Notas de Aula 04

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Sequeˆncias e Limites
NA 4
Notas de Aula 4 – Sequeˆncias e Limites
Introduc¸a˜o
Nesta Notas de Aula, inicia-se o estudo de um dos mais fundamentais
conceito da Ana´lise Real, o de “limite”, na sua forma mais elementar que e´
a de “limite de uma sequeˆncia de nu´meros reais”.
Sera˜o estabelecidas a definic¸a˜o rigorosa de limite de uma sequeˆncia
real e algumas propriedades ba´sicas sobre convergeˆncia e divergeˆncia de uma
sequeˆncia.
Sequeˆncias de Nu´meros Reais
Definic¸a˜o 4.1 Uma sequeˆncia de nu´meros reais e´ uma func¸a˜o definida em
N e tomando valores x(n) em R. Ou seja, uma func¸a˜o x : N→ R.
Em todas as Notas de Aula as sequeˆncias sera˜o de nu´meros reais.
Portanto, por simplicidade sera˜o chamadas apenas sequeˆncia ou sucessa˜o.
Se x : N → R e´ uma sequeˆncia, usa-se a notac¸a˜o xn em lugar de x(n)
para denotar seu valor em n ∈ N. Os valores xn sa˜o chamados os termos ou
elementos da sequeˆncia. As notac¸o˜es (xn)n∈N , (xn)n e (xn) aparecem com
frequeˆncia como formas alternativas de representar a sequeˆncia x. Outras
letras tambe´m pode ser usadas no lugar de x e do ı´ndice n, tais como y =
(yk)k∈N, z = (zj)j∈N, a = (al)l∈N, etc.
O conjunto {xn : n ∈ N} dos valores da sequeˆncia e´ chamado conjunto-
imagem da sequeˆncia e a`s vezes denotado Im(x). Perceba a diferenc¸a de
significado e de sentido entre a sequeˆncia e seu conjunto-imagem (o uso de
pareˆnteses ( ) e de chaves { } ja´ serve para distinguir a sequeˆncia do conjunto
dos seus valores, mas e´ preciso entender o sentido de cada termo).
Exemplos 4.1 (i) a sequeˆncia x = (xn)n∈N onde xn = 1 + (−1)n, n ∈ N,
tem infinitos termos (x1 = 0, x2 = 2, x3 = 0, . . . , x100 = 2, x101 = 0,
. . . ) - alia´s, como qualquer sequeˆncia - ao passo que o seu conjunto-
imagem Im(x) = {1 + (−1)n : n ∈ N}, que e´ exatamente o conjunto
{0, 2}, tem apenas dois elementos;
(ii) a sucessa˜o (yn)n onde yn = 1/n, n ∈ N, tem infinitos termos (1, 1/2,
1/3, . . . , 1/100, . . . , 1/n, . . . ), mas neste caso, o conjunto {1/n : n ∈
N} tem, tambe´m, infinitos elementos.
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Ana´lise
Real
Sequeˆncias e Limites
E´ muito comum definir uma sequeˆncia fornecendo-se uma fo´rmula para o
n-e´simo termo xn, como foi feito com xn = 1 + (−1)n. Quando tal fo´rmula
pode ser facilmente deduzida a partir do conhecimento de seus primeiros
termos, e´ tambe´m comum listar-se os termos da sequeˆncia ate´ que a regra
de formac¸a˜o parec¸a evidente. Assim, a sequeˆncia dos nu´meros ı´mpares pode
ser apresentada na forma (1, 3, 5, . . . ) ou como (2n− 1)n∈N.
Uma sequeˆncia pode tambe´m ser definida especificando-se o valor de x1
e fornecendo-se uma fo´rmula para xn+1 em func¸a˜o de xn, para n ≥ 1. Mais
geralmente, para p ∈ N dado, pode-se especificar os valores de x1, x2,. . . , xp e
fornecer-se uma fo´rmula para xn em func¸a˜o de xn−1,. . . , xn−p, para n ≥ p+1-
nos casos em que uma sequeˆncia e´ definida dessa forma, quase sempre tem-se
p ≥ 3. Diz-se, nestes casos, que a sequeˆncia esta´ definida recursivamente ou
indutivamente. Um exemplo disso e´ obtido na definic¸a˜o da sequeˆncia (1/2n)
na forma
x1 =
1
2
, xn+1 =
xn
2
para n ≥ 1.
Limite de uma Sequeˆncia
Definic¸a˜o 4.2 Diz-se que a sequeˆncia (xn)n∈N converge para L ∈ R, ou
que L e´ limite de (xn)n∈N, quando para todo nu´mero real ǫ > 0, existe um
nu´mero natural n0 = n0(ǫ) tal que, para todo natural n > n0(ǫ), xn satisfaz
|xn − L| < ǫ.
Diz-se que uma sequeˆncia possui limite, quando existe um nu´mero real
L que e´ seu limite; neste caso diz-se que ela e´ convergente; caso contra´rio
diz-se que a sequeˆncia e´ divergente.
As seguintes notac¸o˜es servem para expressar que L e´ limite de (xn)n∈N:
lim
n→∞
xn = L, lim xn = L ou ainda xn → L quando n→∞.
A notac¸a˜o n0(ǫ) acima significa que o nu´mero natural n0, em geral,
depende do nu´mero real positivo ǫ. E´ comum usar a notac¸a˜o mais simples
n0, deixando-se de explicitar a dependeˆncia desse nu´mero em relac¸a˜o a ǫ.
A definic¸a˜o de limite de uma sequeˆncia (xn)n∈N pode ser escrita de
forma abreviada como
lim
n→∞
xn = L ⇔
para todo real ǫ > 0, existe n0 ∈ N tal que
para todo n ∈ N, se n > n0 enta˜o |xn − L| < ǫ.
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E usando-se (quase que) somente s´ımbolos matema´ticos na forma
lim
n→∞
xn = L ⇔ ∀ǫ > 0, ∃n0 ∈ N, ∀n ∈ N( se n > n0 enta˜o |xn−L| < ǫ).
Na linguagem matema´tica precisa, tem-se
lim
n→∞
xn = L ⇔ ∀ǫ > 0, ∃n0 ∈ N, ∀n ∈ N(n > n0 ⇒ |xn − L| < ǫ).
A pro´pria notac¸a˜o matema´tica indica que o ı´ndice n0 depende de ǫ > 0 (“para
cada ǫ existe um n0 ∈ N ...”). E tambe´m que a abrangeˆncia do segundo
quantificador ∀ e´ o enunciado todo que lhe segue, ou seja, ∀n ∈ N, (n > n0 ⇒
|xn−L| < ǫ) . E´ de fundamental importaˆncia entender que nesta u´ltima parte
esta´ embutida uma implicac¸a˜o: ∀n ∈ N, (se n > n0 enta˜o |xn − L| < ǫ).
Isto facilita o entendimento da definic¸a˜o e da sua utilizac¸a˜o.
Lembrando que para x, L, ǫ ∈ R, ǫ > 0, |x − L| < ǫ equivale a x ∈
(L− ǫ, L+ ǫ), a Definic¸a˜o 4.2 pode ser expressa na forma:
A sequeˆncia (xn)n∈N converge para L se, e somente se, para cada ǫ > 0,
existe n0 ∈ N tal que para todo n ∈ N, se n > n0 enta˜o xn ∈ (L− ǫ, L+ ǫ).
Em termos coloquiais, a definic¸a˜o de limite pode ser formulada da se-
guinte maneira: a sequeˆncia (xn)n∈N converge para L quando para cada ǫ > 0,
cada intervalo aberto (L− ǫ, L+ ǫ) conte´m todos os termos xn da sequeˆncia
a partir do ı´ndice n0, que depende de ǫ, ou seja, xn ∈ (L− ǫ, L+ ǫ) para todo
n > n0.
Exemplo 4.1 A sucessa˜o (xn)n∈N definida por xn =
1
n
, n ∈ N, converge
para L = 0.
Prova: De fato, seja ǫ > 0 arbitrariamente fixado. Pela Propriedade Arqui-
mediana dos nu´meros reais (Proposic¸a˜o 2.5 das NA 02), existe n0 ∈ N tal
que n0 > 1/ǫ. Assim, se n > n0 enta˜o
∣∣∣ 1
n
− 0
∣∣∣ = 1
n
<
1
n0
< ǫ.
Portanto, pela Definic¸a˜o 4.2, a sequeˆncia (1/n)n∈N converge para 0. Assim,
escreve-se lim
n→∞
1
n
= 0.
♦ Prelu´dio 4.1 O que orienta uma demonstrac¸a˜o, na grande maioria das ve-
zes, e´ a estrutura do enunciado que se deseja provar. Seguindo a estrutura
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Real
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da Definic¸a˜o 4.2, sa˜o dadas a seguir as passagens que necessariamente devem
aparecer na demonstrac¸a˜o de que
lim
n→∞
xn = L,
onde (xn)n∈N e´ uma sequeˆncia e L, um nu´mero real - procure identifica´-las no
Exemplo 4.1.
Seja (ou suponha) ǫ > 0 onde ǫ ∈ R.
Pela Propriedade Arquimediana(1), existe um natural n0 > . . . · (2)
Suponha que n ∈ N satisfaz n > n0.
Enta˜o |xn − L| . . . . . . . . . ·
...
contas
...
Enta˜o |xn − L| < . . . < ǫ.
Mostrou-se que, se n > n0 enta˜o |xn − L| < ǫ.
Conclui-se que: para cada nu´mero real ǫ > 0, existe n0 ∈ N tal que,
para todo n ∈ N, se n > n0 enta˜o |xn − L| < ǫ.
(1) Reveja a Proposic¸a˜o 2.5!
(2) Nu´mero relacionado com a sequeˆncia, a ser encontrado
num rascunho que na˜o entra na prova. No caso das sequeˆncias,
na maior parte das vezes a existeˆncia deste n0 sera´ garantida pela
Propriedade Arquimediana.
Estude cuidadosamente o exemplo a seguir.
Exemplo 4.2 Mostrar, por meio da definic¸a˜o, que a sequeˆncia (xn)n∈N de-
finida por xn = n/(3n+ 1) converge para L = 1/3.
Prova: 1a etapa: Tendo em mente a estrutura acima, o primeiro passo e´ fazer
um rascunho para determinar o natural n0. Lembre-se que este rascunho na˜o e´
a demonstrac¸a˜o e nem deve aparecer nela.
Rascunho: n0 =? para que se n > n0 enta˜o
∣∣∣∣ n3n+ 1 −
1
3
∣∣∣∣ < ǫ. Ora,
∣∣∣∣ n3n+ 1 −
1
3
∣∣∣∣ =
∣∣∣∣3n− 3n− 13(3n+ 1)
∣∣∣∣ =
∣∣∣∣ −19n+ 3
∣∣∣∣ = 19n + 3 <
1
9n
.
E da´ı
1
9n
< ǫ ⇔ 9nǫ > 1 ⇔ n > 1
9ǫ
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Assim, o n0 procurado e´ um nu´mero natural tal que n0 > 1/9ǫ.Fim do rascu-
nho! (atenc¸a˜o: a existeˆncia de (pelo menos) um natural assim e´ garantida pela
Propriedade Arquimediana, Proposic¸a˜o 2.5 da NA 02).
Confira as contas acima, certifique-se de ter entendido todas as passagens!
E atenc¸a˜o a` notac¸a˜o utilizada!
Agora escreve-se a demonstrac¸a˜o para ser lida e entendida por outras pes-
soas. Abaixo, as lacunas da estrutura apresentada no quadro acima sa˜o preen-
chidas em azul:
2a etapa: A demonstrac¸a˜o de fato:
Seja (ou suponha) ǫ > 0 onde ǫ ∈ R.
Pela Propriedade Arquimediana existe um natural n0 >
1
9ǫ
.
Suponha que n ∈ N satisfac¸a n > n0.
Enta˜o
∣∣∣∣ n3n+ 1 −
1
3
∣∣∣∣ =
∣∣∣∣3n− 3n− 13n+ 1
∣∣∣∣ =
∣∣∣∣ −19n + 3
∣∣∣∣ = 19n+ 3 <
1
9n
(⋆)
Como n > n0 >
1
9ǫ
enta˜o
1
9n
< ǫ. Portanto, de (⋆) tem-se
∣∣∣∣ n3n+ 1 −
1
3
∣∣∣∣ < 19n < ǫ .
Mostrou-se assim que: para todo nu´mero real ǫ > 0, existe n0 ∈ N tal
para todo n ∈ N, se n > n0 enta˜o
∣∣∣∣ n3n+ 1 −
1
3
∣∣∣∣ < ǫ .
Da´ı conclui-se, por definic¸a˜o (Definic¸a˜o 4.2), que lim
n→∞
n
3n+ 1
= 1/3.
Entenda que o n0 encontrado depende da majorac¸a˜o que se faz em (⋆). Na˜o
existe uma resposta u´nica para este n0. Mas voceˆ deve apresentar uma justifi-
cativa de que a sua escolha esta´ correta, assim como foi feito acima.
Atenc¸a˜o: Na disciplina de Ca´lculo, quando solicitado a justificar o fato de que
lim
n→∞
n
3n+ 1
=
1
3
,
o aluno deve, de modo geral, usar as chamadas propriedades operato´rias de
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Real
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limite. La´, apo´s o estudo de tais propriedades, o procedimento seria o seguinte:
lim
n→∞
n
3n + 1
= lim
n→∞
n/n
3n/n+ 1/n
= lim
n→∞
1
3 + 1/n
=
lim
n→∞
1
lim
n→∞
3 + lim
n→∞
1/n
=
1
3 + 0
=
1
3
.
Este procedimento e´ consequeˆncia da Definic¸a˜o 4.2, sera´ estudado em nosso
curso mais adiante mas ele na˜o sera´ aceito quando for solicitado “use a definic¸a˜o
de limite para mostrar que tal sequeˆncia (xn)n∈N converge para o nu´mero L”.
Neste caso, o procedimento a ser utilizado e´ o que foi descrito acima.
Exemplo 4.3 Mostrar, por meio da definic¸a˜o, que lim
n→∞
n2 − 1
2n2 + 1
=
1
2
.
Prova:
Seja ǫ > 0 onde ǫ ∈ R.
Pela Propriedade Arquimediana existe um natural n0 >
3
4ǫ
.
Suponha que n ∈ N satisfaz n > n0.
Enta˜o∣∣∣∣ n
2 − 1
2n2 + 1
− 1
2
∣∣∣∣ =
∣∣∣∣2n
2 − 2− 2n2 − 1
2(2n2 + 1)
∣∣∣∣ =
∣∣∣∣ −32(2n2 + 1)
∣∣∣∣ = 34n2 + 2 <
3
4n2
<
3
4n
(na u´ltima passagem, usou-se que n2 ≥ n, ja´ que n ∈ N). Como n > n0 > 3
4ǫ
e 4ǫ > 0 enta˜o 4ǫn > 3 e da´ı
3
4n
< ǫ. Logo
∣∣∣∣ n
2 − 1
2n2 + 1
− 1
2
∣∣∣∣ < 34n < ǫ .
Mostrou-se assim que: para todo nu´mero real ǫ > 0, existe n0 ∈ N tal para
todo n ∈ N, se n > n0 enta˜o ∣∣∣∣ n
2 − 1
2n2 + 1
− 1
2
∣∣∣∣ < ǫ .
Da´ı, pela definic¸a˜o de limite, escreve-se lim
n→∞
n2 − 1
2n2 + 1
=
1
2
.
Observac¸a˜o: Tambe´m se poderia ter tomado n0 >
√
3/4ǫ. Verifique!
No que se segue, propriedades ba´sicas de sequeˆncias, com demons-
trac¸o˜es simples, sa˜o apresentadas. Estude-as cuidadosamente para entender
os racioc´ınios e aprender as te´cnicas.
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Teorema 4.1 (Unicidade dos Limites) O limite de uma sequeˆncia, quando
existe, e´ u´nico, ou seja, uma sequeˆncia na˜o pode convergir para dois limites
diferentes.
Prova: Suponha que L1 e L2 sejam limites de (xn)n∈N. O objetivo aqui e´
mostrar que L1 = L2, usando o resultado do Exemplo 1.3, NA 01 (cabe aqui
uma revisa˜o!). Seja enta˜o ǫ > 0 um nu´mero real; deve-se mostrar usando
as hipo´teses que |L1 − L2| < ǫ. Ora, como a Definic¸a˜o 4.2 vale para todo
nu´mero real > 0, vale em particular para ǫ/2, para ambos os limites. Ou
seja, pela Definic¸a˜o 4.2 existem n01 e n02 em N tais que
|xn − L1| < ǫ/2 para todo n > n01,
|xn − L2| < ǫ/2 para todo n > n02.
Toma-se enta˜o n0 = max{n01, n02}. Enta˜o, para n > n0, tem-se
|L1 − L2| = |(L1 − xn) + (xn − L2)| ≤ |L1 − xn|+ |xn − L2| < ǫ
2
+
ǫ
2
= ǫ.
Mostrou-se assim que para cada ǫ > 0, vale |L1−L2| < ǫ. O Exemplo 1.3 da
NA 01 permite enta˜o concluir que |L1 − L2| = 0, ou seja, que L1 = L2.
Teorema 4.2 Seja (xn)n∈N uma sequeˆncia e L ∈ R. Enta˜o
(a) (xn)n∈N converge para L se, e somente se, a sequeˆncia (xn − L)n∈N
converge para 0;
(b) Se (xn)n∈N converge para L enta˜o (|xn|)n∈N converge para |L|.
(c) Se L = 0 enta˜o vale tambe´m a rec´ıproca de (b), isto e´, se |xn| → 0,
enta˜o xn → 0. Em particular, xn → L se, e somente se, |xn − L| → 0.
(d) Seja (an)n∈N uma sequeˆncia de elementos positivos tal que lim an = 0.
Se (xn)n∈N e´ uma sequeˆncia em R tal que para alguma contante C > 0
e algum M ∈ N se tem |xn − L| ≤ Can para todo n > M enta˜o
lim xn = L.
Prova: (a) O enunciado deste item e´ somente uma outra maneira de re-
escrever a Definic¸a˜o 4.2. De fato, (xn)n∈N convergir para L equivale, pela
Definic¸a˜o 4.2, a` afirmac¸a˜o
para todo ǫ > 0 existe n0 ∈ N tal que, para todo n ∈ N, se n > n0
enta˜o |xn − L| < ǫ.
Por sua vez, esta sentenc¸a equivale a
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Real
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para todo ǫ > 0 existe n0 ∈ N tal que, para todo n ∈ N, se n > n0
enta˜o |(xn − L)− 0| < ǫ.
E esta significa afirmar, pela Definic¸a˜o 4.2, que a sequeˆncia (xn − L)n∈N
converge para 0. �
(b) Por hipo´tese, xn → L quando n → ∞. Seja ǫ > 0. Usando a hipo´tese e
pela Definic¸a˜o 4.2 para o caso particular deste ǫ > 0, pode-se garantir que
existe n0 ∈ N tal que,
para todo n ∈ N, se n > n0 enta˜o |xn − L| < ǫ (∗) .
Tome este n0 e suponha que n > n0. Pela desigualdade triangular e por (*),
tem-se ||xn| − |L|| ≤ |xn − L| < ǫ . Mostrou-se enta˜o que, para cada ǫ > 0,
existe n0 tal que, para todo natural n ∈ N, se n > n0 enta˜o ||xn| − |L|| < ǫ.
Logo, pela Definic¸a˜o 4.2, |xn| → |L| quando n→∞. �
(c) Por hipo´tese, |xn| → L = 0 quando n→ ∞. Seja ǫ > 0. Pela hipo´tese e
para este ǫ > 0 em particular , a Definic¸a˜o 4.2 garante a existeˆncia de n0 ∈ N
tal que,
para todo n ∈ N, se n > n0 enta˜o |xn| = |xn − 0| < ǫ (∗∗) .
Tome este n0 e suponha que n > n0. Enta˜o |xn| < ǫ, por (**). Assim, para
todo ǫ > 0 existe natural n0 tal que para todo natural n > n0, tem-se que
|xn − 0| = |xn| < ǫ e, portanto, xn → 0 quando n→∞. �
Em particular, pelo item (a), xn → L se, e somente se, (xn − L) → 0,
que, por sua vez, vale se, e somente se, (|xn − L|)→ 0. �
(d) Por hipo´tese, lim an = 0 com an > 0 para todo n ∈ N e (xn)n∈N e´ uma
sequeˆncia que satisfaz |xn − L| < Can, para todo natural n > M , onde
L,C ∈ R, C > 0 e M ∈ N sa˜o constantes dadas. Seja ǫ > 0 um nu´mero
real arbitrariamente fixado. Como ǫ/C > 0, a primeira das hipo´teses e a
Definic¸a˜o 4.2 garantem, para este real > 0, a existeˆncia de n01 ∈ N tal
para todo n ∈ N, se n > n01 enta˜o |an| = an < ǫ
C
(∗ ∗ ∗) .
Tome n > n0 := max{M, n01} e suponha n > n0. Enta˜o de (***) e do
restante da hipo´tese, segue que
|xn − L| ≤ Can < C
( ǫ
C
)
= ǫ.
Mostrou-se enta˜o que para todo ǫ > 0 existe n0 ∈ N tal que para todo
natural n0, se n > n0 enta˜o |xn − L| < ǫ. Pela Definic¸a˜o 4.2, fica provado
que lim xn = L.
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No exemplo a seguir, ha´ alguns resultados onde as afirmac¸o˜es do Te-
orema 4.2 sera˜o utilizadas para auxiliar a demonstrac¸a˜o da convergeˆncia de
algumas sequeˆncias, que aparecera˜o no decorrer deste estudo.
Exemplo 4.4 (a) Se a > 0 enta˜o lim
1
1 + na
= 0. De fato, tem-se que
∣∣∣∣ 11 + na − 0
∣∣∣∣ ≤
(
1
a
)
1
n
para todo n ∈ N.
Assim, valem as hipo´teses do Teorema 4.2 (d) com C = 1/a > 0 e
an = 1/n, sendo que 1/n→ 0 pelo Exemplo 4.1. Portanto, a conclusa˜o
desejada decorre do Teorema 4.2. �
(b) Se 0 < b < 1 enta˜o lim bn = 0. Defato, como 0 < b < 1 enta˜o 1/b > 1,
ou seja, 1/b = 1+ a onde a := 1/b− 1 > 0. Portanto, pode-se escrever
b = 1/(1 + a). Pela desigualdade de Bernoulli (Exerc´ıcio 9 de NA 1),
tem-se que (1 + a)n ≥ 1 + na para todo n ∈ N. Assim,
0 < bn =
1
(1 + a)n
≤ 1
1 + na
<
1
na
para todo n ∈ N .
Logo, da mesma forma que no item anterior, tem-se lim bn = 0. �
(c) Se c > 0 enta˜o lim c1/n = 1. De fato, se c = 1 a afirmac¸a˜o e´ tri-
vial, pois neste caso (c1/n)n∈N e´ a sequeˆncia constante (1, 1, 1, . . . ) que,
verifica-se facilmente, converge para 1.
Se c > 1 enta˜o para cada n ∈ N, c1/n > 1. Portanto, para cada n ∈ N,
c1/n = 1 + dn, onde dn := c
1/n − 1 > 0. Da´ı, pela desigualdade de
Bernoulli
c = (1 + dn)
n ≥ 1 + ndn para todo n ∈ N.
Da´ı segue que c− 1 ≥ ndn, de modo que dn ≤ (c− 1)/n. Consequente-
mente, tem-se
|c1/n − 1| = dn ≤ (c− 1) 1
n
para todo n ∈ N.
De novo, o Exemplo 4.1 e o Teorema 4.2 (d) permitem concluir que
lim c1/n = 1 quando c > 1.
Suponha, enfim, que 0 < c < 1. Enta˜o para cada n ∈ N, c1/n < 1
e portanto, 1/c1/n > 1. Tem-se enta˜o que para cada n ∈ N, c1/n =
1/(1 + hn), onde hn := c
−1/n − 1 > 0. De novo, a desigualdade de
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Real
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Bernoulli garante que (1+hn)
n ≥ 1+nhn para todo n ∈ N, acarretando
que
c =
1
(1 + hn)n
≤ 1
1 + nhn
<
1
nhn
para todo n ∈ N,
donde se deduz que 0 < hn < 1/nc para todo n ∈ N. Da´ı obte´m-se
0 < 1− c1/n = hn
1 + hn
< hn <
1
nc
para todo n ∈ N,
de modo que
|c1/n − 1| = 1− c1/n <
(
1
c
)
1
n
para todo n ∈ N.
De novo, aplicando-se o Exemplo 4.1 e o Teorema 4.2 (d) conclui-se
que lim c1/n = 1 tambe´m quando 0 < c < 1. �
(d) limn1/n = 1. Primeiramente, recorde-se a fo´rmula binomial
(1 + h)n = 1 +
(
n
1
)
h+
(
n
2
)
h2 + · · ·+
(
n
n− 1
)
hn−1 + hn,
onde
(
n
k
)
=
n!
k!(n− k)! . Como n
1/n > 1 para todo n > 1, pode-se
escrever n1/n = 1 + kn, onde kn = n
1/n − 1 > 0 para cada n > 1. Pela
fo´rmula binomial, se n > 1 vale
n = (1 + kn)
n = 1 + nkn +
1
2
n(n− 1)k2n + · · · ≥ 1 +
1
2
n(n− 1)k2n,
donde segue que
n− 1 ≥ 1
2
n(n− 1)k2n.
Portanto, k2n ≤ 2/n para n > 1. Dado ǫ > 0, segue da Propriedade
Arquimediana de R que existe um nu´mero natural n0 tal que n0 > 2/ǫ
2.
Segue que se n > n0 enta˜o 2/n < ǫ
2, o que implica
0 < n1/n − 1 = kn ≤ (2/n)1/2 < ǫ.
Como ǫ > 0 e´ arbitra´rio, conclu´ı-se que limn1/n = 1. �
(e) A sequeˆncia (1+ (−1)n)n∈N na˜o e´ convergente, pois se n e´ ı´mpar enta˜o
xn = 0 e, se n e´ par enta˜o xn = 2. Portanto, seus elementos oscilam
para cada n. Mais adiante sera´ vista uma maneira simples de justificar
o fato de que (1 + (−1)n)n∈N na˜o e´ convergente.
CEDERJ 10
Sequeˆncias e Limites
NA 4
Algumas propriedades ba´sicas de limites
Seja (xn)n∈N uma sequeˆncia. Considera-se (xn+m)n∈N, para m ∈ N ar-
bitra´rio, a sequeˆncia definida por xn+m = (x1+m, x2+m, x3+m, . . . , xn+m, . . . , ),
a qual e´ chamada de m-cauda de (xn). Por exemplo, a 5-cauda da sequeˆncia
(1/n)n∈N e´ a sequeˆncia (1/6, 1/7, . . . , ).
Proposic¸a˜o 4.1 Seja L ∈ R. A sequeˆncia (xn) converge para L se, e so-
mente se, (xn+m) converge para L.
Prova: (⇒) Por hipo´tese, (xn) converge para L. Enta˜o dado ǫ > 0 existe
n01 ∈ N tal que, para todo n > n01, |xn−L| < ǫ. Logo, para todo n > n0 :=
n01 −m, xn+m satisfaz |xn+m − L| < ǫ. Assim, (xn+m) converge para L. �
(⇐) Por hipo´tese, (xn+m) converge para L. Enta˜o dado ǫ > 0 existe n02 ∈ N
tal que, para todo n > n02, |xn+m − L| < ǫ. Logo, para todo n > n0 :=
n02 +m, tem-se |xn − L| < ǫ. Assim, (xn) converge para L.
Do que foi estudado nas Notas de Aula 02, pode-se provar que: um
conjunto X e´ limitado se e somente se existe um nu´mero real c ≥ 0 tal que,
para todo x ∈ X tem-se |x| ≤ c (fac¸a como exerc´ıcio).
Definic¸a˜o 4.3 Uma sequeˆncia (xn) e´ limitada quando o conjunto de seus
valores, {xn : n ∈ N}, e´ limitado. Ou seja, quando existe M > 0 tal que
|xn| ≤M para todo n ∈ N.
Teorema 4.3 Toda sequeˆncia convergente e´ limitada.
Prova: Como, por hipo´tese, existe L ∈ R tal que lim xn = L, enta˜o se ǫ = 1
existe n0 ∈ N tal que |xn − L| < 1 para todo n > n0. Da´ı e da desigualdade
triangular obte´m-se
|xn| = |xn − L+ L| ≤ |xn − L| + |L| < 1 + |L| para todo n > n0. (⋆)
Portanto, de (⋆) e se M := max{|x1|, |x2|, . . . , |xn0 |, 1+ |L|} enta˜o |xn| ≤M
para todo n ∈ N. Logo, tem-se o resultado desejado.
Observac¸a˜o 4.1 A rec´ıproca do Teorema 4.3 na˜o e´ verdade em geral, isto
e´, existem sequeˆncias limitadas que sa˜o divergente. De fato, a sequeˆncia
((−1)n) e´ limitada e, como se vera´ depois de estudo de subsequeˆncias, ela
na˜o e´ convergente.
11
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Ana´lise
Real
Sequeˆncias e Limites
Definic¸a˜o 4.4 Dadas as sequeˆncias (xn)n∈N e (yn)n∈N, define-se as sequeˆncias
soma, diferenc¸a, produto e quociente de (xn)n∈N e (yn)n∈N respectivamente,
por
(1) (xn)n∈N + (yn)n∈N := (xn + yn)n∈N;
(2) (xn)n∈N − (yn)n∈N := (xn − yn)n∈N;
(3) (xn)n∈N · (yn)n∈N := (xnyn)n∈N, em particular, c · (xn)n∈N = (cxn)n∈N
para c ∈ R;
(4) (xn)n∈N/(yn)n∈N := (xn/yn)n∈N, desde que yn 6= 0 para todo n ∈ N.
Teorema 4.4 Sejam (xn) e (yn) sequeˆncias que convergem para L1 e L2,
respectivamente, e seja c ∈ R. Enta˜o
(1) lim(xn + yn) = lim(xn) + lim(yn) = L1 + L2,
(2) lim(xn − yn) = lim(xn)− lim(yn) = L1 − L2,
(3) lim(xnyn) = lim(xn) · lim(yn) = L1L2 e lim(cxn) = c lim(xn),
(4) lim(xn/yn) = lim(xn)/ lim(yn) = L1/L2 desde que yn 6= 0 para todo
n ∈ N e L2 6= 0.
Prova: (1) Por hipo´tese lim xn = L1 e lim yn = L2. Portanto, dado ǫ > 0
qualquer, existem n1 ∈ N e n2 ∈ N tais que,
|xn−L1| < ǫ
2
para todo n > n1 e |yn−L2| < ǫ
2
para todo n > n2. (a)
Tome-se n0 := max{n1, n2}. Seja n > n0. Enta˜o n > n1 e n > n2. Pela
desigualdade triangular tem-se que
|(xn + yn)− (L1 + L2)| = |(xn − L1) + (yn − L2)| ≤ |xn − L1|+ |yn − L2|.
Da´ı e de (a), ja´ que n > n1 e n > n2 segue que
|(xn + yn)− (L1 + L2)| ≤ |xn − L1|+ |yn − L2| < ǫ
2
+
ǫ
2
= ǫ .
Assim, pode-se afirmar que |(xn + yn) − (L1 + L2)| < ǫ, para todo ı´ndice
n > n0.
Pela arbitrariedade de ǫ > 0 provou-se enta˜o que: para todo ǫ > 0,
existe n0 ∈ N tal que, para todo n ∈ N, |(xn + yn) − (L1 + L2)| < ǫ. Pela
Definic¸a˜o 4.2, tem-se que (xn + yn) converge para L1 + L2.
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Sequeˆncias e Limites
NA 4
(2) A prova de que (xn−yn)n∈N converge para L1−L2 segue por argumentos
ana´logos.
(3) Por hipo´tese lim xn = L1 e lim yn = L2. Pelo Teorema 4.3, existe M1 > 0
tal que |yn| ≤ M1 para todo n ∈ N. Seja ǫ > 0 e seja M := max{M1, |L1|}.
Enta˜o M > 0 e portanto ǫ/2M ∈ R. Pela hipo´tese e Definic¸a˜o 4.2, para este
real positivo ǫ/2M em particular, existem n1 ∈ N e n2 ∈ N tais que
|xn−L1| < ǫ
2
M para todo n > n1 e |yn−L2| < ǫ
2
M para todo n > n2.
(a)
Tome n0 := max{n1, n2} e seja n > n0. Enta˜o n > n1 e n > n2. Usando a
desigualdade triangular obte´m-se
|xnyn − L1L2| ≤ |(xnyn − L1yn) + (L1yn − L1L2)|
≤ |yn(xn − L1)|+ |L1(yn − L2)|
≤ |yn||xn − L1|+ |L1||yn − L2|
≤M1|xn − L1|+ |L1||yn − L2|
≤M |xn − L1|+M |yn − L2|
(a)
< M.
ǫ
2
M +M
ǫ
2
M
=
ǫ
2
+
ǫ
2
= ǫ.
Notar que as condic¸o˜es de (a) puderam ser usadas na u´ltima passagem, pois
n > n1 e n > n2. Tem-se assim que |(xn + yn) − (L1 + L2)| < ǫ, para todo
ı´ndice n > n0.
Provou-se enta˜o que: para todo ǫ > 0, existe n0 ∈ N tal que, para todo
n ∈ N, |(xn + yn) − (L1 + L2)| < ǫ. Pela Definic¸a˜o 4.2, tem-se que (xn.yn)
converge para L1.L2.
A prova de que cxn → cL1 quando xn → L1, segue imediatamente do
que acabou de ser provado, considerando-se o caso particular em que (yn) e´
a sequeˆncia constante (c, c, c, . . . ).
(4) Primeiro mostra-se que
1
yn
→ 1
L2
para L2 6= 0 e yn 6=0 para todo
n ∈ N. Para simplificar, supo˜e-se inicialmente que L2 > 0. Como yn → L2
para n suficientemente grande tem-se que yn ∈ VL2/2(L2) = (L2/2, 3L2/2).
Em particular, para n suficientemente grande, ou seja, n > n1, para um certo
n1 ∈ N, tem-se yn > L2/2. Assim, para todo n > n1, resulta
∣∣∣ 1
yn
− 1
L2
∣∣∣ =
∣∣∣L2 − yn
L2yn
∣∣∣ = 1|ynL2| |yn − L2| ≤
2
L2
2 |yn − L2|.
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Real
Sequeˆncias e Limites
Seja, enta˜o, dado ǫ > 0 qualquer. Existe n2 ∈ N tal que |yn − L2| < 1
2
L2
2ǫ.
Toma-se n0 := max{n1, n2}. Assim, para todo n > n0, tem-se
∣∣∣ 1
yn
− 1
L2
∣∣∣ ≤ 2
L2
2 |yn − L2| <
2
L2
2
(1
2
L2
2ǫ
)
= ǫ,
o que conclui a prova de que
1
yn
→ 1
L2
quando L2 > 0. No caso em que
L2 < 0, pelo que ja´ foi provado tem-se −yn → −L2 e, como −L2 > 0,
−1/yn → −1/L2. Segue da´ı que 1
yn
→ 1
L2
tambe´m no caso em que L2 < 0.
A prova de que xn/yn → L1/L2 segue, agora, do fato que (xn)/(yn) =
(xn) · (1/(yn)) e enta˜o, pelo que ja´ foi demonstrado,
lim
(xn
yn
)
= lim
[
(xn)
( 1
yn
)]
= lim xn lim
( 1
yn
)
= L1
( 1
L2
)
=
L1
L2
,
o que conclui a demonstrac¸a˜o.
Observac¸a˜o 4.2 As afirmac¸o˜es do Teorema 4.4 sobre o limite da soma e
do produto de duas sequeˆncias convergentes podem ser facilmente estendidas
para um nu´mero finito qualquer de sequeˆncias convergentes pelo Princ´ıpio de
Induc¸a˜o Matema´tica. De fato, prova-se pelo PIM que: para cada m ∈ N,
se x(1) = (x1n)n, x
(2) = (x2n)n, x
(3) = (x3n)n, . . . , x
(m) = (xmn)n sa˜o m
sequeˆncias convergentes, enta˜o sua soma x(1) + x(2) + x(3) + · · · + x(m) :=
(x1n + x2n + x3n + · · ·+ xmn) e´ uma sequeˆncia convergente e
lim
n→∞
(x1n+x2n+x3n+· · ·+xmn) = lim
n→∞
x1n+ lim
n→∞
x2n+ lim
n→∞
x3n+· · ·+ lim
n→∞
xmn
(i)
e seu produto x(1).x(2).x(3) · · ·x(m) := (x1n.x2n.x3n. · · · .xmn) e´ uma sequeˆncia
convergente e
lim
n→∞
(x1n.x2n.x3n · · ·xmn) = lim
n→∞
x1n. lim
n→∞
x2n. lim
n→∞
x3n · · · lim
n→∞
xmn. (ii)
Em particular, se k ∈ N e x = (xn)n e´ uma sequeˆncia convergente, enta˜o
lim xkn = (lim xn)
k. (iii)
Espera-se que voceˆ mesmo seja capaz de provar sem dificuldades as fo´rmulas
(i), (ii) e (iii) usando o Teorema 4.4 e Induc¸a˜o Matema´tica.
O Teorema 4.3 garante que sequeˆncias na˜o limitadas sa˜o divergentes.
Nos dois primeiros itens do Exemplo a seguir, este resultado e´ utilizado para
provar que certas sequeˆncias sa˜o divergentes. Raciocina-se de forma indireta.
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Sequeˆncias e Limites
NA 4
Exemplo 4.5 (a) A sequeˆncia (n)n e´ divergente. De fato, pelo Teorema 4.3,
se (n)n fosse convergente, enta˜o seria limitada, isto e´, existiria um
nu´mero real M > 0 tal que n = |n| < M para todo n ∈ N. Mas isso
estaria em contradic¸a˜o com a Propriedade Arquimediana.
(b) Se b > 1 enta˜o a sequeˆncia (bn)n e´ divergente. De fato, como b > 1
tem-se b = 1 + r, com r = b − 1 > 0. A desigualdade de Bernoulli
implica bn = (1 + r)n ≥ 1 + nr. Se (bn)n fosse convergente, enta˜o
existiria M > 0 tal que bn = |bn| < M para todo n ∈ N. Assim,
1 + nr ≤ bn < M , ou seja, n < (M − 1)/r, para todo n ∈ N. Isso
contradiz a Propriedade Arquimediana e, portanto, tem-se que (bn)n e´
divergente.
(c) Seja (xn)n∈N uma sequeˆncia de nu´meros reais que converge para L ∈ R.
Seja p um polinoˆmio, isto e´,
p(t) := akt
k + ak−1t
k−1 + · · ·+ a1t + a0,
onde k ∈ N e aj ∈ R, j = 0, 1, . . . , k. Enta˜o a sequeˆncia (p(xn))
converge para p(L).
Segue do Teorema 4.4 e da Observac¸a˜o 4.2. Os detalhes sa˜o deixados
como exerc´ıcio.
(d) Seja (xn) uma sequeˆncia convergente para L ∈ R. Seja r uma func¸a˜o
racional, isto e´, r(t) := p(t)/q(t), onde p e q sa˜o polinoˆmios. Suponha
que q(xn) 6= 0 para todo n ∈ N e q(L) 6= 0. Enta˜o a sequeˆncia (r(xn))
converge para r(L).
Segue tambe´m do Teorema 4.4 e da Observac¸a˜o 4.2. Os detalhes ficam
como exerc´ıcio.
(e)
lim
5n3 − 2n+ 3
2n3 + 3n2 + 1
=
5
2
.
Chamando an :=
5n3 − 2n+ 3
2n3 + 3n2 + 1
, para poder aplicar o Teorema 4.4 (em
sua versa˜o estendida pela Observac¸a˜o 4.2) e´ necessa´rio escrever o termo
geral an da sequeˆncia de modo mais conveniente, como uma expressa˜o
racional envolvendo apenas sequeˆncias convergentes. Obte´m-se essa
forma dividindo por n3 o numerador e o denominador da frac¸a˜o que
define an. Assim, encontra-se
an =
5− (2/n2) + (3/n3)
2 + (3/n) + (1/n3)
.
15
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Real
Sequeˆncias e Limites
Agora pode-se aplicar o Teorema 4.4 para obter
lim an = lim
(
5− (2/n2) + (3/n3)
2 + (3/n) + (1/n3)
)
=
5− 2 lim(1/n2) + 3 lim(1/n3)
2 + 3 lim(1/n) + lim(1/n3)
=
5− 2(lim(1/n))2 + 3(lim(1/n))3
2 + 3 lim(1/n) + (lim(1/n))3
=
5
2
.
Limites e desigualdades
Teorema 4.5 Se (xn)n∈N e´ uma sequeˆncia convergente e xn ≥ 0 para todo
n ∈ N, enta˜o L = lim xn ≥ 0.
Prova: Suponha que a conclusa˜o e´ falsa, isto e´, L < 0. Enta˜o ǫ = −L > 0.
Como (xn)n converge para L, existe um nu´mero natural n0 tal que
2L = L− ǫ < xn < L+ ǫ = 0 para todo n > n0.
Em particular, xn0+1 < 0, o que contradiz a hipo´tese de que xn ≥ 0 para
todo n ∈ N.
Corola´rio 4.1 Sejam (xn)n e (yn)n sequeˆncias convergentes. Se xn ≤ yn
para todo n ∈ N enta˜o lim xn ≤ lim yn.
Prova: Seja zn := yn−xn. Enta˜o zn ≥ 0 para todo n ∈ N. Dos Teoremas 4.4
e 4.5 tem-se 0 ≤ lim zn = lim yn − lim xn. Logo, lim xn ≤ lim yn.
Teorema 4.6 Seja (xn)n uma sequeˆncia convergente. Se a ≤ xn ≤ b para
todo n ∈ N enta˜o a ≤ lim xn ≤ b.
Prova: Chamando de (an) a sequeˆncia constante com an = a para todo
n ∈ N enta˜o tem-se an ≤ xn e, pelo Corola´rio 4.1, a = lim an ≤ lim xn. Da
mesma forma, tomando bn = b para todo n ∈ N, de xn ≤ bn conclui-se que
lim xn ≤ b.
Teorema 4.7 (Teorema do Sandu´ıche) Sejam (xn)n, (yn)n e (zn)n sequeˆncias
tais que xn ≤ yn ≤ zn para todo n ∈ N, e que lim xn = lim zn. Enta˜o (yn) e´
convergente e lim xn = lim yn = lim zn.
Prova: Seja L := lim xn = lim zn. Enta˜o dado ǫ > 0 existe n0 ∈ N tal que
|xn − L| < ǫ e |zn − L| < ǫ para todo n ≥ n0. Ou seja,
−ǫ < xn − L < ǫ e − ǫ < zn − L < ǫ para todo n ≥ n0.
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Sequeˆncias e Limites
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Como xn−L ≤ yn−L ≤ zn−L para todo n ∈ N enta˜o −ǫ < yn−L < ǫ para
todo n > n0. Portanto, |yn − L| < ǫ para todo n > n0. Logo, por definic¸a˜o
lim yn = L.
Teorema 4.8 (Teste da raza˜o) Seja (xn)n uma sequeˆncia de termos po-
sitivos tal que R := lim(xn+1/xn) existe. Se R < 1 enta˜o (xn)n converge e
lim xn = 0. Por outro lado, se R > 1 enta˜o (xn)n e´ divergente.
Prova: • Suponha R < 1. Da´ı, pelo Teorema 4.5, R ≥ 0. Seja s ∈ R tal
que R < s < 1 e ǫ := s− R > 0. Pela hipo´tese, existe n0 ∈ N tal que∣∣∣xn+1
xn
− R
∣∣∣ < ǫ para todo n > n0.
Da´ı,
xn+1
xn
< R + ǫ = R + (s− R) = s para todo n > n0.
Portanto, 0 < xn+1 < xns < xn−1s
2 < · · · < xn0+1sn−n0 para todo n > n0.
Da´ı, tomando C := xn0+1/s
n0+1 resulta que 0 < xn+1 < Cs
n+1 para todo
n > n0. Ou seja, 0 < xn < Cs
n para todo n > n0+1. Como 0 < s < 1 enta˜o
o Exemplo 4.4 (b) assegura que lim sn = 0. Assim, aplicar a Proposic¸a˜o 4.1
resulta que lim xn = 0. �
Suponha agora que R > 1. Tomando b ∈ R tal que 1 < b < R e
ǫ := R− b enta˜o por hipo´tese existe n0 ∈ N tal que
xn+1
xn
> R− ǫ = R− (R− b) = b para todo n > n0.
Portanto, xn+1 > xnb > xn−1b
2 > · · · > xn0+1bn−n0 =
(xn0+1
bn0+1
)
bn+1 para
todo n > n0. Tomando C
′ = xn0+1/b
n0+1. Do Exemplo 4.5 (b) tem-se que a
sequeˆncia (bn)n na˜o e´ limitada superiormente. Assim, dado M > 0 qualquer,
existe n1 ∈ N tal que bn > M/C ′ para todo n > n1. Portanto, xn > M para
todo n > max{n0 + 1, n1 + 1}. Como M > 0 e´ arbitra´rio, segue que (xn)n
na˜o e´ limitada e, portanto, e´ divergente.
Exemplos 4.2 (a) Mostrar que lim
(
sen(n)
n)
= 0. De fato, tem-se que
−1 ≤ sen(n) ≤ 1. Enta˜o
−1
n
≤ sen(n)
n
≤ 1
n
para todo n ∈ N.
Logo, aplicando o Teorema 4.7 conclui-se a afirmac¸a˜o. �
(b) Seja (xn)n uma sequeˆncia convergente para L e suponha que xn ≥ 0 para
todo n ∈ N. Enta˜o a sequeˆncia (√xn)n converge para
√
L. De fato, do
Teorema 4.5 tem-se que L ≥ 0. Consideram-se os dois seguintes casos:
17
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Sequeˆncias e Limites
(i) L = 0. Dado ǫ > 0, como xn → 0 enta˜o existe n0 ∈ N tal que se
n > n0 enta˜o 0 ≤ xn = xn − 0 < ǫ2. Da´ı segue que 0 ≤ √xn < ǫ
para n > n0. Logo,
√
xn → 0.
(ii) L > 0. Enta˜o
√
L > 0 e tem-se
|√xn −
√
L| =
∣∣∣∣∣
(
√
xn −
√
L)(
√
xn +
√
L)
√
xn +
√
L
∣∣∣∣∣ =
|xn − L|√
xn +
√
L
;
Como
√
xn +
√
L ≥ √L > 0 enta˜o
|√xn −
√
L| = |xn − L|√
xn +
√
L
≤ 1√
L
|xn − L|.
Assim, a convergeˆncia de
√
xn a
√
L segue do fato de xn → L. �
(c) Se r e´ um nu´mero racional positivo enta˜o
lim
n→∞
1
nr
= 0.
De fato, primeiro considera-se o caso em que r = 1/q, q ∈ N. Dado
ǫ > 0, pela Propriedade Arquimediana existe um n0 ∈ N tal que n0 >
(1/ǫ)q. Enta˜o
n > n0 ⇒ n >
(
1
ǫ
)q
⇒ n1/q > 1
ǫ
⇒
∣∣∣ 1
n1/q
− 0
∣∣∣ = 1
n1/q
< ǫ.
Logo,
lim
1
n1/q
= 0.
Considera-se agora o caso geral em que r = p/q, onde p e q sa˜o nu´meros
naturais. Prova-se pelo Princ´ıpio de Induc¸a˜o Matema´tica - PIM, fa-
zendo a induc¸a˜o em p. De fato, viu-se acima que a afirmac¸a˜o e´ va´lida
para p = 1. Suponha que valha para um k ∈ N. Ou seja,
lim
1
nk/q
= 0.
Segue que
lim
1
n(k+1)/q
= lim
1
nk/q
1
n1/q
= (lim
1
nk/q
)(lim
1
n1/q
) = 0 · 0 = 0.
Logo, pelo PIM vale para todo p ∈ N. �
CEDERJ 18
Sequeˆncias e Limites
NA 4
(d) Mostrar que lim
10n
n!
= 0. De fato, pondo xn := 10
n/n!, tem-se
xn+1
xn
=
10n+1
(n+ 1)!
· n!
10n
=
10
n+ 1
.
Portanto, lim(xn+1/xn) = 0. Logo, pelo Teorema 4.8 conclui-se que
lim xn = 0. �
Exerc´ıcio 4.1 1. Escreva os cinco primeiros termos da sequeˆncia (xn)n∈N
em cada um dos casos seguintes:
(a) xn := 1 +
(−1)n
n
,
(b) xn :=
1
n(n + 1)
,
2. Liste os cinco primeiros termos das seguintes sequeˆncias definidas in-
dutivamente:
(a) x1 := 1 e xn+1 = 3xn + 1, se n ∈ N .
(b) y1 := 2, yn+1 =
1
2
(yn + 2/yn), se n ∈ N .
3. Para qualquer b ∈ R, prove que lim b
n
= 0.
4. Use a definic¸a˜o de limite de uma sequeˆncia para demonstrar a validade
dos seguintes limites:
(a) lim
n2
n3 + 2
= 0.
(b) lim
3n
n+ 4
= 3.
5. Mostre que
(a) lim
2√
3n+ 1
= 0.
(b) lim
(−1)nn
n2 + 1
= 0.
6. Seja lim xn = L > 0. Mostre que existe um nu´mero natural M tal que
se n ≥M enta˜o xn > 1
2
L.
7. Mostre que lim(
√
n + 1 − √n) = 0. Dica: Multiplique e divida por
(
√
n+ 1 +
√
n) e trabalhe com a Definic¸a˜o.
19
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Sequeˆncias e Limites
8. Para xn dado pelas fo´rmulas seguintes, estabelec¸a se a sequeˆncia (xn)n
e´ convergente ou divergente.
(a) xn :
n
n+ 1
,
(b) xn :=
(−1)nn
n+ 1
,
(c) xn :=
n2
n+ 1
,
9. Encontre os limites das seguintes sequeˆncias:
(a) lim
(√
n− 1√
n + 1
)
,
(b) lim
(√
n+ 3 (
√
n+ 1−√n)),
10. Encontre cada um dos seguintes limites e justifique plenamente suas
respostas com base nos teoremas e exemplos dados no texto.
(a) lim
n3 − 1
3n3 + n− 4
(b) lim
2n + 1
2n − n
(c) lim((n + 1)1/3 − n1/3)
(d) lim
(
n3
2n2 − 1 −
n2
2n+ 1
)
11. Se 0 < a < b enta˜o mostre que lim
(
an+1 + bn+1
an + bn
)
.
12. Se a > 0, b > 0, mostre que
lim
(√
(n+ a)(n + b)− n
)
=
a+ b
2
.
13. Mostre que se zn := (a
n + bn)1/n onde 0 < a < b, enta˜o lim zn = b.
14. Use o Teorema 4.7 (do Sandu´ıche) para determinar os seguintes limites:
(a) limn1/n
2
(b) limn!(1/n
2)
15. Aplique o Teorema 4.8 a`s seguintes sequeˆncias, onde a, b satisfazem
0 < a < 1, b > 1.
(a) (nb−n)n
CEDERJ 20
Sequeˆncias e Limites
NA 4
(b) (23n/32n)n
(c) (bn/n!)n
(d) (n!/nn)n
21
CEDERJ