = − + −  em azul. 
 
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Exercício 20. Função 2y x= − . 
 
Resolução. 
Tomemos inicialmente a função ( )f x x= . 
A partir desse gráfico devemos efetuar uma translação de duas 
unidades para baixo. Dessa maneira estaremos considerando a 
função definida por 2y x= − . 
Mostramos o gráfico de ( )f x em vermelho e o gráfico da 
função definida por 2y x= − em azul. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 21. Função 2y x= − . 
 
Resolução. 
Tomemos inicialmente a função ( )f x x= . Seu gráfico é 
conhecido. Considere a função dada no enunciado. 2y x= − . 
O gráfico desta função é obtido do gráfico da função ( )f x x= 
por translação de duas unidades para a direita. Verifique que o 
vértice está agora sobre a abscissa 2x = . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 22. Função 
1
tan
4 4
y x
π = − 
 
. 
 
Resolução. 
Vamos considerar a função ( ) ( )tanf x x= . 
Seu domínio é ,
2
D k k
π = − ∈ 
 
ℝ ℤ . 
A partir do gráfico da função ( )f x efetuamos uma translação 
de 
4
π
 unidades para a direita. Obteremos o gráfico da função 
definida por tan
4
y x
π = − 
 
. O domínio dessa nova função é 
3
,
4
D k k
π = − ∈ 
 
ℝ ℤ . 
Após isso, faremos uma contração vertical de fator 4. O gráfico 
assim obtido é o da função definida por 
1
tan
4 4
y x
π = − 
 
. 
Mostramos o gráfico de ( )f x em vermelho e o da função 
definida por 
1
tan
4 4
y x
π = − 
 
 em azul. 
 
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Exercício 23. Função 1y x= − . 
 
Resolução. 
Tomemos inicialmente a função ( )f x x= . Seu domínio é 
[0, )D = ∞ . 
A partir do gráfico de ( )f x efetuamos uma translação de uma 
unidade para baixo. Obtemos o gráfico da função definida por 
1y x= − . 
Em seguida rebatemos as partes negativas do gráfico da função 
definida por 1y x= − para torna-las positivas. Esse é o 
gráfico da função definida por 1y x= − . 
Os gráficos são mostrados a seguir. 
 
 
 
 
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Exercício 24. Função cos( )y xπ= . 
 
Resolução. 
Consideramos a função ( ) ( )cosf x x= cujo gráfico sabemos 
traçar. A partir desse gráfico efetuamos uma expansão 
horizontal de fator π . O gráfico obtido é o da função definida 
por ( )cosy xπ= . 
Em seguida, rebatemos as partes negativas do gráfico anterior 
para torna-las positivas. O gráfico obtido é o gráfico da função 
definida por ( )cosy xπ= . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 25. Considere os seguintes gráficos: 
 
 
 
Eles indicam a quantidades de horas de luz solar por dia em 
função dos meses do ano. São apresentados cinco gráficosde 
acordo com as latitudes do hemisfério norte. 
 
Considere que a cidade de Nova Delhi, na Índia. Ela está 
situada na latitude 30º N. Use os dados da figura anterior para 
determinar a expressão algébrica de uma função que modele a 
quantidade de luz solar diária em Nova Delhi em função dos 
dias do ano. Para apurar seu modelo considere que nessa 
cidade, no dia 31 de março, o Sol nasce às 6h13min e se põe às 
18h39min. 
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Resolução. 
O gráfico relativo a 30 graus Norte é o vermelho. Ele se inicia 
em uma ordenada e cresce suavemente logo em seguida. 
Depois atinge um valor máximo e decresce, é um 
comportamento cíclico. 
Vamos considerar inicialmente a função ( ) ( )sinf x x= . Ela 
parte do valor zero e aumenta e diminui ciclicamente. 
 
Percebemos que a variação do gráfico tem valor central de 12. 
Então vamos considerar a função definida por ( )sin 12y x= + . 
 
Percebemos, pelo gráfico mostrado, que os valores máximos e 
mínimos da função são 14 e 10. Devemos transformar o gráfico 
da função anterior multiplicando-o por um fator 2. O gráfico 
considerado é, por enquanto, definido por ( )2sin 12y x= + . 
 
Observamos que o gráfico vermelho se inicia no dia 21 de 
março. Deveremos transladar o gráfico da função definida por 
( )2sin 12y x= + . Temos: 31 28 21 80+ + = dias de 01 de 
janeiro até 1 de março. Devemos considerar a função definida 
por ( )2sin 80 12y x= − + . 
 
Devemos arrumar o período dessa última função. Verificamos 
que a primeira raiz ocorre no dia 21 de setembro, 180 dias após 
o dia 21 de março. Se o período de ( ) ( )2sin 80 12g x x= − + é 
de 2π dias e queremos um período de 180 dias, devemos 
dividir o argumento da função por 
180
2π
. Isso arrumará o 
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gráfico, fará com que ele se expanda de fator 
180
2π
 na 
horizontal e seja coincidente com o gráfico vermelho do 
enunciado. A função que modela a quantidade de luz solar na 
cidade de Nova Delhi é ( ) 22sin ( 80) 12
180
h x x
π = − + 
 
. 
 
 
 
Na ilustração marcamos o segmento sobre a abscissa 90, já que 
dia 31 de março é o nonagésimo dia do ano. 
 
Calculamos ( )90 12.65f ≅ . 
A resposta é que no dia 31 de março há pouco mais de 12 horas 
e 30 minutos de luz solar em Nova Delhi. 
Os dados oficiais dizem que, no dia 31 de março, o Sol nasce 
às 6h13 e se põe às 18h39. Isso fornece a informação de que 
nesse dia há 12 horas e 26 minutos de luz solar. 
Nosso modelo está razoável. 
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Exercício 26. Considere a estrela Delta Cephei. Ela é uma 
estrela de brilho variável. O período de tempo entre os brilhos 
máximos é de 5,4 dias. O brilho médio vale 4 unidades e seu 
brilho varia de 0.35± unidades em magnitude. Determine um 
modelo para a variação do brilho dessa estrela em função do 
tempo. 
 
Resolução. 
Consideremos inicialmente a função ( ) ( )sinf x x= . 
Seu período é de 2π unidades. Para fazermos com que o 
período coincida com o período de 5,4 unidades, devemos 
comprimir o gráfico de ( ) ( )sinf x x= de um fator de 2
5.4
π
. 
Assim consideraremos a função definida por 
2
sin
5.4
y x
π =  
 
. 
 
A magnitude média é de 4 unidades, devemos transladar o 
gráfico da função definida por 
2
sin
5.4
y x
π =  
 
 de 4 unidades 
para cima. A função que possui esse gráfico é definida por 
2
sin 4
5.4
y x
π = + 
 
. 
 
A amplitude da variação do brilho é de 0.35 unidades, para 
mais e para menos. Como a amplitude da função considerada 
ainda é de uma unidade para mais e de uma unidade para 
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menos, precisamos multiplicar a expressão da função seno de 
um fator 0.35. A função que desejamos é 
 
( ) 20.35sin 4
5.4
g x x
π = + 
 
. 
Ilustramos o gráfico da função em azul e o gráfico da função 
( ) ( )sinf x x= em tracejado. 
 
 
 
 
Exercício 27. Considere o gráfico de uma função genérica 
( )y f x= . 
a) Qual a relação do gráfico de f com o gráfico de ( )y f x= ? 
b) Esboce o gráfico de ( )siny x= . 
c) Esboce o gráfico de y x= . 
 
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Resolução. 
Para construir o gráfico de ( )y f x= a partir do gráfico da 
função original ( )y f x= , devemos preservar o traçado do 
gráfico de ( )y f x= para todos os valores 0x ≥ . Devemos 
então refletir essa parte situada no semiplano 0x ≥ em torno 
do eixo das ordenadas. O gráfico de ( )y f x= é um gráfico 
que possui tal simetria, ele é o gráfico de uma função par, já 
que se 0x > então ( ) ( )f x f x− = . 
 
Mostramos a seguir o gráfico de ( )siny x= em azul e o 
gráfico de ( )g x x= em verde. 
 
 
 
 
Observe que o domínio de ( )f x x= é [0, )∞ , mas o domínio 
de ( )g x x= é ℝ . 
 
 
 
 
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Exercício 28. Considere o gráfico de uma função ( )y f x= 
mostrado na seguinte figura. 
 
 
 
Esboce o gráfico de 
( )
1
y
f x
= . Explique quais os aspectos 
importantes do gráfico original lhe foram importantes e como 
foram utilizados. 
 
Resolução. 
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Os aspectos mais importantes na hora de construir o gráfico da 
função definida como 
( )
1
y
f x
= são as raízes de ( )f x . 
Não haverá gráfico de 
( )
1
y
f x
= sobre as raízes já que essas 
são responsáveis pelo aparecimento de zeros no denominador. 
 
Devemos traçar retas verticais sobre as raízes e marca-las em 
tracejado assim como fazemos ao traçarmos o gráfico da 
função tangente. 
 
 
 
 
Para o exemplo mostrado em tracejado. Temos ( )1 0f − = . 
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À esquerda de 1x = − os valores de ( )f x são negativos, logo, 
devemos desenhar um traço que assume valores cada vez 
menores à medida que se aproxima da asbcissa 1x = − pela 
esquerda. 
 
À direita de 1x = − os valores de ( )f x são positivos, logo, 
devemos desenhar um traço que assume valores cada vez 
maiores à medida que se aproxima da abscissa 1x = − pela 
direita. 
 
Raciocínios análogos são utilizados para traçar o novo gráfico 
perto das outras raízes. 
 
De maneira análoga, pensamos que, quanto maior for a 
grandeza ( )f x menor deverá ser a ordenada a ser traçada no 
gráfico de 
( )
1
f x
. Por isso o esboço mostrado em azul. 
Observe que o gráfico de 
( )
1
y
f x
= não apresentará nenhuma 
raíz. 
 
 
 
 
 
 
Exercício 29. Considere as funções definidas por 
( ) 3 22f x x x= + e ( ) 23 1g x x= − . Escreva as definições 
algébricas e os domínios das funções: 
a) f g+ ; 
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b) f g− ; 
c) f g⋅ ; 
d) 
f
g
. 
 
Resolução. 
 
Primeiramente, vejamos os domínios das funções f e g. 
 
A função f é uma função polinomial, portanto podemos 
calcular o valor da função em qualquer número real. Seu 
domínio é todo o conjunto dos números reais. ( )Dom f =ℝ . 
 
A função g também é definida algebricamente por uma 
expressão polinomial. Portanto, também podemos calcular os 
valores de g em qualquer número real, ou seja, ( )Dom g =ℝ . 
 
a) f g+ , com () 3 22f x x x= + e ( ) 23 1g x x= − . 
 
A notação apresentada estipula que a nova função terá o 
“nome” f g+ . Tal nome poderia ser “soma”, poderia ser 
“adic_f_g”, ou outro nome qualquer. 
O que devemos considerar é que essa nova função, dada com o 
nome f g+ deve calcular seus valores nos números reais da 
seguinte maneira: 
 
( )( ) ( ) ( )f g x f x g x+ = + para qualquer x real. 
 
Observação: 
Se o nome da função fosse “soma” deveríamos adotar que: 
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( ) ( ) ( )soma x f x g x= + 
para qualquer número real x. 
 
Se o nome da função fosse “adic_f_g” deveríamos adotar que: 
( ) ( ) ( )adic_f_g x f x g x= + 
para qualquer número real x. 
 
É importante que o aluno compreenda a diferença entre o 
“nome” da função e qual é o procedimento adotado para definir 
o que a função faz num número real x. 
 
Então, a função cujo nome é f g+ tem domínio ℝ , e para 
cada número a real, a imagem de a é calculada da seguinte 
maneira: 
 
( )( ) ( ) ( )f g a f a g a+ = + = 
 
3 2 2 3 22 3 1 5 1a a a a a   + + − = + −    . 
 
O leitor precisa perceber que o número a deve estar no domínio 
de f e no domínio de g, senão não conseguimos executar os 
cálculos da nova função f g+ . 
 
b) f g− , com ( ) 3 22f x x x= + e ( ) 23 1g x x= − . 
 
A notação f g− indica o nome de uma nova função obtida das 
funções anteriormente apresentadas f e g. Como observado 
anteriormente, nós poderíamos criar um nome sugestivo, como 
por exemplo, “dif_f_g”. Mas esse nome não faria muito sentido 
para os estudantes que falassem alemão, ou falassem coreano, 
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etc. A notação adotada, f g− , é apropriada para uso no mundo 
todo. Em todas as nações do mundo, quando os leitores virem a 
notação f g− compreenderão que se trata de uma nova função 
e que os cálculos dessa nova função num número a serão: 
 
( )( ) ( ) ( )f g a f a g a− = − . 
 
 Ou seja, é preciso calcular a imagem de tal número a pela 
função f e pela função g, e depois efetuar a subtração do 
número ( )g a do número ( )f a , isto é, efetuar ( ) ( )f a g a− . 
 
Assim, 
( )( ) ( ) ( )f g a f a g a− = − = 
 
3 2 2 3 2 2 3 22 3 1 2 3 1 1a a a a a a a a   + − − = + − + = − +    . 
 
Como, para efetuar tais operações é necessário que o número a 
esteja no domínio de f e no domínio de g, o domínio da função 
“diferença” será: ( )Dom f g− =ℝ . 
 
c) f g⋅ , com ( ) 3 22f x x x= + e ( ) 23 1g x x= − . 
 
A notação indica que a função “produto” deverá calcular no 
número a o produto das imagens desse número por f e por g. 
Para efetuar tal operação, devemos exigir que o número a 
pertença ao domínio de f e ao domínio de g. Portanto o 
domínio da função produto é ( )Dom f g⋅ =ℝ . 
 
Temos ( )( ) ( ) ( )f g a f a g a⋅ = ⋅ = 
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3 2 2 5 3 4 22 3 1 3 6 2a a a a a a a   + ⋅ − = − + − =    
 
5 4 3 23 6 2a a a a+ − − . 
 
d) 
f
g
, com ( ) 3 22f x x x= + e ( ) 23 1g x x= − . 
 
Esta nova função exige uma atenção na hora de explorar qual é 
o domínio. 
Pela notação utilizada, devemos executar ( ) ( )
( )
f af
a
g g a
 
= 
 
. 
Mas perceba que se a imagem ( )g a ou igual a zero, haverá a 
impossibilidade de cálculo de ( )f a
g
 
 
 
. 
Então devemos retirar do domínio de g, os números nos quais a 
função g assume valor zero. Vamos procurá-los. 
 
( ) 2 2 2 10 3 1 0 3 1
3
g x x x x= ⇔ − = ⇔ = ⇔ = ⇔
1
3
x = ± . 
 
Então, poderemos efetuar as operações de cálculo da nova 
função 
f
g
 apenas nos números reais diferentes de 
1
3
 e 
1
3
−
. 
 
1 1
,
3 3
f
Dom
g
   
= − −  
  
ℝ . 
 
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Temos, assim, 
( ) ( )
( )
3 2
2
2
3 1
f af a a
a
g g a a
  +
= =  − 
. 
 
 
Exercício 30. Considere as funções definidas por 
( ) 3f x x= − e ( ) 2 1g x x= − . Escreva as definições 
algébricas e os domínios das funções: 
a) f g+ ; 
b) f g− ; 
c) f g⋅ ; 
d) 
f
g
. 
 
Resolução. 
Determinemos os domínios das funções elencadas no 
enunciado. 
 
A função definida por ( ) 3f x x= − não pode ser calculada 
em todos os números reais. Devemos exigir uma condição de 
existência para a sentença algébrica que define a função. O 
radicando não pode ser negativo. 
 
3 0 3x x− ≥ ⇔ ≤ . 
 
Então ( ) ( ,3]Dom f = −∞ . 
 
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A função definida por ( ) 2 1g x x= − também não pode ser 
calculada para todos os números reais. Devemos exigir que o 
radicando seja nulo ou positivo. 
 
2 21 0 1 1 ou 1x x x x− ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≤ − ≥ . 
 
Então ( ) ( , 1] [1, )Dom g = −∞ − ∪ ∞ . 
 
 
a) f g+ , com ( ) 3f x x= − e ( ) 2 1g x x= − . 
Os números que podemos tomar para calcular a nova função 
f g+ devem estar nos dois domínios ao mesmo tempo. Então, 
escrevemos: 
 
( ) ( ) ( )Dom f g Dom f Dom g+ = ∩ . 
 
Então, devemos determinar a interseção de ( ) ( ,3]Dom f = −∞ 
com ( ) ( , 1] [1, )Dom g = −∞ − ∪ ∞ . 
 
Assim, ( ) ( , 1]Dom f g+ = −∞ − . 
 
Se ( , 1]a∈ −∞ − então calculamos: 
 
( )( ) ( ) ( ) 23 1f g a f a g a a a+ = + = − + − . 
 
 
b) f g− , com ( ) 3f x x= − e ( ) 2 1g x x= − . 
 
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Para efetuar os cálculos necessários da nova função f g− 
precisamos que os números estejam no domínio: 
 
( ) ( , 1]Dom f g− = −∞ − . 
 
Se ( , 1]a∈ −∞ − então calculamos: 
 
( )( ) ( ) ( ) 23 1f g a f a g a a a− = − = − − − . 
 
 
c) f g⋅ , com ( ) 3f x x= − e ( ) 2 1g x x= − . 
 
Para efetuar os cálculos necessários da nova função f g⋅ 
precisamos que os números estejam no domínio: 
 
( ) ( , 1]Dom f g⋅ = −∞ − . 
 
Se ( , 1]a∈ −∞ − então calculamos: 
 
( ) ( ) ( ) ( ) 23 1f g a f a g a a a⋅ = ⋅ = − ⋅ − = 
( )( )23 1a a− − . 
 
 
d) 
f
g
, com ( ) 3f x x= − e ( ) 2 1g x x= − . 
 
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Para efetuar os cálculos necessários da nova função 
f
g
 
precisamos que os números a estejam no intervalo ( , 1]−∞ − , 
mas que também não anulem o valor ( )g a . 
 
Sabemos que ( ) 0g a = quando 1a = ± . 
Dessa maneira, escrevemos que ( , 1)
f
Dom
g
 
= −∞ − 
 
. 
Então, se ( , 1)a∈ −∞ − podemos calcular: 
 
( ) ( )
( ) 2
3
1
f af a
a
g g a a
  −
= = 
− 
. 
 
 
Exercício 31. Considere as funções definidas por 
( ) 2 1f x x= − e ( ) 2 1g x x= + . Escreva as definições algébricas 
e os domínios das funções: 
a) f g� ; 
b) g f� ; 
c) f f� ; 
d) g g� . 
 
Resolução. 
O domínio da função f é ( )Dom f =ℝ , já que a sentença 
algébrica que define a função é polinomial. 
 
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O domínio da função g é ( )Dom g =ℝ , também devido à 
definição desta função ser dada por uma sentença algébrica 
polinomial. 
 
a) f g� , com ( ) 2 1f x x= − e ( ) 2 1g x x= + . 
 
A notação f g� indica que essa nova função toma um número 
real a, calcula sua imagem pela função g e depois toma essa 
imagem ( )g a e calcula o valor de f nesse número. 
 
Para todo ( )a Dom g∈ =ℝ temos ( ) 2 1g a a= + . Como f é 
polinomial, podemos calcular f nesse número 2 1a+ . 
 
( )( ) ()( ) ( ) ( )22 1 2 1 1f g a f g a f a a= = + = + − =� 
 
2 24 4 1 1 4 4a a a a+ + − = + . 
 
 
b) g f� , com ( ) 2 1f x x= − e ( ) 2 1g x x= + . 
 
A notação g f� indica que essa nova função toma um número 
real a, calcula sua imagem ( )f a e depois calcula a imagem de 
( )f a pela função g. 
 
Como a função g é polinomial, podemos efetuar esse cálculo 
em todos os pontos do domínio de f. Então, temos: 
 
Para todo a∈ℝ , 
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( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2 21 2 1 1g f a g f a g a a= = − = − + =� 
 
2 22 2 1 2 1a a− + = − . 
 
 
c) f f� , com ( ) 2 1f x x= − . 
 
A notação indica que para a∈ℝ , essa nova função calcula o 
número ( )f a e depois calcula a imagem de ( )f a pela função 
f novamente. 
 
Para todo a∈ℝ , 
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )22 21 1 1f f a f f a f a a= = − = − − =� 
 
4 2 4 22 1 1 2a a a a− + − = − . 
 
 
d) g g� , com ( ) 2 1g x x= + . 
 
A notação indica que para a∈ℝ , essa nova função calcula o 
número ( )g a e depois calcula a imagem de ( )g a pela função 
g novamente. 
 
Para todo a∈ℝ , 
( )( ) ( )( ) ( ) ( )2 1 2 2 1 1g g a g g a g a a= = + = + + =� 
 
4 2 1 4 3a a+ + = + . 
 
 
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Exercício 32. Considere as funções definidas por ( ) 2f x x= − 
e ( ) 2 3 4g x x x= + + . Escreva as definições algébricas e os 
domínios das funções: 
a) f g� ; 
b) g f� ; 
c) f f� ; 
d) g g� . 
 
Resolução. 
O domínio de f é: ( )Dom f =ℝ ; 
O domínio de g é: ( )Dom g =ℝ . 
 
a) f g� . 
 
A notação indica que se deve calcular a imagem ( )g a e depois 
calcular a imagem de ( )g a pela função f. Como f é linear não 
há problemas advindos da imagem de g. Temos 
( )Dom f g =� ℝ . 
 
Para todo a∈ℝ , 
( )( ) ( )( ) ( )2 3 4f g a f g a f a a= = + + =� 
 
( )2 23 4 2 3 2a a a a= + + − = + + . 
 
b) g f� . 
 
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Como a função g não tem restrições ao cálculo, isto é, seu 
domínio é o conjunto de todos os números reais, temos 
( )Dom g f =� ℝ . 
 
Para todo a∈ℝ , 
( ) ( ) ( )( ) ( )2g f a g f a g a= = − =� 
 
( ) ( )2 2 22 3 2 4 4 4 3 6 4 2a a a a a a a= − + − + = − + + − + = − + . 
 
 
c) f f� . 
 
Temos ( )Dom f f =� ℝ . 
 
Para todo a∈ℝ , 
( )( ) ( )( ) ( ) ( )2 2 2 4f f a f f a f a a a= = + = + + = +� . 
 
d) g g� . 
 
Temos ( )Dom g g =� ℝ . 
 
Para todo a∈ℝ , 
( ) ( ) ( )( ) ( )2 3 4g g a g g a g a a= = + + =� 
 
( ) ( )22 23 4 3 4 4a a a a= + + + + + + = 
 
4 3 2 3 2 23 4 3 9 12 4 12 16a a a a a a a a= + + + + + + + + = 
 
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4 3 26 17 24 16a a a a= + + + + . 
 
 
Exercício 33. Considere as funções definidas por 
( ) 1 3f x x= − e ( ) ( )cosg x x= . Escreva as definições 
algébricas e os domínios das funções: 
a) f g� ; 
b) g f� ; 
c) f f� ; 
d) g g� . 
 
Resolução. 
O domínio de f é: ( )Dom f =ℝ ; 
O domínio de g é: ( )Dom g =ℝ . 
 
a) f g� . 
 
A notação indica que se deve calcular a imagem ( )g a e depois 
calcular a imagem de ( )g a pela função f. Como f é linear não 
há problemas advindos da imagem de g. Temos 
( )Dom f g =� ℝ . 
 
Para todo a∈ℝ , 
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )cos 1 3 cosf g a f g a f a a= = = − =  � 
( )1 3cos a− . 
 
b) g f� . 
 
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Como a função g não tem restrições ao cálculo, isto é, seu 
domínio é o conjunto de todos os números reais, temos 
( )Dom g f =� ℝ . 
 
Para todo a∈ℝ , 
( )( ) ( )( ) ( ) ( )1 3 cos 1 3g f a g f a g a a= = − = −� . 
 
 
c) f f� . 
 
Temos ( )Dom f f =� ℝ . 
 
Para todo a∈ℝ , 
( )( ) ( )( ) ( ) [ ]1 3 1 3 1 3f f a f f a f a a= = − = − − =� 
 
1 3 9 2 9a a− + = − + . 
 
 
d) g g� . 
 
Temos ( )Dom g g =� ℝ . 
 
Para todo a∈ℝ , 
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )cos cos cos( )g g a g g a g a a= = =� . 
 
 
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Exercício 34. Considere as funções definidas por ( )f x x= e 
( ) 3 1g x x= − . Escreva as definições algébricas e os domínios 
das funções: 
a) f g� ; 
b) g f� ; 
c) f f� ; 
d) g g� . 
 
Resolução. 
Existe condição de existência para a expressão que define a 
função ( )f x x= . O domínio é [0, )∞ . 
O domínio de g é ℝ . 
 
a) f g� ; 
 
A notação indica que devemos calcular o valor de um número 
a pela função g e depois calcular a função f no valor ( )g a . 
Existe a possibilidade de ( )g a ser negativo, e nesse caso, não 
se pode calcular ( )( )f g a . 
 
Vemos que se 1x = então ( ) 31 1 1 0g = − = . 
Para 1x > temos que ( ) 3 1 0g x x= − < . 
Para 1x < temos que ( ) 3 1 0g x x= − > . 
 
Então se 1a < temos ( ) 3 1 0g a a= − > e daí 
( ) ( )( ) ( )3 3 61 1 1f g a f g a f a a a= = − = − = −� . 
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Então : ( ,1]f g −∞ →� ℝ ; ( ) 6 1f g a a= −� . 
 
b) g f� ; 
 
Como ( )Dom g =ℝ não haverá problemas no cálculo de 
( )( )g f a . 
 
( ) ( )( ) ( ) 3 1g f a g f a g a a= = = −� . 
 
Então, :[0, )g f ∞ →� ℝ ; ( ) 3 1g f a a= −� . 
 
c) f f� ; 
 
A Imagem de f é ( )Im [0, )f = ∞ então não haverá problemas 
no cálculo de ( )( )f f a . 
 
( ) ( )( ) ( ) 4f f a f f a f a a a= = = =� . 
 
Então :[0, )f f ∞ →� ℝ ; ( ) 4f f a a=� . 
d) g g� . 
 
Como ( )Dom g =ℝ não haverá problemas no cálculo de 
( )( )g g a . 
 
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( ) ( )( ) ( ) 33 31 1 1g g a g g a g a a= = − = − −� . 
 
Exercício 35. Considere as funções definidas por ( ) 1f x x
x
= + 
e ( ) 1
2
x
g x
x
+
=
+
. Escreva as definições algébricas e os domínios 
das funções: 
a) f g� ; 
b) g f� ; 
c) f f� ; 
d) g g� . 
 
Resolução. 
Existem condições de existência para as sentenças que definem 
as funções do enunciado. 
Para a existência da função f devemos exigir que 0x ≠ , logo 
temos ( ) ( ,0) (0, )Dom f = −∞ ∪ ∞ . 
Para a existência da função g devemos exigir que 2x ≠ , logo 
temos ( ) ( , 2) ( 2, )Dom g = −∞ − ∪ − ∞ . 
 
a) f g� , com ( ) 1f x x
x
= + e ( ) 1
2
x
g x
x
+
=
+
. 
A notação dessa nova função nos diz que para um número a, 
primeiramente calcula-se a imagem ( )g a , e depois calcula-se 
a imagem de ( )g a pela função f. 
Assim precisamos verificar se existe a possibilidade da imagem 
( )g a ser igual a zero, pois nesse caso, não conseguiremos 
calcular a composta. 
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Se ( ) 1
2
x
g x
x
+
=
+
, então ( ) 0 1g x x= ⇔ = − . 
 
Precisamos retirar o número 1x = − do domínio da função 
composta f g� . 
 
Assim, além de 2x = − que não pertence ao domínio de g, 
precisamos exigir que o número 1x = − também não esteja no 
domínio da composta. 
 
Temos ( ) ( , 2) ( 2, 1) ( 1, )Dom f g = −∞ − ∪ − − ∪ − ∞� 
 
Para todo { 2, 1}a∈ − − −ℝ temos 
( ) ( ) ( )( ) 1 1 1
12 2
2
a a
f g a f g a f
aa a
a
+ +   = = = + =    ++ +     
 + 
� 
1 2
2 1
a a
a a
+ +
+
+ +
. 
 
 
b) g f� , com ( ) 1f x x
x
= + e ( ) 1
2
x
g x
x
+
=
+
. 
 
Essa nova função calcula a imagem de um número a por f e 
depois toma esse número ( )f a e calcula ( )( )g f a . Então é 
preciso tomar cuidado e verificar a possibilidade de ( )f a 
anular o denominadorde g. 
 
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Devemos perguntar: Existe a em ( )Dom f tal que ( ) 2f a = − ? 
 
2 21 2 1 2 2 1 0a a a a a
a
+ = − ⇔ + = − ⇔ + + = ⇔ 
 
( )21 0 1a a+ = ⇔ = − . 
 
Então ( ) 11 1 2
1
f − = − + = −
−
 e não podemos calcular 
( )( )1g f − . 
Assim, devemos retirar 1− do domínio de f para podermos 
calcular a composta. 
 
Temos: ( ) ( , 1) ( 1,0) (0, )Dom g f = −∞ − ∪ − ∪ ∞� . 
Para { 1,0}a∈ − −ℝ temos 
( ) ( ) ( )( )
1
1
1
1
2
a
a
g f a g f a g a
a
a
a
 + +    = = + = =     + +  
� 
 
2
2
2 2
1
1
1 2 2 1
a a
a aa
a a a a
a
+ +
+ +
=
+ + + +
. 
 
 
c) f f� , com ( ) 1f x x
x
= + . 
 
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Como f não pode ser calculada em zero, devemos determinar se 
existe a possibilidade de ( ) 0f a = . 
21 1
0 0
x
x
x x
+
+ = ⇔ = . Logo, não existe essa possibilidade. 
Todos os pontos do domínio de f são pontos do domínio dessa 
nova função. 
 
( ) {0}Dom f f = −� ℝ . 
 
Para todo {0}a∈ −ℝ temos: 
( ) ( ) ( )( ) 1 1 1
1
f f a f f a f a a
a a
a
a
   = = + = + + =         +  
� 
2
1
1
a
a
a a
+ +
+
. 
 
 
d) g g� , com ( ) 1
2
x
g x
x
+
=
+
. 
 
Como g não pode ser calculada em 2x = − devemos 
determinar se existe a possibilidade de ( ) 2g a = − . 
 
( ) 12 2 1 2 4
2
x
g x x x
x
+
= − ⇔ = − ⇔ + = − − ⇔
+
 
 
5
3 5
3
x x= − ⇔ = − . 
 
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Então 
5 5 3
15 23 3 2
5 5 63 12
3 3
g
− +
− + − − = = = = −  − +  − +
 e não será possível 
efetuar 
5
3
g g
  −  
  
. 
Devemos tomar como domínio da composta o seguinte 
conjunto: 
 
( ) 52,
3
Dom g g
 = − − − 
 
� ℝ . 
 
Para todo ( )a Dom g g∈ � temos: 
( ) ( ) ( )( )
1
1
1 2
12
2
2
a
a a
g g a g g a g
aa
a
+  + + +   = = = =  ++    + + 
� 
1 2
2 32
1 2 4 3 5
2
a a
aa
a a a
a
+ + +
++ =
+ + + +
+
. 
 
Exercício 36. Considere as funções definidas por ( )
1
x
f x
x
=
+
 
e ( ) ( )sin 2g x x= . Escreva as definições algébricas e os 
domínios das funções: 
a) f g� ; 
b) g f� ; 
c) f f� ; 
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d) g g� . 
 
Resolução. 
Os domínios são: ( ) { 1}Dom f = − −ℝ e ( )Dom g =ℝ . 
 
a) f g� ; 
 
Existe a possibilidade de ( ) 1g a = − ? Sim. 
( ) ( )1 sin 2 1 2 2
2
g a a a k
π
π= − ⇔ = − ⇔ = − ⇔ 
4
a k
π
π⇔ = − . 
Então : ,
4
f g k k
π
π − − ∈ 
 
� ℝ ℤ é tal que: 
 
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
sin 2
sin 2
1 sin 2
a
f g a f g a f a
a
= = =
+
� . 
 
 
b) g f� ; 
 
Como o domínio de g é o conjunto de todos os números reais 
não há problemas extras para a determinação da composta 
g f� . 
 
A função é { }: 1g f − − →� ℝ ℝ ; 
( ) ( )( ) 2sin
1 1
a a
g f a g f a g
a a
   = = =   + +   
� . 
 
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c) f f� ; 
 
Existe a possibilidade de ( ) 1f a = − ? Sim. 
 
( ) 11 1 1
1 2
a
f a a a a
a
= − ⇔ = − ⇔ = − + ⇔ = −
−
. 
 
Verifiquemos: ( ) 1/ 2 1/ 21/ 2 1
1 1/ 2 1/ 2
f
− −
− = = = −
−
. 
Então o ponto 
1
2
a = − deve ser retirado para o cálculo da 
composta f f� . 
 
Assim, 
1
: 1,
2
f f
 − − − → 
 
� ℝ ℝ ; 
 
( ) ( )( )
1
a
f f a f f a f
a
 = = = + 
� 
1 1
1 1 21
1 1
a a
aa a
a a a a
a a
+ += = =
+ + ++
+ +
. 
 
 
d) g g� . 
 
Não haverá problemas no cálculo dessa composta. 
 
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:g g →� ℝ ℝ ; 
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )sin 2 sin sin 2g g a g g a g a a= = =� . 
 
 
Exercício 37. Considere as funções definidas por: 
( ) 3 2f x x= + , ( ) ( )seng x x= e ( ) 2h x x= . Determine a 
expressão algébrica e o domínio de f g h� � . 
 
Resolução. 
A notação f g h� � indica que no número a do domínio de h 
será efetuado o cálculo ( )h a . Depois será calculado o seno 
desse número ( )h a e depois calculado f da imagem ( )( )sen h a
. 
 
Como não há restrições a serem feitas nos domínios de g e de f, 
o domínio da composta proposta no enunciado é igual ao 
domínio de h. 
 
Então para todo a∈ℝ temos: 
( )( ) ( )( ) ( ) ( )2 2senf g h a f g h a f g a f a    = = = =     � � 
( )( ) ( )2 23 sen 2 3sen 2a a+ = + . 
 
 
Exercício 38. Considere as funções definidas por: 
( ) 4f x x= − , ( ) 2xg x = e ( )h x x= . Determine a expressão 
algébrica e o domínio de f g h� � . 
 
Resolução. 
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A notação f g h� � indica que no número a do domínio de h 
será efetuado o cálculo ( )h a . Depois será calculado o seno 
desse número ( )h a e depois calculado f da imagem ( )( )sen h a
. 
 
Os domínios de f e g são iguais ao conjunto dos reais, logo, não 
há números do ( ) [0, )Dom h = ∞ que devam ser retirados para o 
cálculo dessa composta. 
 
Temos :[0, )f g h ∞ →� � ℝ ; 
 
( ) ( )( ) ( ) ( )( )f g h a f g h a f g a f g a= = = =� � � � 
 
( )2 2 4a af= = − . 
 
 
Exercício 39. Considere as funções definidas por: 
( ) 3f x x= − , ( ) 2g x x= e ( ) 3 2h x x= + . Determine a 
expressão algébrica e o domínio de f g h� � . 
 
Resolução. 
O domínio de h é ℝ . 
O domínio de g é ℝ . 
Para determinar o domínio de f devemos impor uma condição 
de existência da sentença matemática que define a função, 
devemos exigir que o radicando seja maior ou igual a zero. 
 
3 0 3x x− ≥ ⇔ ≥ . 
 
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Então ( ) [3, )Dom f = ∞ . 
 
Observemos o gráfico de f. 
 
 
 
 
A notação f g h� � indica que os cálculos dessa função 
composta são ( )( ) ( )( )( )f g h a f g h a=� � . 
 
Como f será calculada na imagem de g, devemos exigir que a 
imagem de números pela função g não sejam inferiores a 3, 
caso isso ocorra não conseguiremos calcular a função 
composta. 
 
Como ( ) 2g x x= , devemos exigir que: 
2 3 3 ou 3x x x≥ ⇔ ≤ − ≥ . 
 
Vejamos essa situação no gráfico de g. 
 
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Dessa maneira, devemos impor às imagens de a por h que: 
 
( ) ( , 3] [ 3, )h a ∈ −∞ − ∪ ∞ . 
 
A definição de h é: ( ) 3 2h x x= + , vejamos quando a imagem 
de um número x será igual a 3± : 
 
3 32 3 3 2x x+ = ± ⇔ = ± − ⇔ 
 
3 3 2x ≤ − − ou 3 3 2x ≥ − . 
 
Podemos compreender melhor tais desigualdades observando o 
gráfico de ( ) 3 2h x x= + . 
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Para números reais x inferiores a 3 3 2− − , conjunto marcado 
em verde na ilustração anterior, tem-se: 
 
( ) ( )( )3 3 2 3 3x h x g h x≤ − − ⇒ ≤ − ⇒ ≥ . 
 
Para números reais x superiores a 3 3 2− , conjunto marcado 
em verde na ilustração anterior, tem-se: 
 
( ) ( )( )3 3 2 3 3x h x g h x≥ − ⇒ ≥ ⇒ ≥ . 
 
E nesses casos podemos calcular ( )( )( )f g h x . 
 
 
Assim, se 3 3 2a ≤ − − ou 3 3 2a ≥ − temos: 
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( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )3 2f g h a f g h a f g a= = + =� � 
 ( )( ) ( )2 23 32 2 3f a a+ = + − . 
 
Reforçando a informação: 
( ) 3 3( , 3 2] [ 3 2, )Dom f g h = −∞ − − − ∪ − ∞� � . 
 
 
Exercício 40. Considere as funções definidas por: 
( ) ( )tanf x x= , ( )
1
x
g x
x
=
−
 e ( ) 3h x x= . Determine a 
expressão algébrica e o domínio de f g h� � . 
 
Resolução. 
O domínio de h é ℝ . 
O domínio de g é { }1−ℝ . 
O domínio de f é { },k kπ− ∈ℝ ℤ . 
 
Existe a possibilidade de ( ) 1h a = ? Sim. 
 
( ) 31 1 1h a a a= ⇔ = ⇔ = . 
 
Por enquanto, sabemos que devemos evitar 1x = para o 
cálculo da composta g h� . 
 
Existe a possibilidade de ( )g x ser da forma ,k kπ ∈ℤ ? Sim. 
 
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( )1
1
x
k x k x k k x k
x
π π π π π= ⇔ = − ⇔ − = − ⇔
−
 
 
1
k
x
k
π
π
−
⇔ =
−
. 
 
Então para que possamos calcular a composta f g h� � 
devemos fazer as restrições: 
 
 { }: 1 ,
1
k
f g h k
k
π
π
 −  − − ∪ ∈  −  
� � ℝ ℤ `; 
 
( ) ( )( ) ( )
3
3
3 1
a
f g h a f g h a f g a f
a
 
= = = =  − 
� � � � 
 
3
3
tan
1
a
a
 
=   − 
. 
 
 
Exercício 41. Considere a função ( ) ( )422F x x x= + . Expresse 
essa função como uma composição f g� não trivial, isto é, 
sem que f ou g seja função identidade. 
 
Resolução. 
Percebemos que a última operação efetuada no cálculo da 
função F é a operação que calcula a quarta potência. Então, 
uma maneira de obter a função como o resultado de uma 
composição é: 
 
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Considere a função :m →ℝ ℝ , ( ) 4m x x= e a função 
:n →ℝ ℝ , ( ) 22n x x x= + . 
Tem-se que: 
( ) :m n →� ℝ ℝ é tal que 
( )( ) ( )( ) ( ) ( )42 22 2m n x m n x m x x x x= = + = +� . 
 
Assim, F m n= � . 
 
 
Exercício 42. Considere a função ( ) ( )2cosF x x= . Expresse 
essa função como uma composição f g� não trivial, isto é, 
sem que f ou g seja função identidade. 
 
Resolução. 
A notação envolvida no enunciado tem o seguinte significado 
( ) ( )
22cos cosx x=    . 
Percebemos então que primeiramente deve-se calcular o 
cosseno do número x e depois elevar-se ao quadrado o 
resultado. 
Considere a função :m →ℝ ℝ ; ( ) ( )cosm x x= e a função 
:n →ℝ ℝ ; ( ) 2n x x= . 
 
Tem-se que :n m →� ℝ ℝ é tal que 
( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )2cos cosn m x n m x n x x F x= = = =  � . 
 
Assim, temos a composição ( ) ( )F x n m x= � . 
 
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Exercício 43. Considere a função ( )
3
31
x
F x
x
=
+
. Expresse 
essa função como uma composição f g� não trivial, isto é, 
sem que f ou g seja função identidade. 
 
Resolução. 
A função do enunciado tem domínio ( ) { 1}Dom F = − −ℝ . 
 
Percebemos a expressão 3 x no numerador e no denominador. 
Se pensarmos em substituí-la pela imagem de uma função, 
obteremos a composição desejada. 
 
Considere a função : { 1}n − − →ℝ ℝ , ( ) 3n x x= e a função 
:m →ℝ ℝ , ( )
1
x
m x
x
=
+
. 
 
Temos : {1}m n − →� ℝ ℝ dada por 
( ) ( ) ( )( ) ( )
3
3
31
x
m n x m n x m x
x
= = =
+
� . 
Exercício 44. Considere a função ( ) 3
1
x
F x
x
=
+
. Expresse 
essa função como uma composição f g� não trivial, isto é, 
sem que f ou g seja função identidade. 
 
Resolução. 
Consideremos as funções: 
 
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{ }: 1m − − →ℝ ℝ ; ( )
1
x
m x
x
=
+
 e 
:n →ℝ ℝ ; ( ) 3n x x= . 
 
Tem-se : {1}n m − →� ℝ ℝ dada por 
( ) ( )( ) ( )3
1 1
x x
n m x n m x n F x
x x
 = = = = + + 
� . 
 
 
Exercício 45. Considere a função ( ) ( ) ( )2 2sec tgF t t t= . 
Expresse essa função como uma composição f g� não trivial, 
isto é, sem que f ou g seja função identidade. 
 
Resolução. 
Qual é o domínio da função F? 
É preciso que 2t não seja igual a múltiplos inteiros de 
2
π
. 
Então é preciso que t não seja igual aos números 
2
k
π
 com 
k∈ℤ . 
 
Assim, a função considerada no enunciado tem domínio 
( ) ,
2
Dom F k k
π  
= − ∈ 
  
ℝ ℤ . 
 
Percebemos que a expressão 2t aparece no arco da função 
secante e também no arco da função tangente. Vamos 
considerar que essa expressão quadrática seja o resultado da 
aplicação de uma função inicial, e que o cálculo do produto das 
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funções trigonométricas seja o cálculo da segunda função da 
pretendida composição. 
 
Considere a função : ,
2
g k k
π  
− ∈ → 
  
ℝ ℤ ℝ , ( ) 2g x x= e a 
função : ,
2
f k k
π − ∈ → 
 
ℝ ℤ ℝ , ( ) ( ) ( )sec tgf x x x= . 
 
Tem-se: : ,
2
f g k k
π  
− ∈ → 
  
� ℝ ℤ ℝ dada por 
( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )2 2 2sec tgf g x f g x f x x x= = =� . 
 
 
Exercício 46. Considere a função ( ) ( )
( )
tan
1 tan
t
F t
t
=
+
. Expresse 
essa função como uma composição f g� não trivial, isto é, 
sem que f ou g seja função identidade. 
 
Resolução. 
Qual o domínio de F? 
É preciso que ,t k kπ≠ ∈ℤ , pois caso contrário não podemos 
calcular a tangente. 
Também é preciso que ( )tan 1t ≠ − , ou seja, é preciso que se 
tenha a restrição 2
4
t k
π
π≠ − . 
 
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Então se chamarmos { },A k kπ= ∈ℤ e 2 ,
4
B k k
π
π = − ∈ 
 
ℤ 
podemos escrever que ( ) ( )Dom F A B= − ∪ℝ . 
 
Considere ( ):n A B− ∪ →ℝ ℝ ; ( ) ( )tann t t= . 
Considere também { }: 1m − − →ℝ ℝ ; ( )
1
a
n a
a
=
+
. 
 
Tem-se ( ):m n A B− ∪ →� ℝ ℝ ; 
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )
tan
tan
1 tan
t
m n t m n t m t F t
t
= = = =
+
� . 
 
 
Exercício 47. Considere a função ( ) 1F x x= − . Expresse 
essa função como uma composição f g h� � não trivial, isto é, 
sem que f , g ou h seja função identidade. 
 
Resolução. 
Devemos exigir que 0x ≥ . 
 
Também devemos exigir que 1 0x − ≥ . 
Isso ocorre se e somente se 1 1x x≥ ⇔ ≥ . 
Então ( ) [1, )Dom F = ∞ . 
 
Considere ( ):[1, ) ;h h x x∞ → =ℝ . 
Considere ( ): ; 1g g a a→ = −ℝ ℝ . 
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Considere ( ):[0, ) ;f f b b∞ → =ℝ . 
 
Tem-se :[1, )f g h ∞ →� � ℝ ; 
 
( ) ( )( ) ( ) ( )( )f g h x f g h x f g x f g x= = = =� � � � 
 
( ) ( )1 1f x x F x= − = − = . 
 
 
Exercício 48. Considere a função ( ) 8 2F x x= + . Expresse 
essa função como uma composição f g h� � não trivial, isto é, 
sem que f , g ou h seja função identidade. 
 
Resolução. 
Devemos exigir que 2 0x+ ≥ , mas isso é sempre verdadeiro 
para qualquer número real. Logo ( )Dom F =ℝ . 
 
Considere :h →ℝ ℝ ; ( )h x x= . 
Considere ( ): ; 2g g a a→ = +ℝ ℝ . 
Considere :[0, )f ∞ → ℝ ; ( ) 8f b b= . 
 
Tem-se :f g h →� � ℝ ℝ ; 
 
( ) ( )( ) ( )f g h x f g h x f g x= = =� � � � 
 
( )( ) ( ) ( )82 2f g x f x x F x= = − = − = . 
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Exercício 49. Considere a função ( ) ( )4secF x x= . Expresse 
essa função como uma composição f g h� � não trivial, isto é, 
sem que f , g ou h seja função identidade. 
 
Resolução. 
Consideremos: 
( ):[0, ) ;h h x x∞ → =ℝ . 
Como ( )
( )
1
sec
cos
x
x
= , para calculara secante de um arco x 
devemos exigir que ,x k kπ≠ ∈ℤ . 
Consideremos: 
{ } ( ) ( ): , ; secg k k g a aπ− ∈ → =ℝ ℤ ℝ . 
 
Pode ocorrer ( )h x kπ= ? Sim. 
( ) ( )2h x k x k x kπ π π= ⇔ = ⇔ = . 
Então para termos a composta g h� devemos retirar do 
domínio de h os pontos ( ){ }2 ,k kπ ∈ℤ . 
 
Considere ( ) 4: ;f f b b→ =ℝ ℝ . 
 
Então podemos considerar: 
 
( ){ }2:[0, ) ;f g h k kπ∞ − ∈ →� � ℤ ℝ ; 
 
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( ) ( )( ) ( )f g h x f g h x f g x= = =� � � � 
 
( )( ) ( )( ) ( ) ( )
4
sec secf g x f x x F x = = = =
  . 
 
 
Exercício 50. Considere a seguinte tabela. 
 
 
 
Utilize a tabela para determinar os seguintes valores. 
 
a) ( )( )1f g ; 
b) ( )( )1g f ; 
c) ( )( )1f f ; 
d) ( )( )1g g ; 
e) ( )( )3g f� ; 
f) ( )( )6f g� . 
 
Resolução. 
 
 
a) Vemos que: 
( )1 6g = e que ( )6 5f = , então ( )( ) ( )1 6 5f g f= = . 
 
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b) Vemos que: 
( )1 3f = e que ( )3 2g = , então ( )( ) ( )1 3 2g f g= = . 
 
c) Vemos que: 
( )1 3f = e que ( )3 4f = , então ( )( ) ( )1 3 4f f f= = . 
 
d) Vemos que: 
( )1 6g = e que ( )6 3g = , então ( )( ) ( )1 3 6g g g= = . 
 
e) Vemos que: 
( )3 4f = e que ( )4 1g = , então 
( )( ) ( )( ) ( )3 3 4 1g f g f g= = =� . 
 
f) Vemos que: 
( )6 3g = e que ( )3 4f = , então 
 ( )( ) ( )( ) ( )6 6 3 4f g f g f= = =� . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 51. Considere os seguintes gráficos para f e g. 
 
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Determine o valor da expressão ou determine por que não estão 
definidas. 
 
a) ( )( )2f g 
b) ( )( )0g f 
c) ( )( )0f g� 
d) ( )( )6g f� 
e) ( ) ( )2g g −� 
f) ( ) ( )4f f� 
 
Resolução. 
 
a) Temos ( )2 5g = e ( )5 4f = , então ( )( ) ( )2 5 4f g f= = . 
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b) Temos ( )0 0f = e ( )0 3g = , então ( )( ) ( )0 0 3g f g= = . 
 
c) Temos ( )0 3g = e ( )3 0f = , então ( )( ) ( )0 3 0f g f= = . 
 
d) Temos ( )6 6f = e ( )6g = ∃ , pois 6 não pertence ao 
domínio de g. Então ( )( )6g f� não pode ser calculado. 
 
e) Temos ( )2 1g − = e ( )1 4g = , então ( )( ) ( )2 1 4g g g− = = . 
 
f) Temos ( )4 2f = e ( )2 2f = − , então ( )( ) ( )4 2 2f f f= = − . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 52. Considere os seguintes gráficos para f e g. 
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Determine ou estime os valores de ( )( )f g x para: 
5, 4, 3, 2, 1,0,1, 2,3, 4,5x = − − − − − . 
Use esses valores para esboçar o gráfico de f g� . 
 
Resolução. 
 
Vamos escrever valores aproximados, pois a impressão do 
quadro que mostra os gráficos sofre alterações de posição em 
cada exemplar do livro impresso. 
 
Para 5x = − , os gráficos mostram que: 
( )5 0.2g − = − e ( )0.2 3.9f − = − . 
Então ( ) ( ) ( )( )5 5 3.9f g f g− = − = −� . 
 
Para 4x = − , os gráficos mostram que: 
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( )4 1.2g − = e ( )1.2 3.1f = − . 
Então ( ) ( ) ( )( )4 4 3.1f g f g− = − = −� . 
 
Para 3x = − , os gráficos mostram que: 
( )3 2.2g − = e ( )2.2 1.5f = − . 
Então ( ) ( ) ( )( )3 3 1.5f g f g− = − = −� . 
 
Para 2x = − , os gráficos mostram que: 
( )2 2.7g − = e ( )2.7 0.5f = − . 
Então ( ) ( ) ( )( )2 2 0.5f g f g− = − = −� . 
 
Para 1x = − , os gráficos mostram que: 
( )1 3.0g − = e ( )3.0 0.2f = − . 
Então ( )( ) ( )( )1 1 0.2f g f g− = − = −� . 
 
Para 0x = , os gráficos mostram que: 
( )0 2.8g = e ( )2.8 0.4f = − . 
Então ( )( ) ( )( )0 0 0.4f g f g= = −� . 
 
Para 1x = , os gráficos mostram que: 
( )1 2.3g = e ( )2.3 1.7f = − . 
Então ( )( ) ( )( )1 1 1.7f g f g= = −� . 
 
Para 2x = , os gráficos mostram que: 
( )2 1.2g = e ( )1.2 3.1f = − . 
Então ( ) ( ) ( )( )2 2 3.1f g f g= = −� . 
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Para 3x = , os gráficos mostram que: 
( )3 0.2g = − e ( )0.2 3.9f − = − . 
Então ( ) ( ) ( )( )3 3 3.9f g f g= = −� . 
 
Para 4x = , os gráficos mostram que: 
( )4 2g = − e ( )2 2f − = − . 
Então ( ) ( ) ( )( )4 4 2f g f g= = −� . 
 
Para 5x = , os gráficos mostram que: 
( )5 4.1g = − e ( )4.1 1.9f − = . 
Então ( ) ( ) ( )( )5 5 1.9f g f g= =� . 
 
Temos os pares ordenados ( ), ( ( ))a f g a : 
( )5, 3.9− − , ( )4, 3.1− − , ( )3, 1.5− − , ( )2, 0.5− − , ( )1, 0.2− − , 
( )0, 0.4− , ( )1, 1.7− , ( )2, 3.1− , ( )3, 3.9− , ( )4, 2− e ( )5,1.9 . 
 
Inserimos esses pares ordenados o Geogebra. 
Depois utilizamos o comando 
RegressãoPolinomial[{A,B,C,D,E,F,G,H,I,J,K},7}. 
O Geogebra determina a função polinomial de grau 7 cujo 
gráfico melhor aproxima os pontos. 
 
 
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Exercício 53. Considere que a queda de uma pedra num lago 
com superfície bem calma gere ondas circulares que se 
espalhem a 60 centímetros por segundo. 
a) Expresse o raio dos círculos das ondas em função do tempo. 
b) Considere que A é a área dos círculos em função do raio, 
determine A r� e interprete seu significado. 
 
Resolução. 
 
a) Como as ondas se espalham a 60 cm/s, os raios crescem 
linearmente segundo a lei ( ) 60r t t= ⋅ , onde t é dado em 
segundos. Após um segundo o raio da primeira onda é de 60 
cm, depois de 2 segundos o raio da onda é de 120 cm, e assim 
por diante. 
 
b) Se a área de um círculo de raio r é 2A rπ= , então podemos 
calcular a composição A r� . 
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( ) ( ) ( )2 2( ) ( ) 60 3600A r t A r t t tπ π= = =� . 
 
Como o raio depende do tempo, a área também depende do 
tempo. A expressão anterior é a expressão dessa dependência, 
ela fornece a área do círculo delimitado pela onda em função 
do tempo em segundos. 
 
 
Exercício 54. Considere que um balão idealmente esférico é 
inflado e que seu raio cresça a uma taxa de 2 centímetros a 
cada segundo. 
a) Determine a expressão do raio do balão em função do tempo 
em segundos. 
b) Sendo V a expressão do volume do balão esférico em função 
de seu raio, determine a composição V r� e explique seu 
significado. 
 
Resolução. 
a) Se a taxa de crescimento é de 2 cm/s, a dependência do raio 
em função do tempo é linear, temos que ( ) 2r t t= centímetros. 
 
b) Temos que o volume do balão esférico é 3
4
3
V rπ= . 
Podemos calcular a composta: ( ) ( ) ( )34( ) V ( ) 2
3
V r t r t tπ= =� . 
Temos, assim, ( ) 332
3
V t tπ= . Essa é a expressão do volume do 
balão em função do tempo. 
 
 
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Exercício 55. Considere que um navio siga rota paralela a 
costa com velocidade constante de 30 quilômetros por hora e 
sempre a 6 quilômetros da costa. Admita que a costa marítima 
seja uma reta perfeita e que o navio passa por um farol ao meio 
dia. (obs. na verdade o navio passa pela perpendicular à costa 
que passa pela posição do farol). 
 
a) Determine a distância s entre o farol e o navio em função da 
distância d que o navio percorreu desde o meio dia, ou seja, 
encontre ( )s f d= . 
b) Determine d em função de t, ou seja, ( )d g t= . 
c) Determine a composta f g� e explique o significado dessa 
composição. 
 
Resolução. 
 
b) A distância que o navio percorre após omeio dia depende 
linearmente do tempo, já que a velocidade é constante. 
Podemos escrever: 30d t= , com t dado em horas e d em 
quilômetros. 
 
a) O percurso é sempre a 6 km da costa, e d é medido após a 
passagem do navio na perpendicular pelo farol da costa. 
 
A distância s entre o farol e o navio será igual à medida da 
hipotenusa do triângulo de catetos 6 e d. 
 
( )2 2 2 26 36s d s d d= + ⇒ = + . 
 
c) A composta desejada fornecerá a expressão da distância s 
em função do tempo em horas. 
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( ) ( ) ( ) ( )230 36 30d t t s d s t t= ⇒ = = + ⇒ 
 
( ) 236 900s t t= + . 
 
Exercício 56. Considere que um avião voa paralelamente ao 
solo a uma altitude de 1 km e a uma velocidade de 350 km por 
hora. Considere que o avião passa exatamente sobre uma 
estação de radar no instante 0t = . 
 
a) Determine a distância horizontal de voo d como uma função 
de t. 
b) Determine a distância s entre o avião e a estação de radar 
como função de d. 
c) Determine s em função de t mediante uma composição de 
funções. 
 
Resolução. 
 
a) Como a velocidade é de 350 km/h, podemos expressar a 
distância horizontal d como ( ) 350d t t= , já que para 0t = o 
avião está na vertical sobre a estação de radar. 
 
b) Consideramos um triângulo retângulo de catetos 1 e d. A 
distância s desejada é a medida da hipotenusa. Temos: 
 
( )2 2 2 21 1s d s d d= + ⇒ = + . 
c) Se considerarmos ( )( )s d t� teremos o desejado. 
 
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( ) ( ) ( )( ) [ ] [ ]2 21 ( ) 1 350s d t s d t d t t= = + = +� . 
 
Então ( ) 21 122500s t t= + . 
 
 
Exercício 57. A função de Heaviside. 
A função conhecida na Ciência como função de Heaviside é 
definida por 
 
( )
0 se 0
1 se 0
t
H t
t
<
= 
≥
 . 
 
Essa função é muito utilizada no estudo de circuitos elétricos 
para modelar o surgimento repentino de uma corrente elétrica, 
ou de uma voltagem repentina. 
 
a) Esboce o gráfico da função de Heaviside. 
b) Esboce o gráfico da voltagem ( )V t em um circuito se uma 
chave for ligada no instante 0t = e forem aplicados 120 V no 
circuito. Escreva ( )V t em função de ( )H t . 
c) Esboce o gráfico da voltagem, se ela é instantaneamente 
ligada no instante 5 segundos e tem magnitude de 240 V. 
Escreva uma expressão de ( )V t em função de ( )H t . Observe 
o início em 5t = . 
 
Resolução. 
 
a) Vamos definir a função com o seguinte comando: 
 
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Se 0x < a função vale “0”, senão ela vale “1”. 
Essa definição é registrada na janela de álgebra da seguinte 
maneira. 
 
 
 
O gráfico é mostrado a seguir. 
 
 
Observe que o Geogebra não desenha o gráfico como 
costumamos desenhar com lápis, ele não marca a “bolinha” 
aberta no ponto ( )0,0 e a “bolinha” fechada no ponto ( )0,1 . 
 
b) A voltagem pode ser definida da seguinte maneira: 
( ) ( )120V t H t= ⋅ , 
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onde ( )H t é a função de Heaviside. Tal definição faz com que 
o gráfico da função de Heaviside seja expandido verticalmente 
por um fator 120. 
 
O gráfico é mostrado a seguir. 
 
 
 
 
c) Podemos definir ( ) ( )240 5V t H t= − . Assim o gráfico de 
( )V t é obtido a partir do gráfico de ( )H t por expansão 
vertical de fator 240 e por translação de 5 unidades para a 
direita. 
 
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Exercício 58. A função rampa. Essa função é definida a partir 
da função de Heaviside da seguinte maneira: 
 
( ) ( )y t ctH t= . 
Tal função modela um crescimento gradual a partir de um 
instante de tempo 0t = . 
 
a) Esboce o gráfico dessa função rampa. 
b) Suponha que num circuito elétrico a voltagem é ligada no 
instante 0t = e aumenta gradualmente até atingir a grandeza de 
120 Volts depois de 60 segundos. Nesse caso, expresse a 
voltagem ( )V t em função de ( )H t . Esboce o gráfico da 
voltagem ( )V t . 
c) Suponha que num circuito, a voltagem é ligada no instante 
7t = s. Suponha que ela cresça gradualmente até atingir a 
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marca de 100 Volts em 25 segundos. Expresse ( )V t em função 
de ( )H t para o tempo entre 7 e 32 segundos. 
 
Resolução. 
 
a) O gráfico de ( ) ( )y t tH t= tem uma seção de crescimento 
linear. 
 
 
 
b) A expressão da voltagem é ( ) ( ) ( )120 2
60
V t tH t tH t= = . 
O gráfico é mostrado a seguir. 
 
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c) A voltagem é dada por ( ) ( ) ( )100 4
25
V t tH t tH t= = . 
 
 
 
 
 
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Exercício 59. Considere funções lineares dadas como 
( )f x ax b= + e ( )g x cx d= + . A função f g� também a 
linear? Se for, qual é o coeficiente linear dessa composta? 
 
Resolução. 
 
Calculamos. 
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )f g x f g x f cx d a cx d b= = + = + + =� 
( ) ( )acx ad b ac x ad b= + + = + + . 
 
A composta é uma função linear e o coeficiente angular é igual 
ao produto dos coeficientes de f e g. 
 
 
Exercício 60. Um investimento de x unidades monetárias a 
juros de 4% ao ano fornece um montante de ( ) 1.04A x x= 
depois de um ano. 
Determine a expressão de: A A� , A A A� � e A A A A� � � . 
Qual é o significado dessas composições? 
Determine uma fórmula para a composta 
n cópias
A A A� �⋯������ . 
 
Resolução. 
Se ( )A x fornece o montante após um ano a juros de 4%, a 
composta ( ) ( )A A x� fornece o montante após dois anos a juros 
de 4%. 
Assim, ( ) ( )A A A x� � fornece o montante após deixar-se x 
unidades monetárias em aplicação de 4% ao ano pelo período 
de 3 anos. E assim por diante. 
 
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Tem-se 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2( ) ( ) 1.04 1.04 1.04 1.04A A x A A x A x x x= = = =� . 
 
E então vemos que ( ) ( ) ( )32( ) (1.04) 1.04A A A x A x x= =� � . 
 
Dessa maneira deduzimos que ( ) ( )n
n cópias
( ) 1.04A A A x x=� �⋯�
�������
. 
 
 
Exercício 61. 
a) Considere ( ) 2 1g x x= + e ( ) 24 4 7h x x x= + + . Determine 
uma função f tal que f g h=� . 
b) Considere ( ) 3 5f x x= + e ( ) 23 3 2h x x x= + + . Determine 
uma função g tal que f g h=� . 
 
Resolução. 
a) Devemos considerar que tomamos um número real x e 
aplicamos a função g, obtendo o número que se expressa como 
2 1x+ . Como a expressão que devemos obter após aplicarmos 
alguma função f em 2 1x+ é ( ) 24 4 7h x x x= + + , que é 
polinomial de grau 2. Tentemos elevar ao quadrado a expressão 
2 1x+ . 
 
( )2 22 1 4 4 1x x x+ = + + . 
 
Pra chegarmos à expressão de ( )h x devemos adicionar 6. 
Então é essa a transformação f. Essa função f deve elevar o 
número ao quadrado e adicionar 6. 
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A função procurada é definida por ( ) 2 6f b b= + . 
 
Verificação. 
 
( )( ) ( ) ( )2 22 1 2 1 6 4 4 1 6f g x f x x x x= + = + + = + + + . 
 
b) Recebemos a informação de que ( ) 3 5f x x= + e 
( ) 23 3 2h x x x= + + . 
Devemos determinar uma função g tal que f g h=� . 
 
Vamos tentar “desfazer” o que a função f faz num número x. 
Essa função f triplica o número e adiciona 5. 
Para “desfazer” isso devemossubtrair 5 unidades e depois 
dividir por 3. 
Tomamos a expressão ( ) 23 3 2h x x x= + + e tentemos 
“desfazer” o que f faz para vermos o resultado. 
 
2 2 23 3 2 3 3 2 5 3 3 3x x x x x x+ + → + + − = + − . 
 
E então 
2
2 23 3 33 3 3 1
3
x x
x x x x
+ −
+ − → = + − . 
 
Portanto a função procurada é a que transforma x em 2 1x x+ − . 
Essa é a primeira transformação da composta f g� . 
 
A função procurada é definida por ( ) 2 1g n n n= + − . 
 
 
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Exercício 62. Considere ( ) 4f x x= + e ( ) 4 1h x x= − . 
Determine uma função g tal que g f h=� . 
 
Resolução. 
 
Percebemos que a composição tem de ser linear, dada por 
( ) 4 1h x x= − . 
A primeira transformação que se faz em x é a da função f, essa 
transformação leva x em 4x + . Depois devemos aplicar outra 
transformação em 4x + para obter a expressão 4 1x− . 
Percebemos que devemos multiplicar por 4. Façamos isso. 
 
( )4 4 4 4 16x x x x→ + → + = + . 
 
Para que a expressão final seja ( ) 4 1h x x= − , devemos subtrair 
17. 
 
Essa é a transformação (função) procurada, ela deve 
multiplicar por 4 e subtrair 17. 
Ou seja, ela é definida por: 
( ) 4 17g a x= − . 
 
Verificação: ( )( ) ( ) ( )4 4 4 17 4 16 17g f x g x x x= + = + − = + − . 
 
 
Exercício 63. Considere que g seja uma função par. Se 
h f g= � , podemos afirmar que h será uma função par? 
Explique. 
 
Resolução. 
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Sim, podemos. 
Perceba que a primeira transformação da composição f g� é a 
função g. 
Como ( ) ( )g x g x− = o efeito da transformação f sobre os 
opostos x e x− se dá nas imagens de g que são iguais. 
 
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )f g x f g x f g x f g x− = − = =� � . 
 
 
Exercício 64. Considere que g seja uma função ímpar. Se 
h f g= � , podemos afirmar que h será uma função ímpar? 
E se f for par? E se f for ímpar? Explique. 
 
Resolução. 
Nem sempre. 
Perceba que a primeira transformação da composição f g� é a 
da função g. Sabemos que: 
 
( ) ( )g x g x− = − , mas não garantimos que as imagens desses 
números por f sejam iguais. 
 
Veja, por exemplo, que se ( ) 2f a a= a composta não seria 
uma função ímpar. 
 
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )2 2f g x f g x f g x g x g x− = − = − = − = =� 
 
( )( )f g x= � . 
 
Essa composta seria uma função par. 
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Pelo exposto percebemos que se f for uma função par, a 
composta f g� será uma função par. 
 
Se f for uma função ímpar teremos: 
 
( )( ) ( )( ) ( )( )f g x f g x f g x− = − = − =� 
 
( )( ) ( )( )f g x f g x= − = − � . 
 
Podemos resumir da seguinte maneira o que foi explorado 
nesse exercício: 
 
f g f g� 
qualquer par par 
par ímpar par 
ímpar ímpar ímpar 
 
 
§§§§§ 
 
Versão de 01 de março. (sem revisão!)