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UNIVERSIDADE FEDERAL DO MARANHÃO 
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA 
ALUNO: SAMUEL CANTOARIA FERREIRA 
 
 
 
SOMATÓRIOS E PRODUTÓRIOS 
 
1. SOMATÓRIOS 
 
Sejam os 𝑛 > 1 inteiros 𝑎1,𝑎2,𝑎3, … 𝑎𝑛. Para indicar soma desses 𝑛 números utilizamos a 
notação: 
∑ 𝑎𝑖
𝑛
𝑖=1
 
(lê-se: somatório de 𝑎𝑖 de 𝑖 a 𝑛). 
 
Exemplo. Temos: 
 
∑ 10𝑖 = 10.1 + 10.2 + 10.3 + 10.4 + 10.5 + 10.6 = 210
6
𝑖=1
 
 
 
1.1 Propriedades 
 
Teorema 1. 
 
 
Demonstração: Desenvolvendo o primeiro membro temos: 
 
∑(𝑎𝑖 + 𝑏𝑖)
𝑛
𝑖=1
= (𝑎1 + 𝑏1) + ⋯ + (𝑎𝑛 + 𝑏𝑛) = 𝑎1 + 𝑎2 + ⋯ + 𝑎𝑛 + 𝑏1 + 𝑏2+. . . +𝑏𝑛 
= ∑ 𝑎𝑖
𝑛
𝑖=1
+ ∑ 𝑏𝑖
𝑛
𝑖=1
 
 
Teorema 2. 
 
 
Demonstração: Desenvolvendo o primeiro membro temos: 
 
∑ 𝑎
𝑛
𝑖=1
= 𝑎 + 𝑎 + ⋯ + 𝑎 = 𝑛𝑎 
 
Teorema 3. 
 
∑(𝑎𝑖 + 𝑏𝑖)
𝑛
𝑖=1
= ∑ 𝑎𝑖
𝑛
𝑖=1
+ ∑ 𝑏𝑖
𝑛
𝑖=1
 
∑ 𝑎
𝑛
𝑖=1
= 𝑛𝑎 
∑ 𝑘𝑎𝑖
𝑛
𝑖=1
= 𝑘 ∑ 𝑎𝑖
𝑛
𝑖=1
 
 
Demonstração: Desenvolvendo o primeiro membro temos: 
 
∑ 𝑘𝑎𝑖
𝑛
𝑖=1
= 𝑘𝑎1 + 𝑘𝑎2 + ⋯ + 𝑘𝑎𝑛 = 𝑘(𝑎1 + 𝑎2 + ⋯ + 𝑎𝑛) = 𝑘 ∑ 𝑎𝑖
𝑛
𝑖=1
 
 
 
1.2 Somatórios duplos 
 
Teorema 4. 
 
 
Demonstração: Desenvolvendo o primeiro membro temos: 
 
∑ 𝑎𝑖𝑗
𝑛
𝑖,𝑗=1
= (𝑎11 + 𝑎12 + ⋯ + 𝑎1𝑛) + (𝑎21 + 𝑎22 + ⋯ + 𝑎2𝑛) + ⋯ + (𝑎𝑛1 + 𝑎𝑛2 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑛) 
= ∑ 𝑎1𝑗
𝑛
 𝑗=1
+ ∑ 𝑎2𝑗
𝑛
 𝑗=1
+ ⋯ + ∑ 𝑎𝑛𝑗
𝑛
 𝑗=1
= ∑ 𝑎𝑖𝑗
𝑛
𝑖,𝑗=1
 
 
Teorema 4. 
 
 
Demonstração: Pelo teorema.3 temos: : 
 
∑ ∑ 𝑎𝑖𝑏𝑗
𝑛
𝑗=1
𝑛
𝑖=1
= ∑ [∑ 𝑎𝑖𝑏𝑗
𝑛
𝑗=1
]
𝑛
𝑖=1
= ∑ [𝑏𝑗 ∑ 𝑎𝑖
𝑛
𝑗=1
]
𝑛
𝑖=1
= ∑ 𝑎𝑖
𝑛
𝑖=1
∑ 𝑏𝑗
𝑛
𝑗=1
 
 
 
 
 
 
2. PRODUTÓRIO 
Sejam os 𝑛 > 1 inteiros 𝑎1,𝑎2,𝑎3, … 𝑎𝑛. Para indicar o produto desses 𝑛 números utilizamos 
a notação: 
∏ 𝑎𝑖
𝑛
𝑖=1
= 𝑎1𝑎2 … 𝑎𝑛 
(lê-se: Produtório de 𝑎𝑖 de 𝑖 a 𝑛). 
Exemplo. Temos: 
 
∏ 2𝑖
4
𝑖=1
= (2.1)(2.2)(2.3)(2.4) = 384 
 
1.1 Propriedades 
 
Teorema 5. 
∑ 𝑎𝑖𝑗
𝑛
𝑖,𝑗=1
= ∑ ∑ 𝑎𝑖𝑗
𝑛
𝑗=1
𝑛
𝑖=1
 
∑ ∑ 𝑎𝑖𝑏𝑗
𝑛
𝑗=1
𝑛
𝑖=1
= ∑ 𝑎𝑖
𝑛
𝑖=1
∑ 𝑏𝑗
𝑛
𝑗=1
 
 
 
∏ 𝑎𝑖𝑏𝑖
𝑛
𝑖=1
= ∏ 𝑎𝑖
𝑛
𝑖=1
∏ 𝑏𝑖
𝑛
𝑖=1
 
 
 
Demonstração: Desenvolvendo o primeiro membro temos: 
 
∏ 𝑎𝑖𝑏𝑖
𝑛
𝑖=1
= (𝑎1𝑏1)(𝑎2𝑏2) … (𝑎𝑛𝑏𝑛) = (𝑎1𝑎2 … 𝑎𝑛)(𝑏1𝑏2 … 𝑏𝑛) = ∏ 𝑎𝑖
𝑛
𝑖=1
∏ 𝑏𝑖
𝑛
𝑖=1
 
 
Teorema 6. 
 
 
Demonstração: Desenvolvendo o primeiro membro temos: 
 
∏ 𝑎
𝑛
𝑖
= 𝑎𝑎 … 𝑎 = 𝑎𝑛 
 
Teorema 3. 
 
 
 
Demonstração: Desenvolvendo o primeiro membro temos: 
 
∏ 𝑘𝑎𝑖
𝑛
𝑖=1
= (𝑘𝑎1)(𝑘𝑎2) … (𝑘𝑎𝑛) = (𝑘𝑘 … 𝑘)(𝑎1𝑎2 … 𝑎𝑛) = 𝑘
𝑛 ∏ 𝑎𝑖
𝑛
𝑖=1
 
∏ 𝑎
𝑛
𝑖
= 𝑎𝑛 
∏ 𝑘𝑎𝑖
𝑛
𝑖=1
= 𝑘𝑛 ∏ 𝑎𝑖
𝑛
𝑖=1